Esercizi guidati Numeri complessi
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Risposte
Esercizio guidato 2
Risolvere la seguente equazione:
$ z^3 - |z| = 0 $
Conviene porre l'equazione in questo modo:
$ z^3 = |z| $
Ottenendo la seguente:
$ z^3 = rho^3 (cos3θ + isen3θ) $ e $ |z| = rho $ (Fin qui è tutto chiaro)
Non capisco i passaggi che seguono:
L'equazione è soddisfatta se e solo se i due membri hanno moduli uguali e argomenti che differiscono per multipli di $ 2pi $ , ovvero (il secondo membro ha argomento $ 0 $ ):
$ { ( rho^3 = rho ),( 3θ = 2pik ):} $ con $ kin Z $
Come fa dalla prima equazione ad ottenere $ rho = 0 $ e $ rho = 1 $
Risolvere la seguente equazione:
$ z^3 - |z| = 0 $
Conviene porre l'equazione in questo modo:
$ z^3 = |z| $
Ottenendo la seguente:
$ z^3 = rho^3 (cos3θ + isen3θ) $ e $ |z| = rho $ (Fin qui è tutto chiaro)
Non capisco i passaggi che seguono:
L'equazione è soddisfatta se e solo se i due membri hanno moduli uguali e argomenti che differiscono per multipli di $ 2pi $ , ovvero (il secondo membro ha argomento $ 0 $ ):
$ { ( rho^3 = rho ),( 3θ = 2pik ):} $ con $ kin Z $
Come fa dalla prima equazione ad ottenere $ rho = 0 $ e $ rho = 1 $
Esercizio 1
Comincia a calcolare il modulo $rho$ e l'argomento $theta$ di $z=1+i$. Confrontando con $a+ib$ si ha $a=1,b=1$, quindi
$rho=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(1^2+1^2)=sqrt2$
$tg theta =b/a=1/1=1->theta=pi/4$
Calcola poi modulo ed argomento di $z^7$: il modulo va elevato alla settima e l'argomento moltiplicato per 7, quindi
$rho=(sqrt2)^7=sqrt(2^7)=2^3sqrt2=8sqrt2$
$theta=7*pi/4=(7pi)/4$
Applica ora le formula di De Moivre:
$z^7=8sqrt2[cos((7pi)/4)+isin((7pi)/4)]=8sqrt2[cos(2pi-pi/4)+isin(2pi-pi/4)]=$
(usando gli angoli associati) $=8sqrt2[cos(pi/4)-isin(pi/4)]=8sqrt2(1/sqrt2-i1/sqrt2)=8(1-i)$
Esercizio 2
Due numeri complessi sono uguali se hanno (lo stesso modulo) e (argomenti uguali a meno di multipli di $2pi$). Il primo numero ha modulo $rho^3$ ed argomento $3theta$, mentre il secondo ha modulo $rho$ ed argomento $0$: per questo scrive quel sistema.
L'equazione $rho^3=rho$ si risolve così:
$rho^3-rho=0->rho(rho^2-1)=0$
e con la legge di annullamento del prodotto ottieni $rho=0 vvrho=+-1$. La soluzione negativa va scartata perché un modulo non è mai negativo.
Comincia a calcolare il modulo $rho$ e l'argomento $theta$ di $z=1+i$. Confrontando con $a+ib$ si ha $a=1,b=1$, quindi
$rho=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(1^2+1^2)=sqrt2$
$tg theta =b/a=1/1=1->theta=pi/4$
Calcola poi modulo ed argomento di $z^7$: il modulo va elevato alla settima e l'argomento moltiplicato per 7, quindi
$rho=(sqrt2)^7=sqrt(2^7)=2^3sqrt2=8sqrt2$
$theta=7*pi/4=(7pi)/4$
Applica ora le formula di De Moivre:
$z^7=8sqrt2[cos((7pi)/4)+isin((7pi)/4)]=8sqrt2[cos(2pi-pi/4)+isin(2pi-pi/4)]=$
(usando gli angoli associati) $=8sqrt2[cos(pi/4)-isin(pi/4)]=8sqrt2(1/sqrt2-i1/sqrt2)=8(1-i)$
Esercizio 2
Due numeri complessi sono uguali se hanno (lo stesso modulo) e (argomenti uguali a meno di multipli di $2pi$). Il primo numero ha modulo $rho^3$ ed argomento $3theta$, mentre il secondo ha modulo $rho$ ed argomento $0$: per questo scrive quel sistema.
