Re: Funzioni con grafico ad una variabile (2)
Seconda risposta: è vero che in $x=4 $ essendoci il salto (credo) non è derivabile? Cioè, è definita ma abbiamo discontinuità..Ok?
Per la terza : ho tenuto in considerazione i soli pallini pieni... Quindi riscontro sempre il valore 1. Può andare?
E il minimo assoluto c'è? Se sì, dove?
Risposte
Sì, ma non per i motivi che dici tu ... è invertibile ad occhio ... 
Per prima cosa una funzione per essere invertibile deve essere o strettamente crescente o strettamente decrescente in un intervallo, non tutte e due le cose (pensa alla parabola $x^2$ nell'intervallo $(-2,2)$), inoltre, in quell'intervallo non è continua ed in tal caso può succedere di tutto (pensa ad un intervallo $(0,2)$ dove nel tratto $(0,1)$ hai la retta $f(x)=x$ e nel tratto $[1,2)$ hai la retta $2x-3$: sono entrambe strettamente crescenti nei loro "domini" ma la funzione globalmente (cioè in $(0,2)$) non lo è ... quindi non è invertibile.
Per prima cosa una funzione per essere invertibile deve essere o strettamente crescente o strettamente decrescente in un intervallo, non tutte e due le cose (pensa alla parabola $x^2$ nell'intervallo $(-2,2)$), inoltre, in quell'intervallo non è continua ed in tal caso può succedere di tutto (pensa ad un intervallo $(0,2)$ dove nel tratto $(0,1)$ hai la retta $f(x)=x$ e nel tratto $[1,2)$ hai la retta $2x-3$: sono entrambe strettamente crescenti nei loro "domini" ma la funzione globalmente (cioè in $(0,2)$) non lo è ... quindi non è invertibile.
Mi stai dicendo che in (1;3) non è invertibile perché la funzione non è strettamente crescente/ decrescente nell'intero intervallo? Credo di no, ma solo per il tuo sí all'inizio e solo perché la falsa è limite di $f(x)$ per $x$ che tende a 4.5 che è $-1/3$ e sto cercando di capire perché...
Stiamo parlando dello stesso grafico?
Comunque, riferendomi a quello appena sopra, in quell'intervallo la funzione è invertibile ma non è strettamente crescente o strettamente decrescente (essendo discontinua in $x=2$ le cose possono cambiare) ... per l'invertibilità "a occhio" puoi sempre usare il metodo empirico della linea orizzontale: se questa tocca la funzione (nell'intervallo che ci interessa) in due punti la funzione non è invertibile ...
Comunque, riferendomi a quello appena sopra, in quell'intervallo la funzione è invertibile ma non è strettamente crescente o strettamente decrescente (essendo discontinua in $x=2$ le cose possono cambiare) ... per l'invertibilità "a occhio" puoi sempre usare il metodo empirico della linea orizzontale: se questa tocca la funzione (nell'intervallo che ci interessa) in due punti la funzione non è invertibile ...
quindi è invertibile perchè iniettiva nell'intervallo considerato ok.
Ma che
In qst
B) c'è un salto (prima specie)
C) pensavo si riferisse alla simmetria ma non c'entra nulla...Che significa? ( Ogni gg ce ne è una nuova ) ( cmq è vera)
F) minimi relativi in x=-1;x=2... Max relativo x=-3 ed assoluto in x=2 ( perché f limitata, o forse no perchè in 2 l'intervallo è aperto?)
Ok?
Ma che
"Myriam92":non capisco il motivo, sì il grafico è sempre quello che hai detto tu...
la falsa è limite di f(x) per x che tende a 4.5 che è −1/3
In qst
B) c'è un salto (prima specie)
C) pensavo si riferisse alla simmetria ma non c'entra nulla...Che significa? ( Ogni gg ce ne è una nuova ) ( cmq è vera)
F) minimi relativi in x=-1;x=2... Max relativo x=-3 ed assoluto in x=2 ( perché f limitata, o forse no perchè in 2 l'intervallo è aperto?)
Ok?
Continuo a non capire il nesso tra la domanda e il grafico, comunque $lim_(x->9/2) f(x) != -1/3$ ...
B) c'è un salto (non so di quale specie ...
)
C) sì, è vera ... però il codominio dovresti sapere cos'è ... peraltro intende l'insieme delle immagini (questa nuova moda
) ... comunque un modo pratico per verificarlo è questo: l'insieme delle immagini equivale a tutte le $y=f(x)$ quindi basta evidenziarlo sull'asse delle $y$
F) OT: se le domande son 5 perché F? Come per la domanda di prima ... mah ... FINE OT ... questa è falsa (max relativo in $x=-3$)
B) c'è un salto (non so di quale specie ...
)C) sì, è vera ... però il codominio dovresti sapere cos'è ... peraltro intende l'insieme delle immagini (questa nuova moda
) ... comunque un modo pratico per verificarlo è questo: l'insieme delle immagini equivale a tutte le $y=f(x)$ quindi basta evidenziarlo sull'asse delle $y$F) OT: se le domande son 5 perché F? Come per la domanda di prima ... mah ... FINE OT ... questa è falsa (max relativo in $x=-3$)
"axpgn":
Continuo a non capire il nesso tra la domanda e il grafico, comunque lim x→9/2 f(x)≠−1/3 ...
il grafico è lo stesso, ma ne ho trovato un altro con risposte diverse, tra cui questa.. cmq se non è $-1/3$ quant'è?
"axpgn":in che senso?
quindi basta evidenziarlo sull'asse delle y
[ot]
"axpgn":
F) OT: se le domande son 5 perché F? Come per la domanda di prima ... mah ... FINE OT
tra f di funzione, ed F di falso che scrivo accanto alle caselle faccio confusione
, era E[/ot]"axpgn":
questa è falsa (max relativo in x=−3)
in x=2 nn c'è nulLA perchè non possiamo formare l'intorno?
minimi relativi in x=-1;x=2(nessun assoluto perchè hanno la stesse ordinata?... ) sono una barba lo so, ma so pure che li sbaglio sempre
"Myriam92":
il grafico è lo stesso, ma ne ho trovato un altro con risposte diverse, tra cui questa.. cmq se non è $-1/3$ quant'è?
A me lo chiedi? Furba Lei!
... da quel che (intra)vedo, nell'intervallo $(4,6]$ la funzione assume le sembianze (mutaforma ) di una retta di equazione $2-x/2$ quindi $lim_(x->9/2) 2-x/2=2-9/4=-1/4$(... e casomai con domande diverse ...
)"Myriam92":in che senso?
[quote="axpgn"]quindi basta evidenziarlo sull'asse delle y
[/quote]Con l'evidenziatore ... giallo magari ...
... (Ti chiedo scusa, ma non potevo non farlo ... 
)Ad ogni $x$ del dominio corrisponde una $y$ del codominio (e meglio ancora un'immagine di $x$ ovvero $y=f(x)$), quindi per ogni punto del dominio puoi "marcare" un punto sull'asse delle $y$, l'insieme di questi punti è l'insieme delle immagini (o codominio come lo chiama lui ...
)Faccio un paio di esempi per chiarire ...
La F è falsa perché NON è vero che NON esiste max relativo (che invece c'è ...)
"axpgn":
La F è falsa perché NON è vero che NON esiste max relativo (che invece c'è ...)
Ma non è più barboso ripetermi la stessa risposta ( che sì, ho capito , ma forse è che nn avevi capito che l'avevo capito xD ) anziché ldirmi se altre cose che ho scritto in aggiunta sono giuste?
Si, per il limite ti chiedo perché quel valore l'abbiamo sempre trovato senza problemi (nè traffici) graficamente...Come è che è saltata fuori questa "diversità "?
Nel post precedente ti stavo scrivendo (in parole povere, in corrispondenza infatti al grafico che ti ho fatto) che a sx di zero il valore del codominio cambia rispetto a quello a dx di zero... Però in effetti il testo dice " contiene," non che esiste una uguaglianza!
Vabbè almeno adesso mi sono convinta ancora di più col disegnino personalizzato da me
( magari lo dimentico meno facilmente...Anche se è più facile che sta domanda non uscirà mai!)
"Myriam92":
... ma forse è che nn avevi capito che l'avevo capito xD )
Esatto, non avevo capito ...
"Myriam92":
in x=2 nn c'è nulLA perchè non possiamo formare l'intorno?
Un intorno puoi sempre "formarlo" ma non sapendo a cosa ti riferisci, non capisco la finalità della domanda ...
"Myriam92":
minimi relativi in x=-1;x=2(nessun assoluto perchè hanno la stesse ordinata?... )
Tutti e due assoluti, questo è sicuro, sul fatto che $x=2$ sia anche relativo ho qualche dubbio, perché non mi ricordo più se è possibile considerare di minimo relativo un punto in cui la funzione è crescente sia a sx che a dx ... sarei per il no ma non è un giudizio che valga molto ...
"Myriam92":
Si, per il limite ti chiedo perché quel valore l'abbiamo sempre trovato senza problemi (nè traffici) graficamente...Come è che è saltata fuori questa "diversità "?
Banalmente perché gli altri si vedevano ad occhio ... a dir la verità anche questo si può stimare facilmente "visivamente" (se la retta cala di $1$ spostandosi a dx di $2$ allora ce ci si sposta di solo di un quarto, la funzione calerà anch'essa solo di un quarto) però era meno ovvia di altri così ho preferito essere più formale ...
Per il disegno del codominio ...
... è quasi perfetto ... quasi perché la linea verde in verità è continua ... la funzione tende a zero per $x->+infty$ quindi l'insieme delle immagini dell'intervallo $[2,+infty)$ è $[-1,0)$ mentre l'insieme delle immagini dell'intervallo $[0,2)$ è $[0,2)$ quindi la loro unione sarà $[-1,0) vv [0,2)\ ->\ [-1,2]$
"axpgn":
Myriam92 ha scritto:
in x=2 nn c'è nulLA perchè non possiamo formare l'intorno?
Nel senso,,, nn è una max perché il pallino è vuoto?
Cmq.io trovo strano che possano esistere due minimi assoluti insieme, perché nessuno supera il valore dell'altro per poterlo definire tale( interpretazione personale )
Per il limite... Io così ho paura di sbagliare perché nn capisco più se e quando posso trovarlo graficamente o è necessario calcolarlo
Cmq si è fatto tarduccio, ti chiedo per l'ultimissimo ( purtroppo sono finiti anche questi, e io al solito... Lasciamo stare.)
2)salto in x=9/2 e discontinuità eliminabile in x=3
3) i max relativi (propri? Non ricordo se ho già incontrato sto termine ) sono in x=2 e x=9/2( dove il pallino è pieno)
[ Non credo che il punto angoloso che c'è al centro possa essere un max, no?]
4) stavolta il limite è 2( graficamente!!!) E certo, ho la risposta, nn vale....Non illudiamoci che io abbiamo capito il discorso sopra ...
5) non si vede ma è f'(3/2)>f' (5) cioe 0>3/4, no?( falsa)
Edit: grazie per la valutazione della mia opera artistica
Un attimo
Come può il limite fare -1/4 ? Così hai trovato la derivata che è -1/2 .La funzione originaria sarebbe quindi lim per x che tende a 9/2 di $ 1/2x$ e sostituendo risulta$ -9/4$
"Myriam92":
se la retta cala di 1 spostandosi a dx di 2
Come può il limite fare -1/4 ? Così hai trovato la derivata che è -1/2 .La funzione originaria sarebbe quindi lim per x che tende a 9/2 di $ 1/2x$ e sostituendo risulta$ -9/4$
"Myriam92":
... nn è una max perché il pallino è vuoto? ...
Yes
"Myriam92":
Cmq.io trovo strano che possano esistere due minimi assoluti insieme, perché nessuno supera il valore dell'altro per poterlo definire tale( interpretazione personale )
Sì, sarò più preciso: esistono DUE punti di max assoluto ma il valore del max assoluto è UNICO; quindi esiste UN solo max assoluto (com'è ovvio) ma DUE punti di max assoluto (cioè ci sono due ascisse dove la funzione assume lo stesso valore di massimo ...)
Per quanto riguarda quest'ultimo sono perplesso ... la quinta (che non vedo) se è così come scrivi è vera (al contrario di quello cha affermi) perché la derivata in $x=5$ è negativa (lascia perdere il valore che non conosci, ma la funzione cala quindi la pendenza è negativa) ... la quarta è vera ma non perché "il limite vale $2$" (non so come tu faccia a determinarlo con sicurezza) ma semplicemente perché in $x=5$ la funzione è CONTINUA, la quarta domanda è la definizione di continuità ...detto in altro modo: la quarta è vera se la funzione lì è continua, siccome lì la funzione è continua allora la quarta è vera ... la prima è vera ad occhio ... la seconda per me è vera ... la terza sono perplesso (per i motivi che dicevo in un post precedente, anche se leggendo qua e là potrebbero esserlo ... max relativi impropri li trovi in $x=1$ e $x=2$ perché nei loro "dintorni" la funzione cresce (o cala) da una parte e rimane stabile dall'altra)
"Myriam92":
se la retta cala di 1 spostandosi a dx di 2
Come può il limite fare -1/4 ? Così hai trovato la derivata che è -1/2 .La funzione originaria sarebbe quindi lim per x che tende a 9/2 di $ 1/2x$ e sostituendo risulta$ -9/4$
Vorrei anche aggiungere che a differenza del caso prima il problema qui si è cmq posto nonostante f continua
Nell'ultima risposta il secondo membro era f'(1/2) sorry quindi 0>3/4 falso ok?
Non ho capito niente! Mischiare continuamente i problemi porta solo confusione! È una maionese impazzita ...
Uno alla volta, finito quello si passa ad altro, così si genera tanta confusione e si perdono certezze ... IMHO ...
Allora ok ... anche se è $0>1$ non $0>3/4$ ... quindi questa è sicuramente falsa ...
Uno alla volta, finito quello si passa ad altro, così si genera tanta confusione e si perdono certezze ... IMHO ...
"Myriam92":
... Nell'ultima risposta il secondo membro era f'(1/2) sorry quindi 0>3/4 falso ok?
Allora ok ... anche se è $0>1$ non $0>3/4$ ... quindi questa è sicuramente falsa ...
Il limite si riferiva al vecchio grafico...
Che gusto ha la maionese impazzita?
Perché prendi solo il pezzetto di curva dopo zero e e non tutta quanta la curva ( anche prima di zero)?!...( Qst è l'ultimo in rosso)
Che gusto ha la maionese impazzita?
"axpgn":
Allora ok ... anche se è 0>1 non 0>3/4 ...
Perché prendi solo il pezzetto di curva dopo zero e e non tutta quanta la curva ( anche prima di zero)?!...( Qst è l'ultimo in rosso)
"Myriam92":
Il limite si riferiva al vecchio grafico...
Per favore, rifammi la domanda ... precisa, precisa ... cosa c'è che non ti quadra? Siccome a riguardo di questo grafico ho dato diverse risposte, ormai non mi ci raccapezzo più ...
[ot]
"Myriam92":
Che gusto ha la maionese impazzita?
Non lo so, non mi piace ...
[/ot]"Myriam92":
[quote="axpgn"]
Allora ok ... anche se è 0>1 non 0>3/4 ...
Perché prendi solo il pezzetto di curva dopo zero e e non tutta quanta la curva ( anche prima di zero)?!..[/quote]
Che significa, scusa? Tu hai scritto che la richiesta è quella di valutare la derivata della funzione nel PUNTO $x=1/2$, no?
La derivata di quella funione $f(x)$ nel PUNTO $x=1/2$ vale $1$ (cioè $f'(1/2)=1$) ... il PUNTO $x=1/2$ appartiene ad una retta che ha l'equazione $f(x)=x$ quindi la sua derivata è $1$.
Il limite $lim_(x -> 9/2) f(x)$ si riferiva al vecchio grafico...
Banalmente perché gli altri si vedevano ad occhio ... a dir la verità anche questo si può stimare facilmente "visivamente" (se la retta cala di $1$ spostandosi a dx di $2$ allora ce ci si sposta di solo di un quarto, la funzione calerà anch'essa solo di un quarto) però era meno ovvia di altri così ho preferito essere più formale ...$[/quote]
Come può il limite fare -1/4 ? Così hai trovato la derivata che è -1/2 .La funzione originaria sarebbe quindi lim per x che tende a 9/2 di $ 1/2x$ e sostituendo risulta$ -9/4$[/quote]
[ot]sai che la maionese impazzita si può recuperare? (veramente!) io spero di esserci riuscita
[/ot]
certo! e ho applicato Lagrange come mi hai fatto fare qui, nella prima opzione di risposta...remember?
"axpgn":
[quote="Myriam92"]Si, per il limite ti chiedo perché quel valore l'abbiamo sempre trovato senza problemi (nè traffici) graficamente...Come è che è saltata fuori questa "diversità "(doverlo trovarlo analiticamente)?
Banalmente perché gli altri si vedevano ad occhio ... a dir la verità anche questo si può stimare facilmente "visivamente" (se la retta cala di $1$ spostandosi a dx di $2$ allora ce ci si sposta di solo di un quarto, la funzione calerà anch'essa solo di un quarto) però era meno ovvia di altri così ho preferito essere più formale ...$[/quote]
"Myriam92":
Un attimo
[quote="axgpn"]se la retta cala di 1 spostandosi a dx di 2
Come può il limite fare -1/4 ? Così hai trovato la derivata che è -1/2 .La funzione originaria sarebbe quindi lim per x che tende a 9/2 di $ 1/2x$ e sostituendo risulta$ -9/4$[/quote]
[ot]sai che la maionese impazzita si può recuperare? (veramente!) io spero di esserci riuscita
[/ot]"axpgn":
Che significa, scusa? Tu hai scritto che la richiesta è quella di valutare la derivata della funzione nel PUNTO x=1/2, no?
certo! e ho applicato Lagrange come mi hai fatto fare qui, nella prima opzione di risposta...remember?
"Myriam92":
Come può il limite fare -1/4 ? Così hai trovato la derivata che è -1/2 .La funzione originaria sarebbe quindi lim per x che tende a 9/2 di $ 1/2x$ e sostituendo risulta$ -9/4$
Forse ho capito il tuo dubbio ... però ho anche la conferma che non leggi i miei post ...
L'equazione che rappresenta la funzione in quel tratto non è $1/2x$ come dici tu (tra l'altro ti sei persa il "meno" ...) ma bensì $2-1/2x$ (come ho scritto in precedenza ...) ... ok?
[ot]NON mi piace la maionese ...[/ot]
"Myriam92":
certo! e ho applicato Lagrange come mi hai fatto fare qui, nella prima opzione di risposta...remember?
Hai usato Lagrange ma per altri obiettivi ... lo ripeto ancora: il teorema di Lagrange NON serve per trovare la derivata di una curva ma per stabilire se esiste o meno un punto che abbia una certa derivata (ed è quello che hai fatto allora); d'altra parte usare Lagrange su una retta in effetti ti permette di trovare la derivata di tutta la retta ma solo perché tale derivata è costante e quindi uguale su tutti i punti ... è un uso improprio che ti crea confusione ... ok?
"axpgn":
Forse ho capito il tuo dubbio ... però ho anche la conferma che non leggi i miei post ...
Invece io oltre a leggerli, li appunto pure! Solo che nn ricordavo più di averlo fatto!
Quindi quel che ho tentato di fare io( andare a ritroso per trovare la funzione di partenza) nn funziona ? E dobbiamo trovare necessariamente la retta passante per due punti? (Uffff
)"axpgn":
: il teorema di Lagrange NON serve per trovare la derivata di una curva ma per stabilire se esiste o meno un punto che abbia una certa derivata
Ok, lo so, il punto è che io mi riferisco a Lagrange nella risoluzione della prima risposta, nn della seconda ! Per risolverlo il prof fece trovare le rette per derivarle... Il risultato però mi sono accorta che è lo stesso di quello che si trova con Lagrange ( appunto perché nella retta è costante) . Allora perché nn usarlo anche qui?
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