Insiemistica (con funzioni)
siano$D$ i numeri dispari e $f:D->NN$ la funzione definita dalla legge $f(d)=(d-1)/2$ per ogni $dinD$
io ho capito che dobbiamo semplicemente impostare lo schema f(d)=1,3,5,7; (d-1)/2=0,1,2,3.
Per definizione so cosa è una funzione iniettiva (ad ogni elemento di f(d) deve corrispondere un solo elemento di quello che ho messo nella funzione accanto)... se è suriettiva ad ogni elemento di (d-1)/2 ne corrisponde qualcuno di f(d));
qui come dimostro che le caratteristiche le abbiamo entrambe? E, visto che l'inversa c'è pure, perchè è data dai valori che ho dato a (d-1)/2?
(da come si potrebbe ben dedurre le soluzioni le ho già, ma ho difficoltà ad interpretarle...
)
grazie
io ho capito che dobbiamo semplicemente impostare lo schema f(d)=1,3,5,7; (d-1)/2=0,1,2,3.
Per definizione so cosa è una funzione iniettiva (ad ogni elemento di f(d) deve corrispondere un solo elemento di quello che ho messo nella funzione accanto)... se è suriettiva ad ogni elemento di (d-1)/2 ne corrisponde qualcuno di f(d));
qui come dimostro che le caratteristiche le abbiamo entrambe? E, visto che l'inversa c'è pure, perchè è data dai valori che ho dato a (d-1)/2?
(da come si potrebbe ben dedurre le soluzioni le ho già, ma ho difficoltà ad interpretarle...
) grazie
Risposte
Le richieste quali sono? Per favore ... non puoi "partire" con le tue idee se non si sa neanche cosa si deve trovare ...
Comunque un hint semplice, semplice: i numeri dispari si rappresentano così $2k+1$ ...
Comunque un hint semplice, semplice: i numeri dispari si rappresentano così $2k+1$ ...
mi serve sapere se la funzione è iniettiva, suriettiva e quale è la sua inversa 
Il mio hint è sufficiente ... ed è già una risposta ...
Daiiii non vale, il tuo hint ce l'ho già tra le opzioni di risposta!
L'unica cosa che mi viene in mente è trovare k che non serve a nulla (e che il libro chiama n, ma nn ha importanza nemmeno).
Un altro aiutinoinoino? *.*
L'unica cosa che mi viene in mente è trovare k che non serve a nulla (e che il libro chiama n, ma nn ha importanza nemmeno).
Un altro aiutinoinoino? *.*
Una funzione è iniettiva se $f(x_1)=f(x_2)$ implica che $x_1=x_2$ ...
io vedo solo $f(d)=2n+1$ e $(d-1)/2=n$
illuminami, lo sai che non ci vedo bene XD
forse intravedo uno spiraglio...
$(d-1)/2=n$ da cui $d=2n+1$ che è f(d)? per questo è iniettiva?
scusa ma quando abbiamo fatto le funzioni x e y pero' non dovevano assumere valori diversi? :S
illuminami, lo sai che non ci vedo bene XD
forse intravedo uno spiraglio...
$(d-1)/2=n$ da cui $d=2n+1$ che è f(d)? per questo è iniettiva?
scusa ma quando abbiamo fatto le funzioni x e y pero' non dovevano assumere valori diversi? :S
Che confusione ...
Ripartiamo dalla definizione ...
Questa è un'implicazione logica cioè $f(x_1)=f(x_2)\ =>\ x_1=x_2$
Prendiamo due immagini qualsiasi $y_1$ e $y_2$ date da $y_1=f(x_1)=(x_1-1)/2$ e $y_2=f(x_2)=(x_2-1)/2$
Se sono diverse ($y_1!=y_2$ cioè $f(x_1)!=f(x_2)$) allora la premessa dell'implicazione è falsa e l'implicazione è vera.
Se sono uguali ($y_1=y_2$ cioè $f(x_1)=f(x_2)$) allora dobbiamo verificare se è vera anche la conclusione dell'implicazione ... vediamo se è vera ...
Da $y_1=y_2$ cioè $f(x_1)=f(x_2)$ discende che $(x_1-1)/2=(x_2-1)/2$ da cui $x_1-1=x_2-1$ ovvero $x_1=x_2$.
Anche la conclusione dell'implicazione è vera quando la premessa è vera, ne consegue che l'implicazione è vera.
Conclusione: la funzione è iniettiva
Ripartiamo dalla definizione ...
"axpgn":
Una funzione è iniettiva se $ f(x_1)=f(x_2) $ implica che $ x_1=x_2 $ ...
Questa è un'implicazione logica cioè $f(x_1)=f(x_2)\ =>\ x_1=x_2$
Prendiamo due immagini qualsiasi $y_1$ e $y_2$ date da $y_1=f(x_1)=(x_1-1)/2$ e $y_2=f(x_2)=(x_2-1)/2$
Se sono diverse ($y_1!=y_2$ cioè $f(x_1)!=f(x_2)$) allora la premessa dell'implicazione è falsa e l'implicazione è vera.
Se sono uguali ($y_1=y_2$ cioè $f(x_1)=f(x_2)$) allora dobbiamo verificare se è vera anche la conclusione dell'implicazione ... vediamo se è vera ...
Da $y_1=y_2$ cioè $f(x_1)=f(x_2)$ discende che $(x_1-1)/2=(x_2-1)/2$ da cui $x_1-1=x_2-1$ ovvero $x_1=x_2$.
Anche la conclusione dell'implicazione è vera quando la premessa è vera, ne consegue che l'implicazione è vera.
Conclusione: la funzione è iniettiva
Perfetto. Adesso la soluzione del libro di un rigo (le due immagini eguagliate) espressa in 7 posso dire che ha un senso.
Resta la perplessità della funzione( x e y pero' non dovevano assumere valori diversi?)
Cmq per la suriettività che si fa? Inutile darmi consigli perchè qui sarei proprio cieca, lo sai...andiamo al sodo
Resta la perplessità della funzione( x e y pero' non dovevano assumere valori diversi?)
Cmq per la suriettività che si fa? Inutile darmi consigli perchè qui sarei proprio cieca, lo sai...andiamo al sodo
"Myriam92":
Resta la perplessità della funzione( x e y pero' non dovevano assumere valori diversi?
Questa continuo a non capirla ma è meglio andare oltre ...
Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio ... in simboli dovrebbe essere ... posto $y in \text(Codominio)$ abbiamo che $AAy: y=f(x) ^^ x in \text(Dominio)$
Proviamo a verificarlo ...
Il dominio della nostra funzione è l'insieme dei numeri naturali dispari mentre il codominio è l'insieme dei numeri naturali.
Prendiamo un elemento $y$ qualsiasi del nostro codominio (cioè $y in NN$); affinché la nostra tesi sia verificata deve essere $y=f(x)=(x-1)/2$ in cui $x$ è un numero dispari.
Ipotizziamo che sia $y=(x-1)/2$ e vediamo se ne esce qualcosa di buono ...
Da $y=(x-1)/2$ otteniamo $2y=x-1$ e poi $x=2y+1$ ... possiamo notare che l'espressione $2y+1$ rappresenta sempre un numero dispari dato che $2x$ è sempre pari in quanto divisibile per due e $2x+1$ è il successivo di un numero pari quindi dispari.
Ne consegue che ogni elemento del nostro codominio (ovvero ogni numero naturale (il nostro $y$)) è immagine di un elemento del dominio.
Conclusione: la funzione è suriettiva.
"Myriam92":
ad ogni elemento del dominio deve corrispondere un solo elemento del codominio
Io non vedo questa cosa applicata nella pratica (nell Esercizio svolto!)
