Insiemistica (con funzioni)
siano$D$ i numeri dispari e $f:D->NN$ la funzione definita dalla legge $f(d)=(d-1)/2$ per ogni $dinD$
io ho capito che dobbiamo semplicemente impostare lo schema f(d)=1,3,5,7; (d-1)/2=0,1,2,3.
Per definizione so cosa è una funzione iniettiva (ad ogni elemento di f(d) deve corrispondere un solo elemento di quello che ho messo nella funzione accanto)... se è suriettiva ad ogni elemento di (d-1)/2 ne corrisponde qualcuno di f(d));
qui come dimostro che le caratteristiche le abbiamo entrambe? E, visto che l'inversa c'è pure, perchè è data dai valori che ho dato a (d-1)/2?
(da come si potrebbe ben dedurre le soluzioni le ho già, ma ho difficoltà ad interpretarle...
)
grazie
io ho capito che dobbiamo semplicemente impostare lo schema f(d)=1,3,5,7; (d-1)/2=0,1,2,3.
Per definizione so cosa è una funzione iniettiva (ad ogni elemento di f(d) deve corrispondere un solo elemento di quello che ho messo nella funzione accanto)... se è suriettiva ad ogni elemento di (d-1)/2 ne corrisponde qualcuno di f(d));
qui come dimostro che le caratteristiche le abbiamo entrambe? E, visto che l'inversa c'è pure, perchè è data dai valori che ho dato a (d-1)/2?
(da come si potrebbe ben dedurre le soluzioni le ho già, ma ho difficoltà ad interpretarle...
) grazie
Risposte
"Myriam92":
[Si calcoli il numero di tutte le funzioni da un insieme di 7 elementi a uno di due e si SOTTRAGGA da qst il numero delle Funzioni nn suriettive.]
Volevo fornirti una spiegazione un po' più articolata ... comunque usando questo metodo ... partiamo dal numero totale di funzioni possibili tra due insiemi di cardinalità finita $|A|=m=7$ e $|B|=n=2$ che è pari a $2^7=128$ ... ora, per trovare il numero di quelle suriettive basta togliere dal totale il numero di quelle NON suriettive ... nel caso in questione una funzione non è suriettiva se "lascia fuori" uno dei due elementi del codominio e queste sono solo due: quella che collega tutti e sette gli elementi del dominio ad $a$ e quella che collega tutti i sette elementi del dominio a $b$
"Myriam92":anche perché qui nn ti ho capito...[/quote]
[quote="axpgn"]di funzioni di questo tipo ne avremo altre sei al variare di x nel dominio,
Chiamiamo $x_1, x_2, ..., x_7$ gli elementi del dominio e $a, b$ gli elementi del codominio, costruiamo la funzione suriettiva della forma che collega un elemento del dominio (per esempio $x_1$) con $a$ e tutti gli altri sei ($x_2, x_3, ..., x_7$) con $b$; di funzioni suriettive con questa forma ne abbiamo $7$ perché oltre a quella che ho descritto ne abbiamo altra sei, basta sostituire a $x_1$, prima $x_2$, poi $x_3$, ecc.
"Myriam92":[/quote]
... Ma come fai a dire che[quote="axpgn"]x2 non può appartenere a tutti i sottoinsiemi di X
Beh, scusa ... tra tutti i sottoinsiemi di $X$ ci saranno per esempio i "singoletti" ${x_1}, {x_2}, {x_3}, {x_4}$ e di sicuro $x_2 notin {x_1}$, ti pare?
E $C$ non è altro che un sottoinsieme di $X$ (cioè $C sube X$) ovvero appartiene all'insieme delle parti di $X$ (cioè $C in P(X)$).
"axpgn":grazie! Lo apprezzo tanto, lo sai
Volevo fornirti una spiegazione un po' più articolata ...
Però col suggerimento è stato più schematico.
Di contro... Mi hai fatto notare che in base alla " forma" il numero di funzioni suriettive cambia...
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Ma scusa se quel valore nn appartiene al sottoinsieme perché nn dovrebbe godere di riflessività?
La riflessività deve valere per ogni elemento dell'insieme di sostegno alla relazione ovvero se $A={a, b, c, ...}$, la relazione $R$ su $A xx A$ per essere riflessiva, deve contenere $(a,a), (b,b), (c,c), ...$.
