Funzioni con grafico ad una variabile
Tale funzione ha minimo relativo e assoluto in$x_4$ come lo dimostro? Faccio riferimento ai "pallini" pieni e vuoti?
Invece il max in $x_1$ è relativo penso perché la funzione è illimitata, però non saprei da cosa lo dovrei capire graficamente.
Qui forse abbiamo in $x_3$ un punto di flesso;
Nessun minimo relativo, né max assoluto.
Poi $EEc1,c2in ]0,4[$ tra loro diversi, tali che $f'(c1)=f'(c2)=1$
Uso Lagrange: nel primo intervallo in verde risulta -2 quindi non è verificata l asserzione;
Secondo intervallo in blu invece risulta 1 quindi esiste.
Ok?
Grazie in anticipo e scusa axpgn in anticipo se sarò ripetitiva, ma questi grafici si "interrompono" rispetto a quelli visti finora, quindi nn riesco a raccapezzarmi...
Risposte
"Myriam92":
Tale funzione ha minimo relativo e assoluto in$x_4$ come lo dimostro?
Non lo dimostri, lo "vedi" ... non hai una legge che ti dice come "collegare" gli elementi del dominio a quelli del codominio quindi non lo puoi dimostrare analiticamente ... per la precisione una legge ci sarebbe: è il grafico stesso, dove ad ogni punto della linea rossa corrisponde una coppia di valori $(x, y)$ (non è $x_4$, che non trovavo, ma $x=4$)
"Myriam92":
Faccio riferimento ai "pallini" pieni e vuoti?
Anche, se necessario ... per il minimo assoluto non era necessario ...
"Myriam92":
Invece il max in $x_1$ è relativo penso perché la funzione è illimitata, però non saprei da cosa lo dovrei capire graficamente.
Il fatto che in $x=1$ ci sia un max relativo NON dipende dal fatto che la funzione sia limitata oppure no, ma solamente dal fatto che esiste un intorno di $x=1$ in cui la funzione assume un valore maggiore di tutti gli altri punti dell'intorno (in pratica la funzione prima di quel punto cresce e poi cala, anche se fosse un intervallo minimo ...)
In $x=3$ c'è un flesso ... Nessun minimo relativo ok, ma in $x=4$ c'è un massimo assoluto ...
... poi ... ti viene chiesto se ne esistono DUE di quei punti, ti basta rifare lo stesso ragionamento che hai già fatto per l'intervallo $[1,4]$ per gli intervalli $[1,3]$ e $[3,4]$ ...
... poi ... ti viene chiesto se ne esistono DUE di quei punti, ti basta rifare lo stesso ragionamento che hai già fatto per l'intervallo $[1,4]$ per gli intervalli $[1,3]$ e $[3,4]$ ...
Vediamo se ho capito, faccio una parafrasi basandomi sugli appunti del prof, che che ho sempre ritenuto inutili per le normali funzioni. Spero per queste servano 
Primo grafico: abbiamo max relativo xké c'è un intorno completo più in basso di X=1; il min assoluto c'è perché $f(x)>f(4) ( nel senso, c'è un punto della funzione che è più in alto rispetto a x=4)
Va bene? ( Tralasciando il mio linguaggio xD )
Per Lagrange: devo applicare la formula in tutti gli intervalli esistenti, ed anche se delimitati dai pallini?
In tal caso : (0,1),(1,3),(3,4)? I penultimi risultano in effetti entrambi 1, grazie
Primo grafico: abbiamo max relativo xké c'è un intorno completo più in basso di X=1; il min assoluto c'è perché $f(x)>f(4) ( nel senso, c'è un punto della funzione che è più in alto rispetto a x=4)
Va bene? ( Tralasciando il mio linguaggio xD )
Per Lagrange: devo applicare la formula in tutti gli intervalli esistenti, ed anche se delimitati dai pallini?
In tal caso : (0,1),(1,3),(3,4)? I penultimi risultano in effetti entrambi 1, grazie
Se la traduzione di "xké c'è un intorno completo più in basso di X=1" è "esiste un intorno di $x=1$ in cui la funzione assume sempre valori minori di $f(1)$" allora sì, va bene ...
