Sistema lineare 3x3
Dato il sistema, ho provato a calcolare i ranghi delle corrispondenti matrici e quindi a determinare la tipologia di sistema. C'è pero' qualche errore! Sapete dirmi dove?
$ { (2x+ay+bz=0 ),( y+3z=1 ),( 2x+(a+1)y+(b+3)z=1 ):} $
|A| (incompleta) = 0 e poichè esiste un minore a det. $ != $ 0 -> r(A)=2
|B| (completa)= |O1|=0 e |O2|=>a=0
Se a=0 lo sostituiamo nell'incompleta verifichiamo che det.A=0
Infine a=0->r(a)=r(b)=2 sistema possibile indeterminato;
a$ != $0 r(A)=2 e r(B)=3 quindi sist. impossibile.
Grazie infinite
$ { (2x+ay+bz=0 ),( y+3z=1 ),( 2x+(a+1)y+(b+3)z=1 ):} $
|A| (incompleta) = 0 e poichè esiste un minore a det. $ != $ 0 -> r(A)=2
|B| (completa)= |O1|=0 e |O2|=>a=0
Se a=0 lo sostituiamo nell'incompleta verifichiamo che det.A=0
Infine a=0->r(a)=r(b)=2 sistema possibile indeterminato;
a$ != $0 r(A)=2 e r(B)=3 quindi sist. impossibile.
Grazie infinite
Risposte
Scusate faccio sempre danni, sia con che senza forumulario...Meno male che siete sempre in grado anche di correggermi il testo!
Comunque l'unica cosa che riesco a dedurre è che forse A e B sono equivalenti? Quindi |3B|=|3A|=1....? Dagli argomenti visti nella teoria nn riesco ad aggiungere altro
sempre che |A|=|A^T| ma questo non l'ho visto nelle regole di teoria..... Ehm, come vedete non ci capisco granché...
Comunque l'unica cosa che riesco a dedurre è che forse A e B sono equivalenti? Quindi |3B|=|3A|=1....? Dagli argomenti visti nella teoria nn riesco ad aggiungere altro
sempre che |A|=|A^T| ma questo non l'ho visto nelle regole di teoria..... Ehm, come vedete non ci capisco granché...
Sì: le due matrici sono equivalenti. E sì: data una matrice \( A \) si ha che \( \displaystyle \det (A) = \det \left ( A^{T} \right ) \).
Posto ciò le proprietà dei determinanti che dovresti usare per risolvere l'esercizio sono le seguenti:
• se la matrice \( B \) si ottiene a partire dalla matrice \( A \) scambiando tra loro due righe o due colonne, allora \( \det (B) = - \det (A) \);
• se la matrice \( B \) si ottiene a partire dalla matrice \( A \) moltiplicando una riga o una colonna per \( k \), allora \( \det (B) = k \cdot \det (A) \);
• se la matrice \( B \) si ottiene a partire dalla matrice \( A \) sommando ad una riga (o ad una colonna) un multiplo di una riga (o di una colonna), allora \( \det (B) = \det (A) \).
Posto ciò le proprietà dei determinanti che dovresti usare per risolvere l'esercizio sono le seguenti:
• se la matrice \( B \) si ottiene a partire dalla matrice \( A \) scambiando tra loro due righe o due colonne, allora \( \det (B) = - \det (A) \);
• se la matrice \( B \) si ottiene a partire dalla matrice \( A \) moltiplicando una riga o una colonna per \( k \), allora \( \det (B) = k \cdot \det (A) \);
• se la matrice \( B \) si ottiene a partire dalla matrice \( A \) sommando ad una riga (o ad una colonna) un multiplo di una riga (o di una colonna), allora \( \det (B) = \det (A) \).
Risposta soddisfacente al 100%...
Grazie tante!
Grazie tante!
Però ancora non hai trovato la soluzione. Quanto vale \( \det ( 3B ) \)?
Io non lo so se Myriam92 sta ancora seguendo questo thread, in ogni caso \( \det (3B) = 9 \).
Scusate non ho potuto rispondere... Grazie mille!
Ho studiato questo sistema lineare
${ ( ax+y+z=0 ),( ax+y-z=a+1 ),( x+ay+0=2-a ):}$
E il rango della corrispondente matrice completa ( e pure dell incompleta ) dovrebbe essere 2 per $a=+-1$; e 3 per $a!=+-1$
La domanda è: per a=1 il sistema è indeterminato. Ok . Però è vero che la terna (1;0;-1) è una delle infinite soluzioni del sistema?
Io ho delle perplessità al riguardo, poiché 1 annulla il determinare della matrice corrispondente , motivo per cui le terne.in tal modo verrebbero tutte zero...
