Due problemi

[Sascia63]

Salve volevo proporre due problemi tratti dalla Disfida Matematica "Urbi et Orbi" che non sono riuscito a risolvere:
a) Trovare il più grande intero $n$ tale che la disuguaglianza $ (x^7)^x ≤x^n+1-x$ sia vera per ogni $0
b)Un polinomio di settimo grado è tale che $p(x)-32$ è divisbile per $(x+1)^4$ e $p(x)+32$ è divisibile per $(x-1)^4$.Quanto vale $p(2)$?
Io ho iniziato a svolgerlo così:

deg $p(x)=7$
$p(x)-32=(x+1)^4s(x)$
$p(x)+32=(x-1)^4g(x)$ ho successivamente ricavato alcuni valori di $g(x)$ ed $s(x)$ ma non sono arrivato a nulla di concreto

[Sascia63]

Può darsi visto che è una gara in cui ci sono una ventina di problemi da risolvere in circa 2 ore.

[orsoulx]

Per il secondo il sistema può essere evitato a patto di conoscere nozioni fondamentali di derivate/integrali di polinomi in R.
La derivata del polinomio cercato ha una radice tripla tanto in $ x=-1 $ quanto in $ x=1 $ ed allora, essendo di sesto grado, avremo $ p'(x) = \lambda(x^2-1)^3 $ che, con i valori simmetrici $ p(-1)=32, p(1)=-32 $, fornisce $p(x)=10x^7-42x^5+70x^3-70; p(2)=356$.

"axpgn":ma qualcuno sa in quanto tempo andavano risolti?

Se ho ben capito è una gara a squadre. Quando i miei pargoli vi partecipavano (prima del 2007) il tempo concesso era 120', che moltiplicato per i 7 componenti della squadra...
In quel contesto il metodo che hai proposto non era applicabile; concessi solo: carta, matita, cervello e fortuna.

Ciao

[axpgn]

"orsoulx":In quel contesto il metodo che hai proposto non era applicabile; concessi solo: carta, matita, cervello e fortuna.

Vabbè, scherzavo ...

Ma erano studenti delle superiori? Io non ho mai fatto "algebra di polinomi" o di "funzioni" o quello che è, nè ne ho mai avuto occasione però non faccio neppure testo ma mi piacerebbe sapere "dove/quando" si studia, in quale "categoria" di Matematica si "inserisce" ... sfogliando libri di Algebra Astratta o Matematica Discreta non mi pare di averne trovato traccia ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

"orsoulx": Quando i miei pargoli vi partecipavano (prima del 2007) il tempo concesso era 120', che moltiplicato per i 7 componenti della squadra...

A squadre funziona così? Cioè ciascuno si prende un pezzo e va da solo? In pratica è una somma di individualità non un gioco di squadra?

Ciao,

[orsoulx]

@Alex,
in un liceo scientifico, specialmente se con informatica, la proprietà che più radici di un polinomio coincidenti comportano l'annullarsi delle derivate successive in quel punto viene (/veniva) esaminata da diversi punti di vista.
Il regolamento delle gare a squadre lasciava ampia libertà nelle strategie di approccio ad un problema. Il risultato di un singolo quesito (sempre un numero di quattro cifre) poteva essere consegnato (dal postino: uno dei componenti della squadra) in qualsiasi istante e senza alcuna giustificazione. Immediatamente veniva corretto e, sul tabellone, il punteggio veniva aggiornato con variazioni positive o negative a seconda della sua esattezza.
Ciao

[Erasmus_First]

"giammaria":[...] @Erasmus_First
Mi piace il modo con cui, nel secondo esercizio, hai evitato l'uso esplicito del principio di identità [...]

Non ho inteso "evitarlo"!
Vedi che ho esordito dicendo che, secondo me, "sostanzialmente" non ci sono metodi di risolvere quel problenma che facciano a meno del principio di identità.
In un primo tempo (prima ancora di leggere la tua soluzione) anch'io avevo spaccato il sistema liuneare di 8 equazioni in 8 incognite in due sistemi di 4 equazioni in 4 incognite separando la parte pari dalla parte dispari sia dei polinomi di terzo grado – quelli che tu chiami $s(x)$ e $g(x)$– sia della quarta potenza di (x+1) e di (x-1) ponendo
$X_p(x) = ((x+1)^4 + (x–1)^4)/2 = x^4 + 6x^3 + 1$ ∧ $X_d(x) = ((x+1)^4 - (x–1)^4)/2 =4x^3 + 4x$.
Allora, posto
$(p(x) – 2)/(x+1)^4 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ ∧ $(p(x) + 2)/(x-1)^4 = Ex^3 + Fx^2 + Gx + H$,
essendo nulla la parte dispari di –64 si perviene alle due uguaglianze (indipendenti una dall'altra):
$[(A–E)x^3 + (C–G)x]·(x^4 + 6x^2+1) +[(B+F)x^2+D+H]·(4x^3 + 4x) = 0$; [Parte dispari nulla]
$[(B-F)x^2+D–H]·(x^4 + 6x^2+1) +[(A+E)x^3+(C+G)x]·(4x^3+4x)=–64$. [Parte pari=-64].
Posto ancora
$α = A–E$; $β = C – G$; $γ = B+F$; $δ = D+H$;