L'equazione $rho^3=rho$ si risolve così:
$rho^3-rho=0->rho(rho^2-1)=0$
e con la legge di annullamento del prodotto ottieni $rho=0 vvrho=+-1$. La soluzione negativa va scartata perché un modulo non è mai negativo.
Calcola poi modulo ed argomento di $z^7$: il modulo va elevato alla settima e l'argomento moltiplicato per 7, quindi
$theta=7*pi/4=(7pi)/4$
Ma quale regola e' quella di moltiplicare l'argomento per 7???
E quello che non sto capendo!!
Cioe' come fai a dire che $theta^7 = 7*pi/4=(7pi)/4$
Hai certo studiato che il prodotto di due numeri complessi ha come modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti, cioè: i moduli si moltiplicano, mentre gli argomenti si sommano. Una potenza è un prodotto fra numeri uguali, quindi sommando i loro argomenti ottieni quello iniziale moltiplicato per l'esponente.
Se non ti è chiaro: supposto che $z$ abbia modulo $rho$ ed argomento $theta$, allora
$z^2=z*z$ ha modulo $rho*rho=rho^2$ ed argomento $theta+theta=2theta$
$z^3=z^2*z$ ha modulo $rho^2*rho=rho^3$ ed argomento $2theta+theta=3theta$, eccetera.
Se non ti è chiaro: supposto che $z$ abbia modulo $rho$ ed argomento $theta$, allora
$z^2=z*z$ ha modulo $rho*rho=rho^2$ ed argomento $theta+theta=2theta$
$z^3=z^2*z$ ha modulo $rho^2*rho=rho^3$ ed argomento $2theta+theta=3theta$, eccetera.
Ok, adesso ho capito!
Esercizio 3
Scrivere in forma algebrica $ z= a+ib, a,b in R $ , i seguenti numeri complessi:
1) $ ((2 + i)(1-i))/(3 - 2i) $
2) $ (1)/(i(3 - 2i)^2 $
3) $ (sqrt3 + isqrt2)^3/(sqrt2 - sqrt3i) $
Viste così mi fanno diventare
Risoluzione esercizio 1:
Ma come si opera in questo caso?
Si puo' fare cosi'?
$ ((2 + i)(1-i))/(3 - 2i) = ((2 - 2i + i - i^2))/(3 - 2i)= (3-i)/(3-2i) $
E' giusto?
Scrivere in forma algebrica $ z= a+ib, a,b in R $ , i seguenti numeri complessi:
1) $ ((2 + i)(1-i))/(3 - 2i) $
2) $ (1)/(i(3 - 2i)^2 $
3) $ (sqrt3 + isqrt2)^3/(sqrt2 - sqrt3i) $
Viste così mi fanno diventare
Risoluzione esercizio 1:
Ma come si opera in questo caso?
Si puo' fare cosi'?
$ ((2 + i)(1-i))/(3 - 2i) = ((2 - 2i + i - i^2))/(3 - 2i)= (3-i)/(3-2i) $
E' giusto?
Ho risolto il seguente esercizio:
Calcolare il modulo e l'argomento del seguente numero complesso:
$ sqrt3 + i $
Non ho avuto nessun problema, sono arrivato a $ p = 2 $ (modulo) e al numero scritto nel seguente modo:
$ z = 2((cos)(pi)/6 + i sen pi/6) $
Perfetto
Adesso so che il suo argomento è $ theta = pi/6 + 2kpi $ , perfetto, ma adesso come faccio a dire qual'è l'angolo da considerare? Insomma, io so che $ pi/6=30^o $, ma come devo utilizzare gli archi associati per determinare il quadrante
Calcolare il modulo e l'argomento del seguente numero complesso:
$ sqrt3 + i $
Non ho avuto nessun problema, sono arrivato a $ p = 2 $ (modulo) e al numero scritto nel seguente modo:
$ z = 2((cos)(pi)/6 + i sen pi/6) $
Perfetto
Adesso so che il suo argomento è $ theta = pi/6 + 2kpi $ , perfetto, ma adesso come faccio a dire qual'è l'angolo da considerare? Insomma, io so che $ pi/6=30^o $, ma come devo utilizzare gli archi associati per determinare il quadrante
Esercizio 4
Devo ricavare la radice quarta del seguente numero complesso:
$ 1 $
Ho avuto modo di constatare che per la radice quadra del numero complesso $ 1 $ , non occorre fare calcoli, ma intuitivamente si riesce ad arrivare alla conclusione che il risultato è $ i = +-1 $ , perfetto!
Ma questo non dovrebbe valere anche per radice quarta di 1 : $ w_k = rho^(1/4) [cos ((theta+2kpi)/4) + i sen((theta+2kpi)/4)] $ :
Sinceramente, pensando alla circonferenza goniometrica, riesco a dire che non è lo stesso perchè si tratta di avere quattro punti sulla circonferenza e quindi si hanno quattro soluzioni, giusto
Sto riuscendo ad arrivare alle soluzioni, se applico la seguente formula:
$ w_k = rho^k [cos ((theta+2kpi)/2) + i sen((theta+2kpi)/2)] $
Ma se comincio con la seguente:
$ w_k = rho^(1/4) [cos ((0)/4) + i sen((0)/4)] $
E poi continuo con la seguente:
$ w_k = rho^(1/4) [cos ((pi)/4+pi) + i sen((pi)/4+pi)] $
Insomma se continuo con multipli di $ pi $ , non mi trovo con i risultati, Perche'
Devo ricavare la radice quarta del seguente numero complesso:
$ 1 $
Ho avuto modo di constatare che per la radice quadra del numero complesso $ 1 $ , non occorre fare calcoli, ma intuitivamente si riesce ad arrivare alla conclusione che il risultato è $ i = +-1 $ , perfetto!
Ma questo non dovrebbe valere anche per radice quarta di 1 : $ w_k = rho^(1/4) [cos ((theta+2kpi)/4) + i sen((theta+2kpi)/4)] $ :
Sinceramente, pensando alla circonferenza goniometrica, riesco a dire che non è lo stesso perchè si tratta di avere quattro punti sulla circonferenza e quindi si hanno quattro soluzioni, giusto
Sto riuscendo ad arrivare alle soluzioni, se applico la seguente formula:
$ w_k = rho^k [cos ((theta+2kpi)/2) + i sen((theta+2kpi)/2)] $
Ma se comincio con la seguente:
$ w_k = rho^(1/4) [cos ((0)/4) + i sen((0)/4)] $
E poi continuo con la seguente:
$ w_k = rho^(1/4) [cos ((pi)/4+pi) + i sen((pi)/4+pi)] $
Insomma se continuo con multipli di $ pi $ , non mi trovo con i risultati, Perche'
Esercizio 3-1)
Giusto ma non finito perché c'è ancora $i$ a denominatore. Per toglierlo devi razionalizzare:
$=(3-i)/(3-2i)*(3+2i)/(3+2i)=(9+6i-3i-2i^2)/(9-4i^2)=(11+3i)/13=11/13+i3/13$
L'ultimo passaggio si fa quando vuoi distinguere la parte reale da quella immaginaria; se non ti serve farlo, lo puoi tralasciare.
Esercizio 4
1 ha $rho=1, theta=0$, quindi
$w_k=1(cos frac (0+2kpi) 4+isin frac(0+2kpi) 4)$
-per $k=0$ l'angolo è $0/4=0$, quindi $w_0=cos 0+isin0=1$
-per $k=1$ l'angolo è $(2pi)/4=pi/2$, quindi $w_1=cos frac pi 2+isinfrac pi 2=i$
-per $k=2$ l'angolo è $(4pi)/4=pi$, quindi $w_2=cos pi+isin pi=-1$
-per $k=3$ l'angolo è $(6pi)/4=(3pi)/2$, quindi $w_3=cos frac (3pi) 2+i sin frac (3pi) 2=-i$
Giusto ma non finito perché c'è ancora $i$ a denominatore. Per toglierlo devi razionalizzare:
$=(3-i)/(3-2i)*(3+2i)/(3+2i)=(9+6i-3i-2i^2)/(9-4i^2)=(11+3i)/13=11/13+i3/13$
L'ultimo passaggio si fa quando vuoi distinguere la parte reale da quella immaginaria; se non ti serve farlo, lo puoi tralasciare.
Esercizio 4
1 ha $rho=1, theta=0$, quindi
$w_k=1(cos frac (0+2kpi) 4+isin frac(0+2kpi) 4)$
-per $k=0$ l'angolo è $0/4=0$, quindi $w_0=cos 0+isin0=1$
-per $k=1$ l'angolo è $(2pi)/4=pi/2$, quindi $w_1=cos frac pi 2+isinfrac pi 2=i$
-per $k=2$ l'angolo è $(4pi)/4=pi$, quindi $w_2=cos pi+isin pi=-1$
-per $k=3$ l'angolo è $(6pi)/4=(3pi)/2$, quindi $w_3=cos frac (3pi) 2+i sin frac (3pi) 2=-i$
"giammaria":
Esercizio 4
1 ha $rho=1, theta=0$, quindi
...
Scusami, ma non sto capendo come hai fatto a pensare ai multipli di $2pi$
Fin quì ok :
-per $k=0$ l'angolo è $0/4=0$, quindi $w_0=cos 0+isin0=1$
-per $k=1$ l'angolo è $(2pi)/4=pi/2$, quindi $w_1=cos frac pi 2+isinfrac pi 2=i$
Ma poi, come sei arrivato ai multipli es. $(4pi)/4=pi$
: -per $k=2$ l'angolo è $(4pi)/4=pi$, quindi $w_2=cos pi+isin pi=-1$
-per $k=3$ l'angolo è $(6pi)/4=(3pi)/2$, quindi $w_3=cos frac (3pi) 2+i sin frac (3pi) 2=-i$
Forse ho trascurato il fatto che nella formula c'è il $ k $, che dunque va moltiplicato, $ k= 0 $ e da zero, ecc.
Ho capito bene il mio errore
Sì, è proprio così.
"giammaria":
Sì, è proprio così.
Esercizio 5
Determinare la radice quarta del numero complesso $ -4 $
Forse sono arrivato alla conclusione, ma corregentemi se sbaglio
$ z = -4 $ ; $ p= sqrt(a^2 + b^2)=sqrt(0^2 + (-4)^2) = 4 $
Se adesso lo scrivo in forma trigonometrica, avrò:
$ -4 = 4(0/4 -4/4) $
Che diventa
$ -4 = 4(0 - 1)=> -4 $
Il che mi fa capire quale sia l'angolo iniziale:
$4(0 - 1) = 4(cos(-pi/2) -sen(-pi/2)) $
Segue:
$w_k=4^(1/4)(cos frac (theta+2kpi) 4+isin frac(theta+2kpi) 4)$
-per $k=0$ l'angolo è $(-pi/2)/4=-pi/8$, quindi $w_0=(cos (-pi/8) +isin(-pi/8))$
$ 4^(1/4)((sqrt(2+sqrt(2))/2) -(sqrt(2-sqrt(2))/2))=> ((sqrt(2+sqrt(2))/(4^(1/4)*2)) -(sqrt(2-sqrt(2))/(4^(1/4)*2))=1-i $
Va bene fin quì?????????
E così via ............................
