Esercizi guidati Numeri complessi
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Risposte
"CaMpIoN":
Ci sono solo 2 angoli nella circonferenza goniometrica che ti restituiscono la tangente uguale a zero 0 e $\pi$ ce ne sarebbero altri se considi anche il periodo, questi sono $2\pi$,$3\pi$ e tutti gli altri che ottieni variando $k$.
Ce però anche un solo angolo per cui il coseno è $-1$ ed è $\pi$ e non $0$..
E quindi bisogna considerare che si ha una $ tg = 0 $ e un $ cos = -1 $ dato dalla traccia in quanto veniva detto che $ z= -4 $ , concludendo che l'angolo iniziale è $ pi $ giusto
Esatto, ma questa considerazione è generale anche se volessi usare $\arccos(-1)$ in questo caso avresti ottenuto subito l'angolo di $\pi$ perché il seno è nullo quindi non ci si può confondere, di solito però si utilizza la tangente e la sua inversa..
Ma adesso non riesco più a capire come risolvere l'esercizio 
Allora, ricapitolando...
La traccia è:
Determinare la radice quarta del numero complesso $ -4 $ .
Come devo cominciare l'impostazione dell'esercizio
Il testo mi da le seguenti soluzioni $ +-(1+i) $ e $ +-(1-i) $
Adesso se comincio a risolvere come mi hai detto, non mi trovo più con i risultati
Campion, mi sono incasinato!
Tu come lo risolveresti per arrivare ai risultati del testo
Allora, ricapitolando...
La traccia è:
Determinare la radice quarta del numero complesso $ -4 $ .
Come devo cominciare l'impostazione dell'esercizio
Il testo mi da le seguenti soluzioni $ +-(1+i) $ e $ +-(1-i) $
Adesso se comincio a risolvere come mi hai detto, non mi trovo più con i risultati
Campion, mi sono incasinato!
Tu come lo risolveresti per arrivare ai risultati del testo
Il metodo suggerito da CaMpIoN è quello che userei anch'io; poiché però non ti è chiaro, te ne suggerisco altri due fra cui scegliere. Il meglio è capirli entrambi.
1) Comincia a scrivere il tuo numero nella forma $4(-1+i*0)$. Sai che la parte reale è il coseno e quella immaginaria il seno, quindi ti chiedi "Per quale angolo il coseno vale -1 ed il seno vale 0?" e vedi subito che la risposta è $pi$.
2) Pensa al punto rappresentato sul piano complesso e chiediti "Partendo dal semiasse $x$ positivo, che rotazione debbo fare per arrivarci?" e vedi che deve essere di un angolo piatto.
1) Comincia a scrivere il tuo numero nella forma $4(-1+i*0)$. Sai che la parte reale è il coseno e quella immaginaria il seno, quindi ti chiedi "Per quale angolo il coseno vale -1 ed il seno vale 0?" e vedi subito che la risposta è $pi$.
2) Pensa al punto rappresentato sul piano complesso e chiediti "Partendo dal semiasse $x$ positivo, che rotazione debbo fare per arrivarci?" e vedi che deve essere di un angolo piatto.
"giammaria":
Il metodo suggerito da CaMpIoN è quello che userei anch'io; poiché però non ti è chiaro, te ......
Ok, ma adesso vorrei capire come iniziare a risolverlo!?!?
Con i metodi che ho usato fino ad adesso, non ci sto riuscendo!
Come devo fare
Per continuare l'esercizio ti basta applicare la formula; il modulo della radice è $rho=root(4)4=sqrt2$, quindi
$w_k=sqrt2(cos frac(pi+2kpi) 4+i sin frac(pi+2kpi) 4)$
ed ora dai a $k$ i valori 0, 1, 2, 3.
Ad esempio, per $k=2$ hai
$w_2=sqrt2(cos frac(pi+2*2*pi) 4+i sin frac(pi+2*2*pi) 4)=sqrt2(cos frac(5pi) 4+isin frac (5pi) 4)=$ $=sqrt2[cos(pi+pi/4)+isin(pi+pi/4)]=sqrt2(-cos frac pi 4-isin frac pi 4)=sqrt2(-1/sqrt2-i*1/sqrt2)=$
$=-1-i=-(1+i)$
Il modulo non si indica con $p$ ma con $rho$, che si ottiene scrivendo rho.
$w_k=sqrt2(cos frac(pi+2kpi) 4+i sin frac(pi+2kpi) 4)$
ed ora dai a $k$ i valori 0, 1, 2, 3.
Ad esempio, per $k=2$ hai
$w_2=sqrt2(cos frac(pi+2*2*pi) 4+i sin frac(pi+2*2*pi) 4)=sqrt2(cos frac(5pi) 4+isin frac (5pi) 4)=$ $=sqrt2[cos(pi+pi/4)+isin(pi+pi/4)]=sqrt2(-cos frac pi 4-isin frac pi 4)=sqrt2(-1/sqrt2-i*1/sqrt2)=$
$=-1-i=-(1+i)$
Il modulo non si indica con $p$ ma con $rho$, che si ottiene scrivendo rho.
Ti ringrazio, mi stavo impallando con la formula! 
Ma come si risolve una equazione algebrica di un numero complesso di primo grado
$ iz +1=0 $
Non lo se se è corretto, ma mi viene semplicemente in mente di risolverla in questo modo:
$ iz +1=0 $
$ z = -1/i $
$ z = -1/i*i/i = -i/i^2 = -i/-1 = i $
Cosa ne dite
$ iz +1=0 $
Non lo se se è corretto, ma mi viene semplicemente in mente di risolverla in questo modo:
$ iz +1=0 $
$ z = -1/i $
$ z = -1/i*i/i = -i/i^2 = -i/-1 = i $
Cosa ne dite
Giusto.
Non sto riuscendo a risokvere la seguente equazione di secondo grado in $C$.
$iz^2 + 2z -2=0$
Come conviene risolverle ? Non sono ancora tanto pratico nei numeri complessi!
$iz^2 + 2z -2=0$
Come conviene risolverle ? Non sono ancora tanto pratico nei numeri complessi!
Applichi la formula risolutiva di un'equazione di secondo grado dove in questo caso hai $a=i,b=2,c=-2$ quindi puoi applicare la formula abbreviata, cioè
\(\displaystyle z=\frac{\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-ac}}{a}=\frac{-1\pm \sqrt{1+2i}}{i}=i\mp i\sqrt{1+2i} \)
Sotto radice hai un numero complesso, lo trasformi in forma trigonometrica e applichi la formula per la radice di un numero complesso in forma trigonometrica, poi fai i tuoi calcoli ed ottieni il risultato..
\(\displaystyle z=\frac{\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-ac}}{a}=\frac{-1\pm \sqrt{1+2i}}{i}=i\mp i\sqrt{1+2i} \)
Sotto radice hai un numero complesso, lo trasformi in forma trigonometrica e applichi la formula per la radice di un numero complesso in forma trigonometrica, poi fai i tuoi calcoli ed ottieni il risultato..
"CaMpIoN":
Applichi la formula risolutiva di un'equazione di secondo grado dove in questo caso hai $a=i,b=2,c=-2$ quindi puoi applicare la formula abbreviata, cioè
\(\displaystyle z=\frac{\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-ac}}{a}=\frac{-1\pm \sqrt{1+2i}}{i}=i\mp i\sqrt{1+2i} \)
Sotto radice hai un numero complesso, lo trasformi in forma trigonometrica e applichi la formula per la radice di un numero complesso in forma trigonometrica, poi fai i tuoi calcoli ed ottieni il risultato..
