Funzioni con grafico ad una variabile

[myriam.92]

Tale funzione ha minimo relativo e assoluto in$x_4$ come lo dimostro? Faccio riferimento ai "pallini" pieni e vuoti?
Invece il max in $x_1$ è relativo penso perché la funzione è illimitata, però non saprei da cosa lo dovrei capire graficamente.

Qui forse abbiamo in $x_3$ un punto di flesso;
Nessun minimo relativo, né max assoluto.
Poi $EEc1,c2in ]0,4[$ tra loro diversi, tali che $f'(c1)=f'(c2)=1$
Uso Lagrange: nel primo intervallo in verde risulta -2 quindi non è verificata l asserzione;
Secondo intervallo in blu invece risulta 1 quindi esiste.
Ok?
Grazie in anticipo e scusa axpgn in anticipo se sarò ripetitiva, ma questi grafici si "interrompono" rispetto a quelli visti finora, quindi nn riesco a raccapezzarmi...

[myriam.92]

Tu sarai un po' stanchino,ma io mi sono "scaricata "completamente solo per leggere e capire tutto per bene

Diciamo che solo disegnarla la funzione della derivata nn mi sembra per nulla facile...Ma comunque...

"axpgn": a destra abbiamo due rette, una ascendente e una discendente, perciò la loro primitiva sarà di secondo grado ovvero parabole,

Questo per esempio come dovrei capirlo?

"axpgn":quindi, per esempio, dato che possiamo spostare la retta a sx in alto quanto vogliamo, qualsiasi valore assuma la funzione in x=0 la retta potrebbe valere di più ...

Quale delle due rette spostiamo?

Cmq grazie prof (dovrebbero averlo tutti uno come te!)

Nel frattempo posto un altro grafico, quando hai voglia mi rispondi

A parte la stranezza del prolungamento, ma il prof ai tempi diceva che era possibile e basta (mah...)
L'ultima risposta come dovrei dimostrarla? E poi perché di "frontiera"? ( Non fare caso a quei punti che ho segnato, forse sn pure sbagliati)

[axpgn]

"Myriam92":Diciamo che solo disegnarla la funzione della derivata nn mi sembra per nulla facile...

Infatti non lo è ma tu non devi disegnarla ... ... l'ho fatto solo per rendere più chiaro il mio discorso ...

"Myriam92":[quote="axpgn"] a destra abbiamo due rette, una ascendente e una discendente, perciò la loro primitiva sarà di secondo grado ovvero parabole,

Questo per esempio come dovrei capirlo?[/quote]
Prendi la retta ascendente, quella che sta nell'intervallo $(0,2)$ ...

Per definizione avrà un'equazione cosiffatta $y=mx+q$ con $m>0$ dato che "sale", ok?
La sua primitiva sarà una "cosa" simile $int mx+q\ \ dx=int mx\ \ dx + int q\ \ dx= m/2x^2+qx+c$, la quale non è altro che l'equazione di una parabola con la concavità verso l'alto ($m/2>0$), analogamente per la retta discendente, un'altra parabola ma con la concavità verso il basso ... chiaro?

"Myriam92":[quote="axpgn"]quindi, per esempio, dato che possiamo spostare la retta a sx in alto quanto vogliamo, qualsiasi valore assuma la funzione in x=0 la retta potrebbe valere di più ...

Quale delle due rette spostiamo? [/quote]
Nella funzione la retta è una sola (a sx di zero) più due pezzi di parabola ...

Per adesso ... buona notte ...

Ciao, Alex

[axpgn]

Per l'ultimo grafico partiamo dalla risposta data per falsa che invece è vera ... hai parlato di Lagrange finora e poi non lo applichi quando serve?
La funzione nell'intervallo $[4,6]$ è definita e continua e in $(4,6)$ è pure derivabile quindi si può applicare ...
$(f(6)-f(4))/(6-4)=(0-1)/(6-4)=-1/2$ ...
Peraltro, anche senza Lagrange, si arriva alla stessa conclusione in modo "qualitativo" ... dal punto $x=4$ la funzione "cala" in modo certamente più ripido di una retta con coefficiente angolare pari a $-1/2$, poi però tende a scendere sempre meno velocemente per fermarsi ed infine risalire (e quindi avrà una derivata positiva); dato che non esistono, in quell'intervallo, punti angolosi, cuspidi o quant'altro significa che il valore della derivata passerà "dolcemente" da un valore minore di $-1/2$ ad uno maggiore di esso e per forza di cose dovrà assumere ANCHE quello ...
Prima di dirti qual è quella falsa vorrei sentire la tua risposta ...

[myriam.92]

Pensi che io arriverei mai a una risp? Ma anche no!
Al max posso dire che per esclusione è falsa l'ultima poiché per la prima direi che se ci fosse il prolungamento, in x=4 avremmo un punto di cuspide, quindi f continua ma nn derivabile, giusto?

"axpgn": il valore della derivata passerà "dolcemente" da un valore minore di −1/2 ad uno maggiore di esso e per forza di cose dovrà assumere ANCHE quello ...

Sarebbe zero? Quindi c'è un minimo? Si, ok ma nn basta. O almeno non basta a me perché non capisco cosa vuoi farmi capire

Anzi sono contenta se ieri mi sn accorta che il tuo trucco sali/scendi applicabile alle sole rette in realtà è Lagrange, no?(Con la differenza che se usato nelle rette ci fornisce la derivata prima, mentre nelle curve possiamo usarlo pure ma verifica solo se esiste un punto generico in un certo intervallo con la derivata richiesta...)?
{ Il tutto considerando sempre che la funzione in quell'intervallo sia continua e derivabile}

E.. anche in quest ultimo grafico avevo usato Lagrange ma avevo scambiato f(a) con f(b) -__-


Per il grafico della derivata : ho già parecchia confusione con tanto di spiegazione + grafico della funzione bello e pronto che mi hai fatto tu. Pensa all'esame che non ho nessuno di questi aiuti. Obiettivamente: la ritieni cosa mia, conoscendomi!? io nn direi..


EDIT: prima della citazione

[axpgn]

"Myriam92":Sarebbe zero? Quindi c'è un minimo? Si, ok ma nn basta. O almeno non basta a me perché non capisco cosa vuoi farmi capire ...

Premesso che per rispondere a quella domanda bastava Lagrange e tu ci eri arrivata, quindi non ti serviva altro, il metodo "qualitativo" di cui ho parlato se ti crea confusione lascialo perdere ...

Nel punto $x=4$ la funzione scende quindi la derivata prima è negativa; possiamo stimare un valore almeno di $-3$ che è sicuramente minore di $-1/2$; spostandoci sempre più a dx la funzione continua a calare ma in maniera sempre meno ripida, ne consegue che la derivata è ancora negativa ma "più piccola" in valore assoluto cioè $-2.5, -2, -1.5, -1, ...$; nel punto $x=5$ la funzione non cala più anzi, si è fermata, quindi la derivata prima vale zero che è MAGGIORE di $-1/2$ ... ricapitolando abbiamo visto che da $x=4$ a $x=5$ la derivata prima assume tutti i valori che vanno da un valore sicuramente minore di $-1/2$ (che sia $-3$ o $-5$ o qualcos'altro non è importante) ad un valore sicuramente maggiore di $-1/2$ (abbiamo visto che in $x=5$ vale zero), perciò ne concludiamo che assumendo la derivata prima TUTTI i valori compresi tra $-3$ e $0$ assumerà da qualche parte anche il valore $-1/2$

"Myriam92":Anzi sono contenta ... ... con la derivata richiesta...)?

Questa parte non l'ho capita ... ma fa niente ... ...

"Myriam92":... Obiettivamente: la ritieni cosa mia, conoscendomi!? io nn direi..

Sì, senz'altro ... credo di aver capito la "consistenza" dell'esame e non lo trovo difficile ... tu hai "messo insieme" un bagaglio di conoscenze sufficiente per superarlo ma non sei ancora in grado di "controllare" e "coordinare" questa massa di informazioni che comunque hai appreso ... detto in altro modo, molte "cose" non ti vengono "naturali" (a causa anche di basi poco solide) perciò spesso ti perdi in ragionamenti che ti confondono ... cerchi di ovviare "meccanicizzando" il più possibile ma non sempre ciò è fattibile e spesso questo allunga i tempi (aumentando incertezza e insicurezza).
Avresti bisogno di un po' più di tempo per consolidare le conoscenze (soprattutto quelle "basiche"), comunque i test a risposta multipla secondo me sono un vantaggio ... la probabilità di "beccare" quella giusta aumentano ...

