Relazioni binarie algebriche (2)
Vorrei riproporre un vecchio quesito (c'ho ragionato un po' meglio e vorrei verificare se riesco a "smentire" correttamente quanto detto 
)
$nRm hArr n<=m+3, AA m,n in NN$ con $NN(0,1....)$
il "mio" approccio per verificare la transitività di questa relazione sarà errato, visto che non utilizzo un terzo termine di confronto, venendo $nRm,mRn->nRn$ quindi transitiva (verificabile ponendo m=6 ed n=8).
Qui "qualcuno
" verrebbe a dirmi:
poniamo p=4 (come nel vecchio post) e smentiamo tutto!
e, ok... è vero! u.u
Secondo me pero', se noi usiamo il terzo elemento la situazione si complica, perchè tutto dipende da che valore assume p.
se $0<=p<3$ l' ipotesi sarà falsa quindi l'implicazione vera.
se $p>=3$ ipotesi vera ma implicazione falsa.
Conclusione: se è vero che la relazione non è transitiva, dovremmo prendere a riferimento questa seconda ipotesi, ergo la transitività è vero che non c'è , ma non è vero in modo assoluto. Se p la lasciassimo a casa potremmo evitare tutto ciò, ma dato che numericamente non lo stiamo potendo provare non è possibile!
In definitiva, io divento pazza... FINE!
)$nRm hArr n<=m+3, AA m,n in NN$ con $NN(0,1....)$
il "mio" approccio per verificare la transitività di questa relazione sarà errato, visto che non utilizzo un terzo termine di confronto, venendo $nRm,mRn->nRn$ quindi transitiva (verificabile ponendo m=6 ed n=8).
Qui "qualcuno
" verrebbe a dirmi: poniamo p=4 (come nel vecchio post) e smentiamo tutto!
e, ok... è vero! u.u
Secondo me pero', se noi usiamo il terzo elemento la situazione si complica, perchè tutto dipende da che valore assume p.
se $0<=p<3$ l' ipotesi sarà falsa quindi l'implicazione vera.
se $p>=3$ ipotesi vera ma implicazione falsa.
Conclusione: se è vero che la relazione non è transitiva, dovremmo prendere a riferimento questa seconda ipotesi, ergo la transitività è vero che non c'è , ma non è vero in modo assoluto. Se p la lasciassimo a casa potremmo evitare tutto ciò, ma dato che numericamente non lo stiamo potendo provare non è possibile!
In definitiva, io divento pazza... FINE!
Risposte
"Myriam92":
x è almeno tanto alto quanto y
Non è di equivalenza ...
Quella condizione possiamo tradurla così $H_x>=H_y$ dove $H$ è l'altezza ... è evidente che la simmetria non c'è ... attenzione che il testo non dice "tanto alto quanto" ma "almeno tanto alto quanto" ... "l'almeno" signfica che potrebbe anche essere maggiore ...
"Myriam92":
-X e y hanno stesso numero di figli oppure di nipoti
Anche questa NON è di equivalenza ... qui manca la transitività ... per esempio se $x$ ha $2$ figli e nessun nipote, $y$ ha $2$ figli e $3$ nipoti e $z$ non ha figli ma ha $3$ nipoti allora $xRy$ e $yRz$ ma non è vero che $xRz$ ...
--------------------------------------------------
È una sola classe (di infiniti elementi) perché ogni numero intero è in relazione con tutti gli altri ...
La "regola" afferma, praticamente, che un intero è in relazione con un altro se tra loro due vale la proprietà commutativa della normale moltiplicazione ... è evidente che questa è valida per qualsiasi coppia di interi quindi ne consegue quanto detto ...
"axpgn":
"almeno tanto alto quanto" ... "l'almeno" signfica che potrebbe anche essere maggiore ...
x Poteva avere la stessa altezza di y e valere quindi la simmetria.. però per il luuuungo discorso di ieri la simmetria è smentibile proprio perché potrebbe essere ANCHE maggiore. Ok?
Per l'altra ( figli nipoti ) io avevo fatto xRy, yRx quindi xRx... pareva giusta...Ma...
------
"Myriam92":
Quanti elementi ha l'insieme quoziente ?
Sta domanda intanto mi pare troppo fuorviante, per me il numero di elementi sono quelli contenuti nella classe, non il numero di classi!!( Anche se per definizione, l'insieme quoziente è il numero di classi... ma Non sarebbe una cattiva idea se fosse specificato meglio...)
Quindi la suddivisione tra numeri positivi e negativi nn mi serve a nulla?
"Myriam92":
... però per il luuuungo discorso di ieri la simmetria è smentibile proprio perché potrebbe essere ANCHE maggiore. Ok? ...
Ok.
"Myriam92":
Per l'altra ( figli nipoti ) io avevo fatto xRy, yRx quindi xRx... pareva giusta...Ma...
Eh, ma allora sei de' coccio ... quante volte l'ho detto che quel metodo è sbagliato per provare la transitività?
------------------------------------------------
Lascia perdere la denominazione, l'insieme quoziente contiene le classi, non gli elementi dell'insieme di partenza. Punto.
Quindi gli elementi dell'insieme quoziente sono le classi.
(D'altra parte una relazione di equivalenza DIVIDE proprio l'insieme originale in parti disgiunte tra loro ...)
"axpgn":
Eh, ma allora sei de' coccio ...
Ovvio! Io fino in fondo ci provo! Così ho scoperto che anche qui...Fake! Quindi Dovrebbe valere SOLO per gli esercizi con (a,b)(b,a) ecc.. lì (finora) non mi hanno tradita
per il resto.. speriamo bene!Se io dico allora: la differenza di età tra x e y è di max 3 anni.
Non è simmetrica perché $E_x-E_y<=3$ ma non segue $3<=E_x-E_y$
Non è antisimmetrica perché x e y non sono la stessa persona.
Transitivitá c'è, se comparassimo con un terzo $E_z$ tale da rendere la nostra ipotesi vera, perché pare che pur la tesi risulti tale!
Obiezioni? xD
---
secondo me se ci fosse maggiore chiarezza farei meno confusione sulle partizioni...
Tipo in questo es
Sia R la relazione binaria su $NN$ definita da $mRn hArr |m-n| $ è pari.
Dalle varie e risposte si è capito bene che R ha un insieme quoziente di 2 classi ( pari e dispari) ognuno di infiniti elementi!
Poi però la novità ( di altra categoria però ) nn manca mai
•per ogni n in $NN$ esiste m in $NN $ tale che m>n e mRn
È vero non lo metto in dubbio ,,, PERÒ... non è che essendoci il valore assoluto allora m per forza deve superare n ! Anzi! Potrebbe anche essere m
Smentisci, smentiscimi ancora . . . . . . .
"Myriam92":
Se io dico allora: la differenza di età tra x e y è di max 3 anni.
È simmetrica! Se tra me e te ci sono meno di tre anni di differenza tra te e me quanti ce ne sono? Attenta che la "differenza" in questione è un valore assoluto ...
Non è antisimmetrica ... ovviamente NON è transitiva ... Aldo ha $6$ anni, Giorgio ne ha $8$ e Mattia ne ha $10$ allora $ARG$ e $GRM$ ma non è $ARM$ ...
---------------------------------
"Myriam92":
Poi però la novità ( di altra categoria però ) nn manca mai
•per ogni n in $ NN $ esiste m in $ NN $ tale che m>n e mRn
Questa "considerazione" che il libro fa, in prima battuta potremmo dire che non c'entra niente con la relazione, nel senso che la definizione di relazione che abbiamo è un'altra ... però il libro ti fa notare che è una "conseguenza" della relazione data ...
Detto in altro modo: data quella relazione possiamo dedurne questa considerazione ...
In effetti non si sa chi tra x e y é più grande.. e io come una deficiente mi sono creata l'equazione che mi ha fatto sbagliare tutto. 
Sì ho capito, ma siccome ormai mi sto divertendo a smentire tutto avevo detto anche qst
"axpgn":
Detto in altro modo: data quella relazione possiamo dedurne questa considerazione ...
Sì ho capito, ma siccome ormai mi sto divertendo a smentire tutto avevo detto anche qst
"Myriam92":
non è che essendoci il valore assoluto allora m per forza deve superare n ! Anzi! Potrebbe anche essere m
... Sbaglio?
No, ma non c'entra con quel "corollario" ... là non si dice che $m$ deve essere maggiore di $n$ affinché ci sia relazione tra $m$ e $n$ ma che sicuramente esisterà almeno un $m$ maggiore di $n$ in relazione con quest'ultimo ...
In questo campo ogni parola va "maneggiata" con cura ...
In questo campo ogni parola va "maneggiata" con cura ...
Quindi è una semplice considerazione generica, non una imposizione che rende vera la relazione? Potrebbe essere ingannevole però...
-------
Sia R la relazione binaria su $NN$ DEFINITA DA
$mRn hArr|m-n|<=2$
Grazie all' hint ho capito che non è transitiva.. ha preso infatti una p tale da rendere l'ipotesi vera, ho provato con un altra p e funzionaaaaa
(spero che nn mi stia solo illudendo...)
Il problema è sempre l insieme quoziente.
Dalla transitivitá ho capito che dovremmo avere solo due classi (pari e dispari) ognuna infinita.. sto sbagliando?( Domanda retorica ormai)
EDIT
Te lo ricordi?
ARb se a e b hanno stesso cognome ma nome diverso.
Ho inventato una cosa del tipo : aRb, bRc allora cRa ( se la mia ipotesi è vera penso lo sia anche la tesi )quindi è transitiva ?
Io ho scritto questo perché mi son fatta l'esempio pratico .
Se invece avessi usato solo aRb, bRa quindi aRa ti avevo fatto notare che invece riuscivo a dimostrarlo che nn era transitiva...
Secondo me devo fare il doppio traffico: prima provo solo con a , b se è transitiva. Se vedo che lo è , tento anche con c per vedere se smentisce; se non lo è non c'è bisogno che proseguo sennò sbaglio. Sarà mai vero?? Lo scopriremo solo con altri esercizi
-------
Sia R la relazione binaria su $NN$ DEFINITA DA
$mRn hArr|m-n|<=2$
Grazie all' hint ho capito che non è transitiva.. ha preso infatti una p tale da rendere l'ipotesi vera, ho provato con un altra p e funzionaaaaa
(spero che nn mi stia solo illudendo...)Il problema è sempre l insieme quoziente.
Dalla transitivitá ho capito che dovremmo avere solo due classi (pari e dispari) ognuna infinita.. sto sbagliando?( Domanda retorica ormai)
EDIT
Te lo ricordi?
ARb se a e b hanno stesso cognome ma nome diverso.
Ho inventato una cosa del tipo : aRb, bRc allora cRa ( se la mia ipotesi è vera penso lo sia anche la tesi )quindi è transitiva ?
Io ho scritto questo perché mi son fatta l'esempio pratico .
Se invece avessi usato solo aRb, bRa quindi aRa ti avevo fatto notare che invece riuscivo a dimostrarlo che nn era transitiva...
Secondo me devo fare il doppio traffico: prima provo solo con a , b se è transitiva. Se vedo che lo è , tento anche con c per vedere se smentisce; se non lo è non c'è bisogno che proseguo sennò sbaglio. Sarà mai vero?? Lo scopriremo solo con altri esercizi
"Myriam92":
Quindi è una semplice considerazione generica, non una imposizione che rende vera la relazione? Potrebbe essere ingannevole però...
Non è necessaria per la definizione della relazione (è vero però che i due "fatti" potrebbero essere strettamente collegati e quindi quando c'è uno c'è anche l'altro e viceversa se non c'è uno non c'è neanche l'altro; comunque, a meno di precisa richiesta di verifica in tal senso, non me ne occuperei più di tanto ...)
"Myriam92":
Sia R la relazione binaria su $ NN $ DEFINITA DA $ mRn hArr|m-n|<=2 $
... Il problema è sempre l insieme quoziente. ...
Se NON è transitiva (e non lo è) allora NON è una relazione di equivalenza, ma se NON è una relazione di equivalenza di quale insieme quoziente stiamo parlando ? Non esiste l'insieme quoziente ...
------------------------------
Premesso che questa relazione sui "nomi e cognomi" me la ricordavo diversa, noto che non ce la farò mai a farti capire che per verificare la transitività deve prendere TRE elementi e verificare questa cosa $aRb ^^ bRc\ =>\ aRc$ ...
I tuoi sforzi nel cercare altre modalità non solo sono inutili (con perdita di tempo) ma soprattutto ti fanno SBAGLIARE ... chiaro?
È come se cercassi di dimostrare che "nessuno ha ma visto la neve" e come prova vai a intervistare gli abitanti delle Seychelles ...
... il mondo è grande ...
"axpgn":
Premesso che questa relazione sui "nomi e cognomi" me la ricordavo diversa
Nome OPPURE cognome, ne avevamo fatta una simile
"axpgn":
non ce la farò mai a farti capire che per verificare la transitività deve prendere TRE elementi e verificare questa cosa
Qui ti ho proprio fatto vedere che invece ho fatto come dici tu ma avrei sbagliato lo stesso ( ma non ti voglio accusare, è solo per dirti che io i danni li.faccio comunque!)
