Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

[Bad90]

Non sto capendo perche' il seno e il coseno sono dati dalle seguenti:

$ senalpha= (AB)/(bar(CB)) $

$ cosalpha= (CA)/(bar(CB)) $

Ecco l'immagine della circonferenza:

[minomic]

Forza, prova a capirli da solo. Inizia ad impostare il ragionamento (che è sempre lo stesso) e poi se non ci salti fuori lo riguardiamo insieme.

[Bad90]

"minomic":Forza, prova a capirli da solo. Inizia ad impostare il ragionamento (che è sempre lo stesso) e poi se non ci salti fuori lo riguardiamo insieme.

Ok, piu' tardi to faccio sapere!

[minomic]

"Bad90":[quote="minomic"]Forza, prova a capirli da solo. Inizia ad impostare il ragionamento (che è sempre lo stesso) e poi se non ci salti fuori lo riguardiamo insieme.

Ok, piu' tardi to faccio sapere! [/quote]
Non mi muovo!

[Bad90]

Scusate, ma perche' nel teorema della corda un lato e' uguale a $ 2R *sen alpha $ ? Insomma, il mio problema e' accettare il perche' moltiplicare proprio per il seno e non il coseno???????

[minomic]

"Bad90":Scusate, ma perche' nel teorema della corda un lato e' uguale a $ 2R *sen alpha $ ? Insomma, il mio problema e' accettare il perche' moltiplicare proprio per il seno e non il coseno???????

Hai provato a fare il disegno? Traccia una ciconferenza e una corda qualsiasi chiamata $\bar{AC}$, ora dal punto $A$ traccia il diametro $\bar{AB}$: in questo modo hai ottenuto due lati di un triangolo, che andrai a chiudere tracciando il segmento (che poi è un'altra corda) $\bar{BC}$. Per le note proprietà dei triangoli inscritti in una semicirconferenza si ha che il triangolo $ABC$ è sempre retto in $C$, quindi $\bar{AC}$ è un cateto e lo puoi ottenere come $"ipotenusa"*"sin(angoloOpposto)"$ ma l'ipotenusa è $\bar{AB}=2r$ e l'angolo opposto è $A \hat B C$ che è uno degli infiniti angoli alla circonferenza sottesi dalla corda $\bar{AC}$. Ci sarebbe da fare una precisazione tra gli angoli alla circonferenza acuti ed ottusi ma la troverai di sicuro anche sul libro. In conclusione abbiamo ottenuto che una corda è data dal prodotto del diametro per il seno dell'angolo alla circonferenza sotteso dalla corda \(\Box\).

[Bad90]

Ok, ma graficamente il seno esposto nella dimostrazione, non riesco a comprenderlo! Mi spiego, io so he il seno e' l'ordinata, bene, ma a quale ordinata si riferisce?

[minomic]

"Bad90":Ok, ma graficamente il seno esposto nella dimostrazione, non riesco a comprenderlo! Mi spiego, io so he il seno e' l'ordinata, bene, ma a quale ordinata si riferisce?

Dimentica questa cosa dell'ordinata (non dimenticarla troppo però ), serviva solo per dare la definizione formale della funzione seno. Adesso quello che conta sono le proprietà dei triangoli rettangoli che dicono che un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.

Potresti sempre disegnare una circonferenza goniometrica centrata in $B$ e ritrovarti con il solito discorso dei triangoli simili che avevamo visto prima ma tutto questo non si fa. Avevamo fatto la costruzione geometrica e le osservazioni sui triangoli simili per arrivare a un risultato generale, e cioè che un cateto è uguale prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto o il coseno dell'angolo adiacente. Ora che abbiamo questo risultato lo utilizziamo direttamente senza rifare ogni volta il discorso dall'inizio.

[giammaria2]

"Bad90": io so che il seno e' l'ordinata, bene, ma a quale ordinata si riferisce?

Puoi vedere il teorema nel modo che ti ha spiegato minomic, ma puoi anche basarti sulla tua frase che ho riportato. Con una precisazione: in realtà il seno è il rapporto fra l'ordinata ed il raggio e coincide con l'ordinata solo se $r=1$; nel nostro caso conviene però considerare un raggio generico.
Disegna ora nel solito modo un angolo acuto $alpha$, individuato dal punto A sulla circonferenza; chiama H la sua proiezione sull'asse principale e prolunga AH fino ad incontrare la circonferenza in B: AB è una corda e l'angolo al centro corrispondente è $2alpha$. Per definizione di seno hai
$sin alpha=(AH)/r$ e quindi $AH=rsinalpha$
e di conseguenza $AB=2AH=2rsinalpha$
In parole: "una corda è uguale al diametro per il seno del mezzo angolo al centro". Ma la metà dell'angolo al centro è uguale all'angolo alla circonferenza, quindi "una corda è uguale al diametro per il seno dell'angolo alla circonferenza".
Resta da considerare il caso in cui $alpha$ è ottuso e per questo anch'io ti rimando al tuo libro.

