Equazioni trigonometriche... difficoltà permanenti
Ho avuto difficoltà nello svolgere le seguenti equazioni trigonometriche risolvibile le prime due mediante le formule di bisezione, le altre due invece con le formule di duplicazione. Tuttavia ho cercato di svolgerle. Trascrivo l'originale e affianco soluzione del libro con mio svolgimento, così che possiate, richiedo aiuto rendendovi grazie anticipatamente, controllarle ed eventualmente correggerle, spiegandomele ( ne avrei bisogno davvero).
1) $sin^2 x/2 + 2 = cos^2 x/2 + 2 sinx $
$ 1-cosx/2 + 2 = 1+cosx/2 + 2 sinx$ dividendo per 2 sinx/2
$(1-cosx) sinx + 2 sinx= (1+cosx)sinx + 2$
$sinx - sinxcosx+ 2sinx= sinx + sinxcosx + 2$
- 2 sinxcosx + 2 sinx = 2
cambiando di segno
2 sinxcosx - 2 sinx +2= 0
$ 2 sinx ( cosx - 1) + 2 = 0$.....credo di aver sbagliato il risultato dovrebbe essere x= k360° + 90° e tg x/2 = 1/3
2) $2 cos^2 x/2 = cos 3x + cosx$
in questa procedo in un modo errato....nn mi risulta...
$ 2 cos^2 x/2 - 2 cos^2 x/2 + 1 = cos 3x $
1= cos 3x....
il risultato è x= k120°
nn capisco quale sia il procedimento da seguire con le formule di bisezione.
L'ultima, da risolvere cone le formule di duplicazione è
$ 2 cos x/2 - 2 cos x$ = (radice quadrata di 3) - 1
in questa non ho trovato soluzione...i risultati sono x = 2k360° +- 60° ; cos x/2 = 1-radice quadrata di tre/2....vi chiedo scusa ma solo una mi è risultata ( l'ultima delle equazioni con le formule di duplicazione....): delle altre vorrei soltanto sapere come riuscire a svolgere per arrivare a quei risultati,capendone lo svolgimento...una richiesta che mira alla vostra bontà e disponibilità a cui spero nn mi sottrarrete. Cordialmente, alex
p.s. nn uccidetemi. Sono ignorante e lo riconosco. Ma mi impegno davvero anche se riesco a trovare difficoltà. ancora scusa
1) $sin^2 x/2 + 2 = cos^2 x/2 + 2 sinx $
$ 1-cosx/2 + 2 = 1+cosx/2 + 2 sinx$ dividendo per 2 sinx/2
$(1-cosx) sinx + 2 sinx= (1+cosx)sinx + 2$
$sinx - sinxcosx+ 2sinx= sinx + sinxcosx + 2$
- 2 sinxcosx + 2 sinx = 2
cambiando di segno
2 sinxcosx - 2 sinx +2= 0
$ 2 sinx ( cosx - 1) + 2 = 0$.....credo di aver sbagliato il risultato dovrebbe essere x= k360° + 90° e tg x/2 = 1/3
2) $2 cos^2 x/2 = cos 3x + cosx$
in questa procedo in un modo errato....nn mi risulta...
$ 2 cos^2 x/2 - 2 cos^2 x/2 + 1 = cos 3x $
1= cos 3x....
il risultato è x= k120°
nn capisco quale sia il procedimento da seguire con le formule di bisezione.
L'ultima, da risolvere cone le formule di duplicazione è
$ 2 cos x/2 - 2 cos x$ = (radice quadrata di 3) - 1
in questa non ho trovato soluzione...i risultati sono x = 2k360° +- 60° ; cos x/2 = 1-radice quadrata di tre/2....vi chiedo scusa ma solo una mi è risultata ( l'ultima delle equazioni con le formule di duplicazione....): delle altre vorrei soltanto sapere come riuscire a svolgere per arrivare a quei risultati,capendone lo svolgimento...una richiesta che mira alla vostra bontà e disponibilità a cui spero nn mi sottrarrete. Cordialmente, alex
p.s. nn uccidetemi. Sono ignorante e lo riconosco. Ma mi impegno davvero anche se riesco a trovare difficoltà. ancora scusa
Risposte
"Tipper":
Secondo le formule di bisezione si ha $\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)=\cos(2 \alpha)$
Detto in parole povere, l'argomento del coseno dalla parte destra dell'uguale è il doppio di quelli a sinistra, quindi:
$\cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2}) = \cos(x)$
semplicemente perché $x$ è il doppio di $\frac{x}{2}$, ok?
eheh queste sviste mi rovinano....grazie....si si chiaro....
che errore idiota......!!!
