Sistema lineare 3x3
Dato il sistema, ho provato a calcolare i ranghi delle corrispondenti matrici e quindi a determinare la tipologia di sistema. C'è pero' qualche errore! Sapete dirmi dove?
$ { (2x+ay+bz=0 ),( y+3z=1 ),( 2x+(a+1)y+(b+3)z=1 ):} $
|A| (incompleta) = 0 e poichè esiste un minore a det. $ != $ 0 -> r(A)=2
|B| (completa)= |O1|=0 e |O2|=>a=0
Se a=0 lo sostituiamo nell'incompleta verifichiamo che det.A=0
Infine a=0->r(a)=r(b)=2 sistema possibile indeterminato;
a$ != $0 r(A)=2 e r(B)=3 quindi sist. impossibile.
Grazie infinite
$ { (2x+ay+bz=0 ),( y+3z=1 ),( 2x+(a+1)y+(b+3)z=1 ):} $
|A| (incompleta) = 0 e poichè esiste un minore a det. $ != $ 0 -> r(A)=2
|B| (completa)= |O1|=0 e |O2|=>a=0
Se a=0 lo sostituiamo nell'incompleta verifichiamo che det.A=0
Infine a=0->r(a)=r(b)=2 sistema possibile indeterminato;
a$ != $0 r(A)=2 e r(B)=3 quindi sist. impossibile.
Grazie infinite
Risposte
La terza riga è la somma delle altre due, quindi può essere eliminata subito. Resta
${ (2x+ay+bz=0 ),( y+3z=1 ):}$, qui il rango dell'incompleta e quello della completa sono entrambi 2, basta prendere la matrice dei coefficienti di x e y
$|(2,a),(0,1)| !=0$
Il sistema risulta sempre indeterminato con $oo^1$ soluzioni
${ (2x+ay+bz=0 ),( y+3z=1 ):}$, qui il rango dell'incompleta e quello della completa sono entrambi 2, basta prendere la matrice dei coefficienti di x e y
$|(2,a),(0,1)| !=0$
Il sistema risulta sempre indeterminato con $oo^1$ soluzioni
"@melia":
La terza riga è la somma delle altre due, quindi può essere eliminata subito. Resta
${ (2x+ay+bz=0 ),( y+3z=1 ):}$, qui il rango dell'incompleta e quello della completa sono entrambi 2, basta prendere la matrice dei coefficienti di x e y
$|(2,a),(0,1)| !=0$
Il sistema risulta sempre indeterminato con $oo^1$ soluzioni
Ok perfetto! Ma qualora io non mi fossi accorta della possibilità di applicazione della proprietà, e avessi risolto come succitato, perché avrei sbagliato? Perché solo a=0mi annulla l orlato, rendendo il det della completa di rango 3 anziché 2( come è giusto che sia)?
Errore di calcolo? Non vedo altra possibilità. Mica mi ero accorta subito che la terza riga fosse la somma delle prime due, me ne sono accorta calcolando il rango della completa che mi veniva sempre 2 e ... mi gridava "La terza riga è combinazione lineare delle prime due".
"@melia":
Errore di calcolo? Non vedo altra possibilità. Mica mi ero accorta subito che la terza riga fosse la somma delle prime due, me ne sono accorta calcolando il rango della completa che mi veniva sempre 2 e ... mi gridava "La terza riga è combinazione lineare delle prime due".
grazie x il trucco!Fiú! Mi ero preoccupata pensando fosse un errore di fondo perché nn avevo ancora ben capito l'argomento...
Ma i dubbi non mancano mai! Qui come dovrei dimostrare invece che le soluzioni del sistema sottostante sono {3/2-z;2z;z} : z appartiene ai reali , se lambda=0? Sostituendo mi risulta solo x.. che sto combinando??
"Myriam92":
[quote="Myriam92"][quote="@melia"]Errore di calcolo? Non vedo altra possibilità. Mica mi ero accorta subito che la terza riga fosse la somma delle prime due, me ne sono accorta calcolando il rango della completa che mi veniva sempre 2 e ... mi gridava "La terza riga è combinazione lineare delle prime due".
grazie x il trucco!Fiú! Mi ero preoccupata pensando fosse un errore di fondo perché nn avevo ancora ben capito l'argomento...
Ma i dubbi non mancano mai! Qui come dovrei dimostrare invece che le soluzioni del sistema sottostante sono {3/2-z;2z;z} : z appartiene ai reali , se lambda=0? Sostituendo mi risulta solo x.. che sto combinando??[/quote][/quote]
{ ( x+lambday+z=1/2\cdot3-lambda ),( lambda x-y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):}
non capisco... non mi fuziona il formulario
Basta mettere il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine della formula.
È questo?${ ( x+lambday+z=1/2\cdot3-lambda ),( lambda x-y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):}$
oppure è quest'altro?${ ( x+lambday+z=1/2\cdot(3-lambda) ),( lambda x-y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):}$
È questo?${ ( x+lambday+z=1/2\cdot3-lambda ),( lambda x-y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):}$
oppure è quest'altro?${ ( x+lambday+z=1/2\cdot(3-lambda) ),( lambda x-y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):}$
Risolvendo il secondo dei due, che mi pare quello esatto, ottengo che il determinante dell'incompleta è $Delta=2lambda(1-lambda)$, quindi $Delta =0$ se $lambda=0 vv lambda=1$
Se $lambda=0 $ il sistema diventa $ { ( x+z=3/2 ),( -y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):} $ e, come vedi, la prima e la terza equazione sono uguali, quindi si tratta di sistema a due equazioni e tre incognite. Posto $z=z$ si ottengono $y=z$ e $x=3/2-z$
Se $lambda=1$ il sistema diventa $ { ( x+y+z=1 ),( x-y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):} $ e, come vedi, sommando le prime due equazioni ottieni il primo membro della terza, ma non il secondo, significa che il rango della completa è 3, mentre quello dell'incompleta è 2. Se non hai occhio per vedere immediatamente le combinazioni lineari puoi anche calcolarti un po' di determinanti, vedrai che almeno uno di quelli delle ridotte della completa è $!=0$, in questo caso il sistema è impossibile.
Se $lambda !=0 ^^ lambda !=1$ il sistema è determinato.
Se $lambda=0 $ il sistema diventa $ { ( x+z=3/2 ),( -y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):} $ e, come vedi, la prima e la terza equazione sono uguali, quindi si tratta di sistema a due equazioni e tre incognite. Posto $z=z$ si ottengono $y=z$ e $x=3/2-z$
Se $lambda=1$ il sistema diventa $ { ( x+y+z=1 ),( x-y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):} $ e, come vedi, sommando le prime due equazioni ottieni il primo membro della terza, ma non il secondo, significa che il rango della completa è 3, mentre quello dell'incompleta è 2. Se non hai occhio per vedere immediatamente le combinazioni lineari puoi anche calcolarti un po' di determinanti, vedrai che almeno uno di quelli delle ridotte della completa è $!=0$, in questo caso il sistema è impossibile.
Se $lambda !=0 ^^ lambda !=1$ il sistema è determinato.
"@melia":
Risolvendo il secondo dei due, che mi pare quello esatto, ottengo che il determinante dell'incompleta è $Delta=2lambda(1-lambda)$, quindi $Delta =0$ se $lambda=0 vv lambda=1$
Se $lambda=0 $ il sistema diventa $ { ( x+z=3/2 ),( -y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):} $ e, come vedi, la prima e la terza equazione sono uguali, quindi si tratta di sistema a due equazioni e tre incognite. Posto $z=z$ si ottengono $y=z$ e $x=3/2-z$
Se $lambda=1$ il sistema diventa $ { ( x+y+z=1 ),( x-y+z=0 ),( 2x+2z=3 ):} $ e, come vedi, sommando le prime due equazioni ottieni il primo membro della terza, ma non il secondo, significa che il rango della completa è 3, mentre quello dell'incompleta è 2. Se non hai occhio per vedere immediatamente le combinazioni lineari puoi anche calcolarti un po' di determinanti, vedrai che almeno uno di quelli delle ridotte della completa è $!=0$, in questo caso il sistema è impossibile.
Se $lambda !=0 ^^ lambda !=1$ il sistema è determinato.
Si, l'ha azzeccato il sistema!
Le soluzioni le posso scrivere come S=(3/2-z; y; z)? È ambiguo perché viene y=z e se pongo z=t verrebbe S=( 3/2-t; y; t)...Vanno bene lo stesso?!?
Cmq nel test a risp multipla ce ne era un'altra asserzione, che a sto punto deve essere falsa: se $lambda=-2$ allora il sistema è sempre possibile determinato. Io però la definirei parzialmente vera, visto che è sí un valore diverso da 0 e 1, ma non è l'unico che rende il sistema possibile e determinato. è corretto? Grazie mille
Le soluzioni si possono scrivere $S=(3/2-z, z, z)$ oppure $S=3/2-t, t, t)$, che non sono quelle che hai postato in originale dove il coefficiente della y era un 2.
"Se $lambda= -2$ allora il sistema è sempre possibile determinato", questa è assolutamente vera.
Diversa sarebbe stata la situazione se fosse stato scritto "Se il sistema è possibile determinato allora $lambda= -2$", che, come hai già osservato tu, è falsa.
"Se $lambda= -2$ allora il sistema è sempre possibile determinato", questa è assolutamente vera.
Diversa sarebbe stata la situazione se fosse stato scritto "Se il sistema è possibile determinato allora $lambda= -2$", che, come hai già osservato tu, è falsa.
"@melia":
Le soluzioni si possono scrivere $S=(3/2-z, z, z)$ oppure $S=3/2-t, t, t)$, che non sono quelle che hai postato in originale dove il coefficiente della y era un 2.
"Se $lambda= -2$ allora il sistema è sempre possibile determinato", questa è assolutamente vera.
Diversa sarebbe stata la situazione se fosse stato scritto "Se il sistema è possibile determinato allora $lambda= -2$", che, come hai già osservato tu, è falsa.
Forse ai tempi ho copiato scorrettamente, la vera doveva essere $S=(3/2-z, 2z, z)$ ma il 2z non esiste da nessuna parte:)
Invece per $lambda=2$ dovevo scrivere ma è lo stesso, dovrebbe essere necessariamente falsa visto che l'asserzione che ho inserito prima abbiamo dimostrato che è vera e di falsa ce ne è solo una. A meno che dovevo scrivere indeterminata tra le risposte e ho ricopiato di nuovo male
$ S=(3/2-z, 2z, z) $ è falsa. Le altre saranno vere.
"@melia":
$ S=(3/2-z, 2z, z) $ è falsa. Le altre saranno vere.
vorrei proprio darle ragione, ma che il prof abbia dato la prima come vera purtroppo ne sn certa! mi sa che è solo colpa mia......
Pero' di sistema ne ho un altro con un problema simile (lo so, non finiscono mai!!!)che le allego direttamente con testo, risposte e svolgimento
per me l'ultima è la vera, ma la penultima pare che lo sia pure x lo stesso ragionamento fatto in precedenza.
La prima è falsa. Per a = 1 la terna è l'unica soluzione.
La seconda è falsa. Per a = 4 il sistema è determinato.
La terza è pure falsa. Per a = -1 si annulla il determinante della incompletà, quindi può essere impossibile o indeterminato, ma non determinato.
La quarta è vera.
La quinta è falsa. A me viene impossibile non viene indeterminato.
La seconda è falsa. Per a = 4 il sistema è determinato.
La terza è pure falsa. Per a = -1 si annulla il determinante della incompletà, quindi può essere impossibile o indeterminato, ma non determinato.
La quarta è vera.
La quinta è falsa. A me viene impossibile non viene indeterminato.
"@melia":
La prima è falsa. Per a = 1 la terna è l'unica soluzione.
La seconda è falsa. Per a = 4 il sistema è determinato.
La terza è pure falsa. Per a = -1 si annulla il determinante della incompletà, quindi può essere impossibile o indeterminato, ma non determinato.
La quarta è vera.
La quinta è falsa. A me viene impossibile non viene indeterminato.
solito errore di calcolo, però un confronto aiuta tanto grazie! adesso passerei ad un ultimo (almeno per adesso xD) quesito piu teorico e chiudo con l'argomento. è il seguente:
$ A=( ( a , b , c ),( d , e , e ),( f , g , h) )
B= ( ( -a , c , b-2c ),( -d, f , e-2f ),( -g, i , h-2i ) ) $
Se |A^T|= $1/3$, quanto vale |3B|?
PS: essendo solo lettere in tal caso non saprei da dove iniziare! Gradirei i passaggi, nn ho nemmeno le opzioni di risposta. Grazie ancora
Sei sicura di aver scritto bene la matrice \( A \)?
Secondo me la matrice A e la seguente: $ A=( ( a , b , c ),( d , e , f ),( g , h, i ) ) $
In tal caso, ma solo in tal caso, per ottenere la matrice B si è cambiato di segno la prima colonna, poi è stata scambiata la seconda colonna con la terza e, infine, alla nuova terza colonna è stato aggiunto il doppio della seconda. Quali proprietà del determinante ti vengono in mente con ciascuno dei passaggi? Il problema è tutto lì.
In tal caso, ma solo in tal caso, per ottenere la matrice B si è cambiato di segno la prima colonna, poi è stata scambiata la seconda colonna con la terza e, infine, alla nuova terza colonna è stato aggiunto il doppio della seconda. Quali proprietà del determinante ti vengono in mente con ciascuno dei passaggi? Il problema è tutto lì.
"@melia":
Secondo me...
Ho pensato esattamente la stessa cosa, ecco perché ho chiesto.
Era chiaro, ma siccome Miryam fa spesso errori di testo degli esercizi, mi sono permessa di fare la correzione.
Sì, sì: il mio intervento era solo per sottolineare che avevo avuto la stessa tua idea, dato che non lo avevo scritto esplicitamente assieme alla domanda.
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