Equazioni trigonometriche... difficoltà permanenti
Ho avuto difficoltà nello svolgere le seguenti equazioni trigonometriche risolvibile le prime due mediante le formule di bisezione, le altre due invece con le formule di duplicazione. Tuttavia ho cercato di svolgerle. Trascrivo l'originale e affianco soluzione del libro con mio svolgimento, così che possiate, richiedo aiuto rendendovi grazie anticipatamente, controllarle ed eventualmente correggerle, spiegandomele ( ne avrei bisogno davvero).
1) $sin^2 x/2 + 2 = cos^2 x/2 + 2 sinx $
$ 1-cosx/2 + 2 = 1+cosx/2 + 2 sinx$ dividendo per 2 sinx/2
$(1-cosx) sinx + 2 sinx= (1+cosx)sinx + 2$
$sinx - sinxcosx+ 2sinx= sinx + sinxcosx + 2$
- 2 sinxcosx + 2 sinx = 2
cambiando di segno
2 sinxcosx - 2 sinx +2= 0
$ 2 sinx ( cosx - 1) + 2 = 0$.....credo di aver sbagliato il risultato dovrebbe essere x= k360° + 90° e tg x/2 = 1/3
2) $2 cos^2 x/2 = cos 3x + cosx$
in questa procedo in un modo errato....nn mi risulta...
$ 2 cos^2 x/2 - 2 cos^2 x/2 + 1 = cos 3x $
1= cos 3x....
il risultato è x= k120°
nn capisco quale sia il procedimento da seguire con le formule di bisezione.
L'ultima, da risolvere cone le formule di duplicazione è
$ 2 cos x/2 - 2 cos x$ = (radice quadrata di 3) - 1
in questa non ho trovato soluzione...i risultati sono x = 2k360° +- 60° ; cos x/2 = 1-radice quadrata di tre/2....vi chiedo scusa ma solo una mi è risultata ( l'ultima delle equazioni con le formule di duplicazione....): delle altre vorrei soltanto sapere come riuscire a svolgere per arrivare a quei risultati,capendone lo svolgimento...una richiesta che mira alla vostra bontà e disponibilità a cui spero nn mi sottrarrete. Cordialmente, alex
p.s. nn uccidetemi. Sono ignorante e lo riconosco. Ma mi impegno davvero anche se riesco a trovare difficoltà. ancora scusa
1) $sin^2 x/2 + 2 = cos^2 x/2 + 2 sinx $
$ 1-cosx/2 + 2 = 1+cosx/2 + 2 sinx$ dividendo per 2 sinx/2
$(1-cosx) sinx + 2 sinx= (1+cosx)sinx + 2$
$sinx - sinxcosx+ 2sinx= sinx + sinxcosx + 2$
- 2 sinxcosx + 2 sinx = 2
cambiando di segno
2 sinxcosx - 2 sinx +2= 0
$ 2 sinx ( cosx - 1) + 2 = 0$.....credo di aver sbagliato il risultato dovrebbe essere x= k360° + 90° e tg x/2 = 1/3
2) $2 cos^2 x/2 = cos 3x + cosx$
in questa procedo in un modo errato....nn mi risulta...
$ 2 cos^2 x/2 - 2 cos^2 x/2 + 1 = cos 3x $
1= cos 3x....
il risultato è x= k120°
nn capisco quale sia il procedimento da seguire con le formule di bisezione.
L'ultima, da risolvere cone le formule di duplicazione è
$ 2 cos x/2 - 2 cos x$ = (radice quadrata di 3) - 1
in questa non ho trovato soluzione...i risultati sono x = 2k360° +- 60° ; cos x/2 = 1-radice quadrata di tre/2....vi chiedo scusa ma solo una mi è risultata ( l'ultima delle equazioni con le formule di duplicazione....): delle altre vorrei soltanto sapere come riuscire a svolgere per arrivare a quei risultati,capendone lo svolgimento...una richiesta che mira alla vostra bontà e disponibilità a cui spero nn mi sottrarrete. Cordialmente, alex
p.s. nn uccidetemi. Sono ignorante e lo riconosco. Ma mi impegno davvero anche se riesco a trovare difficoltà. ancora scusa
Risposte
Per la prima puoi porta re il $\sin^2(\frac{x}{2})$ dall'altra parte del'uguale, e notare che $\cos^2(\frac{x}{2})-\sin^2(\frac{x}{2})=\cos(x)$, mi sembra la soluzione più semplice.
per quanto riguarda la prima equazione:
se porti il $(sin(x/2))^2$ dall'altra parte ottieni
2= $(sin(x/2))^2- (cos(x/2))^2 + 2sinx$
noti che $(sin(x/2))^2- (cos(x/2))^2$ è praticamente il cosx (formula di duplicazione) quindi trasformi e viene
$2=cosx+2sinx$
intuitivamente puoi dire che l'unico angolo dove si verifica $2=cosx+2sinx$ è 90gradi.
la soluzione è x=90°+N360°
se porti il $(sin(x/2))^2$ dall'altra parte ottieni
2= $(sin(x/2))^2- (cos(x/2))^2 + 2sinx$
noti che $(sin(x/2))^2- (cos(x/2))^2$ è praticamente il cosx (formula di duplicazione) quindi trasformi e viene
$2=cosx+2sinx$
intuitivamente puoi dire che l'unico angolo dove si verifica $2=cosx+2sinx$ è 90gradi.
la soluzione è x=90°+N360°
Per la seconda ti basta notare che $\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2\cos(x)-1}{2}$, e che $\cos(3x)+\cos(x)=2\cos(2x)\cos(x)$, sostituendo il tutto diventa:
$2\cos(x)-1=2\cos(2x)\cos(x)$, e trasformando il $\cos(2x)$ in $2\cos^2(x)-1$ tutto si dovrebbe risolvere agevolmente.
$2\cos(x)-1=2\cos(2x)\cos(x)$, e trasformando il $\cos(2x)$ in $2\cos^2(x)-1$ tutto si dovrebbe risolvere agevolmente.
Per l'ultima usando le formule di duplicazione si ottiene; $2\cos(x)=2(2\cos^2(\frac{x}{2})-1)$ e ottieni un'equazione in $\cos(\frac{x}{2})$.
PS: Non ti devi scusare di nulla, ci mancherebbe.
PS: Non ti devi scusare di nulla, ci mancherebbe.
"klarence":
per quanto riguarda la prima equazione:
se porti il $(sin(x/2))^2$ dall'altra parte ottieni
2= $(sin(x/2))^2- (cos(x/2))^2 + 2sinx$
noti che $(sin(x/2))^2- (cos(x/2))^2$ è praticamente il cosx (formula di duplicazione) quindi trasformi e viene
$2=cosx+2sinx$
ora fai un piccolo ragionamento
poichè sia il seno che il coseno sono funzioni comprese in modulo fra 0 e 1 la somma dei loro quadrati e minore della loro somma normale. quindi sei sicuro anche che cosx+2sinx>(cosx)^2+2(sinx)^2
poichè cosx>(cosx)^2 e 2sinx>2(sinx)^2 quando tutti i membri sono positivi. quindi sai già che l'angolo che cerchi è compreso fra 0 e 90gradi.
ma l'unico angolo dove si verifica $2=cosx+2sinx$ è 90gradi.
la soluzione è x=90°+N360°
Il ragionamento l'ho seguito. Però, $cos^2 x/2 - sin^2 x/2 = cos 2x = 1- sin^2 x$ come faccio a farlo risalire dalla duplicazione al cos x?
- per risolverlo con tg qual è il momento più "opportuno"?
"bad.alex":
Il ragionamento l'ho seguito. Però, $cos^2 x/2 - sin^2 x/2 = \mathbf{cos 2x} = 1- sin^2 x$ come faccio a farlo risalire dalla duplicazione al cos x?
- per risolverlo con tg qual è il momento più "opportuno"?
La parte in grassetto è sbagliata, l'argomento del coseno è $x$; è anche sbagliata la parte a destra, in quanto $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$.
"Tipper":
Per l'ultima usando le formule di duplicazione si ottiene; $2\cos(x)=2(2\cos^2(\frac{x}{2})-1)$ e ottieni un'equazione in $\cos(\frac{x}{2})$.
PS: Non ti devi scusare di nulla, ci mancherebbe.
ti ringrazio per la tua disponibilità e cortesia....ma mi sembra il minimo scusarmi nel darvi disturbo con le mie incompetenze pratiche... ehm....potresti spiegarmi come risolvo in cos x/2?...giuro che con questa equazione mi son tolto la vita....
perchè nn riesco.....??? 
Se poni $t=\cos(\frac{x}{2})$ ottieni un'equazione di secondo grado, la risolvi, poi risostituisci al posto di $t$ il $\cos(\frac{x}{2})$.
Si potrebbe fare anche in un colpo solo, ma le prime volte conviene fare questa sostituzione.
Si potrebbe fare anche in un colpo solo, ma le prime volte conviene fare questa sostituzione.
"Tipper":
[quote="bad.alex"]Il ragionamento l'ho seguito. Però, $cos^2 x/2 - sin^2 x/2 = \mathbf{cos 2x} = 1- sin^2 x$ come faccio a farlo risalire dalla duplicazione al cos x?
- per risolverlo con tg qual è il momento più "opportuno"?
La parte in grassetto è sbagliata, l'argomento del coseno è $x$; è anche sbagliata la parte a destra, in quanto $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$.[/quote]
nel formulario trovo scritto :
cos 2x= cos^2 x - sin^2 x = 1 - 2 sin^2 x= 2 cos^2 x - 1
quindi è da correggere...??? buono a sapersi....in vista di compiti...( forse sono il solito che trascrive male....sigh)
"bad.alex":
$ \mathbf{2 cos^2 x/2} - 2 cos^2 x/2 + 1 = cos 3x $
Ho inteso la parte in grassetto come $2\cos^2(\frac{x}{2})$.
"Tipper":
Se poni $t=\cos(\frac{x}{2})$ ottieni un'equazione di secondo grado, la risolvi, poi risostituisci al posto di $t$ il $\cos(\frac{x}{2})$.
Si potrebbe fare anche in un colpo solo, ma le prime volte conviene fare questa sostituzione.
ehm.....sono "formule parametriche"??
Il formulario va bene, se tu che hai applicato male le formule.
"bad.alex":
[quote="Tipper"]Se poni $t=\cos(\frac{x}{2})$ ottieni un'equazione di secondo grado, la risolvi, poi risostituisci al posto di $t$ il $\cos(\frac{x}{2})$.
Si potrebbe fare anche in un colpo solo, ma le prime volte conviene fare questa sostituzione.
ehm.....sono "formule parametriche"??[/quote]
Non sono formule parametriche, è solo un modo per scrivere un'equazione di secondo grado rispetto a una variabile 'normale', piuttosto che rispetto a un coseno, non so se mi sono spiegato...
"Tipper":
[quote="bad.alex"]$ \mathbf{2 cos^2 x/2} - 2 cos^2 x/2 + 1 = cos 3x $
Ho inteso la parte in grassetto come $2\cos^2(\frac{x}{2})$.[/quote]
nn ti sto seguendo.....scusa.....puoi spiegarmi meglio?
"Tipper":
[quote="bad.alex"][quote="Tipper"]Se poni $t=\cos(\frac{x}{2})$ ottieni un'equazione di secondo grado, la risolvi, poi risostituisci al posto di $t$ il $\cos(\frac{x}{2})$.
Si potrebbe fare anche in un colpo solo, ma le prime volte conviene fare questa sostituzione.
ehm.....sono "formule parametriche"??[/quote]
Non sono formule parametriche, è solo un modo per scrivere un'equazione di secondo grado rispetto a una variabile 'normale', piuttosto che rispetto a un coseno, non so se mi sono spiegato...[/quote]
si si....grazie ( che figura
)
Ho fatto il quote della formula sbagliata, un attimo e lo rifaccio subito di quella giusta...
fino a 2= cos ^2 x/2 - sin^2 x/2 + 2 sin x ci sono
dopo svolgo e ho 2 = cos 2x + 2sinx
è qui che sbaglio perchè a voi risulta essere cos x.....a me no....
dopo svolgo e ho 2 = cos 2x + 2sinx
è qui che sbaglio perchè a voi risulta essere cos x.....a me no....
"bad.alex":
Ho avuto difficoltà nello svolgere le seguenti equazioni trigonometriche risolvibile le prime due mediante le formule di bisezione, le altre due invece con le formule di duplicazione. Tuttavia ho cercato di svolgerle. Trascrivo l'originale e affianco soluzione del libro con mio svolgimento, così che possiate, richiedo aiuto rendendovi grazie anticipatamente, controllarle ed eventualmente correggerle, spiegandomele ( ne avrei bisogno davvero).
1) $sin^2 x/2 + 2 = cos^2 x/2 + 2 sinx $
$ 1-cosx/2 + 2 = 1+cosx/2 + 2 sinx$ dividendo per 2 sinx/2
$(1-cosx) sinx + 2 sinx= (1+cosx)sinx + 2$
$sinx - sinxcosx+ 2sinx= sinx + sinxcosx + 2$
- 2 sinxcosx + 2 sinx = 2
cambiando di segno
2 sinxcosx - 2 sinx +2= 0
$ 2 sinx ( cosx - 1) + 2 = 0$.....credo di aver sbagliato il risultato dovrebbe essere x= k360° + 90° e tg x/2 = 1/3
2) $2 cos^2 x/2 = cos 3x + cosx$
in questa procedo in un modo errato....nn mi risulta...
$ 2 cos^2 x/2 - 2 cos^2 x/2 + 1 = cos 3x $
1= cos 3x....
il risultato è x= k120°
nn capisco quale sia il procedimento da seguire con le formule di bisezione.
L'ultima, da risolvere cone le formule di duplicazione è
$ \mathbf{2 cos x/2} - 2 cos x$ = (radice quadrata di 3) - 1
in questa non ho trovato soluzione...i risultati sono x = 2k360° +- 60° ; cos x/2 = 1-radice quadrata di tre/2....vi chiedo scusa ma solo una mi è risultata ( l'ultima delle equazioni con le formule di duplicazione....): delle altre vorrei soltanto sapere come riuscire a svolgere per arrivare a quei risultati,capendone lo svolgimento...una richiesta che mira alla vostra bontà e disponibilità a cui spero nn mi sottrarrete. Cordialmente, alex
p.s. nn uccidetemi. Sono ignorante e lo riconosco. Ma mi impegno davvero anche se riesco a trovare difficoltà. ancora scusa
Ho interpretato la parte in grassetto come se fosse $2\cos(\frac{x}{2})$, cioè, penso che tu avessi voluto scrivere questo.
Secondo le formule di bisezione si ha $\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)=\cos(2 \alpha)$
Detto in parole povere, l'argomento del coseno dalla parte destra dell'uguale è il doppio di quelli a sinistra, quindi:
$\cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2}) = \cos(x)$
semplicemente perché $x$ è il doppio di $\frac{x}{2}$, ok?
Detto in parole povere, l'argomento del coseno dalla parte destra dell'uguale è il doppio di quelli a sinistra, quindi:
$\cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2}) = \cos(x)$
semplicemente perché $x$ è il doppio di $\frac{x}{2}$, ok?
"Tipper":
Per la seconda ti basta notare che $\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2\cos(x)-1}{2}$, e che $\cos(3x)+\cos(x)=2\cos(2x)\cos(x)$, sostituendo il tutto diventa:
$2\cos(x)-1=2\cos(2x)\cos(x)$, e trasformando il $\cos(2x)$ in $2\cos^2(x)-1$ tutto si dovrebbe risolvere agevolmente.
$ 2 cos ^2 x/2 = cos 3x + cosx$
2 cos ^2 x/2 nn è uguale a 2 ( cosx + 1 / 2)? un'altra cosa: il 2 al denominatore del primo membro....nn dovrei, per toglierlo, moltiplicare per 2 anche i termini del secondo?
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