Hai ragione, scusa, non so perché abbia scritto quella roba, boh, in ogni caso:
$2\cos^2(\frac{x}{2})=2(\frac{1+\cos(x)}{2})$
Sto diventando vecchio...
$2\cos^2(\frac{x}{2})=2(\frac{1+\cos(x)}{2})$
Sto diventando vecchio...
intuitivamente puoi dire che l'unico angolo dove si verifica 2=cosx+2sinx è 90gradi.
la soluzione è x=90°+N360°
....come faccio a dedurre che l'unico angolo è 90°?....
ma cos x e sen x ....come li faccio a trasformare?
la soluzione è x=90°+N360°
....come faccio a dedurre che l'unico angolo è 90°?....
ma cos x e sen x ....come li faccio a trasformare?
"Tipper":
Hai ragione, scusa, non so perché abbia scritto quella roba, boh, in ogni caso:
$2\cos^2(\frac{x}{2})=2(\frac{1+\cos(x)}{2})$
Sto diventando vecchio...
beh...un vecchio saggio allora! e salvatore.....
Se poni $Y=\sin(x)$ e $X=\cos(x)$, allora ottieni un sistema:
$\{(X+2Y=2),(X^2 + Y^2=1):}$
Che non è nient'altro che l'intersezione fra una retta e una circonferenza. In questo modo vedi quante soluzioni ci sono, quali sono poi lo puoi determinare anche a occhio. Se non lo vuoi fare a occhio sostituisci $x=2-2Y$ nella seconda, ottenendo un'equazione di secondo grado in $Y$, e risolvendo (mi sembra che a occhio si becchi solo $\frac{\pi}{2}$...).
$\{(X+2Y=2),(X^2 + Y^2=1):}$
Che non è nient'altro che l'intersezione fra una retta e una circonferenza. In questo modo vedi quante soluzioni ci sono, quali sono poi lo puoi determinare anche a occhio. Se non lo vuoi fare a occhio sostituisci $x=2-2Y$ nella seconda, ottenendo un'equazione di secondo grado in $Y$, e risolvendo (mi sembra che a occhio si becchi solo $\frac{\pi}{2}$...).
non so usare math.
$ 2 cos x/2 - 2 cos x= (radice quadrata di 3) - 1$
Ho interpretato la parte in grassetto come se fosse $2\cos(\frac{x}{2})$, cioè, penso che tu avessi voluto scrivere questo.[/quote]
hai interpretato bene...non so usare math.[/quote]
Ho interpretato la parte in grassetto come se fosse $2\cos(\frac{x}{2})$, cioè, penso che tu avessi voluto scrivere questo.[/quote]
hai interpretato bene...non so usare math.[/quote]
"Tipper":
Per la seconda ti basta notare che $\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2\cos(x)-1}{2}$, e che $\cos(3x)+\cos(x)=2\cos(2x)\cos(x)$, sostituendo il tutto diventa:
$2\cos(x)-1=2\cos(2x)\cos(x)$, e trasformando il $\cos(2x)$ in $2\cos^2(x)-1$ tutto si dovrebbe risolvere agevolmente.
riuscirei, forse, a risolvere tutto agevolmente se riuscissi a risolvere prima dal punto in cui mi trovo: $ 2 cosx+1/2 = 2 cos2xcosx$
adesso.....questo denominatore 2....e poi il cos2x.....aiuto....
Applicando la formula di bisezione a sinistra, e quelle di prostaferesi a destra, si ottiene:
$2(\frac{1+\cos(x)}{2})=2\cos(2x)\cos(x)$
che equivale a
$1+\cos(x)=2\cos(2x)\cos(x)$.
Tenendo conto che $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$, facendo un po' di conticini, si arriva a:
$4\cos^3(x) - 3\cos(x) - 1=0$
Ponendo $t=\cos(x)$ si ottiene:
$4t^3 - 3t - 1=0$
e si risolve con Ruffini tenendo conto che $t=1$ è soluzione.