Nel nostro caso l'insieme di sostegno è quello delle parti di $P(X)$ (cioè è composto da tutti i sottoinsiemi di $X$) quindi per tutti i sottoinsiemi di $X$ deve valere la proprietà riflessiva ma se $x_2$ non appartiene al sottoinsieme $C$ (cioè $x_2 notin C$) allora è anche $x_2 notin C nn C$ e quindi non è vero che $CRC$ e la riflessività non vale per tutti i sottoinsiemi di $X$
Nel nostro caso l'insieme di sostegno è quello delle parti di $P(X)$ (cioè è composto da tutti i sottoinsiemi di $X$) quindi per tutti i sottoinsiemi di $X$ deve valere la proprietà riflessiva ma se $x_2$ non appartiene al sottoinsieme $C$ (cioè $x_2 notin C$) allora è anche $x_2 notin C nn C$ e quindi non è vero che $CRC$ e la riflessività non vale per tutti i sottoinsiemi di $X$
Vorrei accertarmi di aver capito la definizione di f suriettiva.
La funzione $f:NN->NN$ definita dalla legge f(n)=2n fa corrispondere ad ogni numero naturale il suo doppio , che poiché diverso, significa che la funzione è iniettiva.
Non è però suriettiva perché il codominio sono i numeri pari e non l'insieme dei numeri naturali.
Da sta spiegazione sembra che necessariamente dominio e codominio debbano corrispondere perfettamente ( cioè essere uguali). Questo perché ogni elemento dei naturali deve essere immagine dei naturali stessi ($f:NN->NN$, come scritto all'inizio, ovviamente non in tutti i casi, questo in particolare). Sto interpretando bene? Non mi sento molto convinta
La funzione $f:NN->NN$ definita dalla legge f(n)=2n fa corrispondere ad ogni numero naturale il suo doppio , che poiché diverso, significa che la funzione è iniettiva.
Non è però suriettiva perché il codominio sono i numeri pari e non l'insieme dei numeri naturali.
Da sta spiegazione sembra che necessariamente dominio e codominio debbano corrispondere perfettamente ( cioè essere uguali). Questo perché ogni elemento dei naturali deve essere immagine dei naturali stessi ($f:NN->NN$, come scritto all'inizio, ovviamente non in tutti i casi, questo in particolare). Sto interpretando bene? Non mi sento molto convinta
Suriettiva significa che codominio ed insieme delle immagini devono coincidere. Punto.
In questo caso non lo sono: il codominio è $NN$, mentre l'insieme delle immagini è composto dai soli numeri pari.
In questo caso non lo sono: il codominio è $NN$, mentre l'insieme delle immagini è composto dai soli numeri pari.
"libro":
Non è però suriettiva perché il codominio sono i numeri pari e non l'insieme dei numeri naturali.
"axpgn":
il codominio è N, mentre l'insieme delle immagini è composto dai soli numeri pari.
Perché quel #@[]€# del libro chiama codominio l'insieme delle immagini così poi ci ritroviamo ' sto casino .... 
Se codominio=insieme delle immagini allora tutte le funzioni sono suriettive, no?
"Eh, no" - dice il libro - "perché data la funzione $f: A -> B$ io (sottinteso il libro
) chiamo $B$ insieme di arrivo ..." ... ...
Se codominio=insieme delle immagini allora tutte le funzioni sono suriettive, no?
"Eh, no" - dice il libro - "perché data la funzione $f: A -> B$ io (sottinteso il libro
) chiamo $B$ insieme di arrivo ..." ... ...
[ot]il libro è stato scritto dai prof del corso.. quindi credo sia meglio attenersi a qst ultimo 
[/ot]
Dati A={a,b,c,d} e B= {0,1,2,3,4} sia f:P(A)->B (P(A) dominio e B codominio?
) la funzione definita da f(C)= |C| per ogni C che appartiene a P(A).
Devo verificare se iniettivitá suriettiva ecc, però quella C in mezzo nn mi fa capire come impostare il problema.
Grazie per l'aiuto
[/ot]Dati A={a,b,c,d} e B= {0,1,2,3,4} sia f:P(A)->B (P(A) dominio e B codominio?
) la funzione definita da f(C)= |C| per ogni C che appartiene a P(A).Devo verificare se iniettivitá suriettiva ecc, però quella C in mezzo nn mi fa capire come impostare il problema.
Grazie per l'aiuto
"Myriam92":
[ot]il libro è stato scritto dai prof del corso.. quindi credo sia meglio attenersi a qst ultimo
[ot]Mai detto il contrario ...
[/ot]Primo: qual è il dominio? O meglio, in che cosa consiste il dominio? È l'insieme delle parti di $A$ ... in che cosa consiste la legge di corrispondenza? Nel "calcolare" la cardinalità degli elementi di $P(A)$ ovvero la cardinalità di ogni sottoinsieme di $A$.
È iniettiva? Vediamo che per esempio $f({a,b})=|{a,b}|=2$ ma anche $f({b,c})=|{b,c}|=2$ quindi non è iniettiva ...
È suriettiva? Si nota che per ogni valore dell'insieme di arrivo $B$ esiste un sottoinsieme di $A$ che ha tale cardinalità quindi è suriettiva.
"axpgn":
È iniettiva? Vediamo che per esempio $ f({a,b})=|{a,b}|=2 $ ma anche $ f({b,c})=|{b,c}|=2 $quindi non è iniettiva ...
Come fai a prendere una coppia di valori e farla corrispondere sempre a 2? Sull' hint c'è scritto di fare il disegno
"axpgn":
per ogni valore dell'insieme di arrivo B esiste un sottoinsieme di A che ha tale cardinalità quindi è suriettiva.
Ma io vedo in un insieme solo lettere e nell'altro solo numeri, cm è possibile?
La funzione è $f: P(A)\ ->\ B$.
Il dominio è l'insieme delle parti di $A$ cioè $P(A)={phi,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}}$
L'insieme di arrivo (che non chiamo codominio per rispetto ) è $B={0,1,2,3,4}$
La legge di corrispondenza è $f(X)=|X|$ ovvero si fa corrispondere ad un sottoinsieme di $A$ la sua cardinalità (quindi colleghi un oggetto che è un insieme con un oggetto che è un numero)
Dato che gli elementi del dominio sono $16$ devi applicare la leggi di corrispondenza $16$ volte:
Adesso riesci a vedere che NON è iniettiva? Vedi che è suriettiva?
Il dominio è l'insieme delle parti di $A$ cioè $P(A)={phi,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}}$
L'insieme di arrivo (che non chiamo codominio per rispetto
) è $B={0,1,2,3,4}$La legge di corrispondenza è $f(X)=|X|$ ovvero si fa corrispondere ad un sottoinsieme di $A$ la sua cardinalità (quindi colleghi un oggetto che è un insieme con un oggetto che è un numero)
Dato che gli elementi del dominio sono $16$ devi applicare la leggi di corrispondenza $16$ volte:
Adesso riesci a vedere che NON è iniettiva? Vedi che è suriettiva?
Sì, chiarissimo, grazie!
Il problema è che non bastano mai perché ce ne è sempre uno diverso ( e poi più complicato )
Per esempio
Detto T l'insieme dei numeri naturali multipli di 3 ; sia $f:T-> NN$ la funzione definita da f(t)=t/3 per ogni t appartenente aT.
Inoltre sia R la relazione binaria su T definita per ogni s,t appartenenti a T:
$sRthArrf(s)=f(t)$
F è iniettiva/suriettiva/invertibile?
R Ha insieme quoziente finito? Gode di antisimmetria?
Qui f:T è il dominio; i naturali sono l'insieme di arrivo; ma abbiamo ben due definizioni da rispettare ! Quindi che si fa!?!
Il problema è che non bastano mai perché ce ne è sempre uno diverso ( e poi più complicato
)Per esempio
Detto T l'insieme dei numeri naturali multipli di 3 ; sia $f:T-> NN$ la funzione definita da f(t)=t/3 per ogni t appartenente aT.
Inoltre sia R la relazione binaria su T definita per ogni s,t appartenenti a T:
$sRthArrf(s)=f(t)$
F è iniettiva/suriettiva/invertibile?
R Ha insieme quoziente finito? Gode di antisimmetria?
Qui f:T è il dominio; i naturali sono l'insieme di arrivo; ma abbiamo ben due definizioni da rispettare ! Quindi che si fa!?!
Le definizioni sono due ma di oggetti diversi perciò nessuna confusione ...
