Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)
Non sto capendo perche' il seno e il coseno sono dati dalle seguenti:
$ senalpha= (AB)/(bar(CB)) $
$ cosalpha= (CA)/(bar(CB)) $
Ecco l'immagine della circonferenza:
$ senalpha= (AB)/(bar(CB)) $
$ cosalpha= (CA)/(bar(CB)) $
Ecco l'immagine della circonferenza:
Risposte
"Caenorhabditis":
e l'operazione di tangente inversa serve proprio a questo.
Accipicchia, adesso ho compreso
Esercizio 4
Non sto riuscendo a capire questo:
Conoscendo quei cateti, posso ricavarmi la $ tg gamma $ , giusto???? Alla fine riesco a ricavare $ gamma = 15^o $ e so che $ alpha = 90^o $ e $ beta = 75^o $ , ma poi come faccio a ricavare $ a $
Non sto riuscendo a capire questo:
Conoscendo quei cateti, posso ricavarmi la $ tg gamma $ , giusto???? Alla fine riesco a ricavare $ gamma = 15^o $ e so che $ alpha = 90^o $ e $ beta = 75^o $ , ma poi come faccio a ricavare $ a $
Certo, basta fare il rapporto.
"minomic":
Certo, basta fare il rapporto.
Ok, ma come per $ a $
Se sappiamo che $c=a*sin gamma$ si potrà dire che $a=c/(sin gamma)$ oppure dall'altra formula si ricava $c/(cos beta)$ oppure...
Ma io stavo cercando di risolverlo in questo modo:
$ a= b/(cosgamma) $
Perche' in questo modo non funziona????
$ a= b/(cosgamma) $
Perche' in questo modo non funziona????
Certo che funziona... sbaglierai i calcoli: se li posti li controlliamo insieme. 
"minomic":\(\displaystyle \)
Certo che funziona... sbaglierai i calcoli: se li posti li controlliamo insieme.
Ok, allora:
$ a = b/(cos15^o) = (12)/((sqrt6-sqrt2)/4) $
$ 12*4/(sqrt6-sqrt2) = 48/(sqrt6-sqrt2) $
$ 48/(sqrt6-sqrt2)*((sqrt6+sqrt2))/((sqrt6+sqrt2)) = (48(sqrt6-sqrt2))/4 $
$ (48(sqrt6-sqrt2))/4 =12(sqrt6-sqrt2) $
Mentre il testo mi dice che deve essere $ a=4 $
Non capisco da dove vengano quel $12$ e quel $4$ nella prima riga... 
Ti posto i calcoli corretti:
$a = b/(cos 15°) = (sqrt6+sqrt2)/cos(45°-30°) = (sqrt6+sqrt2)/(sqrt2/2*sqrt3/2+sqrt2/2*1/2) = (sqrt2*(sqrt3+1))/(sqrt2/2*(sqrt3/2+1/2)) = (2*(sqrt3+1))/((sqrt3+1)/2) = 4$.
Ti posto i calcoli corretti:$a = b/(cos 15°) = (sqrt6+sqrt2)/cos(45°-30°) = (sqrt6+sqrt2)/(sqrt2/2*sqrt3/2+sqrt2/2*1/2) = (sqrt2*(sqrt3+1))/(sqrt2/2*(sqrt3/2+1/2)) = (2*(sqrt3+1))/((sqrt3+1)/2) = 4$.
"minomic":
Non capisco da dove vengano quel $12$ e quel $4$ nella prima riga...
$a = b/(cos 15°) = (sqrt6+sqrt2)/cos(45°-30°) = (sqrt6+sqrt2)/(sqrt2/2*sqrt3/2+sqrt2/2*1/2) = (sqrt2*(sqrt3+1))/(sqrt2/2*(sqrt3/2+1/2)) = (2*(sqrt3+1))/((sqrt3+1)/2) = 4$.
Accipicchia sono uno sbadato e la stanchezza comincia a fare brutti scherzi!
Scusami!
Ma al denominatore ho visto che hai usato gli archi associati, dici che conviene
Comunque ho compreso quando hai scritto questo:
$ cos(45°-30°) $
ma non ho capito i passaggi successivi del denominatore come e per quale regola li hai fatti:
$ (sqrt2/2*sqrt3/2+sqrt2/2*1/2) $
"Bad90":
Accipicchia sono uno sbadato e la stanchezza comincia a fare brutti scherzi!
Scusami!
Ma al denominatore ho visto che hai usato gli archi associati, dici che conviene
Tranquillo, capita!
A denominatore ho dovuto utilizzare le formule di sottrazione dato che $15°$ non è uno degli angoli notevoli per cui si conoscono i valori di seno e coseno (come ad esempio $30°$, $45°$, $60°$, ...) però può essere espresso come differenza di $45°$ e $30°$ dei quali si sa tutto. Stesso discorso si poteva fare per $75°$: non è notevole ma è la somma di $45°$ e $30°$.
Ho visto adesso che hai editato il post... rispondo subito: sono le formule di sottrazione del coseno. Se non le avete ancora fatte mi sa che in questo caso ti convenisse procedere con Pitagora...
"minomic":
Ho visto adesso che hai editato il post... rispondo subito: sono le formule di sottrazione del coseno. Se non le avete ancora fatte mi sa che in questo caso ti convenisse procedere con Pitagora...
Ma si che ho studiato le formule di addizione e sottrazione del seno e coseno, $ cos (alpha - beta) = cosalpha cosbeta + senalphasenbeta $
Adesso ho capito cosa hai fatto
Ho capito anche il perchè hai utilizzato questo artificio
, solo che il mio testo, nella sua tavola dei seni e coseni ...., mi da quell'angolo come notevole, cioè: $ sen 15^o = (sqrt6 - sqrt2)/4 $
ecc.. per il coseno e la tangente! Io infatti stavo facendo i calcoli con quei valori e poi finivo con non arrivare alla soluzione corretta! Ma la prossima volta utilizzerò il tuo stesso metodo!
"Bad90":
[quote="minomic"]Ho visto adesso che hai editato il post... rispondo subito: sono le formule di sottrazione del coseno. Se non le avete ancora fatte mi sa che in questo caso ti convenisse procedere con Pitagora...
Ma si che ho studiato le formule di addizione e sottrazione del seno e coseno, $ cos (alpha - beta) = cosalpha cosbeta + senalphasenbeta $
Adesso ho capito cosa hai fatto
[/quote]Ottimo!
"Bad90":
il mio testo, nella sua tavola dei seni e coseni ...., mi da quell'angolo come notevole, cioè:
$ sen 15^o = (sqrt6 - sqrt2)/4 $
ecc.. per il coseno e la tangente! Io infatti stavo facendo i calcoli con quei valori e poi finivo con non arrivare alla soluzione corretta! Ma la prossima volta utilizzerò il tuo stesso metodo!
Beh sono valori che io non ricordo mai a memoria e quindi li calcolo a partire da quelli più "famosi" (30, 45, 60, ...) ma si possono usare anche quelli. Alla fine il tuo problema era nei calcoli, e specialmente in quel $12$...
Esercizio 5
Adesso sto per iniziare questi esercizi:
Solo che non mi e' chiaro il metodo risolutivo! Se non ho compreso male, conviene iniziare con il teorema di Pitagora!
Adesso sto per iniziare questi esercizi:
Solo che non mi e' chiaro il metodo risolutivo! Se non ho compreso male, conviene iniziare con il teorema di Pitagora!
Si possono seguire due metodi:
1. con Pitagora trovi l'ipotenusa e procedi applicando le solite formule per trovare i seni e i coseni
2. dal rapporto tra i cateti trovi la tangente e poi applichi questa relazione (che dimostro) che ti permette di trovare il coseno partendo dalla tangente:
$sin^2 theta + cos^2 theta = 1 rarr$ divido per $cos^2 theta rarr$ $tan^2 theta + 1 = 1/(cos^2 theta)$ ed esplicito il coseno arrivando a
$cos theta = +-1/sqrt(tan^2 theta + 1)$.
Considerazioni: il metodo (1) è più facile ma ci saranno casi in cui conoscere la formula ricavata nel metodo (2) sarà essenziale.
1. con Pitagora trovi l'ipotenusa e procedi applicando le solite formule per trovare i seni e i coseni
2. dal rapporto tra i cateti trovi la tangente e poi applichi questa relazione (che dimostro) che ti permette di trovare il coseno partendo dalla tangente:
$sin^2 theta + cos^2 theta = 1 rarr$ divido per $cos^2 theta rarr$ $tan^2 theta + 1 = 1/(cos^2 theta)$ ed esplicito il coseno arrivando a
$cos theta = +-1/sqrt(tan^2 theta + 1)$.
Considerazioni: il metodo (1) è più facile ma ci saranno casi in cui conoscere la formula ricavata nel metodo (2) sarà essenziale.
Ok, ti ringrazio! Pian pianino memorizzerò tutte queste formule e procedure
Esercizio 6
Sto risolvendo questo tipo di esercizi, solo che spesso non mi sto trovando con il grado di precisione del mio testo:
Io per l'angolo Beta mi trovo $ 47^o 54' 9'' $, dite che sar' un problema di arrotondamenti????
Sto risolvendo questo tipo di esercizi, solo che spesso non mi sto trovando con il grado di precisione del mio testo:
Io per l'angolo Beta mi trovo $ 47^o 54' 9'' $, dite che sar' un problema di arrotondamenti????
Se nei calcoli hai tenuto tutte le cifre della calcolatrice, non è un problema di arrotondamenti. Ti scrivo i miei, riportando solo alcune di quelle cifre.
$sin beta=98.35/132.48=0,742376->beta=47.9342°$
$beta=47°+(0.9342*60)'=47°+56.05'=47°56'+(0.05*60)''=47°56'3''$
$sin beta=98.35/132.48=0,742376->beta=47.9342°$
$beta=47°+(0.9342*60)'=47°+56.05'=47°56'+(0.05*60)''=47°56'3''$
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