Funzioni con grafico ad una variabile

[myriam.92]

Tale funzione ha minimo relativo e assoluto in$x_4$ come lo dimostro? Faccio riferimento ai "pallini" pieni e vuoti?
Invece il max in $x_1$ è relativo penso perché la funzione è illimitata, però non saprei da cosa lo dovrei capire graficamente.

Qui forse abbiamo in $x_3$ un punto di flesso;
Nessun minimo relativo, né max assoluto.
Poi $EEc1,c2in ]0,4[$ tra loro diversi, tali che $f'(c1)=f'(c2)=1$
Uso Lagrange: nel primo intervallo in verde risulta -2 quindi non è verificata l asserzione;
Secondo intervallo in blu invece risulta 1 quindi esiste.
Ok?
Grazie in anticipo e scusa axpgn in anticipo se sarò ripetitiva, ma questi grafici si "interrompono" rispetto a quelli visti finora, quindi nn riesco a raccapezzarmi...

[myriam.92]

Una delle Condizioni per la continuità : lim dx e sx di x tendente a 4 devono esistere ed essere uguali.
Ma se in corrispondenza di 4 quel pallino pieno nemmeno ha l'intorno... Cm lo dimostro?!
Lo so che" il vuoto" che ha il pallino di lato significa solo che la f nn è definita e nn che nn sia continua.

Scusa per la domanda stupida... Notte e grazie

[Seneca1]

$x = 4$ è un punto cosiddetto isolato del dominio. Nei punti isolati limite sinistro e limite destro non hanno senso, ma la funzione è ivi continua: questo si vede prendendo in mano la definizione di continuità (quella con $\epsilon-\delta$ per capirsi).

[axpgn]

"Myriam92":Scusa per la domanda stupida...

Per niente stupida ... io ho scoperto (relativamente) da poco (e qui sul forum, peraltro) che nei punti isolati la funzione è sempre continua (va beh, un tempo non sapevo neanche che esistessero i punti isolati e tutto il resto .. )

"Myriam92":Ma se in corrispondenza di 4 quel pallino pieno nemmeno ha l'intorno... Cm lo dimostro?!

Questo non è vero, ne ha infiniti di intorni, il fatto è che negli intorni "più piccoli" c'è solo lui (poverino ... mica per niente lo chiamano "isolato" ... )

@Seneca
Questa proprietà mi è sempre parsa strana, o meglio, forzata ... tu dici di usare il metodo $epsilon-delta$ cioè una cosa così $|f(x)-x_0|
Grazi,

Cordialmente, Alex

[Seneca1]

"axpgn":Questa proprietà mi è sempre parsa strana, o meglio, forzata ... tu dici di usare il metodo $epsilon-delta$ cioè una cosa così $|f(x)-x_0|

Non è un "metodo" ma è proprio la definizione. Forse è più comprensibile ragionare formulando la definizione di continuità in termini di intorni. $f$ si dice continua in $x_0 \in Dom(f)$ se: per ogni intorno $J$ di $f(x_0)$ esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che $x \in I \cap Dom(f) \Rightarrow f(x) \in J$.

Se $x_0 = 4$ (l'esempio in questione), è evidente che, qualunque sia $J$ intorno di $f(4)$ scegliendo $I = ( 4 - 1/2 , 4 + 1/2)$ si ha che $x \in I \cap Dom(f) = \{ 4 \} \Rightarrow f(x) = f(4) \in J $. Quindi $f$ è continua in $x_0 = 4$.

Se vuoi puoi scegliere $I = ( 4 - 1/10^11 , 4 + 1/10^11)$. Penso che sia chiaro che per un punto isolato $x_0$ del dominio si può sempre ritagliare un intorno della retta reale in cui, di punti del dominio, c'è solo $x_0$.

[myriam.92]

In realtà lo svolgimento non ufficiale giustifica così la continuità( mi pare un modo un po' strano ) :
$lim_(x -> c^-) f(x)= lim_(x -> c^+) f(x)=lim_(x -> c) f(x) =f(c)$

Tra l'altro aggiunge pure (in un'altra opzione di risposta) che
$lim_(x -> 4) f(x) =-2$ è falso perché manca l'intorno di 4 ( non appartiene cioè al dominio)

Purtroppo quando ho svolto questi esercizi,gli svolgimenti pensavo fossero affidabili, poi proseguendo mi sono resa conto che nn sempre erano corretti ( mi sa nemmeno stavolta)

@Alex
Stamattina avevo quasi il terrore di entrare nel forum ( in più si mette pure il PC che ultimamente è parecchio rallentato a fare suspense) perché pensavo di trovare un toro infuriato a causa delle mie solite ripetitive domande inutili

[Seneca1]

"Myriam92":In realtà lo svolgimento non ufficiale giustifica così la continuità( mi pare un modo un po' strano ) :
$lim_(x -> c^-) f(x)= lim_(x -> c^+) f(x)=lim_(x -> c) f(x) =f(c)$

Se $c$ è un punto isolato del dominio (p.es. $c = 4$) questo non ha il minimo senso.

"Myriam92":
Tra l'altro aggiunge pure (in un'altra opzione di risposta) che
$lim_(x -> 4) f(x) =-2$ è falso perché manca l'intorno di 4 ( non appartiene cioè al dominio)

Questa affermazione è corretta, ma è scorrelata dalla richiesta sulla continuità.

La giustificazione completa del fatto che la funzione è continua in $x = 4$ è quella che ti ho scritto.

Forse nei libri delle superiori la continuità viene data (in modo più grossolano) attraverso la nozione di limite e quindi perde di significato perfino chiedersi se la funzione sia continua in un punto isolato... Bisognerebbe far luce sulla definizione di continuità che ti è stata fornita.

[axpgn]

"Seneca":Forse nei libri delle superiori la continuità viene data (in modo più grossolano) attraverso la nozione di limite e quindi perde di significato perfino chiedersi se la funzione sia continua in un punto isolato... Bisognerebbe far luce sulla definizione di continuità che ti è stata fornita.

Questo è quello che viene dato alle superiori (e probabilmente anche in alcune facoltà al di fuori di mate/fisica/ing), anche perché a quel livello (almeno una volta, adesso non saprei ...) non si parla di punti isolati e nemmeno di intorni ... perciò quando uno arriva dal concetto "intuitivo" di continuità come "avvicinamento infinitesimo" e si trova un punto "solitario" rimane spiazzato ...

La definizione che hai dato l'avevo già letta ma mai approfondita ... per capire se l'ho compresa bene vorrei farti un paio di esempi ... oltre ai punti isolati (in cui la funzione è continua) io direi che in questa funzione $f(x)={(|x|+1\text( se )x<0),(|x|-1\text( se )x>=0):}$ la funzione è discontinua in $x_0=0$ mentre in quest'altra $f(x)=sqrt(x^2-1)$ è continua in $x_0=+-1$ ....

Cordialmente, Alex

EDIT: tieni conto che nel suo corso la funzione $f(x)=1/x$ è discontinua in $x_0=0$ (credo sia chiamata discontinuità di seconda specie ...) anche se lì non è definita ...

[Seneca1]

Alle superiori (liceo scientifico) avevo ricevuto qualche rudimento di topologia (intorni, punti di accumulazione, punti isolati).

Comunque nei due esempi che hai riportato i punti che consideri sono di accumulazione per il dominio, quindi è giustificato l'uso dei limiti per controllare la continuità; è coerente con la definizione rigorosa. Le affermazioni che hai scritto sono corrette.

[axpgn]

Grazie

[myriam.92]

Quindi ricorrendo semplicemente ai limiti c'è modo per giustificare la continuità della f?

è vero che$ lim_(x -> 4) f(x) =-2 $ non c'entra nulla con la continuità; ho chiesto perchè mi è sorto il dubbio relativo al fatto che giustificava la falsità dell'asserzione dicendo che il punto 4 non ha intorni, ma visto che in realtà li ha...

"axpgn":Myriam92 ha scritto:
Ma se in corrispondenza di 4 quel pallino pieno nemmeno ha l'intorno... Cm lo dimostro che f è continua?!

Questo non è vero, ne ha infiniti di intorni, il fatto è che negli intorni "più piccoli" c'è solo lui (poverino ... mica per niente lo chiamano "isolato" ... )

... pensavo che non andasse bene come motivazione,,,


e poi, fatemi capire $ lim_(x -> 4^-), f(x)= lim_(x -> 4^+) f(x), lim_(x -> 4) f(x)$ non esistono?...

[axpgn]

Nei punti isolati una funzione è continua. Punto. Prendila così e fattela bastare.

Nei punti isolati non esistono i limiti della funzione da dx e sx (e quindi neanche IL LIMITE), non è proprio possibile calcolarli dato che un punto isolato non è un punto di accumulazione (è il suo "contrario" si potrebbe dire ... )

[Seneca1]

$ lim_(x -> 4^-) f(x) , lim_(x -> 4^+) f(x), lim_(x -> 4) f(x) $

Non hanno senso*. Quindi...

"Myriam92":Quindi ricorrendo semplicemente ai limiti c'è modo per giustificare la continuità della f?

se la definizione di continuità (una funzione si dice continua se...) ti è stata data in termini di limiti, allora non puoi porti il problema della continuità in un punto isolato; se la definizione di continuità ti è stata data come qui, allora la funzione è continua e basta (ma non puoi riferirti ai limiti di cui sopra*).

[myriam.92]

È che non ho mai avuto molta dimestichezza con tutte quelle definizioni... ^^°

Grazie

[myriam.92]

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

L'ho studiata in generale... Dico giusto ?

lim_x->3 f(x) =-1 ( lim dx e sx non esistono)

F(3)=0 ( anzi non è definita, guardando attentamente la funzione non passa da là)

In x=0 abbiamo un asintoto verticale( pure a meno infinito anche se la foto è un po' tagliata)
quindi discontinuità (nonostante in 4 sia definita?)

In x=6 non abbiamo nulla?( No max?)
In x=3 e -3 penso idem.

Grazie

[axpgn]

Criptica, molto criptica ... devo interpretare ...

- se in $x=3$ il limite della funzione esiste finito allora esistono finiti ed uguali sia il limite dx che quello sx ... (che poi in questo caso è tutto ad occhio perché nessuno può dire quali siano veramente i limiti dx e sx ...)
- secondo la convenzione del pallino vuoto=assenza lì non è definita
- sì, discontinuità (proprio perché è definita)
- in $x=6$ no max assoluto perché ci sono valori maggiori, no max relativo perché a dx non sappiamo che c'è ... idem in $x=-3$ ... in $x=3$ non c'è neanche la funzione ...

[myriam.92]

Nn ho capito... Criptica io oppure la funzione?
Meno male nessun max nè min, in effetti non rispetta nemmeno una delle condizioni di weierstrass ...

Grazie ancora!

[axpgn]

Tu, ovviamente ... due parole in più, mai ...

[myriam.92]

Stavolta le ultime le ho volute lasciare a te XD