Grazie a chi mi aiuterà
${ ( ax+y+z=0 ),( ax+y-z=a+1 ),( x+ay+0=2-a ):}$
E il rango della corrispondente matrice completa ( e pure dell incompleta ) dovrebbe essere 2 per $a=+-1$; e 3 per $a!=+-1$
La domanda è: per a=1 il sistema è indeterminato. Ok . Però è vero che la terna (1;0;-1) è una delle infinite soluzioni del sistema?
Io ho delle perplessità al riguardo, poiché 1 annulla il determinare della matrice corrispondente , motivo per cui le terne.in tal modo verrebbero tutte zero...
Grazie a chi mi aiuterà
Confusione ... cosa c'entra $a=1$ con $x=1$ ?
Io so che per trovare le incognite, il determinante della.matrice deve essere.diverso.da.zero... in modo che qst valore divida i determinanti delle altre matrici ottenute dalle combinazioni delle altre colonne della stessa matrice completa...allora mi sbaglio ... ( O mi sarò espressa male, ma finora mi è tornato il conto in qst modo...)
quindi come faccio a trovare le infinite terne ?
quindi come faccio a trovare le infinite terne ?
Posta il calcolo che hai fatto (o che faresti) ...
In genere la domanda chiede di usare un valore che non annulla il det della matrice incompleta . Se qui mi avesse dato a=5 per esempio, la matrice avrebbe avuto determinante alfa.
Avrei poi cercato i determinanti della parte" restante" di matrice
$ { (+y+z=0 ),( +y-z=a+1 ),( +ay+0=2-a ):} $ (con incognite =1 )
...e le altre due combinazioni di colonne da cui avrei ottenuto gli altri due determinanti.
I tre determinanti totali, dividendoli per alfa mi avrebbero così consentito di ottenere le infinite terne ( rispettivamente x y z)
Ora vorrei una versione più decente della mia
Avrei poi cercato i determinanti della parte" restante" di matrice
$ { (+y+z=0 ),( +y-z=a+1 ),( +ay+0=2-a ):} $ (con incognite =1 )
...e le altre due combinazioni di colonne da cui avrei ottenuto gli altri due determinanti.
I tre determinanti totali, dividendoli per alfa mi avrebbero così consentito di ottenere le infinite terne ( rispettivamente x y z)
Ora vorrei una versione più decente della mia
Non ho compreso esattamente il tuo procedimento (per esempio non ho capito perché se $a=5$ sparisce la $x$ ... ), e premesso che non è necessario dare un valore preciso ad $a$ (e comunque qualsiasi valore tu dia ad $a$, diverso da $+-1$ ovviamente, funzionerà), potresti usare Cramer per trovare la terna "generale" (senza o con un valore di $a$ ...), non mi pare difficile da usare ... peraltro, lo sai che questa non è "roba mia" ... 
Invece hai detto bene xké quello di cui parlo io è Cramer!( Le incognite , x y z non le scrivo di solito ).
Su dimmi cosa faresti tu allora?
Su dimmi cosa faresti tu allora?
"Myriam92":
... ( Le incognite , x y z non le scrivo di solito ). ...
A me pare che manchi solo la $x$ ...
La matrice è questa ?
$((a,1,1),(a,1,-1),(1,a,0))$
Se sì, il determinante di questa è
$Delta=(a*1*0+1*(-1)*1+1*a*a)-(1*1*1+0*1*a+(-1)*a*a)=$
$Delta=(0-1+a^2)-(1+0-a^2)=2(a^2-1)=2(a+1)(a-1)$
(infatti si annulla per $a=+-1$ e questa è già una "mezza" conferma ...
)Adesso per trovare $z$, per esempio, sostituiamo alla colonna di $z$ la colonna dei termini noti ...
$((a,1,0),(a,1,a+1),(1,a,2-a))$
e calcoliamo il $Delta_z$ come prima ...
$Delta_z=(a*1*(2-a)+1*(a+1)*1+0*a*a)-(1*1*0+(2-a)*1*a+(a+1)*a*a)=$
$Delta_z=(2a-a^2+a+1+0)-(0+2a-a^2+a^3+a^2)==(-a^2+3a+1)-(a^3+2a)$
$Delta_z=-a^3-a^2+a+1=(a+1)-a^2(a+1)=(a+1)(1-a^2)=-(a-1)(a+1)^2$
da cui $z=Delta_z/Delta=[-(a-1)(a+1)^2]/[2(a+1)(a-1)]=-(a+1)/2$
Gli altri li fai tu però ...
Aaah le incognite (solo x) non l'avevo messa per farti vedere il determinante di quale delle tre matrici avrei calcolato...
