Re: Funzioni con grafico ad una variabile (2)
Seconda risposta: è vero che in $x=4 $ essendoci il salto (credo) non è derivabile? Cioè, è definita ma abbiamo discontinuità..Ok?
Per la terza : ho tenuto in considerazione i soli pallini pieni... Quindi riscontro sempre il valore 1. Può andare?
E il minimo assoluto c'è? Se sì, dove?
Risposte
"Myriam92":
Ok grazie. Ma se nell'ultimo grafico in x= 2 il pallino fosse stato vuoto? Il limite da dx e sx nn cambiava, ma la funzione nel punto nn sarebbe stata definita, giusto?
Giusto.
"Myriam92":
Ed il limite di x che tende a 2 non sarebbe esistito. Ok?
Ok, ma come ora del resto ...
"Myriam92":
Limite per x che tende a 4=0;
Limite per x che tende a 5=-1,..
F(4)= 0
Questi sono ok ...
"Myriam92":
Nn dovemmo avere particolari problemi visto che f è continua in tutto il suo dominio.
Beh, no, non è continua ... nel punto $x=6$ la funzione è definita ma c'è un bel "salto" ...
"Myriam92":
I due punti critici sono: flesso tg orizzontale in $ (-2;1) $
In $ (5;-1,..) $ flesso a tg verticale( discendente)?
Ecco, qui ho qualche perplessità, anche per dimenticanze mie ... cosa intendi per "punti critici" ? Te lo chiedo perché mi pare di ricordare che tra i punti critici ci fossero, per esempio, anche i punti di max e min ...
Poi ... per "tg verticale" e "tg orizzontale" ti riferisci alla funzione o a cosa?
"axpgn":
cosa intendi per "punti critici" ? Te lo chiedo perché mi pare di ricordare che tra i punti critici ci fossero, per esempio, anche i punti di max e min ...
Era trale domande, nn specifica altro, perlopiù anch'io pensavo fossero la stessa cosa ma non è esattamente la stessa cosa:(
"axpgn":
I due punti critici sono: flesso tg orizzontale in (−2;1)
In (5;−1,..) flesso a tg verticale( discendente)?
Sì per , i flessi mi riferisco a quelli della funzione!
Qui graficamente pare che in x=0 ci sia un punto angoloso no? Lagrange l'avremmo potuto applicare solo in [-3;0]; [1;2] o forse no perché manca il pallino? E.ovviamente in tutta l'ultima tratta...
( La discontinuità è in 0 sempre eliminabile e mi pare di aver capito che il limite dx e sx sono uguali perché in effetti la funzione ci sta " attorno " no?); In 2 invece va a $-oo$ sulla dx quindi non c'è ne salto( discontinuità 1° tipo) , nè eliminabilitá della discontinuità(3°) [(suona malissimo xD )]. Se sto dicendo giusto , sappi che in questo modo penso di aver capito (anche per esclusione) come avvengono le classificazioni!(così lo sai pure tu, o forse meglio di no, nn vorrei che impari.anche tu stupidaggini per colpa mia
)
Per i punti critici è come pensavo: ci sono "anche" i max e i min quindi ce ne sono altri oltre a quelli (ma non lo ritengo molto importante); per i flessi, ovviamente erano quelli della funzione ma quello che non capisco è "l'orizzontale" e il "verticale", io non vedo tangenti orizzontali o verticali nei punti di flesso ...
Per quanto riguarda il grafico ... in $x=0$ non c'è il punto angoloso perché c'è un "buco" quindi manca la continuità e quindi neanche puoi utilizzare Lagrange in $[-3,0]$, e neanche per l'ultima tratta perché non è un intervallo chiuso ($(2,9/2]$).
La discontinuità in $x=0$ è eliminabile ma i limiti sx e dx non sono uguali (difatti se non c'era il buco sarebbe stato un punto angoloso ...). Bene per il punto $x=2$.
Mi rifiuto di imparare le classificazioni! ... anche perché non tuti le classificano allo stesso modo ...
Per quanto riguarda il grafico ... in $x=0$ non c'è il punto angoloso perché c'è un "buco" quindi manca la continuità e quindi neanche puoi utilizzare Lagrange in $[-3,0]$, e neanche per l'ultima tratta perché non è un intervallo chiuso ($(2,9/2]$).