Dato che i multipli di tre si rappresentano così $t=3k$ con $k in NN$ la funzione $f$ fa corrispondere ogni elemento del dominio con la sua terza parte (che è intera) ... la funzione è iniettiva, infatti ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio (es. $f(6)=6/2=3, f(21)=21/3=7, ...$); è anche suriettiva perché "copre" tutti i naturali (es. $f(0)=0, f(3)=1, f(6)=2, ...$).
Quindi è invertibile e la sua inversa è $f^(-1)(k)=3k=t$.
Veniamo alla relazione ...
In pratica ci viene detto che due numeri sono in relazione se le loro terze parti sono uguali ma questo, nei naturali, avviene solo se i due numeri sono uguali quindi nella relazione avremo solo elementi così $(a,a), (b,b), (c,c), ...$; quindi è una relazione di equivalenza composta da infinite classi ciascuna con un solo elemento ...
Dato che i multipli di tre si rappresentano così $t=3k$ con $k in NN$ la funzione $f$ fa corrispondere ogni elemento del dominio con la sua terza parte (che è intera) ... la funzione è iniettiva, infatti ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio (es. $f(6)=6/2=3, f(21)=21/3=7, ...$); è anche suriettiva perché "copre" tutti i naturali (es. $f(0)=0, f(3)=1, f(6)=2, ...$).
Quindi è invertibile e la sua inversa è $f^(-1)(k)=3k=t$.
Veniamo alla relazione ...
In pratica ci viene detto che due numeri sono in relazione se le loro terze parti sono uguali ma questo, nei naturali, avviene solo se i due numeri sono uguali quindi nella relazione avremo solo elementi così $(a,a), (b,b), (c,c), ...$; quindi è una relazione di equivalenza composta da infinite classi ciascuna con un solo elemento ...
Sono passata subito alla soluzione, mi dispiace dirtelo ma dovrebbe godere di antisimmetria 
E quando avrei detto che NON è antisimmetrica?
Ti ricordi quella relazione "particolare" che era sia di equivalenza che di ordinamento ?
Ti ricordi che era composta proprio così $(a,a), (b,b), (c,c), ...$
Buona Notte, Alex
Ti ricordi quella relazione "particolare" che era sia di equivalenza che di ordinamento ?
Ti ricordi che era composta proprio così $(a,a), (b,b), (c,c), ...$
Buona Notte, Alex
Vero, chi se lo scorda
Ero sull'orlo di riuscire a svolgerne uno correttamente però nn sono riuscita a capire il motivo della suriettivitá..
Sia l'insieme A={a,b,c,d} e la funzione $f:P(A)->P(A) $definita da$ f(C)=A\\C, AACinP(A)$
A parte l'interpretazione della legge, il cui insieme di arrivo all' inizio mi pareva insieme vuoto, poi insieme quoziente....
Quando in realtà era una sorta di insieme "complementare" dei sottoinsiemi di A, se così possiamo definirlo...Per l'esattezza : facciamo corrispondere ad un sottoinsieme di A il complementare del sottoinsieme stesso.. credo...
Qui abbiamo una roba del tipo {a,b}={c,d} b={a,c,d} ecc.. ok iniettiva, ma perché suriettiva? Spiegazione in lingua italiana per favore, o se coi segni(come sul libro) , con relativo sottotitolo . . . Grazie! xD
Ero sull'orlo di riuscire a svolgerne uno correttamente però nn sono riuscita a capire il motivo della suriettivitá..
Sia l'insieme A={a,b,c,d} e la funzione $f:P(A)->P(A) $definita da$ f(C)=A\\C, AACinP(A)$
A parte l'interpretazione della legge, il cui insieme di arrivo all' inizio mi pareva insieme vuoto, poi insieme quoziente....
Quando in realtà era una sorta di insieme "complementare" dei sottoinsiemi di A, se così possiamo definirlo...Per l'esattezza : facciamo corrispondere ad un sottoinsieme di A il complementare del sottoinsieme stesso.. credo...Qui abbiamo una roba del tipo {a,b}={c,d} b={a,c,d} ecc.. ok iniettiva, ma perché suriettiva? Spiegazione in lingua italiana per favore, o se coi segni(come sul libro) , con relativo sottotitolo . . . Grazie! xD
Perché ogni sottoinsieme di $A$ avrà come complementare un altro sottoinsieme di $A$ (tra l'altro l'unione tra i due forma $A$), quindi visto che la funzione "tocca" tutti i sottoinsiemi di $A$ ed è iniettiva (cioè collegamento uno a uno tra dominio e codominio), il codominio sarà formato da tutti i sottoinsiemi di $A$ ovvero $P(A)$
Detto in altro modo: all'elemento del dominio ${a,b}$ corrisponde l'immagine ${c,d}$ e all'elemento del dominio ${c,d}$ corrisponde l'immagine ${a,b}$; rifai questo "giochetto" per tutti gli elementi restanti del dominio e ti ritrovi che dominio e codominio sono la stessa cosa.
Detto in altro modo: all'elemento del dominio ${a,b}$ corrisponde l'immagine ${c,d}$ e all'elemento del dominio ${c,d}$ corrisponde l'immagine ${a,b}$; rifai questo "giochetto" per tutti gli elementi restanti del dominio e ti ritrovi che dominio e codominio sono la stessa cosa.
Sembra tutto così facile dopo che me lo spieghi
Posso chiederti se avresti un suggerimento da darmi per poter riuscire a interpretare la legge $ f(C)=A\\C, AACinP(A) $ ? Onde evitare il miscuglio che ho creato all'inizio?
[ot]la relazione binaria su A={a,b} è $2^(2×2)$.. mi potresti scrivere quali sono sti 16 elementi? Sto facendo un po' di ripasso e vorrei essere certa di nn aver scritto una scemenza! Grazie ^^[/ot]
Posso chiederti se avresti un suggerimento da darmi per poter riuscire a interpretare la legge $ f(C)=A\\C, AACinP(A) $ ? Onde evitare il miscuglio che ho creato all'inizio?
[ot]la relazione binaria su A={a,b} è $2^(2×2)$.. mi potresti scrivere quali sono sti 16 elementi? Sto facendo un po' di ripasso e vorrei essere certa di nn aver scritto una scemenza! Grazie ^^[/ot]
Mah, non saprei ... la prima cosa che mi viene in mente è fare attenzione a "chi sono" gli elementi del dominio e dell'insieme di arrivo ... in $f(C)$ sappiamo che $C$ è un insieme perché è un elemento del dominio e il dominio è l'insieme della parti di $A$ ... mentre in $f(C)=y=A\\C$ sappiamo che $A\\C$ appartiene all'insieme di arrivo quindi sarà anch'esso un insieme ed in particolare sarà il complementare di $C$ in quanto $C sube A$ perciò $A\\C$ è il complementare.
Niente di speciale ma stando attenta a queste "cose" eviti la confusione che per esempio avevi mostrato in un post precedente dove gli elementi del dominio erano insiemi e quelli del codominio numeri ...
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Non sono $16$ gli elementi di $A xx A$ ma $4$
$A={a,b}$
$A xx A = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}$
Sono invece $16=2^4$ gli elementi di $P(A)$, l'insieme della parti di $A xx A$ ovvero i sottoinsiemi di $A xx A$ ovvero tutte le possibili relazioni binarie su $A$.
Chiara la differenza?
Niente di speciale ma stando attenta a queste "cose" eviti la confusione che per esempio avevi mostrato in un post precedente dove gli elementi del dominio erano insiemi e quelli del codominio numeri ...
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Non sono $16$ gli elementi di $A xx A$ ma $4$
$A={a,b}$
$A xx A = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}$
Sono invece $16=2^4$ gli elementi di $P(A)$, l'insieme della parti di $A xx A$ ovvero i sottoinsiemi di $A xx A$ ovvero tutte le possibili relazioni binarie su $A$.
Chiara la differenza?
"axpgn":
Niente di speciale
Ma nemmeno di semplice
"axpgn":
sappiamo che $ A\\C $ appartiene all'insieme di arrivo
Lo dovrei capire perché C appartiene all'insieme delle parti di A? Mah, manco se dedicassi tutto il compito solo a ciò xD
---
La cardinalità dell'insieme delle parti di A vale 4;
Poi
"Myriam92":
la relazione binaria su A={a,b} è 16 ..
"axpgn":
Sono 16 invece tutte le possibili relazioni binarie su A
E che cambia? Tra l'altro nn capisco ancora quali siano per l'esattezza sti 16 elementixD
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