[Bad90]

Ok, adesso rivedo un po tutto!

[Bad90]

Allora, il teorema della corda sono riuscito ad accettarlo in quanto in aggiunta ho visto qualche tutorial oltre il mio testo, ecco quì:

http://www.youtube.com/watch?gl=IT&hl=i ... nomobile=1

Ho compreso anche i teoremi sui triangoli, solo che se li eseguo con carta e penna riesco a dimostrarli con una certa sequenza, ma se devo ricordare le formule a memoria, ancora faccio fatica! Ecco quì qualcosa che parla......

http://www.skuola.net/matematica/geomet ... -rett.html

[Bad90]

Esercizio 1

Ho risolto il primo esercizio:

Ma per l'angolo $ gamma $ non ho fatto calcoli in quanto ho dedotto che trattandosi di un triangolo rettangolo, se ho un angolo di 90 gradi e uno di 30, l'altro non potra' essere diverso di 60! Dite che ho fatto il furbetto oppure era il caso di fare cosi' senza troppi calcoli???

[Bad90]

Esercizio 2

Ma sapete che non ho idea da dove cominciare per risolvere questo?
Insomma, cosa mi dice quale formule sono idonee???

[minomic]

C'è una convenzione per quanto riguarda i triangoli rettangoli e le lettere: il vertice retto è $A$, mentre $B$ e $C$ li metti liberamente. I lati si indicano con la lettera minuscola uguale al vertice opposto, quindi l'ipotenusa è sempre opposta all'angolo retto e si indica con $a$, gli altri due cateti con $b$ e $c$. Gli angoli si indicano con la lettera greca corrispondente al vertice, quindi $B rarr beta$ e $C rarr gamma$. L'angolo retto non serve dato che è noto.
Riesci a risolverlo ora?

[Bad90]

E si, ma deduco che se ho un angolo di 90 gradi e poi uno di 45, allora l'altro non potrà essere che 45 gradi! Quindi non mi resta che dire che $ alpha = 90^o $, poi si che riesco a risolverlo utilizzando le seguenti:

$ sen gamma = c/a $ ; $ cos gamma = b/a $ ; $ tg gamma = b/c $

Comunque si, sono riuscito a risolvere il problema

[minomic]

Non ho capito se hai risolto il tuo problema...
Comunque posto un'immagine per chiarezza

[Bad90]

Esercizio 3

Ecco, con auesto mi sto impallando perche non sto riuscendo a capire quale angolo devo ricavarmi per primo, mi spiego:

Quello che sto facendo e' ricavarmi la $ tan gamma= b/c = sqrt3=> gamma = 60^o $

Ma perche il testo mi dice il risultato che e' la $ tan beta= b/c = sqrt3=> beta = 60^o $

[Caenorhabditis]

"Bad90":Esercizio 3

Ecco, con auesto mi sto impallando perche non sto riuscendo a capire quale angolo devo ricavarmi per primo, mi spiego:

Quello che sto facendo e' ricavarmi la $ tan gamma= b/c = sqrt3=> gamma = 60^o $

Ma perche il testo mi dice il risultato che e' la $ tan beta= b/c = sqrt3=> beta = 60^o $

$ gamma $ non dovrebbe essere la tangente inversa di $ c/b $ ?

[minomic]

"Caenorhabditis":$ gamma $ non dovrebbe essere la tangente inversa di $ c/b $ ?

Esatto: la relazione è $c = b*tan gamma$.

[Bad90]

"Caenorhabditis":
$ gamma $ non dovrebbe essere la tangente inversa di $ c/b $ ?

E perchè??? Insomma, adesso ho compreso il passaggio ma non riesco a capire il perchè non mi vengono in mente subito queste cose

[Caenorhabditis]

"Bad90":[quote="Caenorhabditis"]
$ gamma $ non dovrebbe essere la tangente inversa di $ c/b $ ?

E perchè???[/quote]
Perchè la tangente di $ gamma $ è il rapporto tra il suo seno e il suo coseno, quindi tra $ c $ e $ b $. Sapendo che $ tan gamma = c/b = sqrt(3)/3 $, devi trovare l'angolo la cui tangente è $ sqrt(3)/3 $, e l'operazione di tangente inversa serve proprio a questo.