Insiemistica (con funzioni)
siano$D$ i numeri dispari e $f:D->NN$ la funzione definita dalla legge $f(d)=(d-1)/2$ per ogni $dinD$
io ho capito che dobbiamo semplicemente impostare lo schema f(d)=1,3,5,7; (d-1)/2=0,1,2,3.
Per definizione so cosa è una funzione iniettiva (ad ogni elemento di f(d) deve corrispondere un solo elemento di quello che ho messo nella funzione accanto)... se è suriettiva ad ogni elemento di (d-1)/2 ne corrisponde qualcuno di f(d));
qui come dimostro che le caratteristiche le abbiamo entrambe? E, visto che l'inversa c'è pure, perchè è data dai valori che ho dato a (d-1)/2?
(da come si potrebbe ben dedurre le soluzioni le ho già, ma ho difficoltà ad interpretarle...
)
grazie
io ho capito che dobbiamo semplicemente impostare lo schema f(d)=1,3,5,7; (d-1)/2=0,1,2,3.
Per definizione so cosa è una funzione iniettiva (ad ogni elemento di f(d) deve corrispondere un solo elemento di quello che ho messo nella funzione accanto)... se è suriettiva ad ogni elemento di (d-1)/2 ne corrisponde qualcuno di f(d));
qui come dimostro che le caratteristiche le abbiamo entrambe? E, visto che l'inversa c'è pure, perchè è data dai valori che ho dato a (d-1)/2?
(da come si potrebbe ben dedurre le soluzioni le ho già, ma ho difficoltà ad interpretarle...
) grazie
Risposte
"Myriam92":
[quote="axpgn"]sappiamo che $ A\\C $ appartiene all'insieme di arrivo
Lo dovrei capire perché C appartiene all'insieme delle parti di A? Mah, manco se dedicassi tutto il compito solo a ciò xD [/quote]
No, semplicemente perché $A\\C$ è l'immagine di un elemento del dominio cioè la $y$ del momento ... e le $y$ (ossia le immagini) appartengono al codominio ...
"Myriam92":
... Tra l'altro nn capisco ancora quali siano per l'esattezza sti 16 elementixD
$ A={a,b} $
$ A xx A = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} $
$ P(A xx A)={phi, {(a,a)}, {(a,b)}, {(b,a)}, {(b,b)}, {(a,a),(a,b)}, {(a,a),(b,a)}, {(a,a),(b,b)}, {(a,b),(b,a)}, {(a,b),(b,b)}, {(b,a),(b,b)}, {(a,a),(a,b),(b,a)}, {(a,a),(a,b),(b,b)}, {(a,a),(b,a),(b,b)}, {(a,b),(b,a),(b,b)}, {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}}$
L'inversa di questa biettiva come la troviamo ?
--
Finora mi pare che tutte le suriettive le che abbiamo visto avevano una corrispondenza.. un' uguaglianza tra dominio e insieme delle immagini...
Per cui se ho A=a,b,c, d ; X=x,y,z in cui ogni elemento di A si collega in modo ordinato ad ogni elemento di X ( tranne d che essendo in eccesso si collega,come c, in z) cm può essere suriettiva?
"axpgn":o del codominio?
cioè la y del momento
--
Finora mi pare che tutte le suriettive le che abbiamo visto avevano una corrispondenza.. un' uguaglianza tra dominio e insieme delle immagini...
Per cui se ho A=a,b,c, d ; X=x,y,z in cui ogni elemento di A si collega in modo ordinato ad ogni elemento di X ( tranne d che essendo in eccesso si collega,come c, in z) cm può essere suriettiva?
Ripeti con me: una funzione è suriettiva se l'insieme delle immagini coincide con l'insieme di arrivo.
Da scrivere cento volte sul quaderno ...
In questo caso l'insieme di arrivo è $X={x,y,z)$ mentre le immagini sono $f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z, f(d)=z$ quindi l'insieme delle immagini (=codominio secondo il tuo prof) è ${x,y,z}$ ... coincidono indi è suriettiva ...
Da scrivere cento volte sul quaderno ...