Per la suriettivitá la tesi sarebbe
"axpgn":?
f(x)∧x∈Dominio
Ve bene, grazie. Ora passiamo alla inversa?:)
"Myriam92":
[quote="Myriam92"]ad ogni elemento del dominio deve corrispondere un solo elemento del codominio
Io non vedo questa cosa applicata nella pratica (nell Esercizio svolto!)[/quote]
Ma questa frase è tua, del libro o che? Perché fai riferimento a questa frase?
Ti ricordo comunque che quella è la definizione di "funzione" ovvero "viene prima di tutto": detto in altro modo, se non è verificata NON stiamo "lavorando" su una funzione ...
"Myriam92":
Ora passiamo alla inversa?:)
Già fatto!
... e non te ne sei neanche accorta? Oh, no ... 
... ... Buona Notte
Alex
"Myriam92":
Per la suriettivitá la tesi sarebbe $y=f(x)∧x∈Dominio$
Per ogni $y$ ! dove $y$ è un elemento del codominio quindi in definitiva "per ogni elemento del codominio"
"axpgn":
Myriam92 ha scritto:
ad ogni elemento del dominio devono corrispondere distinti elementi del codominio
Ora ci siamo. Il valore del codominio è l'ipotesi, la tesi è il dominio?
Lo so che l'inversa è $2n+1$ ma come lo dimostro?
Sto tentando di interpretare cosa vuoi dire con quella frase e dopo vari tentativi, forse, ci sono riuscito ...
Vuoi dire che "una funzione è iniettiva se a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio"?
Sì, così va bene ... lasciamo perdere il codominio come ipotesi e il dominio come tesi ... no comment ... tra l'altro è una definizione non un teorema, due concetti profondamente diversi ... che sarebbe meglio se ripassassi ...
L'inversa hai dimostrato che esiste (la funzione è iniettiva e suriettiva quindi invertibile), adesso la trovi (peraltro già fatto nella dimostrazione della suriettività ...)
Hai (genericamente) $y=f(x)=(x-1)/2$ cioè $y$ funzione di $x$ ... devi solo trovare $x$ in funzione di $y$ ...
$y=(x-1)/2\ ->\ 2y=x-1\ ->\ 2y+1=x$ ... fatto ...
(per la precisione rimarrebbe ancora un passo cioè riscriverla come $y=2x+1$ altrimenti sul grafico non viene ...)
Vuoi dire che "una funzione è iniettiva se a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio"?
Sì, così va bene ... lasciamo perdere il codominio come ipotesi e il dominio come tesi ... no comment ... tra l'altro è una definizione non un teorema, due concetti profondamente diversi ... che sarebbe meglio se ripassassi ...
L'inversa hai dimostrato che esiste (la funzione è iniettiva e suriettiva quindi invertibile), adesso la trovi (peraltro già fatto nella dimostrazione della suriettività ...)
Hai (genericamente) $y=f(x)=(x-1)/2$ cioè $y$ funzione di $x$ ... devi solo trovare $x$ in funzione di $y$ ...
$y=(x-1)/2\ ->\ 2y=x-1\ ->\ 2y+1=x$ ... fatto ...
(per la precisione rimarrebbe ancora un passo cioè riscriverla come $y=2x+1$ altrimenti sul grafico non viene ...)
$ f(x_1)=f(x_2)\ =>\ x_1=x_2 $
Qui l'ipotesi è il nostro " distinto elemento di y"; la tesi è il distinto elemento di x?
Cmq, a parte ringraziarti per le tue spiegazioni, in modo più o meno antitetico definibili come " notturne ma chiare "
Vorrei farti vedere questa slide
Aggiungendo una "regola" vista sul libro : una qualunque funzione di A in B non può mai essere iniettiva perché almeno due elementi di A hanno necessariamente lo stesso corrispondente in B .
Perché la slide parla di iniettivitá allora?
Qui l'ipotesi è il nostro " distinto elemento di y"; la tesi è il distinto elemento di x?
Cmq, a parte ringraziarti per le tue spiegazioni, in modo più o meno antitetico definibili come " notturne ma chiare "
Vorrei farti vedere questa slide
Aggiungendo una "regola" vista sul libro : una qualunque funzione di A in B non può mai essere iniettiva perché almeno due elementi di A hanno necessariamente lo stesso corrispondente in B .
Perché la slide parla di iniettivitá allora?
"Myriam92":
$ f(x_1)=f(x_2)\ =>\ x_1=x_2 $
Qui l'ipotesi è il nostro " distinto elemento di y"; la tesi è il distinto elemento di x?
A dir la verità, questa è la "contrapositiva" della tua ...
Contrapositive (la scrivo così perché non so come si traduce in italiano): è un'implicazione che si ricava dalla principale in questo modo ...
Implicazione principale: $p\ =>\ q$
Implicazione "contrapositiva": $notq\ =>\ notp$
L'implicazione principale e la sua "contrapositiva" hanno lo stesso valore di verità ovvero sono equivalenti.
Nel nostro caso consideriamo la tua come implicazione principale cioè $p\ =>\ q$ dove $p$ significa "Dati $x_1$ e $x_2$ elementi distinti del dominio" e $q$ significa "$f(x_1)$ e $f(x_2)$ sono elementi distinti del codominio" e la mia come "contrapositiva" cioè $notq\ =>\ notp$ dove $notq$ significa "Dati $f(x_1)$ e $f(x_2)$ elementi uguali del codominio" e $notp$ significa "gli elementi del dominio $x_1$ e $x_2$ sono uguali" ... sono equivalenti ...
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La "regola" non si riferisce a questa slide ... sicuro ...
In pratica ho scritto la forma diciamo "negativa" della implicazione principale, e ci ho pure azzeccato perché equivalente? xD
Quindi sono un genio inconsapevolmente, e né io né nessun altro lo sa!( Ahahahah prrrr....)
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Certo, la regola non è che l'ho trovata là "nei paraggi" ma sicuramente generalizza a tal punto che pensavo potesse riferirsi anche a quella slide. La funzione lì non va da A in B?
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Questo come si svogle?
1)Quante sono le funzioni suriettive da un insieme di 7 elementi ad uno di due elementi?(126)
----
E questo :
2) dato l'insieme $x={x_1;x_2;x_3;x_4}$, sia R la relazione binaria sull'insieme delle parti di X definita come segue per ogni A,B incluso in X:
$ARBharrx_2 in A nn B$
Come dimostro che R non è una relazione di equivalenza su P(X)?
A me l'unica cosa che viene in mente è che in effetti non vedo alcuna partizione nemmeno in R... ^_^"
••• Grazie •••
Quindi sono un genio inconsapevolmente, e né io né nessun altro lo sa!( Ahahahah prrrr....)
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Certo, la regola non è che l'ho trovata là "nei paraggi" ma sicuramente generalizza a tal punto che pensavo potesse riferirsi anche a quella slide. La funzione lì non va da A in B?
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Questo come si svogle?
1)Quante sono le funzioni suriettive da un insieme di 7 elementi ad uno di due elementi?(126)
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E questo :
2) dato l'insieme $x={x_1;x_2;x_3;x_4}$, sia R la relazione binaria sull'insieme delle parti di X definita come segue per ogni A,B incluso in X:
$ARBharrx_2 in A nn B$
Come dimostro che R non è una relazione di equivalenza su P(X)?
A me l'unica cosa che viene in mente è che in effetti non vedo alcuna partizione nemmeno in R... ^_^"
••• Grazie •••
"Myriam92":
Certo, la regola non è che l'ho trovata là "nei paraggi" ma sicuramente generalizza a tal punto che pensavo potesse riferirsi anche a quella slide. La funzione lì non va da A in B?
Ma quella "regola" si riferiva ad altri $A$ e $B$, ad un caso diverso ... presumo, a sensazione, che riguardasse il caso di due insiemi di cardinalità finita e tali che $|A|>|B|$.
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"Myriam92":
1)Quante sono le funzioni suriettive da un insieme di 7 elementi ad uno di due elementi?(126)
Dato che parliamo di funzioni, tutti i $7$ elementi del dominio devono sempre essere "coinvolti" in ciascuna di queste funzioni così come in ogni funzione devono "comparire" entrambi i membri del codominio.
Perciò non potrà esserci la funzione che collega tutti i $7$ elementi ad un solo elemento del codominio lasciando "scoperto" l'altro ... quindi come minimo, detti $a$ e $b$ i due elementi del codominio, avremo un elemento $x_1$ del dominio "collegato" ad $a$ e gli altri $6$ collegati a $b$; di funzioni di questo tipo ne avremo altre sei al variare di $x$ nel dominio, inoltre avremo anche la situazione analoga con $x_1$ collegato a $b$ e gli altri $6$ collegati ad $a$.
In totale $14$ che in formule possiamo scrivere $((7),(1))+((7),(1))$.
Avremo poi le funzioni del tipo $2$ verso $a$ e $5$ verso $b$ (e analoghe) e del tipo $3$ verso $a$ e $4$ verso $b$ (e analoghe) ... complessivamente $((7),(1))+((7),(1))+((7),(2))+((7),(2))+((7),(3))+((7),(3))$
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$x_2$ è proprio $x_2$ oppure rappresenta un generico $x$ ?
Mi sembra che manchi la riflessività ... cioè $x_2$ non può appartenere a tutti i sottoinsiemi di $X$ quindi se $x_2 notin C$ allora non è vero che $CRC$ in quanto $x_2 notin C nn C$
"axpgn":
presumo, a sensazione, che riguardasse il caso di due insiemi di cardinalità finita e tali che |A|>|B|.
Presumi? Tu ne sai una più del... Libro! ( In tutto ciò ancora nn capisco perché vale quella "regola"!)
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"axpgn":
Myriam92 ha scritto:
1)Quante sono le funzioni suriettive da un insieme di 7 elementi ad uno di due elementi?(126)
Coefficiente binomiale... D'obbligo? Io ti dò l hint, tu però semplifica se è possibile!
[Si calcoli il numero di tutte le funzioni da un insieme di 7 elementi a uno di due e si SOTTRAGGA da qst il numero delle Funzioni nn suriettive.]
"axpgn":anche perché qui nn ti ho capito...
di funzioni di questo tipo ne avremo altre sei al variare di x nel dominio,
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"axpgn":
x2 è proprio x2 oppure rappresenta un generico x ?
Mi sembra che manchi la riflessività ... cioè x2 non può appartenere a tutti i sottoinsiemi di X quindi se x2∉C allora non è vero che CRC in quanto x2∉C∩C
Qui a giudicare dal suggerimento ( che nn ti serve
) il tuo ragionamento è corretto. Ma come fai a dire che"axpgn":
x2 non può appartenere a tutti i sottoinsiemi di X
E poi... C cosa sarebbe?
"Myriam92":
( In tutto ciò ancora nn capisco perché vale quella "regola"!)
Poniamo che tu abbia due insiemi di cardinalità finita $|A|=m$ e $|B|=n$ con $m>n$.
Affinché esista una funzione $f: A -> B$ dobbiamo collegare ogni elemento di $A$ con un (solo) elemento di $B$; iniziamo prendendo un elemento qualsiasi di $A$ e lo colleghiamo con un elemento qualsiasi di $B$, poi prendiamo un secondo elemento di $A$ e lo colleghiamo ad un elemento di $B$ diverso da quello precedente (perché vorremmo che fosse iniettiva) e proseguiamo in questo modo ... all'$n\text(-esimo)$ collegamento avremo "utilizzato" $n$ elementi di $A$ e tutti gli $n$ elementi di $B$; a 'sto punto l'ulteriore elemento di $A$ (che esiste perché $m>n$) verrà collegato per forza ad un elemento di $B$ già "utilizzato" precedentemente ... e l'iniettività svanisce ...
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