$ε = B – F$; $ζ= D –H$; $η = A+E$; $θ = C+G$; [**]
sviluppando i prodotti delle due precedenti uguaglianze (che ho chiamato "Parte dispari" e "Parte pari"), l'applicazione successiva del principio di identità conduce
• dalla uguaglianza "Parte dispari" ad un sistema omogeneo si 4 equazioni nelle incognite α, β, γ e δ risolto da
$α=β = γ = δ = 0$;
• dalla uguaglianza "Parte pari" ad un sistema non omogeneo si 4 equazioni nelle incognite ε, ζ, η e θ , cioè:
$ε+4η=0$; (annullando il coefficiente di $x^5$)
$6ε+ζ+4η + 4θ=o0$; (essendo nullo il coefficiente di $x^4$)
$ε+6ζ+4θ=0$; (essendo nullo il coefficiente di $x^2$)
$ζ= -64$. (essendo –64 il termine di grado 0).
Risolvendo anche questo sistema e mettendo in conto le posizioni

e [**] , ecc. ecc.

[In questo procedimento non c'è bisogno di valurtare i membri delle uguaglianze in particolari punti].

Ma poi ho pensato che era meglio (dal punto di vista didattico) mostrare nel modo più diretto possibile come si può fare per determinare effettivamente $p(2)$ (e perciò ho scartato quanto ho mostrato adesso perché ciò, invece, sposta l'attenzione del lettore su cosa si può fare per spaccare il sistema delle 8 equazioni in 8 incognite in due sistemi ciascuno di 4 equazioni in 4 incognite.

Ciao giammaria!
_________

[Erasmus_First]

"axpgn":A occhio (cioè dal grafico ) la soluzione è ...

$n=8$

E dove sta 'sto grafico?

"axpgn":Beh, basta vedere il grafico (i grafici) ...

A mo'! (= "ancora! ").
Faccelo vedere 'sto grafico!
––––––––––––
Siccome $x^x$ – e quindi $x^(7x)$ – è definito solo per $x$ positivo (dove è pure posiivo), vale 1 in $x=1$, tende ad 1 per $x$ tendente a 0 ed è minore di 1 per $0 < x < 1$, per vedere cosa succede tra 0 e 1 ho fatto disegnare il rapporto
$x^(7x)/(x^n - x + 1)$
al mio programma "Grapher" per $n$ = 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Si nota che per $n ≤ 8$ il rapporto è minore di 1 per 0 < $x$ < 1; ma al crescere di $n$ il grafico – come dire? – si "sganghera" sempre più in prossimità di 1 fino ad avere un lembo al di sopra di 1 per $n=9$. Quindi la risposta al secondo quesito è come ha detto Alex. .
Io non sono "spilorcio" come lui (Alex)! Ed i grafici che spiegano tutto ve li faccio vedere!
Teli chì!

––> Sei grafici.png

_________

[giammaria2]

@ Erasmus_First
Sì, adesso le nostre soluzioni sono sostanzialmente uguali. Sull'aspetto didattico ha qualche riserva: è vero che così facendo si sposta l'attenzione sullo spezzamento del sistema, ma è vero anche che un sistema di 8 equazioni dà i brividi.

[axpgn]

Data la gentile richiesta ...

Grafico




Dettaglio $n=8$

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":Data la gentile richiesta ...

Grazie, Alex.
Quanto al secondo esercizio, mettiamoci in un x minore sì di 1 ma vicinissimo ad 1, ossia in $x = 1 – δ$ con $δ$ positivo ma piccolissimo. E cerchiamo qual è il primo $n$ intero positivo che dà
$f(δ) = (1-δ)^(7(1-δ)) -(1-δ)^n + (1–δ) - 1 <0$.
Non è necessario usare le derivate. Basta soltanto conoscere lo sviluppo delle potenze di un binomio e tener conto del fatto che δ è positivo ed infinitesimo. Allora, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al secondo abbiamo:
$f(δ)=(1-δ)^(7(1-δ))-(1-δ)^n+(1-δ)-1≈ (n-8)δ -[(n(n-1))/2-21]δ^2$.
Per $n=8$ è ancora $f(δ)$ negativo valendo [circa] $–7δ^2$.
Invece per $n=9$ viene [circa] $f(δ)=δ>0$.
[ot]@ Alex Perché non sei intervenuto qua?
––> Raggio della sfera circoscritta ad un tetraedro irregolare[/ot]
_________