Cmq è diverso dal mio, ma considerando che il mio approccio non lo avrei potuto usare mi arrangio... Ma per trovare la zeta, ad a cosa devo sostituire 1, o -1? Suppongo -1 sennò verrebbe 0... ( Ora lo so xke ho le soluzioni... Ma in condizioni normali come lo capisco ? )
Cmq è diverso dal mio, ma considerando che il mio approccio non lo avrei potuto usare mi arrangio... Ma per trovare la zeta, ad a cosa devo sostituire 1, o -1? Suppongo -1 sennò verrebbe 0... ( Ora lo so xke ho le soluzioni... Ma in condizioni normali come lo capisco ?
)
"Myriam92":
Cmq è diverso dal mio, ...
Cramer è così, che io sappia ... applicato sulla matrice originale ... mostra il tuo (domani
) così vediamo le differenze ..."Myriam92":
Ma per trovare la zeta, ad a cosa devo sostituire 1, o -1? Suppongo -1 sennò verrebbe 0... ( Ora lo so xke ho le soluzioni... Ma in condizioni normali come lo capisco ?
La $z$ è quella! Ad ogni valore di $a$ (ovviamente diverso da $+-1$) corrisponde un valore di $z$ ...
Quindi mi stai dicendo che la terna che ti ho proposto io all'inizio era sbagliata ??????
Cmq a me studiare e ripassare fa male , è ufficiale! Anziché chiarirli i dubbi, me ne sorgono di quelli mai sorti prima -_-"
Mi sono accorta che sostituendo a=-1 nella matrice completa , per calcolare il det del secondo orlato devo trovarlo su qst matrice necessariamente
$[ ( -1 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 3 ) ] $
Perché se lo calcolo su qst altra non si annulla:
$[ ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),(-1 , 0 , 3 ) ] $
Perché sono vincolata ad attenermi alla prima ?
Grazie!
Cmq a me studiare e ripassare fa male , è ufficiale! Anziché chiarirli i dubbi, me ne sorgono di quelli mai sorti prima -_-"
Mi sono accorta che sostituendo a=-1 nella matrice completa , per calcolare il det del secondo orlato devo trovarlo su qst matrice necessariamente
$[ ( -1 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 3 ) ] $
Perché se lo calcolo su qst altra non si annulla:
$[ ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),(-1 , 0 , 3 ) ] $
Perché sono vincolata ad attenermi alla prima ?
Grazie!
Ricapitoliamo
Abbiamo un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ${(ax+y+z=0),(ax+y-z=a+1),(x+ay=2-a):}$
Applichiamo Cramer ed otteniamo la soluzione $x=(a+4)/(2(a+1))$, $y=-(a^2-4a+1)/(2(a^2-1))$ e $z=-(a+1)/2$.
Tutto qui? Quasi ... quasi, perché applicando le regole di Cramer abbiamo diviso per il determinante della matrice dei coefficienti $Delta$, e come ben sappiamo, non si può dividere per zero perciò dobbiamo escludere quei valori di $a$ che annullino $Delta$; nel nostro caso sono $a=+-1$.
Questo significa che non ha nessun senso "usare" questi valori di $a$ per trovare le soluzioni puntuali del nostro sistema, chiaro?
Invece, per tutti gli altri valori di $a$, dato che il determinante $Delta$ non è nullo, come afferma il teorema avremo un'unica soluzione.
Dici che ne abbiamo più di una? Sbagliato ... ad ogni valore di $a$ (ovviamente diverso da $+-1$) corrisponde un diverso sistema con un'unica soluzione ... ok?
Viceversa, cosa succede quando $a$ assume quei valori? Il determinante è nullo quindi la soluzione non è unica: o ne avremo infinite o non ne avremo nessuna.
Per verificarlo, sostituiamo nel nostro sistema al posto di $a$, prima $+1$ e vediamo cosa accade e poi lo stesso con $-1$.
Risolviamo il sistema con $a=1$, ovviamente NON usando Cramer (per esempio con Gauss o sostituendo) e vediamo che è indeterminato con soluzione $x=1-t, y=t, z=-1$; mentre risolvendo quello con $a=-1$ risulta un sistema di impossibile risoluzione (cioè nessuna soluzione).
Cordialmente, Alex
Abbiamo un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ${(ax+y+z=0),(ax+y-z=a+1),(x+ay=2-a):}$
Applichiamo Cramer ed otteniamo la soluzione $x=(a+4)/(2(a+1))$, $y=-(a^2-4a+1)/(2(a^2-1))$ e $z=-(a+1)/2$.