Aldo Rossi R Bruno Rossi , Bruno Rossi R Carlo Rossi ergo Aldo Rossi R Carlo Rossi e avrei sbagliato!!
Non avrei mai pensato che ARC potevano essere benissimo due persone con stesso cognome e PURE nome. Cosa che invece si nota se lo dimostro solo con due elementi.
E niente, anche se seguissi il tuo consiglio sbaglierei lo stesso proprio perché
"axpgn":. . . la matematica malvagia
il mondo è grande ...
. . . E poi ci sono io che è meglio se non mi descrivo! 
"Myriam92":
Qui ti ho proprio fatto vedere che invece ho fatto come dici tu ...
Non è così ... questo è quello che ho scritto io ...
"axpgn":
devi prendere TRE elementi e verificare questa cosa $aRb ^^ bRc\ =>\ aRc$ ...
... mentre questo è quello che hai scritto tu ...
"Myriam92":
Ho inventato una cosa del tipo : $aRb, bRc$ allora $cRa$
Non sono la stessa cosa ... le coppie sono ordinate ...
Comunque qui la prima cosa che manca è la riflessività ... è simmetrica ma non è transitiva (per il motivo che hai detto ...)
"axpgn":
devi prendere TRE elementi e verificare questa cosa $ aRb ^^ bRc\ =>\ aRc $
Embè poi mi sn corretta
"Myriam92":
Aldo Rossi R Bruno Rossi , Bruno Rossi R Carlo Rossi ergo Aldo Rossi R Carlo Rossi e avrei sbagliato!!
Non avrei mai pensato che ARC potevano essere benissimo due persone con stesso cognome e PURE nome. Cosa che invece si nota se lo dimostro solo con due elementi.
Ma per me, personalmente, nn sarebbe cambiato granché per quel che ti ho.detto...
------
$aRb hArr a^2=b ^2$ come dimostro che stavolta ho insieme quoziente infinito?
In questo caso due numeri sono in relazione se $a=+-b$ quindi una classe per ogni numero ...
Domanda flash
Se A= {a,b,c} e B={c}
A-B= (a,b)
|P(A-B)|= 2.
Perché non $2^2$?
Se A= {a,b,c} e B={c}
A-B= (a,b)
|P(A-B)|= 2.
Perché non $2^2$?
Per me è $2^2$ ... il contesto?
Sia R=(aa,bb,cc,dd, a,b, b,c a,c, a,d d,a)
R è simmetrica falsa
R è totale falsa
R-(d,a) relazione d ordinamento parziale vera
R transitiva vera
Nessuna delle altre
Quale è la vera vera ?
R è simmetrica falsa
R è totale falsa
R-(d,a) relazione d ordinamento parziale vera
R transitiva vera
Nessuna delle altre
Quale è la vera vera ?
Non è transitiva ... $dRa ^^ aRb\ ->\ dRb$ ma $dRb$ non c'è ... Come conferma, affinché la terza (ordinamento parziale) sia vera si toglie $dRa$ ...
Capito, grazie 
---
Se mi ritrovo
R={a,b b,a b,c c,b c,a a,c} non è antisimmetrica perché nonostante la ipotesi sia sempre.vera la tesi è sempre falsa , giusto ? ( Però è simmetrica)
---
Se mi ritrovo
R={a,b b,a b,c c,b c,a a,c} non è antisimmetrica perché nonostante la ipotesi sia sempre.vera la tesi è sempre falsa , giusto ? ( Però è simmetrica)
Giusto.
Penso quest altra mi sia sfuggita:
Sia la seguente relazione di equivalenza
R={ aa, bb,cc,dd, a,c c,a b,d d,b) su un insieme X.
È vero che esiste un a relazione di equivalenza S su X tale che R\S non sia vuoto .
Potrebbe essere per esempio S={ a,b b,a} oppure sbaglio?
Grazie ^^
Sia la seguente relazione di equivalenza
R={ aa, bb,cc,dd, a,c c,a b,d d,b) su un insieme X.
È vero che esiste un a relazione di equivalenza S su X tale che R\S non sia vuoto .
Potrebbe essere per esempio S={ a,b b,a} oppure sbaglio?
Grazie ^^
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo