Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)
Non sto capendo perche' il seno e il coseno sono dati dalle seguenti:
$ senalpha= (AB)/(bar(CB)) $
$ cosalpha= (CA)/(bar(CB)) $
Ecco l'immagine della circonferenza:
$ senalpha= (AB)/(bar(CB)) $
$ cosalpha= (CA)/(bar(CB)) $
Ecco l'immagine della circonferenza:
Risposte
Qual è il problema? Come non detto, non appariva il testo!
Perchè i triangoli CHM e CAB sono simili. Prova a impostare le proporzioni e vedrai che risulta tutto.
PS. Nelle tue formule hai scritto $alpha$ ma credo ti riferissi all'angolo $gamma$...
PS. Nelle tue formule hai scritto $alpha$ ma credo ti riferissi all'angolo $gamma$...
Si mi riferivo a quello!
Adesso ti torna tutto? Cioè ti è chiaro come mai il seno e il coseno di $alpha$ possono essere espressi in quel modo?
"minomic":
Adesso ti torna tutto? Cioè ti è chiaro come mai il seno e il coseno di $alpha$ possono essere espressi in quel modo?
Ancora non riesco ad accettare tanto il perche'! Insomma, riesco perfettamente a replicare i passaggi, ma non mi spiego del perchè! Poi noto che utilizza gli archi associati per quanto riguarda l'angolo beta:
Ok. E' noto che il seno e il coseno di un angolo sono definiti in questo modo: presa una circonferenza centrata nell'origine e con raggio unitario si consideri il semiasse positivo delle $x$ come il primo lato dell'angolo e si fissi un secondo lato. In questo modo individuiamo l'angolo che nella tua immagine si chiama $gamma$. A questo punto si definisce $sin gamma = \bar{MH}, cos gamma = \bar{CH}$. Tutto ok fin qui? Bene, allora procediamo!
I triangoli CHM e CAB sono simili poichè hanno entrambi un angolo retto e l'angolo $gamma$ in comune. A questo punto impostiamo questa proporzione
$\bar{CH} : \bar{CM} = \bar{CA} : \bar{CB}$
ma abbiamo detto che $\bar{CH}=cos gamma$ e che il raggio $\bar{CM}$ della circonferenza è unitario, quindi la proporzione diventa
$cos gamma : 1 = \bar{CA} : \bar{CB}$.
Quindi per le regole delle proporzioni possiamo scrivere $cos gamma = \bar{CA}/\bar{CB}$.
Lo stesso discorso può essere ripetuto per il seno.
I triangoli CHM e CAB sono simili poichè hanno entrambi un angolo retto e l'angolo $gamma$ in comune. A questo punto impostiamo questa proporzione
$\bar{CH} : \bar{CM} = \bar{CA} : \bar{CB}$
ma abbiamo detto che $\bar{CH}=cos gamma$ e che il raggio $\bar{CM}$ della circonferenza è unitario, quindi la proporzione diventa
$cos gamma : 1 = \bar{CA} : \bar{CB}$.
Quindi per le regole delle proporzioni possiamo scrivere $cos gamma = \bar{CA}/\bar{CB}$.
Lo stesso discorso può essere ripetuto per il seno.
"minomic":
Ok. E' noto che il seno e il coseno di un angolo sono definiti in questo modo: presa una circonferenza centrata nell'origine e con raggio unitario si consideri il semiasse positivo delle $x$ come il primo lato dell'angolo e si fissi un secondo lato. In questo modo individuiamo l'angolo che nella tua immagine si chiama $gamma$. A questo punto si definisce $sin gamma = \bar{MH}, cos gamma = \bar{CH}$. Tutto ok fin qui? Bene, allora procediamo!
I triangoli CHM e CAB sono simili poichè hanno entrambi un angolo retto e l'angolo $gamma$ in comune. A questo punto impostiamo questa proporzione
$\bar{CH} : \bar{CM} = \bar{CA} : \bar{CB}$
ma abbiamo detto che $\bar{CH}=cos gamma$ e che il raggio $\bar{CM}$ della circonferenza è unitario, quindi la proporzione diventa
$cos gamma : 1 = \bar{CA} : \bar{CB}$.
Quindi per le regole delle proporzioni possiamo scrivere $cos gamma = \bar{CA}/\bar{CB}$.
Lo stesso discorso può essere ripetuto per il seno.
Devo farti i miei immensi complimenti perchè sei stato chiarissimo e bravo a farmi capire il perchè del mio dubbio! Ti ringrazio!
"Bad90":
Devo farti i miei immensi complimenti perchè sei stato chiarissimo e bravo a farmi capire il perchè del mio dubbio! Ti ringrazio!
Grazie a te dei complimenti!
Se hai altri dubbi non hai che da chiedere!
Ok, ti ringrazio!
Comunque per il $ sen alpha $ si ha:
$ bar(MH):bar(MO) = bar(BA) : bar(BC) $
$ sen gamma:1 = bar(BA) : bar(BC) $
$ sen gamma = bar(BA) /bar(BC) $
Comunque per il $ sen alpha $ si ha:
$ bar(MH):bar(MO) = bar(BA) : bar(BC) $
$ sen gamma:1 = bar(BA) : bar(BC) $
$ sen gamma = bar(BA) /bar(BC) $
Esatto. In questo modo hai anche dimostrato le importantissime relazioni che nei triangoli rettangoli legano cateti, ipotenuse, seni e coseni. Infatti $\bar{BA}$ è un cateto mentre $\bar{BC}$ è l'ipotenusa, quindi $\bar{BA}=\bar{BC}*sin gamma$ cioè cateto=ipotenusa*sin(angoloOpposto).
"minomic":
Se hai altri dubbi non hai che da chiedere!
Scusami, ma perchè si utilizzano gli archi associati per l'angolo $ beta $
E' per un fatto che mantiene i segni positivi dei seni e coseni
Insomma, se io decidessi di mettere il centro della circonferenza nel punto B, allora quel raggio si riporterebbe nel terzo quadrante e quindi con gli archi associati li riporto nel primo quadrante, vero?
Allora, intanto è chiaro che $beta=90° - gamma$, quindi se disegni l'angolo $beta$ nella circonferenza goniometrica (come abbiamo fatto fino ad ora con l'angolo $gamma$) ti accorgi che questo triangolo e il triangolo CAB sono ancora simili. Di fatto hai scambiato l'angolo adiacente con quello opposto, quindi è ragionevole pensare che si scambieranno il seno con il coseno.
In parole povere è sempre lo stesso triangolo, appoggiato prima su un cateto e poi sull'altro.
In parole povere è sempre lo stesso triangolo, appoggiato prima su un cateto e poi sull'altro.
Adesso sro facendo una grande confusione con questo:
Ecco il triangolo a cui si riferisce:
Ecco il triangolo a cui si riferisce:
Ok. Sappiamo che per definizione $tan beta= (sin beta)/(cos beta)$ ma per quanto abbiamo detto prima $sin beta = b/a$ e $cos beta = c/a$ (la storia dei cateti adiacenti o opposti). Giusto? Se hai capito questo allora ci siamo perchè
$tan beta=(sin beta)/(cos beta)=b/a*a/c=b/c$.
A questo punto conosciamo $tan beta$, quindi possiamo conoscere $beta$ con la funzione arcotangente (cioè l'inversa della tangente). Se conosciamo $beta$ ricaviamo subito $gamma=90°-beta$.
Vogliamo l'ipotenusa? Ci basterà fare $"cateto"/"sin angolo opposto"$ oppure $"cateto"/"cos angolo adiacente"$, che in questo caso significa $a=b/sin beta=b/cos gamma=c/sin gamma=c/cos beta$.
$tan beta=(sin beta)/(cos beta)=b/a*a/c=b/c$.
A questo punto conosciamo $tan beta$, quindi possiamo conoscere $beta$ con la funzione arcotangente (cioè l'inversa della tangente). Se conosciamo $beta$ ricaviamo subito $gamma=90°-beta$.
Vogliamo l'ipotenusa? Ci basterà fare $"cateto"/"sin angolo opposto"$ oppure $"cateto"/"cos angolo adiacente"$, che in questo caso significa $a=b/sin beta=b/cos gamma=c/sin gamma=c/cos beta$.
"minomic":
Ok. Sappiamo che per definizione $tan beta= (sin beta)/(cos beta)$ ma per quanto abbiamo detto prima $sin beta = b/a$ e $cos beta = c/a$ (la storia dei cateti adiacenti o opposti). Giusto? Se hai capito questo allora ci siamo perchè
$tan beta=(sin beta)/(cos beta)=b/a*a/c=b/c$.
A questo punto conosciamo $tan beta$, quindi possiamo conoscere $beta$ con la funzione arcotangente (cioè l'inversa della tangente). Se conosciamo $beta$ ricaviamo subito $gamma=90°-beta$.
Vogliamo l'ipotenusa? Ci basterà fare $"cateto"/"sin angolo opposto"$ oppure $"cateto"/"cos angolo adiacente"$, che in questo caso significa $a=b/sin beta=b/cos gamma=c/sin gamma=c/cos beta$.
Ho compreso perfettamente
"Bad90":
Ho compreso perfettamente
Ottimo!
Questo e' il caso due:
Questo forse è un po' più semplice di quello di prima: dalle solite formule sappiamo che se conosciamo $a$ e $c$ si trova subito $sin gamma=c/a$. Se conosciamo $sin gamma$ possiamo immediatamente risalire a $gamma$ grazie alla funzione arcoseno (attenzione alle soluzioni doppie!). Se conosciamo $gamma$ troviamo subito $beta=90°-gamma$.
A questo punto l'altro cateto si trova come $"ipotenusa"*"(sin angolo opposto)"$ oppure $"ipotenusa"*"(cos angolo adiacente)"$ cioè $b=a*cos gamma=a*sin beta$.
A questo punto l'altro cateto si trova come $"ipotenusa"*"(sin angolo opposto)"$ oppure $"ipotenusa"*"(cos angolo adiacente)"$ cioè $b=a*cos gamma=a*sin beta$.
Caso 3
Caso 4
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