Relazioni binarie algebriche (2)

[myriam.92]

Vorrei riproporre un vecchio quesito (c'ho ragionato un po' meglio e vorrei verificare se riesco a "smentire" correttamente quanto detto )
$nRm hArr n<=m+3, AA m,n in NN$ con $NN(0,1....)$

il "mio" approccio per verificare la transitività di questa relazione sarà errato, visto che non utilizzo un terzo termine di confronto, venendo $nRm,mRn->nRn$ quindi transitiva (verificabile ponendo m=6 ed n=8).
Qui "qualcuno " verrebbe a dirmi:
poniamo p=4 (come nel vecchio post) e smentiamo tutto!
e, ok... è vero! u.u

Secondo me pero', se noi usiamo il terzo elemento la situazione si complica, perchè tutto dipende da che valore assume p.
se $0<=p<3$ l' ipotesi sarà falsa quindi l'implicazione vera.
se $p>=3$ ipotesi vera ma implicazione falsa.

Conclusione: se è vero che la relazione non è transitiva, dovremmo prendere a riferimento questa seconda ipotesi, ergo la transitività è vero che non c'è , ma non è vero in modo assoluto. Se p la lasciassimo a casa potremmo evitare tutto ciò, ma dato che numericamente non lo stiamo potendo provare non è possibile!
In definitiva, io divento pazza... FINE!

[axpgn]

Va bene, va bene ...

[myriam.92]

Grazie!

[igiul1]

"axpgn":
Dati $A={a,b,c}$ e $R={(a,a),(b,b),(c,c)}$ con $Rsube AxxA$ allora $R$ è una relazione di equivalenza perché gode delle tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva.

Proprietà riflessiva: $(x,x) in R$ con $AA x in A$

Proprietà simmetrica: $(x,y) in R -> (y,x) in R$ con $AA x,y in A$ [Nota: NON è richiesto $x!=y$]

Proprietà transitiva: $(x,y) in R ^^ (y,z) in R -> (x,z) in R$ con $AA x,y,z in A$ [Nota: NON è richiesto $x!=y!=z$

Sarà anche come dici tu, ma la cosa mi convince poco. Allora una relazione che mette in corrispondenza solo ogni elemento di un insieme con se stesso (ossia riflessiva) è anche transitiva e simmetrica?

[axpgn]

Sì, è un caso banale ma lo è ... le classi di equivalenza sono gli elementi stessi, o meglio tutti singoletti ${a},{b},...$

[myriam.92]

Dove ti ha citato sopra igiul...Ma la simmetrica e la transitiva può essere dimostrata semplicemente dicendo che le ipotesi dell'una e dell'altra sono false quindi le implicazioni sono vere?
Per esempio infatti non abbiamo aRb..
Mmm forse è imprecisa e incompleta come spiegazione?

[axpgn]

Non dimostri niente così ...
Dimostri la transitività e la simmetricità per i casi che non ci sono ma non dici niente riguardo a quelli esistenti ...
Non c'è $(a,b)$ ... e allora? Che c'entra con $(a,a)$? Ma usare le definizioni è così difficile?

[myriam.92]

"axpgn":
Dimostri la transitività e la simmetricità per i casi che non ci sono

Beh l'importante è che lo sto dimostrando no?
In pratica mi è capitato un esercizio come questo e pensavo di poterlo dimostrare come ti ho detto io ... Diciamo che usare la definizione non è complicato ma è meno intuitivo ... Almeno per me...
Grazie!

[axpgn]

No, non lo stai dimostrando ... ho ripetuto più di una volta che va dimostrato per tutti: nel modo che fai tu lasci fuori gli unici casi che contano, quelli esistenti ...