Varie disequazioni algebriche

[Tacito1]

Si abbia la seguente disequazione letterale: $(a-x)/b<=(b-x)/a$ e siano i parametri $a
Ho svolto tutti i calcoli necessari per giungere allo soluzione. La parte dei calcoli è corretta, ma c'è un piccolo problema col verso della disequazione.
Al primo passaggio, quando porto ambo i membri al denominatore comune $ab$, devo cambiare il verso della disequazione? E perché?

[*v.tondi]

Un consiglio:
$(a-x)/b<=(b-x)/a$
$(a-x)/b-(b-x)/a<=0$
$(a(a-x)-b(b-x))/(ab)<=0$
$(a^2-ax-b^2+bx)/(ab)<=0$
$((a-b)(a+b)-x(a-b))/(ab)<=0$
$((a-b)(a+b-x))/(ab)<=0$. Adesso è più facile?

[Tacito1]

Ok, grazie. Sì, effetivamente così è più facile anche gestire il verso. Ma se io volessi fare il ragionamento iniziale che ho scritto nel primo post, dovrei cambiare il verso della disequazione?

[@melia]

No perché per trasformare $(a-x)/b<=(b-x)/a$ in $(a^2-ax)/(ab)<=(b^2-bx)/(ab)$ hai moltiplicato numeratore e denominatore per uno stesso numero e quindi non hai modificato il segno delle due frazioni. Se poi vuoi mandare via il denominatore puoi farlo semplicemente perché il prodotto tra due fattori negativi è positivo.

[Tacito1]

"@melia":per trasformare $(a-x)/b<=(b-x)/a$ in $(a^2-ax)/(ab)<=(b^2-bx)/(ab)$ hai moltiplicato numeratore e denominatore per uno stesso numero

Ecco, è questo il punto cruciale. Mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua. Qui in pratica non c'entra molto la disequazione, perché è una modifica che faccio alle singole frazioni a prescindere dal fatto che siano membri di una disequazione? Ho semplicemente applicato la proprietà invariantiva a due semplici frazioni distinte?

[*v.tondi]

Considera che stai moltiplicando per un numero positivo e quindi non devi cambiare il verso della disequazione. Infatti dalle condizioni iniziali sai che $a

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[@melia]

"Tacito":Ho semplicemente applicato la proprietà invariantiva a due semplici frazioni distinte?

Giusto.

[Tacito1]

Ok, grazie ad entrambi. Proverò a farne altre e se ho problemi posterò

[giammaria2]

Un suggerimento piccolo-piccolo: la nostra mente tende a pensare che le lettere indichino numeri positivi e questo rende abbastanza probabili gli errori in caso contrario. Un modo per ovviarvi è una sostituzione con numeri positivi: nel tuo caso $a=-a_1$ e $b=-b_1$; la disequazione diventava $(a_1+x)/(b_1)<=(b_1+x)/(a_1)$. A conti ultimati, torni alle vecchie variabili.

[Tacito1]

Grazie per il suggerimento, giammaria, effettivamente si semplificava un po' la questione.

Procedo con un'ulteriore disequazione letterale: [tex]\frac{x}{a}+\frac{a}{b}>\frac{b}{a}-\frac{x}{b}[/tex], essendo [tex]a>0, b<0[/tex].
Arrivo alla F.N.: [tex]x(b+a)<(b+a)(b-a)[/tex], che è corretta. Ora però ho dei dubbi per quanto concerne la discussione. Per arrivare alla F.N. ho dovuto cambiare il verso della disequazione in quanto il denominatore comune [tex]ab[/tex], risultava negativo. Detto questo, devo occuparmi del segno del coefficiente dell'incognita. Io opererei in questo modo:

- [tex]|a|=|b| \Longrightarrow S=\emptyset[/tex];
- [tex]|a|>|b| \Longrightarrow S=]b-a, +\infty[[/tex];
- [tex]|a|<|b| \Longrightarrow S=]-\infty, b-a[[/tex].

Vorrei sapere se è giusto discutere così o meno.

[@melia]

La forma è corretta ma io avrei lasciato perdere i valori assoluti e avrei scritto, molto più banalmente:
Se $b+a>0 => S=]-\infty, b-a[$
Se $b+a<0 => S=]b-a, +\infty[$
Se $b=-a => S=\emptyset$

[Tacito1]

Ah ok, sono le soluzioni scritte come fa il mio testo.
Quindi è giusto anche come ho discussio io, giusto?

[@melia]

È giusto, ma dovresti aggiungere le condizioni iniziali: $a>0$ e $b<0$, altrimenti sembrano sbagliate, infatti in un primo momento leggendo solo il tuo ultimo intervento le avevo considerate tali, poi ho guardato meglio e ho visto che sono corrette.

[Tacito1]

Ah sìsìsì, giusto, non ci avevo pensato

[Tacito1]

Una cosettina piccola piccola: svolgendo la discussione di una disequazione di secondo grado, ho dovuto scrivere: $a^2+2>0 "per" AAa in RR$. La mia professoressa - ormai, ahimé, ex-professoressa - ha sempre detto che è necessario specificare sempre $in RR$. Ma perché? Io, oltre ad $RR$, so dell'esistenza di $CC$: $a^2+2>0$, non vale per i numeri complessi?

[@melia]

"Tacito": Io, oltre ad $RR$, so dell'esistenza di $CC$: $a^2+2>0$, non vale per i numeri complessi?

No, i numeri complessi non sono ordinati, quindi non si possono eseguire disequazioni in $CC$.

[Tacito1]

"@melia":
No, i numeri complessi non sono ordinati, quindi non si possono eseguire disequazioni in $CC$.

Ah, wow, non me l'aspettavo questa
Pensandoci, è proprio bello poter parlare di matematica in internet, gratuitamente, con degli esperti come gli utenti di questo forum, che aiutano gli studenti in difficoltà solo per il gusto di farlo, solo perché sono realmente appassionati, non per soldi! Veramente bello , grazie @melia!

[giammaria2]

@melia, così dai torto alla professoressa, che invece ha in parte ragione. Se $a$ fosse un numero puramente immaginario la disequazione avrebbe senso, poiché $a^2$ sarebbe reale: diventa quindi necessario dire che $a in RR$.

[Tacito1]

"giammaria":@melia, così dai torto alla professoressa, che invece ha in parte ragione. Se $a$ fosse un numero puramente immaginario la disequazione avrebbe senso, poiché $a^2$ sarebbe reale: diventa quindi necessario dire che $a in RR$.

Ma i numeri immaginari sono i numeri complessi?

[@melia]

Ogni numero complesso è formato da due parte, quella reale e quella immaginaria, il numero $5-7i$ ha $5$ come parte reale e $-7$ come coefficiente dell'immaginario.
All'interno dell'insieme dei numeri complessi ci sono due sottoinsiemi notevoli che sono
- quello in cui i coefficienti dell'immaginario sono nulli, si chiamano numeri reali
- quelli in cui è nulla la parte reale, si chiamano numeri immaginari

[Tacito1]

Quindi $RR sub CC$? o.o