Equazioni trigonometriche... difficoltà permanenti
Ho avuto difficoltà nello svolgere le seguenti equazioni trigonometriche risolvibile le prime due mediante le formule di bisezione, le altre due invece con le formule di duplicazione. Tuttavia ho cercato di svolgerle. Trascrivo l'originale e affianco soluzione del libro con mio svolgimento, così che possiate, richiedo aiuto rendendovi grazie anticipatamente, controllarle ed eventualmente correggerle, spiegandomele ( ne avrei bisogno davvero).
1) $sin^2 x/2 + 2 = cos^2 x/2 + 2 sinx $
$ 1-cosx/2 + 2 = 1+cosx/2 + 2 sinx$ dividendo per 2 sinx/2
$(1-cosx) sinx + 2 sinx= (1+cosx)sinx + 2$
$sinx - sinxcosx+ 2sinx= sinx + sinxcosx + 2$
- 2 sinxcosx + 2 sinx = 2
cambiando di segno
2 sinxcosx - 2 sinx +2= 0
$ 2 sinx ( cosx - 1) + 2 = 0$.....credo di aver sbagliato il risultato dovrebbe essere x= k360° + 90° e tg x/2 = 1/3
2) $2 cos^2 x/2 = cos 3x + cosx$
in questa procedo in un modo errato....nn mi risulta...
$ 2 cos^2 x/2 - 2 cos^2 x/2 + 1 = cos 3x $
1= cos 3x....
il risultato è x= k120°
nn capisco quale sia il procedimento da seguire con le formule di bisezione.
L'ultima, da risolvere cone le formule di duplicazione è
$ 2 cos x/2 - 2 cos x$ = (radice quadrata di 3) - 1
in questa non ho trovato soluzione...i risultati sono x = 2k360° +- 60° ; cos x/2 = 1-radice quadrata di tre/2....vi chiedo scusa ma solo una mi è risultata ( l'ultima delle equazioni con le formule di duplicazione....): delle altre vorrei soltanto sapere come riuscire a svolgere per arrivare a quei risultati,capendone lo svolgimento...una richiesta che mira alla vostra bontà e disponibilità a cui spero nn mi sottrarrete. Cordialmente, alex
p.s. nn uccidetemi. Sono ignorante e lo riconosco. Ma mi impegno davvero anche se riesco a trovare difficoltà. ancora scusa
1) $sin^2 x/2 + 2 = cos^2 x/2 + 2 sinx $
$ 1-cosx/2 + 2 = 1+cosx/2 + 2 sinx$ dividendo per 2 sinx/2
$(1-cosx) sinx + 2 sinx= (1+cosx)sinx + 2$
$sinx - sinxcosx+ 2sinx= sinx + sinxcosx + 2$
- 2 sinxcosx + 2 sinx = 2
cambiando di segno
2 sinxcosx - 2 sinx +2= 0
$ 2 sinx ( cosx - 1) + 2 = 0$.....credo di aver sbagliato il risultato dovrebbe essere x= k360° + 90° e tg x/2 = 1/3
2) $2 cos^2 x/2 = cos 3x + cosx$
in questa procedo in un modo errato....nn mi risulta...
$ 2 cos^2 x/2 - 2 cos^2 x/2 + 1 = cos 3x $
1= cos 3x....
il risultato è x= k120°
nn capisco quale sia il procedimento da seguire con le formule di bisezione.
L'ultima, da risolvere cone le formule di duplicazione è
$ 2 cos x/2 - 2 cos x$ = (radice quadrata di 3) - 1
in questa non ho trovato soluzione...i risultati sono x = 2k360° +- 60° ; cos x/2 = 1-radice quadrata di tre/2....vi chiedo scusa ma solo una mi è risultata ( l'ultima delle equazioni con le formule di duplicazione....): delle altre vorrei soltanto sapere come riuscire a svolgere per arrivare a quei risultati,capendone lo svolgimento...una richiesta che mira alla vostra bontà e disponibilità a cui spero nn mi sottrarrete. Cordialmente, alex
p.s. nn uccidetemi. Sono ignorante e lo riconosco. Ma mi impegno davvero anche se riesco a trovare difficoltà. ancora scusa
Risposte
"bad.alex":
[quote="Tipper"]Scusa, ma l'esercizio non chiede di usare le formule di duplicazione?
si....
ma come faccio ad applicarle...? io nn ho capito[/quote]
non ricascandoci nell'errore dell'x e del x/2....viene 2 cos x/2 - 2 ( 2 cos^2 x/2 - 1) = ...., giusto?
"bad.alex":
[quote="bad.alex"][quote="Tipper"]Scusa, ma l'esercizio non chiede di usare le formule di duplicazione?
si....
ma come faccio ad applicarle...? io nn ho capito[/quote]
non ricascandoci nell'errore dell'x e del x/2....viene 2 cos x/2 - 2 ( 2 cos^2 x/2 - 1) = ...., giusto?[/quote]
Proprio così.
"Tipper":
Secondo le formule di duplicazione $\cos(2 \alpha) = 2 \cos^2(\alpha)-1$, quindi l'argomento del coseno a destra è metà dell'argomento del coseno a sinistra, quindi, se ad esempio al posto di $2 \alpha$ ci metto $x$, ottengo:
$\cos(x)=2 \cos^2(\frac{x}{2})-1$ e l'equazione diventa:
$2 \cos(\frac{x}{2}) - 2(2 \cos^2(\frac{x}{2})-1) = \sqrt{3} - 1$
Questa è un'equazione di secondo grado in $\cos(\frac{x}{2})$ e la puoi risolvere o al volo, o facendo la sostituzione $t=\cos(\frac{x}{2})$, se ti torna meglio.
ehm....a volo....eheheh...siiii
"Tipper":
[quote="bad.alex"][quote="bad.alex"][quote="Tipper"]Scusa, ma l'esercizio non chiede di usare le formule di duplicazione?
si....
ma come faccio ad applicarle...? io nn ho capito[/quote]
non ricascandoci nell'errore dell'x e del x/2....viene 2 cos x/2 - 2 ( 2 cos^2 x/2 - 1) = ...., giusto?[/quote]
Proprio così.[/quote]
sono arrivato a 2cos x/2 - 4 cos^2 x/2 = radice quadrata di 3 - 3
adesso posso raccogliere a fattor comune nel primo membro....o forse dovrei risolvere come equazione di secondo grado....ma quel radice quadrata di 3 - 3..... cosa ne faccio?
Risolvi come equazione di secondo grado, per quanto riguarda $\sqrt{3}-3$ lo devi trattare come termine noto, ossia il famoso $c$ nell'equazione $ax^2 + bx + c=0$.
"Tipper":
Risolvi come equazione di secondo grado, per quanto riguarda $\sqrt{3}-3$ lo devi trattare come termine noto, ossia il famoso $c$ nell'equazione $ax^2 + bx + c=0$.
tipper ti chiedo scusa ma qui dovresti spiegarmi i calcoli passo a passo perchè nn so svolgere i radicali....
Se mi richiedi scusa un altra volta non ti rispondo più... 
Allora, tu hai $4 \cos^2(\frac{x}{2}) - 2\cos(\frac{x}{2}) + 3 - \sqrt{3} = 0$
Per semplicità, $t=\cos(\frac{x}{2})$, quindi:
$4t^2-2t+(\sqrt{3} - 3) = 0$
$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4\sqrt{3} + 12}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2}}{4} = $
$=\frac{1 \pm (1-2\sqrt{3})}{4}$
Quindi $t_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ a cui devi sostituire $\cos(\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$t_2 = \frac{2-2sqrt{3}}{4} = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ a cui devi sostituire $\cos(\frac{x}{2}) = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$
Allora, tu hai $4 \cos^2(\frac{x}{2}) - 2\cos(\frac{x}{2}) + 3 - \sqrt{3} = 0$
Per semplicità, $t=\cos(\frac{x}{2})$, quindi:
$4t^2-2t+(\sqrt{3} - 3) = 0$
$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4\sqrt{3} + 12}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2}}{4} = $
$=\frac{1 \pm (1-2\sqrt{3})}{4}$
Quindi $t_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ a cui devi sostituire $\cos(\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$t_2 = \frac{2-2sqrt{3}}{4} = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ a cui devi sostituire $\cos(\frac{x}{2}) = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$
"Tipper":
Se mi richiedi scusa un altra volta non ti rispondo più...
Allora, tu hai $4 \cos^2(\frac{x}{2}) - 2\cos(\frac{x}{2}) + 3 - \sqrt{3} = 0$
Per semplicità, $t=\cos(\frac{x}{2})$, quindi:
$4t^2-2t+(3 - \sqrt{3}) = 0$
$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-12+4\sqrt{3}}}{4}$
che non ha soluzione, perché il discriminante è negativo.
Fermi tutti, ho sbagliato un segno.
sei davvero molto gentile ( e paziente)
i calcoli sono inesatti: abbiamo t= 2 +- radice quadrata di 4 - 4 *(3- radice quadrata di 3) / 8....e in ultimo...poichè mi dovrebbe risultare da questo calcolo una delle due soluzioni ( o x= 2 k 360° +- 60° ; o cos x/2 = 1 - radice quadrata di 3 / 2....penso l'ultima.....).....ehm....i calcoli ultimi saranno???
Ho editato, ora dovrebbe essere meno sbagliati
"Tipper":ti ringrazio infinitamente per il tempo dedicatomi....ci facciamo troppe canne mi sa....ma almeno tu conservi parecchia conoscenza....GRAZIE
Ho editato, ora dovrebbe essere meno sbagliati
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