Nel senso che tutti i punti della funzione assumono valori maggiori di $f(4)$
Infine ... non è che devi farlo per tutti gli intervalli (sarebbero infiniti), si vede che ne esistono due che soddisfano le condizioni (i pallini aiutano ...)
"Myriam92":
il min assoluto c'è perché $f(x)>f(4) ( nel senso, c'è un punto della funzione che è più in alto rispetto a x=4)
Nel senso che tutti i punti della funzione assumono valori maggiori di $f(4)$
Infine ... non è che devi farlo per tutti gli intervalli (sarebbero infiniti), si vede che ne esistono due che soddisfano le condizioni (i pallini aiutano ...)
"axpgn":volevo dire: devo considerare gli intervalli delimitati dai pallini?
Infine ... non è che devi farlo per tutti gli intervalli (sarebbero infiniti), si vede che ne esistono due che soddisfano le condizioni (i pallini aiutano ...)
Qui per esempio come dovrei fare a rispondere alla seconda domanda ?
Per la prima domanda: ho calcolato la.retta AB e l'ho derivata ( mi pare che ce l'ha fatto fare il prof così, ma nn vorrei dire una cavolata); la retta CD invece nemmeno ci passa da 3, quindi!?
"Myriam92":
... volevo dire: devo considerare gli intervalli delimitati dai pallini?
I "pallini" sono stati messi per evidenziare alcuni punti della funzione che "potrebbero" essere importanti, questo non implica che siano tutti importanti e che tu debba star lì a considerare tutti gli intervalli delimitati da questi ... devi valutare caso per caso, domanda per domanda cosa ti serve, cosa ti è utile ...
"Myriam92":
[Per la prima domanda: ho calcolato la.retta AB e l'ho derivata ( mi pare che ce l'ha fatto fare il prof così, ma nn vorrei dire una cavolata); la retta CD invece nemmeno ci passa da 3, quindi!?
Mi metti in difficoltà con quest'ultima frase, perché se hai dubbi di questo tipo mi preoccupi un pochino ...
Cosa vorresti dire, che la funzione lì non esiste? Esiste eccome, non sappiamo quanto vale esattamente ma c'è un punto del grafico che sta proprio sulla verticale di $x=3$ ... non solo, puoi notare che nell'intervallo $[2,4]$ la nostra funzione è una retta della quale sei in grado di calcolane la derivata (per inciso vale $-3/2$) ed essendo una costante il suo valore è sempre lo stesso per tutti i punti dell'intervallo e di conseguenza anche per $x=3$.
Con queste considerazioni puoi rispondere alla prima domanda ...
La seconda è simile, in un certo senso ... ti viene chiesto se esiste un punto in quell'intervallo che abbia la derivata pari a $-1/2$ ... tu hai già calcolato la derivata della funzione nell'intervallo $[0,1]$ e sai che vale $-2$, valore costante in tutto quell'intervallo dato che è una retta, mentre nell'intervallo $[1,2]$ la funzione è crescente perciò la derivata è positiva ... ed anche qui hai le informazioni per rispondere ...
A parte che applicando Lagrange non so perché ma risulta 2 anziché -2 la derivata in [0;1]....Mi scriveresti lo stesso i passaggi per piacere? Grazie.
Se la derivata è positiva non dovrebbe risultare nemmeno in tale intervallo $-1/2$
Ma siccome anche stavolta sto dicendo una cavolata... Naaaa non sorprenderti più... Tutto normalmente anormale!
"axpgn":
nell'intervallo [1,2] la funzione è crescente perciò la derivata è positiva ... ed anche qui hai le informazioni per rispondere ...
Se la derivata è positiva non dovrebbe risultare nemmeno in tale intervallo $-1/2$
Ma siccome anche stavolta sto dicendo una cavolata... Naaaa non sorprenderti più... Tutto normalmente anormale!
"Myriam92":
A parte che applicando Lagrange non so perché ma risulta 2 anziché -2 la derivata in [0;1]....Mi scriveresti lo stesso i passaggi per piacere? Grazie.
Per calcolare in modo veloce, quando hai due punti di una retta, la pendenza (alias tangente alias coefficiente angolare alias $m$ ... insomma chiamala come vuoi) basta fare il rapporto tra quanto la funzione "sale" (o "scende" come in questo caso) e di quanto si "sposta" a destra ... in questo caso, nell'intervallo $[0,1]$ la nostra retta "scende" di $2$ (e quindi siccome scende avremo $-2$, matematicamente $-1-(+1)$) e si sposta di $1$ (da zero a uno); in conclusione $(-2)/1=-2$
Ok?
"Myriam92":
Se la derivata è positiva non dovrebbe risultare nemmeno in tale intervallo $ -1/2 $
Ma siccome anche stavolta sto dicendo una cavolata... Naaaa non sorprenderti più... Tutto normalmente anormale!
Giusto.
Bello il trucco della pendenza, ma siccome lo sbaglierei sicuro, sbadata come sono, in [1;2] come si calcola( se c'è la curva )?
Però l'integrale $ int_2^4 f(x)$ vale 1, non 7/6 come dice l'ultima asserzione. Per questo ero convinta che avrei sbagliato..Solo una è la falsa...
"axpgn":
Giusto.
Però l'integrale $ int_2^4 f(x)$ vale 1, non 7/6 come dice l'ultima asserzione. Per questo ero convinta che avrei sbagliato..Solo una è la falsa...
"Myriam92":
Bello il trucco della pendenza, ma siccome lo sbaglierei sicuro, sbadata come sono, in [1;2] come si calcola( se c'è la curva )?
Quella non è una retta quindi la pendenza non è costante, varia da punto a punto e quindi ti calcoli la derivata nel punto che ti interessa (ovvero il limite del rapporto incrementale della funzione ma per fare questo devi avere una funzione espressa analiticamente .. detto in modo sempre informale ...
... peraltro il rapporto incrementale è il nome "tecnico" di quello che ho detto prima cioè il rapporto tra quanto "sale" (o "scende") e quanto si sposta ... gli americani, che sono pratici, chiamano la pendenza "rise on run" ... 
)"Myriam92":
Però l'integrale $ int_2^4 f(x) $ vale 1, non 7/6 come dice l'ultima asserzione. Per questo ero convinta che avrei sbagliato..Solo una è la falsa...
A cosa ti riferisci? Non ne ho la minima idea ...
Mi stai dicendo che nn posso calcolarla la derivata della curva ?
$ int_2^4 f(x) =7/6$
È l'ultima asserzione in questo esercizio, e risulta 1, quindi è falsa. La seconda asserzione ( che nella foto è ben visibile) abbiamo detto che è falsa pure, quindi mi sa ennesimo errore del testo
$ int_2^4 f(x) =7/6$
È l'ultima asserzione in questo esercizio, e risulta 1, quindi è falsa. La seconda asserzione ( che nella foto è ben visibile) abbiamo detto che è falsa pure, quindi mi sa ennesimo errore del testo
Come fai a "calcolarla" in $[1,2]$ ? È variabile (com'è ovvio che sia dato che non è una retta) e non hai informazioni su che curva sia (sempreché sia una curva "nota") ... quindi ...
Non ho ancora capito da dove provengono quegli esercizi ...
Non ho ancora capito da dove provengono quegli esercizi ...
Va bene, ma in x=1 c'è un punto angoloso?
Sono esercizi di esame, che inventano gli stessi prof, solo che a volte capita di trovare degli errori... Pensa cosa succederebbe in sede d'esame ufficiale se si verificasse....
Comunque andrei a dormire perché me li ricordavo più facili sti tipi e li ho lasciati per ultimi, invece... NO.(ah, ci sono pure i grafici delle derivate, ancora peggio).
Buonanotte, è sempre un piacere studiare con te , grazie
Sono esercizi di esame, che inventano gli stessi prof, solo che a volte capita di trovare degli errori... Pensa cosa succederebbe in sede d'esame ufficiale se si verificasse....
Comunque andrei a dormire perché me li ricordavo più facili sti tipi e li ho lasciati per ultimi, invece... NO.(ah, ci sono pure i grafici delle derivate, ancora peggio).
Buonanotte, è sempre un piacere studiare con te , grazie
"Myriam92":
Va bene, ma in x=1 c'è un punto angoloso?
La definizione di punto angoloso dovrebbe essere che la derivata destra e sinistra in quel punto esistono finite ma sono diverse quindi sì, per me è un punto angoloso (una è negativa e l'altra è positiva quindi sono diverse e nessuna delle due è infinita ...