Cordialmente, Alex

[myriam.92]

Derivata:

"axpgn":
Nella funzione la retta è una sola (a sx di zero) più due pezzi di parabola ...

Ma a parte che in tutto quel discorso pensavo parlassi della funzione e nn della derivata..Nn capisco ancora se ti riferisci alla retta parallela a x, o a quella crescente, nè tutto il ragionamento alle spalle ( ovviamente gli altri punti son tutti chiari,tranne quello che mi interessa,che è la risp esatta )

Grafico 5

"axpgn":Nel punto x=4 la funzione scende quindi la derivata prima è negativa; possiamo stimare un valore almeno di −3 che è sicuramente minore di ..

Stimarlo? Ma in che modo?
Oltretutto io ho già capito che la penultima risposta è vera ed ho applicato Lagrange, finito.
Cosa vuoi farmi capire/ quale risposta mi vorresti motivare con quel discorso spam?

"axpgn":Myriam92 ha scritto:
... Obiettivamente: la ritieni cosa mia, conoscendomi!? io nn direi..

Sì, senz'altro ...

Senz'altro è cosa mia, o senz'altro non diresti pure tu!?

Io direi che a principio di quest'ultimo post hai avuto l ennesima conferma che aldilà delle mie basi poco solide, anche i ragionamenti che nn le richiedono ho difficoltà ad apprenderli... Quindi il grafico della derivata non credo sia un esercizio per cui possa valere metterci mano, e se mi dici di sì, pretendo una ragione

"axpgn":Myriam92 ha scritto:
Anzi sono contenta ... ... con la derivata richiesta...)?

Questa parte non l'ho capita ... ma fa niente ... ...

Ci fa eccome! Hai distrutto il mio pizzico di contentezza !
Nel grafico verde e blu ho usato Lagrange: nella retta, consentendomi di trovare la derivata; nelle.curve invece non abbiamo trovato la derivata (a differenza di quanto credessi).
Se nella.retta inoltre, applicassimo il tuo metodo " all'americana" i risultati sarebbero identici a quelli di Lagrange. Intendevo qst, ok?

[axpgn]

"Myriam92":Ma a parte che in tutto quel discorso pensavo parlassi della funzione e nn della derivata..

Infatti parlavo della funzione, della retta crescente a sx di zero ...

"Myriam92":Stimarlo? Ma in che modo?

Nel punto $x=4$ la funzione vale $1$, mentre vale zero nel punto $4,3$ o $4,4$ quindi cala di uno in tre/quattro decimi ovvero $-1/(1/3)=-3$
Comunque, come hai capito ti bastava Lagrange ... ho fatto quel discorso per il caso in cui non potessi usarlo ma ti interessasse stimare una pendenza ...

"Myriam92":Io direi che a principio di quest'ultimo post hai avuto l ennesima conferma che aldilà delle mie basi poco solide, anche i ragionamenti che nn le richiedono ho difficoltà ad apprenderli...

Non hai difficoltà ad apprendere le cose (o comunque sei nella media), ne hai dovuto apprendere tante in poco tempo e su basi non solidissime, per cui non le hai ancora metabolizzate, digerite ... avresti bisogno di un po' più di tempo (e magari qualcuno che ti dia un feedback immediato, per guadagnare tempo ...)

"Myriam92":Quindi il grafico della derivata non credo sia un esercizio per cui possa valere metterci mano, e se mi dici di sì, pretendo una ragione

Non ho capito ... (per inciso, scusa se mi ripeto, avere tanti esercizi aperti non aiuta la comprensione ... almeno la mia )

"Myriam92":Se nella.retta inoltre, applicassimo il tuo metodo " all'americana" i risultati sarebbero identici a quelli di Lagrange. Intendevo qst, ok?

Se mi dici cos'è il mio "metodo all'americana" magari te lo dico ...

Comunque la risposta falsa è la prima "Non esiste prolungamento ..." ... a parte il fatto che te l'ha detto anche il tuo prof, tu puoi disegnare quel "pezzo di funzione aggiuntivo" come più ti piace (e difatti hai giustamente capito che se tracci una retta tra i due punti le dai la continuità ma non la derivabilità perché avresti due punti angolosi ... ti basta però tracciare una curva qualsiasi (purché sia una funzione) e "raccordarla" dolcemente con le parti esistenti ...

[myriam.92]

"axpgn":Nel punto x=4 la funzione vale 1, mentre vale zero nel punto 4,3 o 4,4 quindi cala di uno in tre/quattro decimi ovvero −1/(1/3)=−3

La funzione vale zero, nella parte poco prima di 4,5 credo di aver capito, ma come fa a calare di uno IN 0,33 circa!? Io credo di nn aver ben capito invece cosa cambia tra limite della funzione e funzione nel punto( anzi la prima so cosa è, la seconda mi pare di nn ricordare più , come ho visto in vari esercizi)


[ot]

"axpgn":(e magari qualcuno che ti dia un feedback immediato,

Per esperienza personale il tuo feedback posso garantirti è più veloce di chiunque altro con cui io abbia mai studiato, [ nel 90% dei casi le persone con cui ho studiato mi dicono che studio/ mi preoccupo troppo ][/ot]

"axpgn":Myriam92 ha scritto:
Quindi il grafico della derivata non credo sia un esercizio per cui possa valere metterci mano, e se mi dici di sì, pretendo una ragione

Qui mi riferisco al grafico della derivata in generale: mi sembra richieda una ragionamento troppo lungo e contorto quindi ritengo inutile perderci tempo all'esame, tutto qui.

"axpgn":Myriam92 ha scritto:
Se nella Funzione retta,quindi a derivata costante, inoltre, applicassimo il tuo metodo " all'americana" i risultati sarebbero identici a quelli di Lagrange. Intendevo qst, ok?

Metodo "sali, scendi" va bene ? xD

Sempre sull'ultimo grafico :
Penso che l'ultima risposta sia vera nei punti che ho scritto sul foglio. Ma perché sono di" frontiera"?

[axpgn]

"Myriam92":... ma come fa a calare di uno IN 0,33 circa!?

Quando si parla di "valore di una funzione (in un punto)" si intende il valore che assume $f(x)$ (o $y$ che dir si voglia che è anche il valore dell'immagine del punto $x$) ... perciò nel caso in questione il valore della nostra funzione nel punto $x_1=4$ cioè il valore di $y_1=f(4)$ è $y_1=1$ mentre nel punto $x_2=4.3$ (ipotizzo) la funzione vale $y_2=f(4.3)=0$, quindi la differenza di valore della funzione tra i punti $x_1$ e $x_2$ sarà $y_2-y_1=0-1=-1$ ... ok?

"Myriam92":Io credo di nn aver ben capito invece cosa cambia tra limite della funzione e funzione nel punto( anzi la prima so cosa è, la seconda mi pare di nn ricordare più , come ho visto in vari esercizi)

Quello che chiami "funzione nel punto" è il concetto che ho chiarito sopra ovvero $y=f(x)$

[ot]

"Myriam92":... mi dicono che studio/ mi preoccupo fin troppo(cosa normalissima per me, lenta come sono), ...

Che ti preoccupi troppo lo dico anch'io ... ... però avere qualcuno che ti corregge, ti spiega, ti porta esempi, risponde alla tue perplessità e fa tutto questo in tempo reale, è un valore aggiunto notevole, te lo garantisco ... [/ot]
[ot]

"Myriam92":Qui mi riferisco al grafico della derivata in generale: mi sembra richieda una ragionamento troppo lungo e contorto quindi ritengo inutile perderci tempo all'esame, tutto qui.