La discontinuità in $x=0$ è eliminabile ma i limiti sx e dx non sono uguali (difatti se non c'era il buco sarebbe stato un punto angoloso ...). Bene per il punto $x=2$.
Mi rifiuto di imparare le classificazioni! ... anche perché non tuti le classificano allo stesso modo ...
Punti critici : quali sono allora? I max e min relativi in x=-3 e in x=0?
Come nn sono uguali? Io facendo riferimento al grafico del quaderno pensavo lo fossero
why!?
"axpgn":perché va a $-oo$?
non è un intervallo chiuso ((2,92]).
"axpgn":
La discontinuità in x=0 è eliminabile ma i limiti sx e dx non sono uguali (difatti se non c'era il buco sarebbe stato un punto angoloso ...).
Come nn sono uguali? Io facendo riferimento al grafico del quaderno pensavo lo fossero
why!?
"Myriam92":
Punti critici : quali sono allora? I max e min relativi in x=-3 e in x=0?
Yes
"Myriam92":
perché va a $ -oo $?
Yes
"Myriam92":[/quote]
Punti critici : quali sono allora? I max e min relativi in x=-3 e in x=0?
[quote="axpgn"]Come nn sono uguali? Io facendo riferimento al grafico del quaderno pensavo lo fossero
Premesso che si vede ad occhio che son pendenze diverse (e non è che puoi fare molto altro) ma tu stessa hai supposto che fosse un punto angoloso (e lo sarebbe stato se non ci fosse il "buco"); ora, cos'è un punto angoloso ? Un punto in cui esistono finiti i limiti sx e dx della funzione MA sono diversi ...
Questo è una cosa tua che non capisco: riesci a "vedere" una certa proprietà, una certa caratteristica e poi subito dopo, in un caso più o meno simile ti perdi ... mah ... più concentrazione, più calma, più sicurezza ...
Ciao e Buona Notte, Alex
Ma io nn mi regolo perché
Nell'esponenziale del quaderno la pendenza cambia pure! Cioè, magari non di "netto" come accade qui ( visto che senza buco avremmo il punto angoloso, che anche visivamente è "spigoloso" ) , ma cambia cmq, visto che va crescendo... No!?
Ma poi .. perché se abbiamo la discontinuità eliminabile, i due limiti.dx e sx sono diversi ? La " regola" nn prevede la.loro eguaglianza? O almeno qui io leggo così https://www.matematicamente.it/appunti/ ... za-specie/ (alcuni caratteri nella spiegazione in basso, nn so se pure da te, escono come punti interrogativi...)
"axpgn":
son pendenze diverse (e non è che puoi fare molto altro
Nell'esponenziale del quaderno la pendenza cambia pure! Cioè, magari non di "netto" come accade qui ( visto che senza buco avremmo il punto angoloso, che anche visivamente è "spigoloso"
) , ma cambia cmq, visto che va crescendo... No!?"axpgn":in realtà che io sappia esistono i limiti della.derivata finiti e diversi, quindi si complica la cosa...
cos'è un punto angoloso ? Un punto in cui esistono finiti i limiti sx e dx della funzione MA sono diversi ...
Ma poi .. perché se abbiamo la discontinuità eliminabile, i due limiti.dx e sx sono diversi ? La " regola" nn prevede la.loro eguaglianza? O almeno qui io leggo così https://www.matematicamente.it/appunti/ ... za-specie/ (alcuni caratteri nella spiegazione in basso, nn so se pure da te, escono come punti interrogativi...)
"Myriam92":
Nell'esponenziale del quaderno la pendenza cambia pure! Cioè, magari non di "netto" come accade qui ( visto che senza buco avremmo il punto angoloso, che anche visivamente è "spigoloso"
Sì, cambia ... ma non cambia immediatamente a sx e a dx del punto in questione ... quell'immediatamente sta a significare "infinitamente vicino" al punto ... ovviamente ad occhio vai a interpretazione, in teoria dovresti dimostrarlo analiticamente ... la "spigolosità" dei punti si nota comunque (difatti l'hai notata ...
)"Myriam92":Sì, certo, intendevo i limiti della derivata sx e dx ... sorry
.. in realtà che io sappia esistono i limiti della.derivata finiti e diversi, quindi si complica la cosa...
"Myriam92":
Ma poi .. perché se abbiamo la discontinuità eliminabile, i due limiti.dx e sx sono diversi ? La " regola" nn prevede la.loro eguaglianza? O almeno qui io leggo così https://www.matematicamente.it/appunti/ ... za-specie/ (alcuni caratteri nella spiegazione in basso, nn so se pure da te, escono come punti interrogativi...)
Stai "mischiando" continuità e derivabilità ... se è una discontinuità eliminabile significa che i limiti sx e dx della funzione sono uguali (presupposto per la continuità), ciò non implica che anche i limiti sx e dx della derivata siano uguali (ovvero stessa pendenza e presupposto per la derivabilità)
"axpgn":
se è una discontinuità eliminabile significa che i limiti sx e dx della funzione sono uguali
"axpgn":
La discontinuità in x=0 è eliminabile ma i limiti sx e dx non sono uguali
Giuro che oggi fondo.........
"Myriam92":
[quote="axpgn"]se è una discontinuità eliminabile significa che i limiti sx e dx della funzione sono uguali
"axpgn":
La discontinuità in x=0 è eliminabile ma i limiti sx e dx non sono uguali
Giuro che oggi fondo.........
[/quote]Ah, ma allora non mi leggi ... nel secondo caso ho sbagliato, l'ho scritto qui
"axpgn":Sì, certo, intendevo i limiti della derivata sx e dx ... sorry[/quote]
[quote="Myriam92"].. in realtà che io sappia esistono i limiti della.derivata finiti e diversi, quindi si complica la cosa...
Certo che ho letto, ma siccome mi avevi spiegato che il limite in zero è diverso da dx e sx perché cambia la pendenza mi.ero confusa... Allora la pendenza cambia perché il limite delle derivate dx e sx cambia ? ( Il che rientra nella definizione di punto angoloso che qui nn abbiamo per mancanza di continuità...) Sono questi discorsi ingarbugliati che mi fanno perdere!
"Myriam92":
... Allora la pendenza cambia perché il limite delle derivate dx e sx cambia ? ( Il che rientra nella definizione di punto angoloso che qui nn abbiamo per mancanza di continuità...)
Esatto.
[quote=Myriam92]
Considerando questo grafico ( è il primo del topic) con pallini pieni in 0 e in 6 , come dimostro che in [0;2] è derivabile ? Per forza col limite della derivata dx e sx o c'è un modo più veloce ? Io penso che la derivata a sx di 1 sia positiva e a dx negativa ( e forse sbaglio pure );
In ]4;6] ( penso vada scritto così, non ]4;6[ come nelle risposte) essendo una retta ho usato Lagrange e dà $-1/2$ che a quanto ho capito, visto che il valore della retta è costante dicevi , indica il valore della derivata di tutta la funzione, e non in un solo punto?... Quindi questa porzione dovrebbe essere cmq derivabile...
Considerando questo grafico ( è il primo del topic) con pallini pieni in 0 e in 6 , come dimostro che in [0;2] è derivabile ? Per forza col limite della derivata dx e sx o c'è un modo più veloce ? Io penso che la derivata a sx di 1 sia positiva e a dx negativa ( e forse sbaglio pure );
In ]4;6] ( penso vada scritto così, non ]4;6[ come nelle risposte) essendo una retta ho usato Lagrange e dà $-1/2$ che a quanto ho capito, visto che il valore della retta è costante dicevi , indica il valore della derivata di tutta la funzione, e non in un solo punto?... Quindi questa porzione dovrebbe essere cmq derivabile...
Mi sembra che ci sia un equivoco di fondo tra te e Lagrange: il teorema di Lagrange non serve per stabilire la derivabilità di una funzione in un intervallo ma al contrario per poter applicare detto teorema su un intervallo questo deve essere derivabile, ovvero dobbiamo stabilire la derivabilità di un intervallo prima di applicarlo.