Tutto qui? Quasi ... quasi, perché applicando le regole di Cramer abbiamo diviso per il determinante della matrice dei coefficienti $Delta$, e come ben sappiamo, non si può dividere per zero perciò dobbiamo escludere quei valori di $a$ che annullino $Delta$; nel nostro caso sono $a=+-1$.
Questo significa che non ha nessun senso "usare" questi valori di $a$ per trovare le soluzioni puntuali del nostro sistema, chiaro?
Invece, per tutti gli altri valori di $a$, dato che il determinante $Delta$ non è nullo, come afferma il teorema avremo un'unica soluzione.
Dici che ne abbiamo più di una? Sbagliato ... ad ogni valore di $a$ (ovviamente diverso da $+-1$) corrisponde un diverso sistema con un'unica soluzione ... ok?
Viceversa, cosa succede quando $a$ assume quei valori? Il determinante è nullo quindi la soluzione non è unica: o ne avremo infinite o non ne avremo nessuna.
Per verificarlo, sostituiamo nel nostro sistema al posto di $a$, prima $+1$ e vediamo cosa accade e poi lo stesso con $-1$.
Risolviamo il sistema con $a=1$, ovviamente NON usando Cramer (per esempio con Gauss o sostituendo) e vediamo che è indeterminato con soluzione $x=1-t, y=t, z=-1$; mentre risolvendo quello con $a=-1$ risulta un sistema di impossibile risoluzione (cioè nessuna soluzione).
Cordialmente, Alex
Prima cosa che mi viene in mente... Perché nn abbiamo subito sostituito senza usare Cramer? Visto che a me in tal caso serve solo verificare se le soluzioni sono quelle 
Poi che il sistema fosse indeterminato per a=1 , io lo vedo calcolando prima il det della matrice incompleta, e poi della completa , confrontando infine i loro ranghi. È solo che pensavo fossero entrambi 2 per $a=+-1$ invece mi sono sbagliata a quanto vedo...
Ma cmq tornando al discorso di ieri intanto, e dunque all'origine ... Nel trovare il determinante della completa perché non posso fare quella cosa che ti avevo chiesto ?
O forse... Questi orlati mi servono entrambi proprio perché uno non si annulla, e ciò mi fa dedurre che il rango della completa resta 3, quello dell' incompleta 2, ergo sistema impossibile ( come hai detto tu)?
Ma ciò significherebbe che nei 3x3 dovrei calcolare in casi come questi, ben 4 orlati totali e perderei un botto di tempo!!! Dimmi di no.... Per favore
Grazie:3
Poi che il sistema fosse indeterminato per a=1 , io lo vedo calcolando prima il det della matrice incompleta, e poi della completa , confrontando infine i loro ranghi. È solo che pensavo fossero entrambi 2 per $a=+-1$ invece mi sono sbagliata a quanto vedo...
Ma cmq tornando al discorso di ieri intanto, e dunque all'origine ... Nel trovare il determinante della completa perché non posso fare quella cosa che ti avevo chiesto ?
"Myriam92":
Mi sono accorta che sostituendo a=-1 nella matrice completa , per calcolare il det del secondo orlato devo trovarlo su qst matrice necessariamente$ [ ( -1 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 3 ) ] $
Perché, se invece lo calcolo su qst altra $ [ ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),(-1 , 0 , 3 ) ] $ non si annulla e quindi mi devo attenere per forza alla prima ?
O forse... Questi orlati mi servono entrambi proprio perché uno non si annulla, e ciò mi fa dedurre che il rango della completa resta 3, quello dell' incompleta 2, ergo sistema impossibile ( come hai detto tu)?
Ma ciò significherebbe che nei 3x3 dovrei calcolare in casi come questi, ben 4 orlati totali e perderei un botto di tempo!!! Dimmi di no.... Per favore
Grazie:3
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
... e io che ne so quello che devi fare tu? Quante volte ti ho detto di riportare il testo completo con le richieste?Perché ti ostini a perdere un sacco di tempo "dopo" quando basterebbe perderne "poco" prima?
Quindi non conoscendo la richiesta (il che potrebbe permetterti di ottimizzare le risorse usando un metodo piuttosto che un altro, se possibile ...) ho fatto delle operazioni "standard" (determinante matrice coefficienti, valori che eventualmente lo annullano, soluzioni con Cramer, sostituzione con valori che annullano il determinante per determinare se impossibile e/o indeterminato) ... inoltre fai conto che non sono un esperto ... (conosco solo l'orlo dei pantaloni ...
)Non so come hai ricavato né cosa siano quelle due matrici quindi non so che dirti, se non che ho agito diversamente da te, peraltro senza impiegarci più di tanto ...
Insomma, cosa devi trovare? Tutto? O un po' meno?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo