Varie disequazioni algebriche
Si abbia la seguente disequazione letterale: $(a-x)/b<=(b-x)/a$ e siano i parametri $a
Ho svolto tutti i calcoli necessari per giungere allo soluzione. La parte dei calcoli è corretta, ma c'è un piccolo problema col verso della disequazione.
Al primo passaggio, quando porto ambo i membri al denominatore comune $ab$, devo cambiare il verso della disequazione? E perché?
Ho svolto tutti i calcoli necessari per giungere allo soluzione. La parte dei calcoli è corretta, ma c'è un piccolo problema col verso della disequazione.
Al primo passaggio, quando porto ambo i membri al denominatore comune $ab$, devo cambiare il verso della disequazione? E perché?
Risposte
Sì.
Perché vuoi complicarti la vita? I due membri sono entrambi positivi (o nulli), quindi puoi elevare a quadrato ottenendo $5+4x>(3+2x)^2$. La condizione di realtà è inutile perché il radicando è maggiore di un quadrato, quindi ti basta risolvere la disequazione ottenuta.
si giammaria, così è sicuramente più veloce. tu vedi la disequazione come qualcosa di vero, da cui pioi ricavare delle informazioni sui membri. io invece devo sempre controllsre di tutto e di piu. penso dovrò esercitarmi in questo senso. grazie!!
Matematici, ho un enorme problema: [tex]\sqrt{1-x}<1+|3x|[/tex]. Sono indeciso se intraprendere la strada dello studio del modulo e poi dei sistemi e poi dell'intersezione e unione delle soluzioni oppure quella suggeritami da giammaria. La prima è più lunga e macchinosa ma la padroneggio e so di certo che arriverò alla soluzione giusta, la seconda è più rischiosa, anche se molto più abile. Ma penso dovrò solo esercitarmi un po'.
Faccio vedere i passaggi:
1) Elevo tutto al quadrato perché i due membri sono positivi: [tex]1-x<1+9x^2+6x[/tex].
2) Svolgo un po' di calcoletti vari: [tex]9x^2+7x>0[/tex]
3) Do la soluzione: [tex]x<-\frac{7}{3} V x>0[/tex]. Soluzione sbagliata. Dov'è l'errore?
Faccio vedere i passaggi:
1) Elevo tutto al quadrato perché i due membri sono positivi: [tex]1-x<1+9x^2+6x[/tex].
2) Svolgo un po' di calcoletti vari: [tex]9x^2+7x>0[/tex]
3) Do la soluzione: [tex]x<-\frac{7}{3} V x>0[/tex]. Soluzione sbagliata. Dov'è l'errore?
Un primo errore sta nel fatto che nello sviluppare il quadrato di [tex]1+\lvert 3x \rvert[/tex] hai fatto scomparire erroneamente il modulo dal doppio prodotto; un secondo errore sta nel fatto che la disequazione che ne viene presenta l'ex-radicando minore e non maggiore (od uguale) allo sviluppo del binomio [tex]1+\lvert 3x \rvert[/tex], quindi avrai necessità di controllare le condizioni sul radicale.
OK, grazie per le correzioni WiZzz. Penso che per ora sia meglio il percorso lungo, ma devo esercitarmi per prendere confidenza anche con questo.
Fai tu: quando vuoi la comunità è qui.
"WiZaRd":
Fai tu: quando vuoi la comunità è qui.
Scusa WiZaRd, posso chiederti come si fanno in latex i segni della congiunzione e disgiunzione logica?
"Tacito":
Matematici, ho un enorme problema: [tex]\sqrt{1-x}<1+|3x|[/tex]. Sono indeciso se intraprendere la strada dello studio del modulo e poi dei sistemi e poi dell'intersezione e unione delle soluzioni oppure quella suggeritami da giammaria. La prima è più lunga e macchinosa ma la padroneggio e so di certo che arriverò alla soluzione giusta, la seconda è più rischiosa, anche se molto più abile. Ma penso dovrò solo esercitarmi un po'.
Faccio vedere i passaggi:
1) Elevo tutto al quadrato perché i due membri sono positivi: [tex]1-x<1+9x^2+6x[/tex].
2) Svolgo un po' di calcoletti vari: [tex]9x^2+7x>0[/tex]
3) Do la soluzione: [tex]x<-\frac{7}{3} V x>0[/tex]. Soluzione sbagliata. Dov'è l'errore?
nel frattempo ti sono venuti tanti suggerimenti.
facendo semplicemente i due casi ed elevando al quadrato, non ti si complica molto, anzi ...
questo [tex]1-x<1+9x^2+6x[/tex] va a sistema con $x>=0$, mentre [tex]1-x<1+9x^2-6x[/tex] va a sistema con $x<0$
hai completato nel frattempo, vero?
"adaBTTLS":
[quote="Tacito"]Matematici, ho un enorme problema: [tex]\sqrt{1-x}<1+|3x|[/tex]. Sono indeciso se intraprendere la strada dello studio del modulo e poi dei sistemi e poi dell'intersezione e unione delle soluzioni oppure quella suggeritami da giammaria. La prima è più lunga e macchinosa ma la padroneggio e so di certo che arriverò alla soluzione giusta, la seconda è più rischiosa, anche se molto più abile. Ma penso dovrò solo esercitarmi un po'.
Faccio vedere i passaggi:
1) Elevo tutto al quadrato perché i due membri sono positivi: [tex]1-x<1+9x^2+6x[/tex].
2) Svolgo un po' di calcoletti vari: [tex]9x^2+7x>0[/tex]
3) Do la soluzione: [tex]x<-\frac{7}{3} V x>0[/tex]. Soluzione sbagliata. Dov'è l'errore?
nel frattempo ti sono venuti tanti suggerimenti.
facendo semplicemente i due casi ed elevando al quadrato, non ti si complica molto, anzi ...
questo [tex]1-x<1+9x^2+6x[/tex] va a sistema con $x>=0$, mentre [tex]1-x<1+9x^2-6x[/tex] va a sistema con $x<0$
hai completato nel frattempo, vero?[/quote]
Sì, sono arrivato alla soluzione [tex]x<0 V 0
Qui ad esempio: [tex]\sqrt{|x^2-1|}<|x-3|[/tex]. Non so come fare quel percorso più veloce. Le condizioni non ci sono. Eleverei tutto al quadrato ma non sono sicuro di come diventerebbe il secondo membro 
qui non ci sono problemi (è tutto il modulo da elevare, non c'è come prima il modulo in un monomio, e da elevare era un binomio...)
Sì ma prima non era come se ci fosse tutto il modulo da elevare? Non è [tex]1+|3x|=|1+3x|[/tex]?
no, se prendi un qualsiasi valore di $x<0$, vedi che non è la stessa cosa, ma $1+|3x|>|1+3x|$
Oddio che figura!
Giusto giusto giusto, che castroneria che ho sparato, vergogna
Giusto giusto giusto, che castroneria che ho sparato, vergogna
non ti preoccupare, ne diciamo tante noi di sciocchezze ... se le paragoniamo all'età e all'esperienza nel campo, queste si mimetizzano benissimo!
Si abbia questa disequazione: $sqrt((|x-2|+2x-3)/(x-4))>1$.
Primo passaggio: ${(x>=2),(sqrt((3x-5)/(x-4))>1):} uuu {(x<2),(sqrt((x-1)/(x-4))>1):}$, giusto?
Primo passaggio: ${(x>=2),(sqrt((3x-5)/(x-4))>1):} uuu {(x<2),(sqrt((x-1)/(x-4))>1):}$, giusto?
OK
Prosegui
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OK.
Secondo step: risolvo prima $sqrt((3x-5)/(x-4))>1$. C.E.: $x in {x|(3x-5)/(x-4)>=0, x!=4}$, cioè $x<=5/3 vv x>4$. Ora ci si imbroglia con i sistemi. Calma. E' una disequazione nella forma $sqrt(f(x))>g(x)$, che si risolverebbe con l'unione di due sistemi, MA in questo caso $g(x)$ è un intero, quindi devo svolgere solo una disequazione fratta: $(3x-5)/(x-4)>1 hArr (2x-1)/(x-4)>0 hArr x in (-oo, 1/2) uuu x in (4, +oo)$. E ora questa è soluzione di cosa? 
Aaaah di niente perché devo intersecarle alle C.A.: $[(-oo, 1/2) uuu (4, +oo)] nnn {(-oo, 5/3] uuu (4, +oo)}=(-oo, 1/2) uuu (4, +oo)$.....e queste sono le soluzioni di....della disequazione irrazionale del primo sistema. Per risolvere quest'ultimo, devo intersecarle con $x>=2$: le soluzioni del primo sistema sono: $x>4$, giusto??
Secondo step: risolvo prima $sqrt((3x-5)/(x-4))>1$. C.E.: $x in {x|(3x-5)/(x-4)>=0, x!=4}$, cioè $x<=5/3 vv x>4$. Ora ci si imbroglia con i sistemi
. Calma. E' una disequazione nella forma $sqrt(f(x))>g(x)$, che si risolverebbe con l'unione di due sistemi, MA in questo caso $g(x)$ è un intero, quindi devo svolgere solo una disequazione fratta: $(3x-5)/(x-4)>1 hArr (2x-1)/(x-4)>0 hArr x in (-oo, 1/2) uuu x in (4, +oo)$. E ora questa è soluzione di cosa? Aaaah di niente perché devo intersecarle alle C.A.: $[(-oo, 1/2) uuu (4, +oo)] nnn {(-oo, 5/3] uuu (4, +oo)}=(-oo, 1/2) uuu (4, +oo)$.....e queste sono le soluzioni di....della disequazione irrazionale del primo sistema. Per risolvere quest'ultimo, devo intersecarle con $x>=2$: le soluzioni del primo sistema sono: $x>4$, giusto??
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