Ho capito però non mettere le mani avanti ... ovviamente all'esame devi valutare come dividere le tue risorse e può essere un'opzione anche lasciar perdere qualcosa ma non deciderlo prima ... questo no ...[/ot]

"Myriam92":Metodo "sali, scendi" va bene ? xD

Niente di speciale (anche Lagrange è un'applicazione di quello) ... ciò di cui stiamo parlando è il "rapporto incrementale" della funzione ovvero il rapporto tra la variazione della $f(x)$ (o $y$) e la variazione della variabile indipendente $x$.

"Myriam92":Penso che l'ultima risposta sia vera nei punti che ho scritto sul foglio. Ma perché sono di" frontiera"

Per farla brevissima (perché c'è tutto un mondo dietro ...) si dicono "punti di frontiera" di una funzione quei punti per i quali qualsiasi intorno si prenda contengono sempre sia punti della funzione sia punti esterni alla funzione ...

Cordialmente. Alex

[myriam.92]

"axpgn":Quando si parla di "valore di una funzione (in un punto)" si intende il valore che assume f(x) (o y che dir si voglia che è anche il valore dell'immagine del punto x) ... perciò nel caso in questione il valore della nostra funzione nel punto x1=4 cioè il valore di y1=f(4) è y1=1 mentre nel punto x2=4.3 (ipotizzo) la funzione vale y2=f(4.3)=0, quindi la differenza di valore della funzione tra i punti x1 e x2 sarà y2−y1=0−1=−1 ... ok?

Ok. Grazie...
Ma perché, chiedevo, cala giusto in 0,33 circa?

"axpgn":
Per farla brevissima (perché c'è tutto un mondo dietro ...) si dicono "punti di frontiera" di una funzione quei punti per i quali qualsiasi intorno si prenda contengono sempre sia punti della funzione sia punti esterni alla funzione ...

immagini la mia domanda : graficamente qui lo posso vedere ? xD

[ot]e dove trovo qualcuno a mia disposizione in tempo reale, di coccio come sono?
Qualcuno si può dire che l'ho trovato ..[/ot]

[axpgn]

"Myriam92":Ma perché, chiedevo, cala giusto in 0,33 circa?

Non capisco l'obiettivo di questa domanda ... cosa vuoi sapere precisamente?

"Myriam92":... graficamente qui lo posso vedere ? xD

Sì.

[myriam.92]

"Myriam92":axpgn ha scritto:
Nel punto x=4 la funzione vale 1, mentre vale zero nel punto 4,3 o 4,4 quindi cala di uno in tre/quattro decimi ovvero −1/(1/3)=−3

Quell' 1/3 dico.. cosa c'entra?

"axpgn":Myriam92 ha scritto:
... graficamente qui lo posso vedere ? xD

In 5 per esempio, da dove lo vedo l'intorno NON appartenente alla funzione?

[axpgn]

"Myriam92":Quell' 1/3 dico.. cosa c'entra?

Avrei potuto prendere un intervallo (quasi) qualsiasi, per esempio $x_1=4$ e $x_2=6$ e avrei fatto lo stesso calcolo (facile) che hai fatto tu con Lagrange, ma siccome il mio scopo era quello di mostrare un metodo da usare in qualsiasi "pezzo" di funzione allora ne ho scelto uno diverso ... dato che in $x=4$ la funzione vale $1$ e in $x=4.3$ (più o meno) vale $0$ i calcoli venivano facili ... tutto qui ...

"Myriam92":In 5 per esempio, da dove lo vedo l'intorno NON appartenente alla funzione?

Ma in $x=5$ NON c'è né min né max assoluti ma un min relativo ... il min assoluto è in $x=0$ e il max assoluto è in $x=4$

[myriam.92]

$ x=0 $ minimo assoluto?!? In effetti è il punto più in basso della funzione che è pure limitata inferiormente ( anche se la limitatezza mi hai detto una volta che in tal caso nn conta)
Ed è qst che mi confonde con le funzioni "classiche" (quelle che dobbiamo disegnare noi..)..

Tornando alla frontiera, dove sarebbe l'intorno nn appartenente alla funzione ( nel minimo assoluto ad esempio)?

[axpgn]

"Myriam92":$ x=0 $ minimo assoluto?!? In effetti è il punto più in basso della funzione

Eh, direi! ... "minimo assoluto" vuol dire "punto più in basso della funzione" ...

"Myriam92": che è pure limitata inferiormente ( anche se la limitatezza mi hai detto una volta che in tal caso nn conta)

... se non fosse limitata inferiormente come potrebbe avere un "punto più basso di tutti gli altri" ?

"Myriam92":Tornando alla frontiera, dove sarebbe l'intorno nn appartenente alla funzione ( nel minimo assoluto ad esempio)?

Non ho detto questo ...
Un punto è di frontiera se in ogni intorno (completo) di esso esistono punti sia della funzione che punti esterni ad essa ...

Nel nostro caso, se prediamo $x=0$ qualsiasi intorno completo di esso (ovvero un insieme siffatto $a<0
Ciao, Alex

[myriam.92]

"axpgn":Un punto è di frontiera se in ogni intorno (completo) di esso esistono punti sia della funzione che punti esterni ad essa ...

Nel nostro caso, se prediamo x=0 qualsiasi intorno completo di esso (ovvero un insieme siffatto a<0
Perfetto. Ma nella pratica io nn vedo l'intorno sx a zero...

[axpgn]

Un intorno completo (qualsiasi) di $x=0$ è l'insieme $(a,b)$ con $a$ e $b$ tali che $a<0 Un intorno completo di $x=0$ lo definisco indipendentemente dal fatto che si stia parlando di funzioni, di integrali, di derivate o quant'atro ... è un concetto a sé ... che poi utilizzo dove più mi interessa, in questo caso lo uso per definire i punti di frontiera ... ovvero utilizzo il concetto di "intorno" per definire un oggetto chiamato "punto di frontiera" ... la frontiera di qualcosa, naturalmente, e questo qualcosa normalmente è un insieme ... nel nostro caso l'insieme a cui ci riferiamo è il dominio della funzione e il punto $x=0$ è un punto di frontiera per il dominio della nostra funzione ...

Infatti se tu prendi qualsiasi insieme definito in questo modo $a<0
(l'avevo detto però che c'era "tutto un mondo dietro" ... )

[myriam.92]

Okay
.....



Tornando a qst... Il limite in 2 da dx è 2; da sx 0, ed f(2)=1
Quindi c'è un salto ( la discontinuità è di primo tipo )?


---------------



Grafichino trovato nel quaderno di scuola...
F(1)=4
Ma il limite a sx vale 2, invece a dx sbaglio o non esiste ? ( Ciò andrebbe in contraddizione con la discontinuità di secondo tipo che richiede che entrambi i limiti di dx e sx siano uguali e finiti a quanto ho capito ?)

Purtroppo ti chiedo " che tipi sono " perché le domande spesso lo richiedono se non te lo ricordi cerco di nuovo sul libro

[axpgn]

"Myriam92":Quindi c'è un salto ( la discontinuità è di primo tipo )?

Sì, c'è un salto ma non chiedermi il tipo ...

"Myriam92":Grafichino trovato nel quaderno di scuola...

Delle Elementari?

"Myriam92":Ma il limite a sx vale 2, invece a dx sbaglio o non esiste ? ( Ciò andrebbe in contraddizione con la discontinuità di secondo tipo che richiede che entrambi i limiti di dx e sx siano uguali e finiti a quanto ho capito ?)

A dx è uguale a quello di sx, se non ci fosse il buco sarebbe continua ... il tipo non lo so ma sicuramente è una discontinuità "eliminabile" per i motivi che ho detto ...

[myriam.92]

[ot]

"axpgn":
Delle Elementari?

Cosa te lo fa pensare ? ai tempi ero la prima della classe in matematica ovvero ai tempi in cui potevamo svolgere tutto meccanicamente, come piace a me [/ot]


Questa mi preoccupa! Guarda quale penso che sia la risposta!!!! ( finalmente fotocopie fatte da me, si dovrebbero leggere)
La mia perplessità è la seconda risposta: in sostanza posso usare lagrange solo nell'ultima.tratta no? Risulta $-3/2$
Non mi vorrai mica consigliare di usare per le tratte prima il tuo metodo allucinante sulla." Stima." Della.pendenza... Vero?! (in realtà nemmeno so se se posso, ma.sempre disposta a dare un occhio )