In questo caso l'insieme di arrivo è $X={x,y,z)$ mentre le immagini sono $f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z, f(d)=z$ quindi l'insieme delle immagini (=codominio secondo il tuo prof) è ${x,y,z}$ ... coincidono indi è suriettiva ...
Sempre $ f(C)=A\\C, AACinP(A) $ qui chiedevo come trovare l inversa please...
Non potevo, troppo ridere
ma l'ho scritto a caratteri cubitali ( ciò non garantisce nulla cmq xD )
-----
Sia $f: ZZ-> NN $ la funzione definita da f(z) = |z| (valore assoluto, lo potrebbero cmq scrivere) per ogni $zin ZZ$ e sia R la relazione di equivalenza su $ZZ$ definita come $aRbhArrf(a)=f(b)$.
Le classi della partizione associata a R hanno diversa cardinalità forse perché a ha cardinalità 2 e b 1?
Dato che
1;-1-> 1
2;-2->2
?
Grazie.. e scusa se sn ripetitiva..
"axpgn":
Ripeti con me
Non potevo, troppo ridere
ma l'ho scritto a caratteri cubitali ( ciò non garantisce nulla cmq xD )-----
Sia $f: ZZ-> NN $ la funzione definita da f(z) = |z| (valore assoluto, lo potrebbero cmq scrivere) per ogni $zin ZZ$ e sia R la relazione di equivalenza su $ZZ$ definita come $aRbhArrf(a)=f(b)$.
Le classi della partizione associata a R hanno diversa cardinalità forse perché a ha cardinalità 2 e b 1?
Dato che
1;-1-> 1
2;-2->2
?
Grazie.. e scusa se sn ripetitiva..
"Myriam92":
Sempre $ f(C)=A\\C, AACinP(A) $ qui chiedevo come trovare l inversa please...
L'inversa di $f$ è $f$ ...
Se $f({(a,b)})={(c,d)}$ e $f({(c,d)})={(a,b)}$ allora $f^(-1)({(a,b)})={(c,d)}$ e $f^(-1)({(c,d)})={(a,b)}$ ...
"Myriam92":
Le classi della partizione associata a R hanno diversa cardinalità ...
Tutte le classi hanno cardinalità $2$ (son tutte tipo ${(a, -a)}$) tranne la classe ${0}$ che ha cardinalità $1$
Perfetto grazie ancora.
Se ho insiemi A=a,b,c, ; X=x,y,z e sia f: P(A)->P(x) una funzione arbitraria tra i rispettivi insiemi delle parti...
Perché se f è suriettiva allora è biunivoca?
Sembra iniettiva ma nn lo è, in più l'asserzione mi rende perplessa perché è come se la suriettivitá fosse " facoltativa"
Se ho insiemi A=a,b,c, ; X=x,y,z e sia f: P(A)->P(x) una funzione arbitraria tra i rispettivi insiemi delle parti...
Perché se f è suriettiva allora è biunivoca?
Sembra iniettiva ma nn lo è, in più l'asserzione mi rende perplessa perché è come se la suriettivitá fosse " facoltativa"
Devi riportare il testo completo ... non è chiara affatto ...
Scusa, ho modificato ora.. spero sia chiaro, non aggiunge altro
Non è vero che non aggiunge altro ... se è come gli altri quesiti è a risposta multipla (e le altre mancano), inoltre manca la richiesta (è vera, è falsa, ecc.)
Comunque mi dovrebbe bastare ...
L'insieme $P(A)$ ha $8$ elementi, l'insieme $P(X)$ anche ... ora, noi sappiamo che qualsiasi funzione per chiamarsi tale deve "coinvolgere" tutti gli elementi del dominio (otto in questo caso) e quindi ciascun elemento del dominio avrà una sua immagine, la quale può essere la stessa per tutti e otto oppure un'immagine per due elementi e un'altra per gli altri sei oppure un'immagine per tre elementi del dominio, un'altra per altri due ed un'altra ancora per i restanti tre ... e così via ...
Ora, dato che l'insieme di partenza e l'insieme di arrivo hanno gli stessi elementi, è evidente che se anche solo due elementi del dominio avessero un'immagine in comune allora un elemento dell'insieme di arrivo rimarrebbe "scoperto" e quindi la $f$ non sarebbe suriettiva ... ne concludiamo quindi che nel caso in cui $f$ sia suriettiva, per forza di cose ad ogni immagine corrisponde uno e un solo elemento del dominio e quindi è anche iniettiva perciò biunivoca ...
A riguardo della "facoltatività" ... stiamo parlando di una funzione $f$ arbitraria, perciò potrebbe essere iniettiva o suriettiva o tutte e due le cose o nessuna delle due ... però nel caso in cui fosse suriettiva accade quanto detto sopra ...
Buona Notte, Alex
P.S.: se conti quante volte ho scritto "insieme di arrivo" (invece di codominio) capisci perché #@"$!% ...
Comunque mi dovrebbe bastare ...
L'insieme $P(A)$ ha $8$ elementi, l'insieme $P(X)$ anche ... ora, noi sappiamo che qualsiasi funzione per chiamarsi tale deve "coinvolgere" tutti gli elementi del dominio (otto in questo caso) e quindi ciascun elemento del dominio avrà una sua immagine, la quale può essere la stessa per tutti e otto oppure un'immagine per due elementi e un'altra per gli altri sei oppure un'immagine per tre elementi del dominio, un'altra per altri due ed un'altra ancora per i restanti tre ... e così via ...
Ora, dato che l'insieme di partenza e l'insieme di arrivo hanno gli stessi elementi, è evidente che se anche solo due elementi del dominio avessero un'immagine in comune allora un elemento dell'insieme di arrivo rimarrebbe "scoperto" e quindi la $f$ non sarebbe suriettiva ... ne concludiamo quindi che nel caso in cui $f$ sia suriettiva, per forza di cose ad ogni immagine corrisponde uno e un solo elemento del dominio e quindi è anche iniettiva perciò biunivoca ...
A riguardo della "facoltatività" ... stiamo parlando di una funzione $f$ arbitraria, perciò potrebbe essere iniettiva o suriettiva o tutte e due le cose o nessuna delle due ... però nel caso in cui fosse suriettiva accade quanto detto sopra ...
Buona Notte, Alex
P.S.: se conti quante volte ho scritto "insieme di arrivo" (invece di codominio) capisci perché #@"$!% ...
una funzione è suriettiva se l'insieme delle immagini coincide con l'insieme di arrivo.
Ma se dicessimo che l'insieme di arrivo corrisponde al suo dominio nn c'entra nulla?
Ma se dicessimo che l'insieme di arrivo corrisponde al suo dominio nn c'entra nulla?
Non c'entra nulla per accertare (solamente) la suriettività ... non ci dice niente a tal riguardo ... (ciò non esclude che in altri contesti, più elaborati, possa (teoricamente) avere una sua rilevanza ...)
Ieri mi è sorto il dubbio a causa del primissimo esercizio:
Siano $D$ i numeri dispari e $f:D->NN$ la funzione definita dalla legge $f(d)=(d-1)/2$ per ogni $dinD$
Dalla formula inversa di f(d) troviamo la "definizione di dispari" per questo ho dedotto quanto scritto sopra ( cioè l'uguaglianza delle immagini al dominio)
Volendoci invece attenere alla tua definizione di suriettivitá basterebbe notare semplicem che l'insieme delle immagini è già l'insieme di arrivo ( i naturali) senza ricavarci la x dalla nostra legge.
Nel frattempo guardo l'ultimo es che mi hai risolto...
Siano $D$ i numeri dispari e $f:D->NN$ la funzione definita dalla legge $f(d)=(d-1)/2$ per ogni $dinD$
Dalla formula inversa di f(d) troviamo la "definizione di dispari" per questo ho dedotto quanto scritto sopra ( cioè l'uguaglianza delle immagini al dominio)
Volendoci invece attenere alla tua definizione di suriettivitá basterebbe notare semplicem che l'insieme delle immagini è già l'insieme di arrivo ( i naturali) senza ricavarci la x dalla nostra legge.
Nel frattempo guardo l'ultimo es che mi hai risolto...
L'insieme delle immagini è l'insieme delle $f(x)$ (quelle che (molto) informalmente chiamiamo $y$ ...) e su questo non ci piove ...
L'insieme di arrivo è quello che nella definizione di una funzione $f: A -> B$ sta a destra, dalla parte della punta della freccia ovvero $B$ in questo esempio ... ... e anche su questo non ci sono dubbi ...
Ora i due insiemi possono coincidere oppure no, quando coincidono la funzione è suriettiva ... di sicuro comunque è che
$(\text(insieme delle immagini))\ sube\ (\text(insieme di arrivo))$
I dubbi nascono dal fatto che (per quanto ne so, ma mi pare di essere in buona compagnia) "l'insieme di arrivo" è sempre stato denominato "codominio" mentre da un po' di tempo a questa parte è in atto una tendenza a chiamare "l'insieme delle immagini" con la denominazione di codominio ... e da qui nasce la confusione ...
L'insieme di arrivo è quello che nella definizione di una funzione $f: A -> B$ sta a destra, dalla parte della punta della freccia ovvero $B$ in questo esempio ...
... e anche su questo non ci sono dubbi ...Ora i due insiemi possono coincidere oppure no, quando coincidono la funzione è suriettiva ... di sicuro comunque è che
$(\text(insieme delle immagini))\ sube\ (\text(insieme di arrivo))$
I dubbi nascono dal fatto che (per quanto ne so, ma mi pare di essere in buona compagnia) "l'insieme di arrivo" è sempre stato denominato "codominio" mentre da un po' di tempo a questa parte è in atto una tendenza a chiamare "l'insieme delle immagini" con la denominazione di codominio ... e da qui nasce la confusione ...
Ribadisco
Quindi $x$ è stato inutile trovarla?
$ (\text(insieme delle immagini))\ sube\ (\text(insieme di arrivo)) $ questo vale SOLO se suriettiva suppongo..
------
Esercizio di ieri sera:
Giuro che senza nemmeno avere fatto caso a questo, mi era sorto il dubbio
E a giudicare dall'esercizio dei d=dispari resto convinta del fatto che trovare $x$ sia stato superfluo...
"Myriam 92":
per la suriettivitá basta notare semplicem che l'insieme delle immagini è già l'insieme di arrivo ( i naturali) senza ricavarci la x dalla nostra legge.
Quindi $x$ è stato inutile trovarla?
$ (\text(insieme delle immagini))\ sube\ (\text(insieme di arrivo)) $ questo vale SOLO se suriettiva suppongo..
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Esercizio di ieri sera:
"axpgn":
nel caso in cui sia suriettiva, per forza di cose ad ogni immagine corrisponde uno e un solo elemento del dominio
Giuro che senza nemmeno avere fatto caso a questo, mi era sorto il dubbio
"Myriam92":
Ma se dicessimo che l'insieme di arrivo corrisponde al suo dominio nn c'entra nulla con la suriettivitá?
E a giudicare dall'esercizio dei d=dispari resto convinta del fatto che trovare $x$ sia stato superfluo...
"Myriam92":
Quindi $x$ è stato inutile trovarla?
Non comprendo la domanda ...
"Myriam92":
$ (\text(insieme delle immagini))\ sube\ (\text(insieme di arrivo)) $ questo vale SOLO se suriettiva suppongo..
Quello vale SEMPRE!
Quando è suriettiva diventa così $ (\text(insieme delle immagini))\ =\ (\text(insieme di arrivo)) $
$ f:D->NN $ definita da $ f(d)=(d-1)/2 $
Qui vediamo subito che l'insieme di arrivo ( naturali) equivale al nostro insieme delle immagini $ f(d)=(d-1)/2 $
Quindi a cosa è servito trovare d( che sarebbe la x)?
Mentre D (i dispari, il nostro dominio) equivale a x
( Dubbio ultimo di ieri che qui pare veritiero)
Grazie
Qui vediamo subito che l'insieme di arrivo ( naturali) equivale al nostro insieme delle immagini $ f(d)=(d-1)/2 $
Quindi a cosa è servito trovare d( che sarebbe la x)?
Mentre D (i dispari, il nostro dominio) equivale a x
( Dubbio ultimo di ieri che qui pare veritiero)
Grazie
Beh, ti chiedeva l'inversa, mi pare ... e quindi di trovare la $x$ ... 
Aaaah ok, ma allora l'inversa è data sempre dalla formula inversa dell' insieme delle immagini?
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Tornando all'esercizio in fondo alla pagina prima
Come dimostro che ste due asserzioni sono false?
•se f è biunivoca, |f({a,b})|=2
•se f ({a,b}) ={x,y} e f ({a,c})={x,z} allora f({a})={x}
---------
Non apro un nuovo argomento perché mi sto imponendo di proseguire con altro dopo qst:
Se A,B,C sono tre insiemi rispettivamente di cardinalità 11,9,6
Perché se$ |AUBC|=11 $allora $CsubB$ è falsa
Mentre se $| AnnBnnC|= 6 $ allora $CsubA $ è vera?
Mi son creata degli insiemi con numeri generici più piccoli e in effetti sono riuscita a dimostrarlo . Però forse pensi sia il caso di generalizzare ancora di più ? Non vorrei che il mio esempio non vada bn perché non ho rispettato i numeri del testo...
~
Grazie
----
Grazie
----
Grazie
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Tornando all'esercizio in fondo alla pagina prima
"Myriam92":
L'insieme P(A) ha 8 elementi, idem P(X)
Come dimostro che ste due asserzioni sono false?
•se f è biunivoca, |f({a,b})|=2
•se f ({a,b}) ={x,y} e f ({a,c})={x,z} allora f({a})={x}
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Non apro un nuovo argomento perché mi sto imponendo di proseguire con altro dopo qst:
Se A,B,C sono tre insiemi rispettivamente di cardinalità 11,9,6
Perché se$ |AUBC|=11 $allora $CsubB$ è falsa
Mentre se $| AnnBnnC|= 6 $ allora $CsubA $ è vera?
Mi son creata degli insiemi con numeri generici più piccoli e in effetti sono riuscita a dimostrarlo . Però forse pensi sia il caso di generalizzare ancora di più ? Non vorrei che il mio esempio non vada bn perché non ho rispettato i numeri del testo...
~
Grazie
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Grazie
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Grazie
"Myriam92":
Come dimostro che ste due asserzioni sono false?
•se f è biunivoca, |f({a,b})|=2
•se f ({a,b}) ={x,y} e f ({a,c})={x,z} allora f({a})={x}
Il significato di $|f({a,b})|$ è la cardinalità dell'insieme $K$, immagine dell'insieme ${a.b}$ .
Dato che $f$ è arbitraria noi non sappiamo quale sia questo insieme $K$, immagine di quella particolare $x$ e il fatto che sia biunivoca non ci aggiunge niente: l'immagine di ${a.b}$ può essere ${x}$ o ${y,z}$ o qualsiasi altro elemento dell'insieme di arrivo ma questo non c'entra nulla con la biunivocità ...
Per lo stesso ragione ($f$ arbitraria) non c'è nessun motivo per cui da quelle premesse si giunga a quella conclusione ...
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Utilizzare esempi con casistiche più semplici va bene per farsi un'idea ma non prova niente ...
Se $|A uu B uu C|=11$ allora sia $B$ che $C$ sono sottoinsiemi di $A$ ma dato che $B$ ha $9$ elementi, i due restanti in $A$ potrebbero anche appartenere a $C$, da cui la falsità dell'affermazione ,,,
Se $|A nn B nn C|=6$ allora i sei elementi di $C$ appartengono all'intersezione e quindi sono anche elementi di $A$ e $B$ e quindi l'affermazione è vera
Ti sei scordato di rispondere al primo rigo?
---
Nell'esercizio dei tre insiemi, sappiamo che B e C sono sottoinsiemi perché di A perché A ha la cardinalità maggiore in assoluto? E 11 corrisponde alla unione di tutti gli elementi?
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Nell'esercizio dei tre insiemi, sappiamo che B e C sono sottoinsiemi perché di A perché A ha la cardinalità maggiore in assoluto? E 11 corrisponde alla unione di tutti gli elementi?
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