OK, ci sono finalmente riuscito
Allora, vediamo di fare tutti i passaggi:
\(\displaystyle z=\frac{\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-ac}}{a}=\frac{-1\pm \sqrt{1+2i}}{i}=i\mp i\sqrt{1+2i} \)
Adesso che so il mio numero complesso che è $ (1+2i) $ posso ricavare il suo modulo $ rho = sqrt5 $ e faccio le prime considerazioni:
$ (1+2i)= sqrt5 (1/2+i) $
Mi rendo conto dell'angolo, osservando $ 1/2 $ e dico che il coseno che avrà quel valore sarà $ pi/3 $ e posso passare alla forma trigonometrica:
$ (1+2i)= sqrt5 (cos((pi)/3) + isen((pi)/3)) $
Ma so che il mio numero complesso è sotto una radice e quindi si ha un nuovo modulo $ rho^i = root(4)(5) $, allora sarà:
$ root(4)(5) (cos((pi)/6) + isen((pi)/6)) $
Correggetemi se sbaglio, ma è proprio per questo che serve usare la forma trigonometrica, cioè per determinare i valori che ci interessano, usando coseno e seno, giusto
Proseguendo, posso ora scriverlo sotto forma algebrica, e allora avrò:
$ root(4)(5) ((sqrt3)/2 + i(1)/2) $
Che diventa:
$ (root(4)(5) *sqrt3)/2 + i(root(4)(5))/2 $
E adesso posso arrivare alla conclusione finale:
$ i+-i(root(4)(5) *sqrt3)/2 +-(root(4)(5))/2 $
Cosa ne dite
\(\displaystyle z=\frac{\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-ac}}{a}=\frac{-1\pm \sqrt{1+2i}}{i}=i\mp i\sqrt{1+2i} \)
Adesso che so il mio numero complesso che è $ (1+2i) $ posso ricavare il suo modulo $ rho = sqrt5 $ e faccio le prime considerazioni:
$ (1+2i)= sqrt5 (1/2+i) $
Mi rendo conto dell'angolo, osservando $ 1/2 $ e dico che il coseno che avrà quel valore sarà $ pi/3 $ e posso passare alla forma trigonometrica:
$ (1+2i)= sqrt5 (cos((pi)/3) + isen((pi)/3)) $
Ma so che il mio numero complesso è sotto una radice e quindi si ha un nuovo modulo $ rho^i = root(4)(5) $, allora sarà:
$ root(4)(5) (cos((pi)/6) + isen((pi)/6)) $
Correggetemi se sbaglio, ma è proprio per questo che serve usare la forma trigonometrica, cioè per determinare i valori che ci interessano, usando coseno e seno, giusto
Proseguendo, posso ora scriverlo sotto forma algebrica, e allora avrò:
$ root(4)(5) ((sqrt3)/2 + i(1)/2) $
Che diventa:
$ (root(4)(5) *sqrt3)/2 + i(root(4)(5))/2 $
E adesso posso arrivare alla conclusione finale:
$ i+-i(root(4)(5) *sqrt3)/2 +-(root(4)(5))/2 $
Cosa ne dite
"Bad90":
$ (1+2i)= sqrt5 (1/2+i) $
Falso:
$1+2i=sqrt5(1/sqrt5+i 2/sqrt5)$
ed ora ci tocca lavorare con angoli non speciali, usando le formule di bisezione e badando bene ai quadranti. Si può ma è scomodo; di solito si preferisce indicare con $x+iy$ la radice ed imporre che
$(x+iy)^2=1+2i->x^2+2ixy-y^2=1+2i$
Eguagliando fra loro le parti reali ed immaginarie si ottiene
${(x^2-y^2=1),(2xy=2):}$
e si risolve questo sistema, ricordando che $x,y$ sono reali e quindi il loro quadrato è positivo; questo fa scartare alcune soluzioni.
Approfitto dell'occasione per indicare un altro metodo, veloce ma sconosciuto da quasi tutti.
Probabilmente ricordate la formula
$sqrt(a+-sqrtb)=sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)+-sqrt((a-sqrt(a^2-b))/2$
e, poiché $i$ è una radice, la si può applicare. Lo esemplifico con la radice in esame, cioè $sqrt(1+2i)$; ho l'abitudine di calcolare a parte la radice più interna, che chiamo $c$. Ottengo
$c=sqrt(1^2-(2i)^2)=sqrt(1+4)=sqrt5$
e quindi
$sqrt(1+2i)=sqrt((1+sqrt5)/2)+sqrt((1-sqrt5)/2)=sqrt((1+sqrt5)/2)+isqrt((sqrt5-1)/2)$
Si dimostra facilmente che il primo radicando è sempre positivo ed origina la parte reale, mentre il secondo è sempre negativo ed origina quella immaginaria.
Piccola osservazione: in campo reale, la formula dà la sola radice positiva; in campo complesso dà solo quella con parte reale positiva. Se si vogliono le due soluzioni occorre premettere al tutto il segno $+-$; qui è inutile perché c'è già.
P.S. Nessuno degli esercizi postati in precedenza aveva questo grado di difficoltà: Bad90, non avrai sbagliato nel copiare il testo?
"giammaria":
P.S. Nessuno degli esercizi postati in precedenza aveva questo grado di difficoltà: Bad90, non avrai sbagliato nel copiare il testo?
Ecco la traccia dell'esercizio, in cui ci sono anche i risultati, che a me sembrano combaciare con quelli che ho trovato io
Cosa ne dici
Scusami, ma come mai il mio risultato che è questo $ i+-i(root(4)(5) *sqrt3)/2 +-(root(4)(5))/2 $ sembra coincidere
Credo che ci sia un errore di stampa: effettivamente il tuo risultato coincide con quello del libro, ma lo trovo sbagliato. In particolare contesto che sia
$1+2i=sqrt5(cos frac pi 3+isin frac pi 3)$
perché facendo i calcoli del secondo membro si ottiene
$sqrt5(cos frac pi 3+isin frac pi 3)=sqrt5(1/2+isqrt3/2)!=1+2i$
Ho controllato i miei calcoli e mi sembrano giusti; è vero però che ci si affeziona ai propri errori e se ne ho fatti ringrazio chi me li segnalerà.
$1+2i=sqrt5(cos frac pi 3+isin frac pi 3)$
perché facendo i calcoli del secondo membro si ottiene
$sqrt5(cos frac pi 3+isin frac pi 3)=sqrt5(1/2+isqrt3/2)!=1+2i$
Ho controllato i miei calcoli e mi sembrano giusti; è vero però che ci si affeziona ai propri errori e se ne ho fatti ringrazio chi me li segnalerà.
Ho determinato l'argomento del numero complesso e si dovrebbe calcolare l'arcotangente di 2 che di certo non fa $\frac{\pi}{3}$, in questo caso utilizzerei il metodo consigliato da giammaria che è anche molto interessante.
Ok, allora cerco di rifarmi con la seguente, sarò rapido preciso e supermegavelocemente 
corretto
$ z^4 + (1-2i)z^2 - 2i = 0 $
Ponendo $ z^2 = w $
$ w^2 + (1-2i)w - 2i = 0 $
$ Delta = (1-2i)^2 + 8i = sqrt1 = 1$
Segue:
$ w = (-1+2i+-1)/2 $
$ w_1 =i ; w_2 =(-1+i) $
Allora
$ z_1^2 = i $
$ z_2^2 = (-1+i) $
Non sono sicuro se i risultati sono corretti
Se fossero corretti, come dovrei continuare a risolverli
Devo fare i soliti calcoli ........
corretto $ z^4 + (1-2i)z^2 - 2i = 0 $
Ponendo $ z^2 = w $
$ w^2 + (1-2i)w - 2i = 0 $
$ Delta = (1-2i)^2 + 8i = sqrt1 = 1$
Segue:
$ w = (-1+2i+-1)/2 $
$ w_1 =i ; w_2 =(-1+i) $
Allora
$ z_1^2 = i $
$ z_2^2 = (-1+i) $
Non sono sicuro se i risultati sono corretti
Se fossero corretti, come dovrei continuare a risolverli
Devo fare i soliti calcoli ........
"Bad90":
$ Delta = (1-2i)^2 + 8i = sqrt1 = 1$
Mi viene differente.
$(1-2i)^2 +8i= 1+4i^2-4i+8i=1+4i^2+4i=(1+2i)^2$,
nel quale consiglio sempre - quando si tratta di delta di equazioni di secondo grado - di fare i calcoli solo alla fine (potevo mettere direttamente $4i^2=-4$) perché non è raro che si passa da un quadrato ad un altro e quell'$i^2$ si rivela sempre molto utile al riconoscimento di tale quadrato.
Per il resto, delta a parte, sei stato ordinato e veloce come hai detto: complimenti, vedrai che tra non molto verranno anche i calcoli e sarai tu ad aiutare gli altri nel forum su queste questioni.
Facendo l'anteprima ho visto che hai editato e rispondo anche sull'edit.
Una volta che trovi i due valori di $w$, basta solo che poni
$z^2=$ ognuno dei due
poi estrai la radice, finish.
Ovviamente se vuoi essere chic - all'università diventerà praticamente obbligatoria questa cosa
- devi calcolarla, non puoi limitarti a lasciare $z= \pm \sqrt(...)$.
Ok, solo che adesso non sto riuscendo a risolverlo:
$ z^4 + (1-2i)z^2 - 2i = 0 $
Ponendo $ z^2 = w $
$ w^2 + (1-2i)w - 2i = 0 $
$ Delta = (1-2i)^2 + 8i = (1+2i)^2 $
Come devo fare in questo caso a continuare
$ z^4 + (1-2i)z^2 - 2i = 0 $
Ponendo $ z^2 = w $
$ w^2 + (1-2i)w - 2i = 0 $
$ Delta = (1-2i)^2 + 8i = (1+2i)^2 $
Come devo fare in questo caso a continuare
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