Ora, avendo solo il grafico a disposizione, in generale, non puoi fare altro che supposizioni in base a quello che vedi ... per esempio nell'intervallo $(0,2)$ non si vedono né salti, né buchi, né angoli, né cuspidi quindi riteniamo la curva derivabile in quel tratto; a maggior ragione nel tratto $(4,6)$ dato che è una retta ...
Ora, avendo solo il grafico a disposizione, in generale, non puoi fare altro che supposizioni in base a quello che vedi ... per esempio nell'intervallo $(0,2)$ non si vedono né salti, né buchi, né angoli, né cuspidi quindi riteniamo la curva derivabile in quel tratto; a maggior ragione nel tratto $(4,6)$ dato che è una retta ...
Giusto, ma Lagrange ci fornisce cmq il valore della derivata, no? I metodi di cui parlo sopra x trovarla( anche se, si ok, non mi interessano perché nn richiesti...) Sono errati?
Grazie
Grazie
"Myriam92":
Giusto, ma Lagrange ci fornisce cmq il valore della derivata, no?
Ti dice il valore della derivata di un punto dell'intervallo non di tutto l'intervallo (o meglio dice che esiste un punto che ha quel valore di derivata, non ti dice neanche quale punto)
Non mi è chiaro di quali metodi parli ma il concetto di derivabilità parte sempre dal limite del rapporto incrementale della funzione in un punto; iniziando da lì si dimostra che una retta è derivabile in tutti suoi punti così come una parabola e via via, dimostrando teoremi, così come le funzioni continue sono interamente derivabili, ecc. ecc.
Il limite del rapporto incrementale di una funzione in un punto è uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto, che è pari al valore della tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta tangente con l'asse delle ascisse e che, in linguaggio comune, possiamo chiamare "pendenza".
"axpgn":
Non mi è chiaro di quali metodi parli
Metodi per dire... Questi ragionamenti intendo, sn giusti?
"Myriam92":[/quote]
[quote="Myriam92"]
Considerando questo grafico ( è il primo del topic) con pallini pieni in 0 e in 6 , come dimostro che in [0;2] è derivabile ? Per forza col limite della derivata dx e sx o c'è un modo più veloce ? Io penso che la derivata a sx di 1 sia positiva e a dx negativa ( e forse sbaglio pure );
In ]4;6] ( penso vada scritto così, non ]4;6[ come nelle risposte) essendo una retta ho usato Lagrange e dà $ -1/2 $ che a quanto ho capito, visto che il valore della retta è costante dicevi , indica il valore della derivata di tutta la funzione, e non in un solo punto?... Quindi questa porzione dovrebbe essere cmq derivabile...
Quindi nella pratica tra limite della derivata e derivata non c'è differenza perché si intende sempre la pendenza?
Aspetta, son due cose diverse ... si chiama derivata di una funzione (in un punto) il limite del rapporto incrementale della funzione (in quel punto) mentre per "limite della derivata" (in un punto) si intende il limite (in quel punto) della "funzione" derivata (quindi, in ultima analisi, è un limite di funzione). Chiaro?
Quindi il limite del limite del rapporto incrementale è un limite di funzione stop xD
Cmq non ho ancora capito nella pratica come dovrei dimostrare che negli intervalli [0;2] e ]4;6] è derivabile f
Cmq non ho ancora capito nella pratica come dovrei dimostrare che negli intervalli [0;2] e ]4;6] è derivabile f
"Myriam92":
Cmq non ho ancora capito nella pratica come dovrei dimostrare che negli intervalli [0;2] e ]4;6] è derivabile f
A occhio!
"axpgn":
... Ora, avendo solo il grafico a disposizione, in generale, non puoi fare altro che supposizioni in base a quello che vedi ... per esempio nell'intervallo $ (0,2) $ non si vedono né salti, né buchi, né angoli, né cuspidi quindi riteniamo la curva derivabile in quel tratto; a maggior ragione nel tratto $ (4,6) $ dato che è una retta ...
Autocitazione ...
In ]1;3[ abbiamo tutte funzioni iniettive e rispettivamente strettamente descrescente e strettamente crescente quindi lì la funzione è invertibile?
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