)"Myriam92":
Sono esercizi di esame,
Ok, ma le copie che hai sono quelle originali o sono delle trascrizioni? Perché mi sembra un errore un po' grossolano ...
"Myriam92":
Comunque andrei a dormire perché me li ricordavo più facili sti tipi e li ho lasciati per ultimi, invece... NO.(ah, ci sono pure i grafici delle derivate, ancora peggio).
Ma sono facili, dai ... su, coraggio ...
...Ciao e Buona Notte, Alex
Sempre su quest ultimo grafico,,, la derivata prima di [0;1] la troviamo derivando il valore della retta, oppure ricorrendo alla definizione geometrica di derivata, ma... Lagrange ??
Poi... Perché non stiamo potendo derivare la curva in [1;2] ( sì, ancora insisto..) se nel secondo grafico che ti ho mandato, nella parte in blu, nonostante la presenza di una curva abbia potuto applicare tranquillam Lagrange?
PS: tutta la funzione esaminandola nel complesso, ha il punto angoloso ( in cui è continua ma nn derivabile ); in x=2 invece c'è il "salto" quindi è discontinua, o sto dicendo l'ennesima scemenza per via del pallino pieno al centro?
Data la qualità pessima della stampa, i testi saranno stati riportati direttamente dall'originale credo, e nemmeno stampati, penso scannerizzati... Poiché riordinati tutti per categoria...
Anch'io potrò dirlo un giorno, in un'altra vita magari... quando non sarò più io, ma una persona diversa
Cmq...Stupendo!!! Da quando si può avere Linux sul cellulare? xD
Poi... Perché non stiamo potendo derivare la curva in [1;2] ( sì, ancora insisto..) se nel secondo grafico che ti ho mandato, nella parte in blu, nonostante la presenza di una curva abbia potuto applicare tranquillam Lagrange?
PS: tutta la funzione esaminandola nel complesso, ha il punto angoloso ( in cui è continua ma nn derivabile ); in x=2 invece c'è il "salto" quindi è discontinua, o sto dicendo l'ennesima scemenza per via del pallino pieno al centro?
"axpgn":
Ok, ma le copie che hai sono quelle originali o sono delle trascrizioni? Perché mi sembra un errore un po' grossolano ...
Data la qualità pessima della stampa, i testi saranno stati riportati direttamente dall'originale credo, e nemmeno stampati, penso scannerizzati... Poiché riordinati tutti per categoria...
"axpgn":
Ma sono facili, dai
Anch'io potrò dirlo un giorno, in un'altra vita magari... quando non sarò più io, ma una persona diversa
Cmq...Stupendo!!! Da quando si può avere Linux sul cellulare? xD
"Myriam92":
Sempre su quest ultimo grafico,,, la derivata prima di [0;1] la troviamo derivando il valore della retta, oppure ricorrendo alla definizione geometrica di derivata, ma... Lagrange ??
A che ti serve? Ti serve? Un problema che hai è questo: ti devi focalizzare sull'obiettivo!
Cosa stai cercando di trovare adesso? Io non lo so più, l'importante è che lo sappia tu ... quindi ripeto: Lagrange ti serve? a che ti serve? Se non ti serve, lascia perdere ...
"Myriam92":
Poi... Perché non stiamo potendo derivare la curva in [1;2] ( sì, ancora insisto..) se nel secondo grafico che ti ho mandato, nella parte in blu, nonostante la presenza di una curva abbia potuto applicare tranquillam Lagrange?
Forse mi sbaglio, ma quando, precisamente, nel teorema di Lagrange (quello che generalizza Rolle, penso ..) deriviamo la funzione?
"Myriam92":
PS: tutta la funzione esaminandola nel complesso, ha il punto angoloso ( in cui è continua ma nn derivabile ); in x=2 invece c'è il "salto" quindi è discontinua, o sto dicendo l'ennesima scemenza per via del pallino pieno al centro?
È discontinua perché in $x=2$ la funzione è definita (cioè esiste), se non ci fosse il "pallino pieno" ovvero non fosse definita in quel punto, secondo me (il punto di vista di cui abbiamo discusso molto) NON sarebbe discontinua ... ok?
"axpgn":
Lagrange ti serve? a che ti serve? Se non ti serve, lascia perdere ...
Lagrange il prof me l'ha sempre fatto applicare per rispondere alla domanda : esiste un punto in un certo intervallo la cui derivata vale tot ( vedi seconda opzione di risposta nell'ultimo grafico ). O meglio: in questo ultimo grafico non ce l'ha fatto usare, infatti chiedevo se fosse possibile...
Invece nel secondo grafico quello blu e verde, l'abbiamo usato(sempre x risp a quella domanda) e abbiamo trovato il risultato senza problemi (persino della derivata della curva) , nonostante, come dici tu, quel teorema non si usa per la ricerca delle derivate..quindi magari ja un " duplice" significato in realtà, o qualcosa che ha a che vedere con la derivata...nn saprei...
Spero adesso di essere stata chiara...
"axpgn":
È discontinua perché in x=2 la funzione è definita (cioè esiste)
Ma se la funzione è definita e appunto esiste, la discontinuità è dovuta al solo stacco della penna dal foglio?
Si mi ricordo dei diversi punti di vista, ma io ti avevo mandato anche quello mio preso direttamente dal testo... Penso che te lo ricordi, se vuoi lo ricerco, però non mi mettere di mezzo pure il tuo punto di vista che era l'opposto del mio per quel che avevo capito, sennò non ci capisco più nulla
(Non per male, ma lo sai che entro troppo facilmente nel pallone 
) ... Non ti voglio scocciare, in caso lasciamo perdere, non ti preoccupare....
"Myriam92":
Lagrange il prof me l'ha sempre fatto applicare per rispondere alla domanda : esiste un punto in un certo intervallo la cui derivata vale tot ( vedi seconda opzione di risposta nell'ultimo grafico ).
Il fatto di aver sempre usato un metodo non significa che tu debba usarlo sempre, se esistono metodi più veloci e/o facili magari meglio usare quelli (se esistono, ovviamente ...)
"Myriam92":
O meglio: in questo ultimo grafico non ce l'ha fatto usare, infatti chiedevo se fosse possibile...
Eh eh ... dovresti rispondere tu ...
... la funzione è definita in TUTTO quell'intervallo chiuso $[0,2]$, ma non è continua su tutto l'intervallo (vedi punto $x=2$) e non è neanche derivabile (vedi punto angoloso) quindi non puoi applicare Lagrange su quell'intervallo ... d'altra parte non è necessario: in $(1,2)$ la funzione è crescente perciò la derivata è positiva, mentre in $[0,1]$ la derivata è costante ed è pari a $-2$ quindi ..."Myriam92":
Invece nel secondo grafico quello blu e verde, l'abbiamo usato(sempre x risp a quella domanda) e abbiamo trovato il risultato senza problemi (persino della derivata della curva) , nonostante, come dici tu, quel teorema non si usa per la ricerca delle derivate..
Si poteva usare e l'hai usato, bene .. però non hai trovata la derivata della curva ma solo stabilito che esiste un punto in quell'intervallo che ha la derivata richiesta (non sai neanche quale punto ... e di tutti gli altri non conosci la derivata ...)
"Myriam92":
Ma se la funzione è definita e appunto esiste, la discontinuità è dovuta al solo stacco della penna dal foglio?
In pratica, sì ...
"axpgn":certo, non abbiamo le condizioni per applicare Lagrange
Eh eh ... dovresti rispondere tu ... ..
Qui per la prima risposta non capisco quale dei due rettangoli che ho disegnato devo considerare ( forse
nessuno ) né a quale funzione devo riferirmi .
Nella risp b) quel "sempre" cosa significa?
In c) io nn vedo nessun cambio di concavità
La.d) penso sia vera ( classica domanda stranetta che nn mi aspetterei... Ma cmq... Ho fatto un finto schizzo a matita...Non so se si vede...)
Ho costruito una funzione con quelle caratteristiche: quella in linea continua (in diversi colori) è la funzione, quella tratteggiata (in diversi colori) è la derivata prima (in pratica il grafico che hai tu ...)
Analizziamo il grafico della derivata prima ...
A sinistra dello zero (il quale NON è nel dominio della derivata) la derivata è costante quindi la funzione è una retta il cui coefficiente angolare $m$ è pari a $1$, perciò ogni retta della forma $y=x+q$ con $q$ qualsiasi soddisfa il tuo grafico; la retta che passa per $(-3,-1)$ è $y=x+2$; a destra abbiamo due rette, una ascendente e una discendente, perciò la loro primitiva sarà di secondo grado ovvero parabole, il pezzo che va da zero a due ha derivata positiva (quindi derivata seconda positiva ovvero concavità verso l'alto) e viceversa per il pezzo oltre due; nel punto $x=1$ c'è un minimo della funzione perché lì la derivata è nulla (prima è negativa perciò la funzione scende, dopo è positiva perciò la funzione sale); viceversa nel pezzo oltre due ... adesso passiamo alle risposte ...
Per la A puoi costruire un "grafichino" della funzione e vedi che le due aree (quella sotto e quella sopra) si compensano ... nel mio grafico ho messo (tra tutte le rette possibili) proprio la retta del caso A ...
Per la B, il "sempre" significa "per tutte le funzioni che puoi costruire le quali abbiano una derivata come quella" (perché sono infinite) ... ora secondo me questo non è (sempre) vero e spiego il motivo: nel punto $x=0$ la funzione è definita mentre la derivata no, questo significa che il valore della funzione in $x=0$ non lo conosciamo e non riusciamo a determinarlo partendo dalla derivata perché non appartiene a questa; quindi, per esempio, dato che possiamo spostare la retta a sx in alto quanto vogliamo, qualsiasi valore assuma la funzione in $x=0$ la retta potrebbe valere di più ...
Per la C sono (leggermente) perplesso perché è vero che la concavità cambia e il punto in cui cambia esiste ma è anche vero che la derivata seconda lì non esiste ... cmq direi vera ...
Per quella senza lettera basta osservare che una parte della funzione è una retta che scende verso $-infty$ quindi è illimitata inferiormente ... vera
Per la D vedi l'analisi che ho fatto prima ...
Sono un po' stanchino (cit. Forrest Gump )
Ciao, Alex
Analizziamo il grafico della derivata prima ...
A sinistra dello zero (il quale NON è nel dominio della derivata) la derivata è costante quindi la funzione è una retta il cui coefficiente angolare $m$ è pari a $1$, perciò ogni retta della forma $y=x+q$ con $q$ qualsiasi soddisfa il tuo grafico; la retta che passa per $(-3,-1)$ è $y=x+2$; a destra abbiamo due rette, una ascendente e una discendente, perciò la loro primitiva sarà di secondo grado ovvero parabole, il pezzo che va da zero a due ha derivata positiva (quindi derivata seconda positiva ovvero concavità verso l'alto) e viceversa per il pezzo oltre due; nel punto $x=1$ c'è un minimo della funzione perché lì la derivata è nulla (prima è negativa perciò la funzione scende, dopo è positiva perciò la funzione sale); viceversa nel pezzo oltre due ... adesso passiamo alle risposte ...
Per la A puoi costruire un "grafichino" della funzione e vedi che le due aree (quella sotto e quella sopra) si compensano ... nel mio grafico ho messo (tra tutte le rette possibili) proprio la retta del caso A ...
Per la B, il "sempre" significa "per tutte le funzioni che puoi costruire le quali abbiano una derivata come quella" (perché sono infinite) ... ora secondo me questo non è (sempre) vero e spiego il motivo: nel punto $x=0$ la funzione è definita mentre la derivata no, questo significa che il valore della funzione in $x=0$ non lo conosciamo e non riusciamo a determinarlo partendo dalla derivata perché non appartiene a questa; quindi, per esempio, dato che possiamo spostare la retta a sx in alto quanto vogliamo, qualsiasi valore assuma la funzione in $x=0$ la retta potrebbe valere di più ...
Per la C sono (leggermente) perplesso perché è vero che la concavità cambia e il punto in cui cambia esiste ma è anche vero che la derivata seconda lì non esiste ... cmq direi vera ...
Per quella senza lettera basta osservare che una parte della funzione è una retta che scende verso $-infty$ quindi è illimitata inferiormente ... vera
Per la D vedi l'analisi che ho fatto prima ...
Sono un po' stanchino (cit. Forrest Gump
)Ciao, Alex
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