[axpgn]

@Erasmus
[ot]Perché già in due dimensioni faccio notevole fatica, in tre sono completamente perso ...
Dato che un tempo mi dilettavo con le stelle, ogni tanto tornava la voglia di cimentarmi con il calcolo di angoli e traiettorie ma non avendo neppure le basi ... e ormai neanche la voglia ... mi consolo con le foto fatte da un mio amico carissimo (lui una meridiana l'ha costruita veramente )[/ot]

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@Erasmus
[ot]Comunque, giusto per sfizio, ho fatto qualche conto e sperando che siano giusti, il raggio della sfera circoscritta a quel tetraedro viene circa $r~=73,5$[/ot]

[orsoulx]

Mi pare che nessuno abbia fornito una soluzione idonea ad una "gara a squadre" per l'esercizio (a).
Cosa capita con n=8 nell'intorno sinistro di 1? A parte l'uso sbarazzino dei grafici (dovrebbero essere tracciati a mano libera e senza calcolatrice).

Giammaria esamina la derivata prima, che in 1 vale 0 e, quindi, non è dirimente.
Dan95 sostiene che $ x^(7x)=x$.
Erasmus dimentica il $ delta $ all'esponente

Ho provato a sviluppare in serie di Taylor, come ovvio funziona, ma son certo che non riuscirei mai ad arrivare al risultato corretto nell'ambiente di una gara. Boh!
Ciao

[dan952]

@orsoulx

Mai contraddire un neolaureato in matematica quindi leggi bene... io non sostengo quello che hai detto tu

[orsoulx]

@dan95
perdonami, avevo letto le 'soluzioni' da qualche giorno e mi sono, imprudentemente, fidato della mia memoria. Prometto di non farlo più.
E per n=8?
Complimenti per il traguardo (triennale o specialistica?), però io sono arrivato prima, sfruttando il vantaggio che mi hai dato alla partenza.
Ciao

[giammaria2]

@ orsoulx
Scusami, ma non ti capisco.

Scrivi "Giammaria esamina la derivata prima, che in 1 vale 0 e, quindi, non è dirimente". i miei calcoli sono:
curva 1) $y'(1)= 7*1^7(ln1+1)=7$
curva 2) $y'(1)=n*1^(n-1)-1=n-1$
Nessuna delle due derivate vale zero ed i due valori sono diversi (con valori uguali non sarebbe dirimente).

Con $x=0$, la derivata della curva 1 non esiste ma tende a $-oo$; quella della curva 2 vale $-1$ per $n>1$. Per $n=1$ la curva 2 diventa $y=1$ e la tesi è dimostrata.

[orsoulx]

"giammaria":...ed i due valori sono diversi...

Quando $ n=8 $ non noto differenze fra $ 7 $ ed $n-1 $. Tu si?
Ciao

[giammaria2]

La mia risposta mirava proprio ad ottenere $n<=8$; non era un numero che figurasse fra i dati.
D'accordo, avrei fatto meglio a scrivere che i due risultati non sono la stessa cosa (dato che uno dipende da $n$ e l'altro no).
Ciao anche a te.

[orsoulx]

@Giammaria
Dico che che dal tuo primo intervento si ricava che, usando solo la derivata prima, non si può stabilire se, con $ n=8 $, la condizione assegnata risulta verificata (almeno in un intorno sinistro di 1, tralasciando quel che succede da altre parti).
Sostieni che non mi capisci e ribadisci il medesimo concetto.
Come avrebbe potuto la squadra concorrente rispondere con $ 0008 $ a questo quesito con sicurezza?? Io non lo so e mi piacerebbe saperlo.
Ciao

[dan952]

@orsoulx
La triennale con mezzo anno di ritardo e un voto bassino se rapportato al mio potenziale ma mi rifarò alla magistrale (della serie: "è bravo ma non si applica")

Per risolvere l'esercizio 1 mi resta da dimostrare che

$x^x \leq x^2-x+1$ in [0,1] fatto ciò infatti basta iterare la disuguaglianza tenendo conto che
$$(x^2-x+1)(x^n-x+1) \leq x^{n+1}-x+1$$
Infatti $(x^2-x+1)(x^n-x+1) - x^{n+1}+x-1=(x^n-x)(x-1)^2 \leq 0$. Si giunge quindi alla disuguaglianza
$$x^{7x} \leq x^8-x+1$$

Ora l'ho buttata lì ma appena dimostro la prima disuguaglianza spiego meglio. In sostanza quello che ho voluto dimostrare (per induzione) è che per ogni $n$ naturale

$$x^{nx} \leq x^{n+1}-x+1$$

Però manca il caso base...