Equivalenza tra frazioni algebriche
Sul mio libro c'è questa definizione: due frazioni algebriche $A/B$ e $C/D$ si dicono equivalenti quando assumono lo stesso valore numerico per ogni valore attribuito alle variabili, esclusi quelli che annullano il denominatore di una delle due frazioni. Secondo questa definizione, ad esempio, $x/(x+1)$ è equivalente a $(x^2-x)/(x^2-1)$, perché sono esclusi i valori che annullano il denominatore di una delle frazioni (e quindi anche se la prima frazione, per $x=1$, è definita e vale $1/2$, questo non conta perché per $x=1$ la seconda frazione non è definita).
Però non è un po' strana come definizione? A parte che implicherebbe che a frazioni algebriche equivalenti non corrisponderebbero sempre le stesse funzioni, ma poi come definizione mi sembra sia anche in contrasto con la proprietà invariantiva delle frazioni[nota]moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da 0 si ottiene una frazione equivalente[/nota]: $(x^2-x)/(x^2-1)$ è ottenuta da $x/(x+1)$ moltiplicando numeratore e denominatore per $(x-1)$, ma questo per $x=1$ si annulla e quindi non vedo perché dovrei ottenere una frazione equivalente alla prima.
Però non è un po' strana come definizione? A parte che implicherebbe che a frazioni algebriche equivalenti non corrisponderebbero sempre le stesse funzioni, ma poi come definizione mi sembra sia anche in contrasto con la proprietà invariantiva delle frazioni[nota]moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da 0 si ottiene una frazione equivalente[/nota]: $(x^2-x)/(x^2-1)$ è ottenuta da $x/(x+1)$ moltiplicando numeratore e denominatore per $(x-1)$, ma questo per $x=1$ si annulla e quindi non vedo perché dovrei ottenere una frazione equivalente alla prima.
Risposte
Se vuoi toglierti il dubbio deve essere $A * D = B * C$ considerando sempre i valori per cui i rispettivi denominatori non si anullino.
"DavidGnomo":
deve essere $A * D = B * C$ considerando sempre i valori per cui i rispettivi denominatori non si anullino.
Questa è una condizione, ma una frazione algebrica ha anche delle condizioni di esistenza, e quindi perché due frazioni algebriche siano equivalenti occorrerebbe che sia rispettata sia la condizione che hai scritto sia che abbiano lo stesso insieme di definizione.
Il mio libro considera l'equivalenza tra frazioni algebriche su un sottoinsieme del dominio della prima e della seconda frazione. Ad esempio $x/(x+1)$ è equivalente a $(x^2-x)/(x^2-1)$ su $RR-{-1,1}$.
Un suggerimento: smetti di usare i libri delle superiori.
Tanto tra un po' sarò "costretto" a farlo 
. Fino a settembre il mio obiettivo è solo quello di ripassare, e i libri delle superiori dovrebbero essere adatti allo scopo, per questo li uso ancora.
. Fino a settembre il mio obiettivo è solo quello di ripassare, e i libri delle superiori dovrebbero essere adatti allo scopo, per questo li uso ancora.
"Martino":
Un suggerimento: smetti di usare i libri delle superiori.
Se posso, perchè?
"DavidGnomo":Perché i libri delle superiori funzionano solo con chi vuole imparare delle cose senza andare troppo per il sottile, e in genere sono pieni di semplificazioni e contraddizioni (come quella in oggetto qui, che effettivamente è un'equivalenza tra frazioni mal definita). Un altro esempio è dato dalla differenza tra immagine di una funzione e codominio, che non è spiegata bene in nessun libro delle superiori. Ma è proprio l'approccio generale ad essere impreciso e instabile nei fondamenti. Il motivo per cui i libri delle superiori sono imprecisi è che in genere non sono scritti da matematici. Se uno vuole studiare matematica in modo serio, massimizzando la precisione e l'esattezza, deve leggere testi universitari.
Se posso, perchè?
"Martino":
Un suggerimento: smetti di usare i libri delle superiori.
@HowardRoark, scusa se mi intrometto, non mi volevo impicciare, ma mi impiccio perché un po' ti conosco e perché io sono passata per un percorso simile al tuo, da matematica fatta a economia a matematica fatta a matematica (ho letto che seguirai corsi di analisi e di algebra a matematica il prossimo anno accademico).
Segui il consiglio di Martino! Anche megas_archon ti aveva detto la stessa cosa, molla- 'sti- libri- del- liceo!
Tu devi fare il salto, e sei maturo per farlo e per lasciare i libri delle superiori, che (forse esagero, ma non ne sono sicura) temo che a questo punto possono farti più male che bene, per i motivi suggeriti da Martino.
La matematica all'università, corso di laurea in Matematica, è un'altra cosa, sia dalla scuola che da economia.
La cosa più importante è il metodo e la forma mentis a cui abituarsi, più che le nozioni in sé.
La matematica si impara davvero ed esclusivamente dai matematici: non è questione di nozioni o cose sbagliate che possono insegnare a economia, è proprio il metodo e la forma mentis della materia che è un'altra cosa.
Guarda che all'università a matematica si può quasi arrivare ignoranti come capre, a parte cose di base, spesso ho sentito dire da professori che è meglio arrivare asini che con difetti e abitudini sbagliate prese al liceo. Purché poi ci si impegni ad abituarsi al metodo e alla forma mentis giusta (ma poi tu asino non sei!).
Poiché chiedevi di un testo da studiare ora in vista dei corsi a matematica, forse puoi prendere Analisi I di De Marco, dove il primo capitolo è Analisi zero (che è pubblicato anche a parte tipo precorso) e anche qualche capitolo successivo ti può essere utile - vari tipi di numeri, descrizione assiomatica dei reali, funzioni, funzioni circolari e periodiche, numeri complessi, nozioni di algebra (ma le farai da zero), quel minimo che serve di insiemi e di logica, formule di combinatoria, principio di induzione... Ma soprattutto è rigoroso, cose fatte bene, è importante il metodo e la forma mentis a cui abituarsi ancora più che le nozioni in sé.
Molla questi libri del liceo! Che te frega delle frazioni algebriche! A morte le ellissi!
Non ti sovraccaricare, non serve granché per seguire corsi di primo anno a matematica. Tolte le cose davvero essenziali del liceo (ma tu le sai), si può anche arrivare come asini felici, e ripeto, sereni e felici di essere asini, perché si studia daccapo.
De Marco ora può essere utile, poche cose fatte nel modo giusto, uno switch di testa, più che nozioni a dozzine.
Se arrivi all'università avendo studiato i primi capitoli di De Marco sei il superman di inizio corsi.!
De Marco for ever!Naturalmente ci possono esser altri testi, altre persone possono suggerire altro, a me De Marco piace come 'precorso', un precorso di lusso, che abitua il cervello alla matematica 'vera'.
Nella mia ignoranza però penso che dal liceo almeno il biennio (dove studi e metti in pratica l'algebra e le manipolazioni), Geometria e trigonometria dovrebbero essere un bagaglio minimo per poterti confrontare con studi più elevati.
Lo stesso Abate indica dei prerequisiti liceali su cui all' università non si soffermeranno. Sbaglio?
Lo stesso Abate indica dei prerequisiti liceali su cui all' università non si soffermeranno. Sbaglio?
David, certo, ho detto nel mio post che le cose base, tipo equazioni, disequazioni, potenze, logaritmi etc ect. bisogna saperle, e saperle manipolare, quello sì, certo.
Ma poi basta, non serve nemmeno sapere cos'è una parabola, se ti serve te lo vai a rivedere, ad esempio tutta quella geometria analitica del liceo no, la fai daccapo se non la sai.
Io ho studiato su Abate, Geometria, e che io sapevo qualcosa di rette e piani? mai visti al liceo, ma che problema c'è? Stanno là, ex novo.
Quello che voglio dire, inutile infarcirsi di nozioni del liceo per prepararsi, ho visto gente che aveva fatto il liceo scientifico scappare da matematica, sconcertati, dicendo 'Non ho mai visto la matematica così' (ricordo proprio questa frase), e gente del classico, che certo per qualche mese arranca un po' di più, andare alla grande.
Poi io parlo a una persona, HowardRoark, che queste basi ce l'ha, e studia già all'università a economia.
Ma poi basta, non serve nemmeno sapere cos'è una parabola, se ti serve te lo vai a rivedere, ad esempio tutta quella geometria analitica del liceo no, la fai daccapo se non la sai.
Io ho studiato su Abate, Geometria, e che io sapevo qualcosa di rette e piani? mai visti al liceo, ma che problema c'è? Stanno là, ex novo.
Quello che voglio dire, inutile infarcirsi di nozioni del liceo per prepararsi, ho visto gente che aveva fatto il liceo scientifico scappare da matematica, sconcertati, dicendo 'Non ho mai visto la matematica così' (ricordo proprio questa frase), e gente del classico, che certo per qualche mese arranca un po' di più, andare alla grande.
Poi io parlo a una persona, HowardRoark, che queste basi ce l'ha, e studia già all'università a economia.
"Martino":
Un suggerimento: smetti di usare i libri delle superiori.
Ho sempre voluto dire questo in filoni di questo tipo, ma ammetto di non avere il diritto di farlo, e di non essere in grado di proporre libri _specifici_ migliori.
Ma che sollievo vederlo. Grazie.
@ghira mi fa piacere che confermi!
"gabriella127":
@ghira mi fa piacere che confermi!
Sul serio. Tutto quello che "so" è grazie al Nipote e i suoi compiti. Ho visto un libro. Beh una serie di libri. Mi ha cambiato la vita.
Quatto classi di equazioni di secondo grado? Che è 'sta roba? Per essere specifici. Ma c'era ovviamente altro.
I miei _insegnanti_ di chimica a scuola dicevano "Questa roba è.. missing the point. Ma il programma è questo." Magari è così per tutte le materie. Se dovessi voler ripassare o riprendere la chimica, non userei i miei libri delle superiori. Uno dei motivi è a quanto pare una differenza fra paesi che uno ovviamente non sa se non hai visto con i suoi occhi. I nostri libri erano _prestati_, dalla scuola, e restituiti alla fine dell'anno. Fino a 16 anni. Prima era... illegale? chiederci di comprare i libri. Se ho capito bene. Dopo 16 anni era permesso, visto che la scuola dell'obbligo finiva a 16 anni. Un discorso da "diritto allo studio" mi pare. Quindi ho qualche libro degli ultimi due anni e basta. Il proprietario precedente del libro di francese nel, credo, terzo anno l'ha usato nel 1937! Il deposito dei libri dov'era? Com'era? Era una cosa da Indiana Jones? Il 1937??
Ricordo bene le prime lezioni universitarie che ho seguito, la sensazione di non capire niente e l'entusiasmo che questo mi provocava, anziché provocarmi sconcerto (al liceo capivo tutto e studiavo cose nuove da solo, all'università non capivo niente, beh è un bell'impatto). La sensazione è simile a quando uno studia inglese al liceo (con voti alti) e poi va in Inghilterra convinto di saper parlare bene la lingua: si rende conto dopo due minuti che un conto è la lingua studiata a scuola, un conto è il "mondo reale".
Al liceo ti confronti con insegnanti (esperti di insegnamento), all'università ti confronti con matematici (esperti di matematica). C'è un abisso.
E quando dico "esperti di matematica" non intendo laureati in matematica. Intendo persone che fanno matematica di professione. (C'è un abisso).
Una cosa fra tutte che distingue il liceo dall'università è la capacità di scrivere dimostrazioni (e di saper capire se una dimostrazione è giusta dopo averla scritta). E poi il livello di astrazione è abbastanza serio. Quando mi hanno detto la definizione di determinante di una matrice ho passato una notte insonne (letteralmente, ero sveglio a scrivere), perché non la capivo e per me era inconcepibile non capire le definizioni.
E ricordo ancora quando sono andato a chiedere un esempio di una funzione non suriettiva, perché nella mia testa di liceale tutte le funzioni erano suriettive (dato che identificavo il codominio con l'immagine, come fanno tutti al liceo, per qualche motivo che ignoro).
Il libro di De Marco è il top, concordo con Gabriella, ho ancora in casa Matematica 1 e Analisi 2. Quando devo rivedere cose di analisi, De Marco sempre.
Al liceo ti confronti con insegnanti (esperti di insegnamento), all'università ti confronti con matematici (esperti di matematica). C'è un abisso.
E quando dico "esperti di matematica" non intendo laureati in matematica. Intendo persone che fanno matematica di professione. (C'è un abisso).
Una cosa fra tutte che distingue il liceo dall'università è la capacità di scrivere dimostrazioni (e di saper capire se una dimostrazione è giusta dopo averla scritta). E poi il livello di astrazione è abbastanza serio. Quando mi hanno detto la definizione di determinante di una matrice ho passato una notte insonne (letteralmente, ero sveglio a scrivere), perché non la capivo e per me era inconcepibile non capire le definizioni.
E ricordo ancora quando sono andato a chiedere un esempio di una funzione non suriettiva, perché nella mia testa di liceale tutte le funzioni erano suriettive (dato che identificavo il codominio con l'immagine, come fanno tutti al liceo, per qualche motivo che ignoro).
Il libro di De Marco è il top, concordo con Gabriella, ho ancora in casa Matematica 1 e Analisi 2. Quando devo rivedere cose di analisi, De Marco sempre.
@gabriella127 ti ringrazio per i consigli, quasi sicuramente hai ragione e molte delle cose fatte ora non mi serviranno per i corsi che dovrò seguire, sia perché saranno nozioni che non userò sia perché non mi danno 'sta grande forma mentis. Però considera che praticamente tutto quello che so di matematica lo devo a quei libri, sono uscito dal liceo con basi disastrose[nota]alla fine del 5 anno sapevo risolvere una proporzione, disegnare una retta sul piano cartesiano per punti e mi ricordavo qualche formuletta per la parabola. Stop. Mai saputo una dimostrazione, né cosa fosse un logaritmo. Esponenziali mai visti, né avevo nozioni di trigonometria. Sapevo operare con le frazioni perché mi ricordavo qualcosa dalle medie ma non avevo alcuna conoscenza strutturata, solo qualche ricetta della nonna[/nota] ed ho cominciato a vedere una struttura dei vari argomenti solo grazie allo studio individuale su questi.
Mi ero messo a studiarli qualche anno fa, ma poi abbandonai temporaneamente gli studi e molte cose inevitabilmente ho finito per dimenticarmele. Li sto riprendendo un po' a singhiozzi da un anno e mezzo (cioè da quando ho ripreso gli studi), ma ovviamente non ho potuto rivedere ancora tutto perché nel frattempo ho fatto altri esami. Ti dico solo che non ci studierei su se non mi dessero alcuna utilità: molte cose le ho ripassate, altre le ho imparate meglio ed altre ancora le ho studiate ex novo.
E poi a me diverte studiarli: imparo qualcosa in più, ripasso concetti già visti e vanno giù come l'acqua, quindi perché no?
Potresti pensare che mi diano un'utilità molto minore rispetto a qualche testo più serio, ma dove troverei tutte le nozioni di algebra, geometria analitica, trigonometria, geometria piana e solida, esponenziali, logaritmi e altro ancora che sono contenute lì dentro? Certo, è la forma mentis quella che conta piuttosto che le nozioni in sé, però non sono il tipo da imparare le cose a memoria, e su tutti gli argomenti che ho sfiorato grazie ai libri del liceo sono riuscito ad affinare molte delle conoscenze precedentemente acquisite.
Mi ero messo a studiarli qualche anno fa, ma poi abbandonai temporaneamente gli studi e molte cose inevitabilmente ho finito per dimenticarmele. Li sto riprendendo un po' a singhiozzi da un anno e mezzo (cioè da quando ho ripreso gli studi), ma ovviamente non ho potuto rivedere ancora tutto perché nel frattempo ho fatto altri esami. Ti dico solo che non ci studierei su se non mi dessero alcuna utilità: molte cose le ho ripassate, altre le ho imparate meglio ed altre ancora le ho studiate ex novo.
E poi a me diverte studiarli: imparo qualcosa in più, ripasso concetti già visti e vanno giù come l'acqua, quindi perché no?
Potresti pensare che mi diano un'utilità molto minore rispetto a qualche testo più serio, ma dove troverei tutte le nozioni di algebra, geometria analitica, trigonometria, geometria piana e solida, esponenziali, logaritmi e altro ancora che sono contenute lì dentro? Certo, è la forma mentis quella che conta piuttosto che le nozioni in sé, però non sono il tipo da imparare le cose a memoria, e su tutti gli argomenti che ho sfiorato grazie ai libri del liceo sono riuscito ad affinare molte delle conoscenze precedentemente acquisite.
"gabriella127":
Guarda che all'università a matematica si può quasi arrivare ignoranti come capre, a parte cose di base, spesso ho sentito dire da professori che è meglio arrivare asini che con difetti e abitudini sbagliate prese al liceo. Purché poi ci si impegni ad abituarsi al metodo e alla forma mentis giusta (ma poi tu asino non sei!).
Sicura che siano i libri del liceo il problema? Come ho già detto io ho studiato solo su quelli, e quando ho ripreso gli studi avevo dimenticato anche molte delle cose che avevo precedentemente visto. Nonostante questo, e non per vantarmi perché non è assolutamente mia intenzione, ero uno dei più preparati in matematica.
Non so quale sia il problema della scuola italiana, però i libri di testo secondo me sono l'ultima cosa da additare se vuoi cercare delle ragioni
"Martino":
Ricordo bene le prime lezioni universitarie che ho seguito, la sensazione di non capire niente e l'entusiasmo che questo mi provocava, anziché provocarmi sconcerto (al liceo capivo tutto e studiavo cose nuove da solo, all'università non capivo niente, beh è un bell'impatto).
È così, è come atterrare sulla luna. Non hai idea dell'impatto di arrivarci già da adulti, quando si ha alle spalle altri studi, una vita già da adulti e un'altra laurea.
Io comincia i corsi a matematica come uno studende di primo anno, full immersion, quattro ore di lezione al giorno, perché avevo in disgusto allora l'economia.
Ero stravolta, ma in senso positivo, come su un altro pianeta, come ipnotizzata da questo linguaggio. I primi mesi non riuscivo a leggere nemmeno un rigo di giornale, niente che non fosse matematica, e credevo che studiando matematica poi non si riuscisse più a parlare ma solo a dire 'x', 'y' e simili, poi mi dicevo: Ma vabbe', i matematici parlano, quindi poi forse si riesce anche a parlare. '
Ero poi sconcertata dalla quantità di lavagne e di carta usata, il picco di paura di uscire di senno lo trovai quando un giorno vidi il professore di algebra lineare entrare dentro alla lavagna (sic). 'Ecco, il cervello è andato', pensai.
Poi ricomparve, era vero, in qualche lavagna alla Sapienza c'è una porta invisibile che porta fuori, serviva una volta a far entrare i professori in aula senza che si mischiassero alla plebaglia degli studenti.
Incredibile.
"HowardRoark":
...
Io dico/direi "Calculus" di Spivak. È uno dei libri consigliati nel primo anno a Cambridge, e anche (almeno ai miei tempi) dalla Open University. Ma non è ragionevole dire di usarlo. Gli altri utenti sanno più di me. Fidati di loro. Le loro proposte potrebbero essere migliori. E in italiano.
Comunque vi dico che io sto prendendo appunti sui libri che consigliate, d'altronde in questo caso una cosa non esclude l'altra e non voglio rimanere per sempre arroccato sulle mie conoscenze superficiali.
"HowardRoark":
[quote="gabriella127"]
Guarda che all'università a matematica si può quasi arrivare ignoranti come capre, a parte cose di base, spesso ho sentito dire da professori che è meglio arrivare asini che con difetti e abitudini sbagliate prese al liceo. Purché poi ci si impegni ad abituarsi al metodo e alla forma mentis giusta (ma poi tu asino non sei!).
Sicura che siano i libri del liceo il problema? Come ho già detto io ho studiato solo su quelli, e quando ho ripreso gli studi avevo dimenticato anche molte delle cose che avevo precedentemente visto. Nonostante questo, e non per vantarmi perché non è assolutamente mia intenzione, ero uno dei più preparati in matematica.
Non so quale sia il problema della scuola italiana, però i libri di testo secondo me sono l'ultima cosa da additare se vuoi cercare delle ragioni
[/quote]Non ci siamo capiti. Non ho detto che i libri del liceo fanno arrivare ignoranti, volevo dire che non è necessario studiare chissacché prima dell'università, si può arrivare anche solo sapendo le cose base del liceo, in questo senso, ignoranti, ignoranti di cose più in là di una disequazione o dei logaritmi, etc..
Per il resto, solo tu sai cosa ti piace e ti è utile, puoi fare quello che vuoi, anche niente, anche vacanza totale, perché la preparazione necessaria per cominciare i corsi ce l'hai già. Ci credo assolutamente che eri uno dei più preparati, perciò ti dicevo puoi pure non fare niente.
Solo, se ti vuoi 'portare avanti', sugli studi universitari di matematica, meglio 30 pagine di De Marco che 300 di un libro del liceo.
Beh, certo, studiano tutti per diventare matematici ...
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"alla fine del 5 anno sapevo risolvere una proporzione, disegnare una retta sul piano cartesiano per punti e mi ricordavo qualche formuletta per la parabola. Stop. Mai saputo una dimostrazione, né cosa fosse un logaritmo. Esponenziali mai visti, né avevo nozioni di trigonometria. Sapevo operare con le frazioni perché mi ricordavo qualcosa dalle medie ma non avevo alcuna conoscenza strutturata, solo qualche ricetta della nonna"
Sicuro che il problema fossero i libri?
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"alla fine del 5 anno sapevo risolvere una proporzione, disegnare una retta sul piano cartesiano per punti e mi ricordavo qualche formuletta per la parabola. Stop. Mai saputo una dimostrazione, né cosa fosse un logaritmo. Esponenziali mai visti, né avevo nozioni di trigonometria. Sapevo operare con le frazioni perché mi ricordavo qualcosa dalle medie ma non avevo alcuna conoscenza strutturata, solo qualche ricetta della nonna"
Sicuro che il problema fossero i libri?
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