Relazioni binarie algebriche (2)
Vorrei riproporre un vecchio quesito (c'ho ragionato un po' meglio e vorrei verificare se riesco a "smentire" correttamente quanto detto 
)
$nRm hArr n<=m+3, AA m,n in NN$ con $NN(0,1....)$
il "mio" approccio per verificare la transitività di questa relazione sarà errato, visto che non utilizzo un terzo termine di confronto, venendo $nRm,mRn->nRn$ quindi transitiva (verificabile ponendo m=6 ed n=8).
Qui "qualcuno
" verrebbe a dirmi:
poniamo p=4 (come nel vecchio post) e smentiamo tutto!
e, ok... è vero! u.u
Secondo me pero', se noi usiamo il terzo elemento la situazione si complica, perchè tutto dipende da che valore assume p.
se $0<=p<3$ l' ipotesi sarà falsa quindi l'implicazione vera.
se $p>=3$ ipotesi vera ma implicazione falsa.
Conclusione: se è vero che la relazione non è transitiva, dovremmo prendere a riferimento questa seconda ipotesi, ergo la transitività è vero che non c'è , ma non è vero in modo assoluto. Se p la lasciassimo a casa potremmo evitare tutto ciò, ma dato che numericamente non lo stiamo potendo provare non è possibile!
In definitiva, io divento pazza... FINE!
)$nRm hArr n<=m+3, AA m,n in NN$ con $NN(0,1....)$
il "mio" approccio per verificare la transitività di questa relazione sarà errato, visto che non utilizzo un terzo termine di confronto, venendo $nRm,mRn->nRn$ quindi transitiva (verificabile ponendo m=6 ed n=8).
Qui "qualcuno
" verrebbe a dirmi: poniamo p=4 (come nel vecchio post) e smentiamo tutto!
e, ok... è vero! u.u
Secondo me pero', se noi usiamo il terzo elemento la situazione si complica, perchè tutto dipende da che valore assume p.
se $0<=p<3$ l' ipotesi sarà falsa quindi l'implicazione vera.
se $p>=3$ ipotesi vera ma implicazione falsa.
Conclusione: se è vero che la relazione non è transitiva, dovremmo prendere a riferimento questa seconda ipotesi, ergo la transitività è vero che non c'è , ma non è vero in modo assoluto. Se p la lasciassimo a casa potremmo evitare tutto ciò, ma dato che numericamente non lo stiamo potendo provare non è possibile!
In definitiva, io divento pazza... FINE!
Risposte
$S$ non è di equivalenza ... ti manca la riflessività ...
Pensavo che l'insieme S si potesse considerare unificato a R... Ma allora mi basta aggiungere di nuovo pure a,a b,b oltre a,b b,a o devo prendere altri elementi tipo e,e f,f, e,f f,e ?
-------
Cmq sono tornata a riflettere sulla transitivitá delle relazioni... E mi ero decisa a convertirmi come dicevi tu all'utilizzo della terza lettera SEMPRE.
Finché non mi sono imbattuta in questa :
R={ a,b b,a a,c c,a b,c c,b }
Ho fatto
aRb bRc cRa vera, e le altre a seguire usando la medesima definizione:
bRc cRd idem ma con ipotesi falsa
cRd idem ma con ipotesi falsa
dRa idem ma con ipotesi falsa
Posso smentire solo perché non riflessiva. Come? Usando solo due lettere!
Spero che mi stia sbagliando e ci sia altro modo ( a tre lettere) per smentire ( forse un'altra combinazione che non sia in ordine alfabetico? Mi perderei di brutto... )
Grazie, grazie per la sopportazione
(Scusa per il modo di scrivere indecente più del solito ma ho problemi con il wifi in questi gg e non posso usare il PC)
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Cmq sono tornata a riflettere sulla transitivitá delle relazioni... E mi ero decisa a convertirmi come dicevi tu all'utilizzo della terza lettera SEMPRE.
Finché non mi sono imbattuta in questa :
R={ a,b b,a a,c c,a b,c c,b }
Ho fatto
aRb bRc cRa vera, e le altre a seguire usando la medesima definizione:
bRc cRd idem ma con ipotesi falsa
cRd idem ma con ipotesi falsa
dRa idem ma con ipotesi falsa
Posso smentire solo perché non riflessiva. Come? Usando solo due lettere!
Spero che mi stia sbagliando e ci sia altro modo ( a tre lettere) per smentire ( forse un'altra combinazione che non sia in ordine alfabetico? Mi perderei di brutto... )
Grazie, grazie per la sopportazione
(Scusa per il modo di scrivere indecente più del solito ma ho problemi con il wifi in questi gg e non posso usare il PC)
Che vuol dire "pensavo che l'insieme S si potesse considerare unificato a R" ?
Da quello che hai scritto io "suppongo" che R\S sia l'insieme R a cui siano stati tolti gli elementi di S; ora, qualsiasi relazione di equivalenza deve essere riflessiva e quindi deve contenere, in questo caso le quattro coppie tipo $(x,x)$.
Di conseguenza anche S deve contenerle per essere di equivalenza perciò R\S non le conterrà quindi R\S non è di equivalenza ma neppure vuoto ...
Siccome hai la (brutta) abitudine di non presentare mai i testi completi ma solo "spizzichi" che ritieni importanti, ti tieni questa risposta ...
-/-
Da quello che hai scritto io "suppongo" che R\S sia l'insieme R a cui siano stati tolti gli elementi di S; ora, qualsiasi relazione di equivalenza deve essere riflessiva e quindi deve contenere, in questo caso le quattro coppie tipo $(x,x)$.
Di conseguenza anche S deve contenerle per essere di equivalenza perciò R\S non le conterrà quindi R\S non è di equivalenza ma neppure vuoto ...
Siccome hai la (brutta) abitudine di non presentare mai i testi completi ma solo "spizzichi" che ritieni importanti, ti tieni questa risposta ...
-/-
Per la transitività ...
NON devi considerare in ipotesi i casi che non ci sono ... una fatica inutile e foriera di errori ... ricordati che un'implicazione è sempre vera se l'ipotesi è falsa ...
NON devi considerare in ipotesi i casi che non ci sono ... una fatica inutile e foriera di errori ... ricordati che un'implicazione è sempre vera se l'ipotesi è falsa ...
Credimi, ho ricopiato il testo e la risposta corretta che stavolta sarebbe dovuta essere ufficialmente giusta ( ma pare di no a quanto ho capito )
... e Sì , quello è il segno di differenza
---
Quindi escludo le ultime due relazioni b,c c,d? Non le " analizzo"?
Appunto ho riportato tutte casistiche con ipotesi falsa, ergo con implicazione vera.
Se però con due elementi facessimo aRb, bRa non segue aRa quindi sto smentendo la transitivitá nonostante tutto
... e Sì , quello è il segno di differenza
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Quindi escludo le ultime due relazioni b,c c,d? Non le " analizzo"?
Appunto ho riportato tutte casistiche con ipotesi falsa, ergo con implicazione vera.
Se però con due elementi facessimo aRb, bRa non segue aRa quindi sto smentendo la transitivitá nonostante tutto
Permettimi di avere dei dubbi ... da quel che capisco ci sono altre risposte ed inoltre la richiesta qual è?
Per la transitività ... a parte il fatto che bastava notare (come hai fatto) che essendo simmetrica ma non riflessiva, tanto bastava per smentire la transitività, ribadisco che è sufficiente usare la definizione ...
Per verificare la transitività prendi una coppia, per esempio $(b,c)$ e cerchi tutte le coppie che hanno come primo elemento $c$, se NON ce ne sono la transitività per quella coppia è verificata e passi oltre, se invece esistono, per ciascuna di esse, per esempio $(c,a)$, ALLORA vai a cercare anche $(b,a)$ e se NON c'è la transitività è saltata ... Ok?
Per la transitività ... a parte il fatto che bastava notare (come hai fatto) che essendo simmetrica ma non riflessiva, tanto bastava per smentire la transitività, ribadisco che è sufficiente usare la definizione ...
Per verificare la transitività prendi una coppia, per esempio $(b,c)$ e cerchi tutte le coppie che hanno come primo elemento $c$, se NON ce ne sono la transitività per quella coppia è verificata e passi oltre, se invece esistono, per ciascuna di esse, per esempio $(c,a)$, ALLORA vai a cercare anche $(b,a)$ e se NON c'è la transitività è saltata ... Ok?
Se accetti immagini ok, sennò un'altra volta posto le altre risposte ( chiedeva al solito quale fosse l'asserzione vera)
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Ma scusa è lo stesso ragionamento che ho riportato sopra, e infatti sembra che sia sempre verificata la transitivitá ( anche se in altro modo abbiamo detto che nn è vero). Ricorrendo alla definizione normale di cui mi parli, me la potresti smentire oppure no? A me non sembra e mi vorrei sbagliare..
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Ma scusa è lo stesso ragionamento che ho riportato sopra, e infatti sembra che sia sempre verificata la transitivitá ( anche se in altro modo abbiamo detto che nn è vero). Ricorrendo alla definizione normale di cui mi parli, me la potresti smentire oppure no? A me non sembra e mi vorrei sbagliare..
Boh, a me sembra che parliamo due lingue diverse ...
Questa è la relazione $R={(a,b);(b,a);(a,c);(c,a);(b,c);(c,b)}$ ?
Usando la definizione ...
Prendo la prima coppia $(a,b)$ ... cerco altre coppie che hanno come primo elemento $b$ e ne trovo due: $(b,a)$ e $(b,c)$ ... inizio la verifica dalla prima ovvero ho le due coppie $(a,b)$ e $(b,a)$; affinché la relazione $R$ sia transitiva DEVE esserci la coppia $(a,a)$ la quale però NON c'è quindi $R$ non è transitiva. Punto. Fine.
Se invece ci fosse stata avrei proseguito la verifica, utilizzando l'altra coppia trovata ovvero $(a,b)$ e $(b,c)$ e cercando $(a,c)$; se l'avessi trovata avrei proseguito ... Ok?
Questo è il modo "normale", utilizzando la definizione ... non è detto che sia il più veloce, ma funziona sempre (ovviamente quando hai relazioni di cui conosci tutti gli elementi)
Questa è la relazione $R={(a,b);(b,a);(a,c);(c,a);(b,c);(c,b)}$ ?
Usando la definizione ...
Prendo la prima coppia $(a,b)$ ... cerco altre coppie che hanno come primo elemento $b$ e ne trovo due: $(b,a)$ e $(b,c)$ ... inizio la verifica dalla prima ovvero ho le due coppie $(a,b)$ e $(b,a)$; affinché la relazione $R$ sia transitiva DEVE esserci la coppia $(a,a)$ la quale però NON c'è quindi $R$ non è transitiva. Punto. Fine.
Se invece ci fosse stata avrei proseguito la verifica, utilizzando l'altra coppia trovata ovvero $(a,b)$ e $(b,c)$ e cercando $(a,c)$; se l'avessi trovata avrei proseguito ... Ok?
Questo è il modo "normale", utilizzando la definizione ... non è detto che sia il più veloce, ma funziona sempre (ovviamente quando hai relazioni di cui conosci tutti gli elementi)
Perfetto ora capisco perché le due lettere (e non tre )vanno usate anche nella definizione normale xD
Sì, userò e testeró ( ) il tuo metodo solo in questa tipologia però ( nelle altre sono persissima tanto, lo sai)
Grazie, e scusa ancora il disturbo
Sì, userò e testeró (
) il tuo metodo solo in questa tipologia però ( nelle altre sono persissima tanto, lo sai)Grazie, e scusa ancora il disturbo
"Myriam92":
... ora capisco perché le due lettere (e non tre )vanno usate anche nella definizione normale ...
Ma che significa?
... non l'ho ancora capito dopo tre mesi ... 
Scusate ma mi sembra che stiate facendo un po' di confusione.
NON è vero. $aRa$ mi dice solo che $R$ è riflessiva, sempre che ciò valga per tutti gli elementi dell'insieme.
Per avere la transitività deve verificarsi: ($aRb$ e $bRc)=>aRc$ con $a,b,c$ diversi.
"axpgn":
Prendo la prima coppia (a,b) ... cerco altre coppie che hanno come primo elemento b e ne trovo due: (b,a) e (b,c) ... inizio la verifica dalla prima ovvero ho le due coppie (a,b) e (b,a); affinché la relazione R sia transitiva DEVE esserci la coppia (a,a)
NON è vero. $aRa$ mi dice solo che $R$ è riflessiva, sempre che ciò valga per tutti gli elementi dell'insieme.
Per avere la transitività deve verificarsi: ($aRb$ e $bRc)=>aRc$ con $a,b,c$ diversi.
No vero ...
$R={(a,a),(b,b),(c,c)}$ è una relazione di equivalenza cioè riflessiva, simmetrica e transitiva.
$R={(a,a),(b,b),(c,c)}$ è una relazione di equivalenza cioè riflessiva, simmetrica e transitiva.
"axpgn":
No vero ...
$R={(a,a),(b,b),(c,c)}$ è una relazione di equivalenza cioè riflessiva, simmetrica e transitiva.
perchè? Riesci a spiegarmelo?
"axpgn":
Ma che significa? ..
Quello che dice l'altro utente xD
Due elementi sono solo aRa bRa segue aRa ad esempio.
Il terzo è elemento è la C aRb bRc aRc..
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Approfitto...Per una.domandinaina....
Mi confermi o smentisci che in una relazione non riflessiva ma simmetrica può SEMPRE.essere smentita la sua transitivitá ricorrendo a due soli elementi?
EDIT intendo indipendentemente da altre possibili proprietà che la relazione possa avere
"Myriam92":
Approfitto...Per una.domandinaina....
Mi confermi o smentisci che in una relazione non riflessiva ma simmetrica può SEMPRE.essere smentita la sua transitivitá ricorrendo a due soli elementi?
so che la domanda non è rivolta a me, ma cosa vuoi sapere?
Conosci le definizioni di proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva ...? Devi verificare che quelle siano vere.
Se devi verificare la transitività ti servono TRE elementi e non due.
@igiul
Dati $A={a,b,c}$ e $R={(a,a),(b,b),(c,c)}$ con $Rsube AxxA$ allora $R$ è una relazione di equivalenza perché gode delle tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva.
Proprietà riflessiva: $(x,x) in R$ con $AA x in A$
Proprietà simmetrica: $(x,y) in R -> (y,x) in R$ con $AA x,y in A$ [Nota: NON è richiesto $x!=y$]
Proprietà transitiva: $(x,y) in R ^^ (y,z) in R -> (x,z) in R$ con $AA x,y,z in A$ [Nota: NON è richiesto $x!=y!=z$]
@Myriam
È una vita che ti dico che occorrono tre elementi (dell'insieme di sostegno della relazione) per verificare la transitività, però NON è obbligatorio che questi tre siano diversi fra loro. Secondariamente, mi pare ti sfugga spesso il fatto che per smentire un teorema basta un solo controesempio mentre per confermarlo va dimostrato per TUTTI i casi possibili ...
Per questo specifico caso ...
Confermo. Pensa ad esempio a $R={(a,b),(b,a)}$ che è simmetrica ma non riflessiva e di conseguenza NON è transitiva perché dovremmo avere $(a,b) ^^ (b,a) -> (a,a)$ ma $(a,a)$ non c'è ...
Dati $A={a,b,c}$ e $R={(a,a),(b,b),(c,c)}$ con $Rsube AxxA$ allora $R$ è una relazione di equivalenza perché gode delle tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva.
Proprietà riflessiva: $(x,x) in R$ con $AA x in A$
Proprietà simmetrica: $(x,y) in R -> (y,x) in R$ con $AA x,y in A$ [Nota: NON è richiesto $x!=y$]
Proprietà transitiva: $(x,y) in R ^^ (y,z) in R -> (x,z) in R$ con $AA x,y,z in A$ [Nota: NON è richiesto $x!=y!=z$]
@Myriam
È una vita che ti dico che occorrono tre elementi (dell'insieme di sostegno della relazione) per verificare la transitività, però NON è obbligatorio che questi tre siano diversi fra loro. Secondariamente, mi pare ti sfugga spesso il fatto che per smentire un teorema basta un solo controesempio mentre per confermarlo va dimostrato per TUTTI i casi possibili ...
Per questo specifico caso ...
"Myriam92":
Mi confermi o smentisci che in una relazione non riflessiva ma simmetrica può SEMPRE.essere smentita la sua transitivitá ricorrendo a due soli elementi?
Confermo. Pensa ad esempio a $R={(a,b),(b,a)}$ che è simmetrica ma non riflessiva e di conseguenza NON è transitiva perché dovremmo avere $(a,b) ^^ (b,a) -> (a,a)$ ma $(a,a)$ non c'è ...
Vero gli elementi sono Sempre tre ma nn sono diversi ( scusa pensavo si capisse )
Finalmente ho trovato una regola standard ( Almeno per questa tipologia !)
Grazie per la risposta
EDIT
Se riflessiva e simmetrica i tre elementi pero devono essere diversi sempre ( altra regola sempre valida spero... Ora posso scrivere un libro dopo mesi e mesi di riflessione per beccare qualche scorciatoia xD )
Finalmente ho trovato una regola standard ( Almeno per questa tipologia !)
Grazie per la risposta
EDIT
Se riflessiva e simmetrica i tre elementi pero devono essere diversi sempre ( altra regola sempre valida spero... Ora posso scrivere un libro dopo mesi e mesi di riflessione per beccare qualche scorciatoia xD )
Aspetta che cerco di interpretare cosa vuoi dire ... mumble, mumble, mumble, ... forse ci sono ...
Volevi dire che se hai già accertato la riflessività e la simmetricità di una relazione allora puoi tralasciare la verifica della transitività per le coppie tipo $(x,x) ^^ (x,x)$ e tipo $(x,y) ^^ (y,x)$ perché saranno sicuramente vere ? Questo volevi dire ? Se è questo, ok ...
Volevi dire che se hai già accertato la riflessività e la simmetricità di una relazione allora puoi tralasciare la verifica della transitività per le coppie tipo $(x,x) ^^ (x,x)$ e tipo $(x,y) ^^ (y,x)$ perché saranno sicuramente vere ? Questo volevi dire ? Se è questo, ok ...
Accertata la riflessività e la simmetria non avrebbe senso fare
aRb bRa allora aRa ( con tre elementi nn diversi ) perché la transitivitá verrebbe sempre verificata.
Quindi prenderò sempre il terzo elemento diverso per poterla smentire.
Interpretare? Ok il mio libro sarà un insuccesso mi stai dicendo xD
Stavolta spero mi capisci!
aRb bRa allora aRa ( con tre elementi nn diversi ) perché la transitivitá verrebbe sempre verificata.
Quindi prenderò sempre il terzo elemento diverso per poterla smentire.
Interpretare? Ok il mio libro sarà un insuccesso mi stai dicendo xD
Stavolta spero mi capisci!
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