$2(\frac{1+\cos(x)}{2})=2\cos(2x)\cos(x)$
che equivale a
$1+\cos(x)=2\cos(2x)\cos(x)$.
Tenendo conto che $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$, facendo un po' di conticini, si arriva a:
$4\cos^3(x) - 3\cos(x) - 1=0$
Ponendo $t=\cos(x)$ si ottiene:
$4t^3 - 3t - 1=0$
e si risolve con Ruffini tenendo conto che $t=1$ è soluzione.
"Tipper":
Applicando la formula di bisezione a sinistra, e quelle di prostaferesi a destra, si ottiene:
$2(\frac{1+\cos(x)}{2})=2\cos(2x)\cos(x)$
che equivale a
$1+\cos(x)=2\cos(2x)\cos(x)$.
Tenendo conto che $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$, facendo un po' di conticini, si arriva a:
$4\cos^3(x) - 3\cos(x) - 1=0$
Ponendo $t=\cos(x)$ si ottiene:
$4t^3 - 3t - 1=0$
e si risolve con Ruffini tenendo conto che $t=1$ è soluzione.
bene....eheh ne ho capite due....spero nell'ultima...i radicali mi mettono paura....peggio dell'insegnante di latino.....
Per l'ultima comincia ad applicare la bisezione al termine $-2 \cos(x)$.
"Tipper":
Per l'ultima comincia ad applicare la bisezione al termine $-2 \cos(x)$.
l'equazione è possibile da risolvere con le formule di duplicazione...cmq con la bisezione è giusto che mi venga 2 cos x/2 - 2( 2 cos^2 x/2 - 1) = " " ( radice quadrata di 3)- 1?
Volevo dire duplicazione, non bisezione... (devo smettere di drogarmi, l'ho sempre detto 
).
).
"bad.alex":
2 cos x/2 - 2( 2 cos^2 x/2 - 1) = " " ( radice quadrata di 3)- 1?
Va bene.
"Tipper":
Volevo dire duplicazione, non bisezione... (devo smettere di drogarmi, l'ho sempre detto
siamo in 2.....a proposito di 2....ma la duplicazione come si fa ad applicare poichè non è cos2x?
Se dimezzi $x$ ottieni $\frac{x}{2}$ (infatti va bene come l'avevi scritta).
(infatti va bene come l'avevi scritta).
"Tipper":
Se dimezzi $x$ ottieni $\frac{x}{2}$
meglio attenersi però all'esercizio....ehm...al consiglio...altrimenti risulto essere l'unico che lo fa in altro modo. cmq....nn riesco in entrambi i casi....qua formule nn ne trovo se non per cos2x.....PERCHE'?????
Scusa, ma l'esercizio non chiede di usare le formule di duplicazione?
"Tipper":
Scusa, ma l'esercizio non chiede di usare le formule di duplicazione?
si....
ma come faccio ad applicarle...? io nn ho capito
Secondo le formule di duplicazione $\cos(2 \alpha) = 2 \cos^2(\alpha)-1$, quindi l'argomento del coseno a destra è metà dell'argomento del coseno a sinistra, quindi, se ad esempio al posto di $2 \alpha$ ci metto $x$, ottengo:
$\cos(x)=2 \cos^2(\frac{x}{2})-1$ e l'equazione diventa:
$2 \cos(\frac{x}{2}) - 2(2 \cos^2(\frac{x}{2})-1) = \sqrt{3} - 1$
Questa è un'equazione di secondo grado in $\cos(\frac{x}{2})$ e la puoi risolvere o al volo, o facendo la sostituzione $t=\cos(\frac{x}{2})$, se ti torna meglio.
$\cos(x)=2 \cos^2(\frac{x}{2})-1$ e l'equazione diventa:
$2 \cos(\frac{x}{2}) - 2(2 \cos^2(\frac{x}{2})-1) = \sqrt{3} - 1$
Questa è un'equazione di secondo grado in $\cos(\frac{x}{2})$ e la puoi risolvere o al volo, o facendo la sostituzione $t=\cos(\frac{x}{2})$, se ti torna meglio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo