Re: Funzioni con grafico ad una variabile (2)
Seconda risposta: è vero che in $x=4 $ essendoci il salto (credo) non è derivabile? Cioè, è definita ma abbiamo discontinuità..Ok?
Per la terza : ho tenuto in considerazione i soli pallini pieni... Quindi riscontro sempre il valore 1. Può andare?
E il minimo assoluto c'è? Se sì, dove?
Risposte
Seconda risposta: non è continua quindi non è derivabile
La terza devi riscriverla perché non si legge niente (anche il resto peraltro ...)
Il min assoluto c'è, in $x=6$ (se quello è un "pallino pieno" altrimenti come non detto)
La terza devi riscriverla perché non si legge niente (anche il resto peraltro ...)
Il min assoluto c'è, in $x=6$ (se quello è un "pallino pieno" altrimenti come non detto)
"axpgn":
Seconda risposta: non è continua quindi non è derivabile
Ai miei "superiori " nn piacerebbe tale risposta..
Te l'avevo detto mi pare che vale solo l'opposto della tua affermazione....
Terza : $ lim_(x -> 3) f(x)=f(3)=1$
"axpgn":
Il min assoluto c'è, in x=6 (se quello è un "pallino pieno" altrimenti come non detto)
"Myriam92":
[quote="axpgn"]
Seconda risposta: non è continua quindi non è derivabile
Ai miei "superiori " nn piacerebbe tale risposta..
Te l'avevo detto mi pare che vale solo l'opposto della tua affermazione....[/quote]
Io rimango della mia idea: una condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché una funzione sia derivabile in un punto è la sua continuità in quel punto ... trovami qualcuno che dice il contrario ...
"Myriam92":
Terza : $ lim_(x -> 3) f(x)=f(3)=1 $
È falsa ... vero che $f(3)=1$ ma è $ lim_(x -> 3) f(x)=0$ ... e lo puoi stabilire anche analiticamente (non solo ad occhio) dato che è una retta (in quell'intervallo)
In effetti è la continuita che nn implica la derivabilita ( tipo i punti angolosi) sorry...
Per la terza risposta: vedo troppi pallini e mi confondo(mi sento all'asilo, c'è un modo più formale per definirli? xD )
Il primo membro dell equazione che ti ho scritto vale 1 perché c'è il pallino nero in alto? Mentre il secondo membro vale 0 perché la funzione in x=3 vale.y=0?Ok?
Per la terza risposta: vedo troppi pallini e mi confondo(mi sento all'asilo, c'è un modo più formale per definirli? xD )
Il primo membro dell equazione che ti ho scritto vale 1 perché c'è il pallino nero in alto? Mentre il secondo membro vale 0 perché la funzione in x=3 vale.y=0?Ok?
"Myriam92":
In effetti è la continuita che nn implica la derivabilita ( tipo i punti angolosi) sorry...
Brava.
"Myriam92":
Il primo membro dell equazione che ti ho scritto vale 1 perché c'è il pallino nero in alto? Mentre il secondo membro vale 0 perché la funzione in x=3 vale.y=0?Ok?
No.
In pratica hai detto che la funzione in $x=3$ vale sia $1$ che $0$ contemporaneamente ...
La nostra funzione nel punto $x=3$ vale $f(3)=1$ perché se vai a vedere il grafico l'unico pallino pieno in $x=3$ si trova a $y=1$
Il limite $lim_(x->3) f(x)$ invece vale zero ... proviamo a dimostrarlo analiticamente ... la nostra funzione in quell'intervallo (cioè $(2,4)$) è una retta determinata dall'equazione $f(x)=x-3$ perciò devi calcolare $lim_(x->3) x-3$ (mi pare che ne hai risolti di ben peggiori ...
) ... quel limite vale zero ... quindi si conclude che $lim_(x->3) f(x)!=f(3)$Buonanotte e ciao, Alex
Io però nn avrei detto graficamente che quel limite è zero. E ciò perché vedo il pallino pieno in corrispondenza di quel valore x=3... Come faccio a farmi distogliere l'attenzione dal pallino malefico? ( Perché nn devo considerarlo!?!)
Buonanotte e grazie
Buonanotte e grazie
Il pallino "pieno" è il valore che assume la funzione in quel punto (il pallino "vuoto" significa assenza e teoricamente non dovrebbe mai esserci ma viene messo per evidenziare un "buco" che altrimenti non sarebbe visibile, traendo in inganno); il limite invece (se lo vuoi determinare ad "occhio" perché prima ti ho mostrato che si può trovare analiticamente) lo trovi seguendo "l'andamento" della tua curva ed è evidente (ad occhio 
) che quella retta tende a zero (ma non arriva a zero, questa differenza è importante).
) che quella retta tende a zero (ma non arriva a zero, questa differenza è importante).
Come fa a tendere allo zero? A me onestamente, essendo una retta crescente, sembra tendere perlopiù ad infinito ( certo, analiticamente abbiamo visto che non è così.. )
Il max assoluto sta in $x=1$?
Con questa cosa ho combinato?
A parte che se quello che ho scritto accanto è vero, anche la D è vera
Il max assoluto sta in $x=1$?
Con questa cosa ho combinato?
A parte che se quello che ho scritto accanto è vero, anche la D è vera
"Myriam92":
Come fa a tendere allo zero? A me onestamente, essendo una retta crescente, sembra tendere perlopiù ad infinito ( certo, analiticamente abbiamo visto che non è così.. )
Ovviamente per $x->3$ perché di questo $lim_(x->3) f(x)$ stiamo parlando, no?
...Il max assoluto sta in $x=1$.
Mi riscrivi le risposte di quest'ultimo? Sinceramente non riesco a legger bene e prima di dire cavolate ... voglio essere sicuro di dirle ...
"axpgn":
[quote="Myriam92"]Come fa a tendere allo zero? A me onestamente, essendo una retta crescente, sembra tendere perlopiù ad infinito ( certo, analiticamente abbiamo visto che non è così.. )
Ovviamente per $x->3$ perché di questo $lim_(x->3) f(x)$ stiamo parlando, no?
...Il max assoluto sta in $x=1$.
Mi riscrivi le risposte di quest'ultimo? Sinceramente non riesco a legger bene e prima di dire cavolate ... voglio essere sicuro di dirle ...
[/quote]Sì analiticamente ok,ma dovrei fare il lavoro di andare a calcolare la retta passante per i due punti... Ma come lo capisco dal grafico? Visivamente proprio nulla mi porterebbe a pensare zero!
---
Le risp del secondo grafico sono
A) il salto di f in x=2 è 2
B) non esiste$ lim_(x -> 2^+) f(x)$
C)esiste$ lim_(x -> 2^-) f(x)$
D)$lim_(x -> 3) f(x) $ diverso da $f(1)$
E) la risposta che smentisce quel che pensi tu riguardo le risp a crocette : nessuna delle altre.
"Myriam92":
... Ma come lo capisco dal grafico? Visivamente proprio nulla mi porterebbe a pensare zero!
Sei seria?
Riporto qui il grafico di quel "pezzo" di funzione ...
Se tu NON sapessi che il punto $x=3$ NON appartiene alla funzione che valore daresti alla funzione nel punto $x=3$?
Zero, senza alcun dubbio ... quello che ho riportato è esattamente il grafico della funzione perché in quello che tu hai, il pallino vuoto è solo un espediente grafico per evidenziare che lì la funzione non è definita ma non c'entra niente con il "vero" grafico della funzione ... ok?
A riguardo di quest'ultimo ... ma tu sei sicura che siano esercizi di esame? ... che siano stati scritti da un prof?
Io ho molte perplessità in merito a questo quesito ...
Per la A ... cosa significa "salto"? lì la funzione non "salta" da $2$ a $-1$, è definita e vale zero quindi, volendo usare quella terminologia, ci sarebbero due salti: da $2$ a zero e da zero a $-1$ ... e non solo, eventualmente il salto sarebbe tra i limiti sx e dx che la funzione assume in $x=2$ ... cmq, a spanne diciamo che è falsa ... (?) ...
Per la B, ok ... è falsa ma allora mi domando perché debba essere falsa anche la C ... per me incomprensibile ... perciò secondo me la C è vera ...
Però anche la D è vera, mi pare evidente (anche nel caso in cui si consideri, per pignoleria, inesistente il limite perché solo sx ...)
In conclusione, a mio parere ce ne sono due vere ... anche se a 'sto punto sono io che non mi sento più sicuro di niente ... (ma chi te li ha dati? ...)
"Myriam92":
E) la risposta che smentisce quel che pensi tu riguardo le risp a crocette : nessuna delle altre.
E perché? È una risposta come le altre ... male che vada hai una possibilità su cinque (
) ma in generale sarai indecisa tra un paio ...
"axpgn":
Se tu NON sapessi che il punto x=3 NON appartiene alla funzione che valore daresti alla funzione nel punto x=3?
Fammi capire... Anche qualora nn avessimo avuto NESSUN pallino ( nè il pieno , nè il vuoto ), quel limite sarebbe cmq risultato 0, no? Mentre la funzione in 3 non sarebbe esistita ?
Secondo grafico: il problema potrebbe essere alla risposta D perché la fotocopia è venuta sbiadita, quindi il limite forse originario tendeva a 1.
Non so se ti cambiera qualcosa,( ma nn mi pare il risultato cambi)... ma eventualmente andiamo al di là delle risposte giuste o meno, l'importante è che mi esercito anche sul grafico e riesca a capirci qualcosa
(facciamo finta di crederci xD )
"Myriam92":
[quote="axpgn"]
Se tu NON sapessi che il punto x=3 NON appartiene alla funzione che valore daresti alla funzione nel punto x=3?
Fammi capire... Anche qualora nn avessimo avuto NESSUN pallino ( nè il pieno , nè il vuoto ), quel limite sarebbe cmq risultato 0, no? [/quote]
Esatto.
I limiti sono stati "inventati" per capire come "si comporta" una funzione quando si avvicina ad un certo punto, indipendentemente da quanto valga la funzione in quel punto (tant'è vero che i limiti, generalmente, li calcoliamo per punti che NON appartengono alla funzione).
"Myriam92":
Mentre la funzione in 3 non sarebbe esistita ?
La funzione esiste in un punto $x_0$ se quel punto appartiene al dominio, altrimenti non esiste se quel punto $x_0$ NON appartiene al dominio. E ribadisco che il valore della funzione in un punto può essere diverso dal limite della funzione all'avvicinarsi a quel punto: quando i due valori coincidono si dice che la funzione è continua in quel punto.
"Myriam92":
Secondo grafico: il problema potrebbe essere alla risposta D perché la fotocopia è venuta sbiadita, quindi il limite forse originario tendeva a 1.
Non so se ti cambiera qualcosa, ...
Eh sì che cambia ... la risposta in quel caso sarebbe falsa e l'unica vera sarebbe la C ...
Comunque, prosegui ...
"axpgn":
Myriam92 ha scritto:
Mentre la funzione in 3 non sarebbe esistita ?
La funzione esiste in un punto x0 se quel punto appartiene al dominio, altrimenti non esiste se quel punto x0 NON appartiene al dominio.
Quindi al di là della presenza dei pallini in f(3), la funzione sarebbe cmq esistita perché nel dominio. E quanto verrebbe? Zero?(
)Secondo: risposta a) c'è un doppio salto, ma quanto vale?
Perché i pallini vuoti (valori che nn appartengono alla funzione, ANZI, al dominio) non sono stati "pre segnalati"? Ad esempio nella traccia sopra.il grafico c'è scritto che il dominio è tutto $RR$! O nn lo interpreto io correttamente?
Perché la D) è falsa ? Secondo me se il limite che tende a 1 fa 0, la funzione in 1 è 1. Quindi è vero che sono diverse!!(credo....
)
"Myriam92":
Quindi al di là della presenza dei pallini in f(3), la funzione sarebbe cmq esistita perché nel dominio. E quanto verrebbe? Zero?(
Stiamo parlando dell'ultimo vero? quello con le "onde" tra zero e due?
Dato che $x=3$ è compreso nel dominio, lì la funzione esiste ... è altrettanto vero però che deve esserci una "legge" che ci passare da $x=3$ a $f(x)=?$ ... normalmente, quando si ha a che fare con i numeri questa legge è un'espressione che però nel nostro caso non esiste (o non è esplicitata); quindi ci deve essere qualche "segno grafico" che ce la indica: può essere una linea, dei pallini pieni, delle stelline, quel che vuoi, basta che si capisca ... in particolare nel nostro caso, se vai a vedere, in corrispondenza di $x=3$ c'è un pallino pieno in $y=2$ quindi la nostra funzione vale $f(3)=2$ ... ok?
"Myriam92":
Secondo: risposta a) c'è un doppio salto, ma quanto vale?
Premesso che "quello" è un modo un po' grossolano di esprimere una risposta (non il tuo, quello dell'esame) molto probabilmente si intende $3$ ovvero il "salto" complessivo ...
"Myriam92":
Perché i pallini vuoti (valori che nn appartengono alla funzione, ANZI, al dominio) non sono stati "pre segnalati"? Ad esempio nella traccia sopra.il grafico c'è scritto che il dominio è tutto $ RR $! O nn lo interpreto io correttamente?
No, $RR$ è il codominio mentre il dominio è $[0,3]$
"Myriam92":
Perché la D) è falsa ? Secondo me se il limite che tende a 1 fa 0, la funzione in 1 è 1. Quindi è vero che sono diverse!!(credo....
Ma no ... il limite di $f(x)$ per $x->1$ è $1$ come il valore che assume la funzione ... perciò sono uguali ... d'altronde non era necessario fare calcoli perché in quel punto la funzione è continua e per quanto detto precedentemente le due "cose" coincidono ...
[ot]Penso di aver capito perché questi "grafici" ti danno fastidio (ci metto un po' ma ci arrivo ...
)Io li ritengo più semplici rispetto al calcolo di un limite o di un integrale (trovare la giusta sostituzione per un integrale o il limite notevole da applicare non lo trovo banale) però questi quesiti sono più "teorici" e meno "calcolosi", meno meccanici e richiedono una certa "padronanza" dei concetti fondamentali ... (ah, le basi, sempre loro ...
)[/ot]
Ormai sì, resto con riferimento allultimo grafico..
Ergo se non avessimo avuto il pallino ( o la stellina ) in y=2, allora f(3) sarebbe stata sempre definita , ma nessuna legge ci avrebbe potuto far individuare il suo valore?
Ok, ma perché i pallini vuoti risultano "definiti" nel dominio(secondo la consegna)? Quando in realtà , proprio perché vuoti, dovrebbero essere esclusi dal dominio?Es: 3 non è nel dominio secondo i pallini, ma.la consegna scrive che il dominio è [0;3] [[3 incluso!]] c'è qualquadra che non cosa
[ot]qui il problema più che le basi( al di là della consegna, in cui nn ho saputo distinguere dominio e codominio) sono i concetti teorici con cui non vADO molto d'accordo..Per me c'è un abisso tra teoria (caso generico) e pratica ( in cui può capitare di tutto, altro che stelline
). Abisso che nn riesco a colmare in alcun modo, per quanto possa provare...Come vedi![/ot]
"axpgn":
Dato che x=3 è compreso nel dominio, lì la funzione esiste ... è altrettanto vero però che deve esserci una "legge" che ci passare da x=3 a f(x)=? ...
Ergo se non avessimo avuto il pallino ( o la stellina
) in y=2, allora f(3) sarebbe stata sempre definita , ma nessuna legge ci avrebbe potuto far individuare il suo valore? "axpgn":
R è il codominio mentre il dominio è [0,3]
Ok, ma perché i pallini vuoti risultano "definiti" nel dominio(secondo la consegna)? Quando in realtà , proprio perché vuoti, dovrebbero essere esclusi dal dominio?Es: 3 non è nel dominio secondo i pallini, ma.la consegna scrive che il dominio è [0;3] [[3 incluso!]] c'è qualquadra che non cosa
[ot]qui il problema più che le basi( al di là della consegna, in cui nn ho saputo distinguere dominio e codominio) sono i concetti teorici con cui non vADO molto d'accordo..Per me c'è un abisso tra teoria (caso generico) e pratica ( in cui può capitare di tutto, altro che stelline
). Abisso che nn riesco a colmare in alcun modo, per quanto possa provare...Come vedi![/ot]
"Myriam92":
Ergo se non avessimo avuto il pallino ( o la stellina
Non ho detto questo ... (mi sembra sempre di essere chiaro ma evidentemente non è così ...)
Una "legge di corrispondenza" ci deve sempre essere affinché esista la funzione: può essere un'espressione, un grafico o anche un semplice elenco di coppie $(x,y)$ ma qualche regola che mi collega il dominio con il codominio ci deve essere, altrimenti la funzione non esiste ... nel nostro caso se in corrispondenza di $x=3$ non ci fosse stato il pallino pieno non avresti avuto modo di determinare il valore della funzione (non avrei avuto modo ...)
"Myriam92":
Ok, ma perché i pallini vuoti risultano "definiti" nel dominio(secondo la consegna)? Quando in realtà , proprio perché vuoti, dovrebbero essere esclusi dal dominio?Es: 3 non è nel dominio secondo i pallini, ma.la consegna scrive che il dominio è [0;3] [[3 incluso!]] c'è qualquadra che non cosa
I pallini vuoti non sono "definiti" da nessuna parte (né dominio, né codominio, ne altro ...), sono solo un espediente grafico per farti notare che, al contrario di quello che potrebbe sembrare, il valore della funzione NON è quello che ti sembrerebbe dal grafico ... siccome NON hai un'espressione per stabilire (conti alla mano) quale sia il valore della funzione per ogni elemento del dominio, ti devi basare sul grafico, e se il grafico rappresenta, per esempio, una retta SENZA interruzioni VISIBILI saresti portata a credere che i valori della tua funzione siano quelli in corrispondenza della retta, mentre nel nostro caso (e spesso in questi casi d'esame) l'autore ha definito che in uno (o più punti) del dominio il valore della funzione NON è quello calcolato a partire dall'equazione della retta ma invece quello fissato da lui ... ok?
[ot]
"Myriam92":
Per me c'è un abisso tra teoria (caso generico) e pratica ( in cui può capitare di tutto, altro che stelline
Naaaaa ... semplicemente non hai ancora completamente assimilato, metabolizzato, "interiorizzato" i concetti ... come si dice "una volta che hai imparato ad andare in bici, non lo scordi più ..."[/ot]
"axpgn":
Non ho detto questo ... (mi sembra sempre di essere chiaro ma evidentemente non è così ...)
Una "legge di corrispondenza" ci deve sempre essere affinché esista la funzione: può essere un'espressione, un grafico o anche un semplice elenco di coppie (x,y) ma qualche regola che mi collega il dominio con il codominio ci deve essere, altrimenti la funzione non esiste ... nel nostro caso se in corrispondenza di x=3 non ci fosse stato il pallino pieno non avresti avuto modo di determinare il valore della funzione (non avrei avuto modo ...)
Intanto mea culpa... Sai che sono io la testarda... Vediamo se sei riuscito a convincerla : in assenza di pallino in y=2 ( e per caso anche se fosse stato vuoto??) nessuna legge avrebbe potuto collegare il dominio al codominio ergo f(3) non possiamo definirla, non possiamo attribuirle alcun valore. Va bene?
Per la storia dei pallini pieni e vuoti o bianchi e neri che siano... Spero di aver capito, grazie.
In questa nemmeno le risposte ti faccio vedere, le domande te le pongo io
A) nel punto 2 il limite non esiste ? Esiste solo da dx $(1/2)$ e sx ($-oo$)?
B) f(2) quanto vale ? Data la presunta discontinuità...
EDIT
[ot]scommettiamo che al momento del ripasso dei vecchi argomenti avrò difficoltà a capirli? nonostante abbia preso un'infinità di appunti nella convinzione di aver capito?
Dopo 5 anni scuola non mi ricordavo nemmeno che alcune semplificazioni nn erano ammesse, in una divisione (derivata del quoziente come.ben ricorderai
)[/ot]
"Myriam92":
in assenza di pallino in y=2 ( e per caso anche se fosse stato vuoto??) nessuna legge avrebbe potuto collegare il dominio al codominio ergo f(3) non possiamo definirla, non possiamo attribuirle alcun valore. Va bene?
Quasi ... non è vero che non esistono leggi, anzi ne esistono infinite solo che in assenza del pallino, sul tuo foglio, non hai informazioni sufficienti su quale delle "infinite leggi" possibili tu debba scegliere ... spero di esser stato chiaro ...
A) Esiste il limite sx [$1/2$] e esiste il limite dx [$-infty$] ... siccome sono diversi non esiste IL limite ...
B) $f(2)=1/2$ ... c'è un pallino pieno che sta indicare che quello è il valore della funzione in quel punto (cioè in $x=2$ è $y=1/2$ ...
Ok grazie. Ma se nell'ultimo grafico in x= 2 il pallino fosse stato vuoto? Il limite da dx e sx nn cambiava, ma la funzione nel punto nn sarebbe stata definita, giusto? Ed il limite di x che tende a 2 non sarebbe esistito. Ok?
Spero l'ultimo del topic:
Limite per x che tende a 4=0;
Limite per x che tende a 5=-1,..
F(4)= 0
Nn dovemmo avere particolari problemi visto che f è continua in tutto il suo dominio.
I due punti critici sono: flesso tg orizzontale in $(-2;1)$
In $(5;-1,..)$ flesso a tg verticale( discendente)?
Spero l'ultimo del topic:
Limite per x che tende a 4=0;
Limite per x che tende a 5=-1,..
F(4)= 0
Nn dovemmo avere particolari problemi visto che f è continua in tutto il suo dominio.
I due punti critici sono: flesso tg orizzontale in $(-2;1)$
In $(5;-1,..)$ flesso a tg verticale( discendente)?
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