Sto trovando difficoltà con i segni positivi o negativi, sin dall'inizio, ho fatto bene
Determinare la radice quarta del numero complesso $ -4 $
Forse sono arrivato alla conclusione, ma corregentemi se sbaglio
$ z = -4 $ ; $ p= sqrt(a^2 + b^2)=sqrt(0^2 + (-4)^2) = 4 $
Se adesso lo scrivo in forma trigonometrica, avrò:
$ -4 = 4(0/4 -4/4) $
Che diventa
$ -4 = 4(0 - 1)=> -4 $
Il che mi fa capire quale sia l'angolo iniziale:
$4(0 - 1) = 4(cos(-pi/2) -sen(-pi/2)) $
Segue:
$w_k=4^(1/4)(cos frac (theta+2kpi) 4+isin frac(theta+2kpi) 4)$
-per $k=0$ l'angolo è $(-pi/2)/4=-pi/8$, quindi $w_0=(cos (-pi/8) +isin(-pi/8))$
$ 4^(1/4)((sqrt(2+sqrt(2))/2) -(sqrt(2-sqrt(2))/2))=> ((sqrt(2+sqrt(2))/(4^(1/4)*2)) -(sqrt(2-sqrt(2))/(4^(1/4)*2))=1-i $
Va bene fin quì?????????
E così via ............................
Sto trovando difficoltà con i segni positivi o negativi, sin dall'inizio, ho fatto bene
L'angolo non è $-\frac{\pi}{2}$ ma $\pi$, infatti con il tuo angolo svolgendo otterresti $4i$ e non $-4$.
"CaMpIoN":
L'angolo non è $-\frac{\pi}{2}$ ma $\pi$, infatti con il tuo angolo svolgendo otterresti $4i$ e non $-4$.
Scusami, ma da dive lo hai dedotto?
Ti basta considerare che $-4$ è un numero complesso con parte complessa nulla, cioè puoi scriverlo come
\(\displaystyle -4=-4+i0 \)
La tangente dell'angolo del numero complesso in forma trigonometrica è pari a
\(\displaystyle \tan \alpha=\frac{0}{-4}\)
Da cui trovi:
\(\displaystyle \alpha=\arctan \frac{0}{-4}=\pi \)
\(\displaystyle -4=-4+i0 \)
La tangente dell'angolo del numero complesso in forma trigonometrica è pari a
\(\displaystyle \tan \alpha=\frac{0}{-4}\)
Da cui trovi:
\(\displaystyle \alpha=\arctan \frac{0}{-4}=\pi \)
Sara' che mi sto sbagliando, ma se $ alpha= tg^(-1)(0/(-4)) =0 $
Come faccio a dire che si tratta di un angolk di $pi$
Forse perche' si deduce che si ha un coseno negativo, quindi l'angolo e' zero e allora puo' essere solo $pi$??????
L'arcotangente e' la funzione inversa della tangente, quindi sara' sempre zero l'angolo che mi da la calcolatrice, come fai a dire che e' $pi$????
Come faccio a dire che si tratta di un angolk di $pi$
Forse perche' si deduce che si ha un coseno negativo, quindi l'angolo e' zero e allora puo' essere solo $pi$??????
L'arcotangente e' la funzione inversa della tangente, quindi sara' sempre zero l'angolo che mi da la calcolatrice, come fai a dire che e' $pi$????
La tangente è biettiva nel dominio $[-\frac{\pi}{2},\frac{pi}{2}]$ e quindi è invertibile solo in quel dominio, equivale a dire che l'arcotangente ha quel codominio, pertanto non potrà mai restituirti $\pi$ che è il dominio in cui il coseno è biettivo pertanto se vuoi trovare angoli tramite le funzioni trigonometriche inverse devi considerare questa cosa.
Poi
\(\displaystyle \arctan 0=0+\pi k \)
Poi
\(\displaystyle \arctan 0=0+\pi k \)
Non ti sto capendo, ma per colpa mia!
Insomma, che calcoli hai fatto per ottenere questo $pi$ che hai detto?
Insomma, che calcoli hai fatto per ottenere questo $pi$ che hai detto?
Ci sono solo 2 angoli nella circonferenza goniometrica che ti restituiscono la tangente uguale a zero 0 e $\pi$ ce ne sarebbero altri se considi anche il periodo, questi sono $2\pi$,$3\pi$ e tutti gli altri che ottieni variando $k$.
Ce però anche un solo angolo per cui il coseno è $-1$ ed è $\pi$ e non $0$..
Ce però anche un solo angolo per cui il coseno è $-1$ ed è $\pi$ e non $0$..
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