Equazioni goniometriche elementari

[Bad90]

Ho cominciato oggi a fare bene le equazioni goniometriche elementari, ho dedotto che il concetto è nel fatto che un angolo incognito, può avere casi x e casi opposti a x, (detta in parole povere), ed ho visto che si opera prorprio come nelle equazioni algebriche, adesso farò un bel po di esercizi

In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:

Caso 1
$ cos x = a $

Caso 2
$ sen x = b $

Caso 3
$ tg x = c $

[giammaria2]

No: sommando 360° o suoi multipli ai valori iniziali non si ottiene mai 330°. Segui il mio consiglio ed aiutati col cerchio goniometrico. Guardando le mie scritte iniziali, quanti e quali punti vi disegnerai? Noti qualcosa di speciale?

[Bad90]

"giammaria":No: sommando 360° o suoi multipli ai valori iniziali non si ottiene mai 330°. Segui il mio consiglio ed aiutati col cerchio goniometrico. Guardando le mie scritte iniziali, quanti e quali punti vi disegnerai? Noti qualcosa di speciale?

Allora, disegnerò quattro punti, vedo un rettangolo, quindi

E' per colpa mia che non sto capendo, io vedo questo:

Penso proprio che non sto capendo la domanda che mi hai posto per questi tre esercizi:!: Visto che non sto riuscendo a risponderti perchè la mia testolina non sta capendo, mi aiuti a capire la tua domanda

Pero' anche se non sto riuscendo a risponderti, sto riuscendo a risolvere gli esercizi! Mi chiedo come mai? E se non ho capito un concetto importante che grazie a te mi stai facendo notare, come puo' essere?

[giammaria2]

Il concetto di quei tre esercizi è imparare a leggere le soluzioni anche se scritte in modo diverso dal tuo; qualche difficoltà su questo argomento non ti impedisce di risolvere gli esercizi. Capita spesso che ci sia un solo modo di scrivere la soluzione e quindi tu possa dire "Mi è venuto" senza problemi.
Comunque cerco di darti una spiegazione: quando scrivi che la soluzione è $x=alpha+k*beta$ intendi dire che parti da $alpha$ e poi ruoti di $beta$, poi fai un'altra rotazione, un'altra ancora, eccetera, fino a tornare al punto iniziale e che tutti i punti così trovati sono soluzioni.
Il caso più facile si ha per $beta=360°$: la rotazione è di un intero giro, quindi torni subito al punto iniziale, che è l'unica soluzione visibile sul cerchio.
Per $beta=180°$ la prima rotazione ti porta all'altra estremità del diametro e quindi vedi due punti. E' il caso della mia ultima domanda (che era solo una parte dell'esercizio B): scrivere
$x=30°+k*360° vv x=210°+k*360°$ (sul cerchio, sono due punti)
è lo stesso che scrivere $x=30°+k*180°$ (gli stessi due punti).
Per l'esercizio B completo dovevi fare lo stesso ragionamento per gli altri due punti; la soluzione poteva quindi essere scritta come $x=+-30°+k*180°$

Passiamo ora al C: potevi fare lo stesso ragionamento e scrivere $x=+-45°+k*180°$. Qui però si può ancora migliorare: il simbolo $+-$ significa che vuoi il più oppure il meno quindi è come se ci fosse un $vv$. Possiamo toglierlo notando che si passa da una soluzione all'altra ruotando di 90° e scrivere la soluzione nella forma $x=45°+k*90°$. Nel B questo non era possibile perché la rotazione fra il primo ed il secondo punto era diversa da quella fra il secondo ed il terzo (uso primo, secondo, eccetera intendendoli nell'ordine in cui li trovo sul cerchio)

[Bad90]

Ok, da adesso in poi terrò sempre presente questi concetti, così riuscirò ad avere sempre le idee molto più chiare

Ti ringrazio!

[Bad90]

Non capisco perchè il mio testo, per la seguente disequazione:

$ senx < (sqrt3)/2 $

Scrive il seguente risultato:

$ -4/3pi + 2kpi < x < pi/3+2kpi $

Io sono arrivato al seguente risultato:

$ 2/3pi + 2kpi < x < pi/3+2kpi $

Ma cosa sto sbagliando

[burm87]

Il $pi/3$ è minore di $2/3pi$ e tu lo stai mettendo a destra nella tua relazione.
Per scriverla correttamente devi invertirli. Oltre a questo non c'è nulla di errato, tu e il testo indicate esattamente gli stessi angoli, solo che tu li indichi entrambi nel verso positivo, mentre il testo esprime l'angolo del secondo quadrante girando in senso negativo: $-4/3pi=2/3pi$.

[Bad90]

"burm87":Il $pi/3$ è minore di $2/3pi$ e tu lo stai mettendo a destra nella tua relazione.
Per scriverla correttamente devi invertirli. Oltre a questo non c'è nulla di errato, tu e il testo indicate esattamente gli stessi angoli, solo che tu li indichi entrambi nel verso positivo, mentre il testo esprime l'angolo del secondo quadrante girando in senso negativo: $-4/3pi=2/3pi$.

OOOOOkkk, my friend!

[Bad90]

Sto notando che il mio testo scrive infatti, diversamente da me, ma indicando la stessa cosa!
Per questa:

$ ctg x + sqrt3 <0 $

A me viene in mente che si ha a che fare con un angolo $ alpha =- pi/6 $

$ ctg x < - sqrt3$

Quale sarà il risultato

Scritto a modo mio sarà:

$ -pi/6 + kpi < x < pi+ kpi $

[burm87]

L'angolo in questione mi pare corretto, ti basta a questo punto dare il giusto intervallo alla $x$: $-pi/6+kpi
Con $kpi$ intendo ovviamente l'angolo di zero gradi più una periodicità di 180 gradi. $0+kpi$ si riduce a $kpi$.

[Bad90]

"burm87":L'angolo in questione mi pare corretto, ti basta a questo punto dare il giusto intervallo alla $x$: $-pi/6+kpi
Ho visto che il mio testo a volte preferisce lavorare con valori positivi e altre volte no!
Infatti, lui aggiunge una quantità $ pi $ per togliere il meno, ecco cosa scrive:

$ 5/6pi + kpi < x
Scusami, ma cosa cambia da ciò che hai scritto tu con cio che ho scritto io???

Tu $x$: $-pi/6+kpi
Io $x$: $-pi/6+kpi

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[burm87]

La sua scrittura è corretta, in quanto utilizza i due angoli positivi, parte da quello di 150 gradi e arriva a quello di 180 gradi.

La tua è errata in quanto parti dall'angolo di meno 30 gradi e arrivi all'angolo di 180 gradi, comprendendo quindi tantissimi angoli che non sono soluzione!

La mia si differenzia dalla tua in quanto io pur partendo da meno 30 gradi, mi fermo però all'angolo di zero gradi.

[Bad90]

Ho risolto la seguente:

$ 2cos(x - pi/3)< 1 $

Io sono arrivato alla seguente conclusione:

$ 2/3pi + 2kpi < x < pi + 2 pik $

Perche' il testo dice che deve essere

$ 2/3pi + 2kpi < x < 2pi + 2 pik $

Dove ho sbagliato????

[burm87]

Vediamo.. il coseno vale $1/2$ in corrispondenza di $+-60$ gradi (60 gradi e 300 gradi) giusto? Se noi vogliamo che sia minore il nostro angolo deve essere compreso tra 60 e 300.

Esprimendo in radianti otteniamo:
$pi/3+2kpi
Aggiungiamo ora a tutti e 3 i membri $pi/3$ per isolare la $x$.
$pi/3+2kpi+pi/3 $2/3pi+2kpi
Torna?

[Bad90]

"burm87":Vediamo.. il coseno vale $1/2$ in corrispondenza di $+-60$ gradi (60 gradi e 300 gradi) giusto? Se noi vogliamo che sia minore il nostro angolo deve essere compreso tra 60 e 300.

Esprimendo in radianti otteniamo:
$pi/3+2kpi
Aggiungiamo ora a tutti e 3 i membri $pi/3$ per isolare la $x$.
$pi/3+2kpi+pi/3 $2/3pi+2kpi
Torna?

Scusami, ma questo procedimento di aggiungere $ pi/3 $ si può fare sempre? Intendo aggiungere qualcosa per semplificare?

[burm87]

I principi di equivalenza valgono ovviamente, quindi se aggiungi o togli la stessa quantità a tutti i membri ottieni un'espressione equivalente. Questo era un caso che si prestava. In alternativa puoi sempre fare i due classici sistemi.

Ti consiglio di imparare questa piccole strategie in quanto fanno risparmiare tempo prezioso, soprattutto agli esami!

[Bad90]

"burm87":I principi di equivalenza valgono ovviamente, quindi se aggiungi o togli la stessa quantità a tutti i membri ottieni un'espressione equivalente. Questo era un caso che si prestava. In alternativa puoi sempre fare i due classici sistemi.

Ti consiglio di imparare questa piccole strategie in quanto fanno risparmiare tempo prezioso, soprattutto agli esami!

E si, infatti il mio intento è diventare bravo come voi per poter essere rapido all'esame

[Bad90]

Sto cercando di risolvere la seguente disequazione:

$ sen^2 x +5/2cosx - 2 >0 $

L'ho fatta diventare così:

$ cos^2 x - 5/2cosx + 1 <0 $

Risolvo l'equazione associata ed ottengo $ cos x = 1 $ e $ cos x = 1/2 $ .

Adesso, come si continua

[burm87]

È corretto ma fai MOLTA attenzione, hai moltiplicato tutto per $-1$ per cambiare (giustamente) tutti i segni per avere il termine di secondo grado positivo, quindi devi anche invertire il verso. La disequazione sarà quindi $<0$.

Poi procedi come più ti piace, per esempio ponendo $t=cosx$. Poi sai che è una disequazione con $Delta>0$ e verso $<$ quindi avrai come soluzione i valori interni.. lascio a te continuare.

Ti faccio anche notare che le soluzioni a me vengono $cosx=2$ e $cosx=1/2$.

[Bad90]

"burm87":È corretto ma fai MOLTA attenzione, hai moltiplicato tutto per $-1$ per cambiare (giustamente) tutti i segni per avere il termine di secondo grado positivo, quindi devi anche invertire il verso. La disequazione sarà quindi $<0$.

Poi procedi come più ti piace, per esempio ponendo $t=cosx$. Poi sai che è una disequazione con $Delta>0$ e verso $<$ quindi avrai come soluzione i valori interni.. lascio a te continuare.

Ti faccio anche notare che le soluzioni a me vengono $cosx=2$ e $cosx=1/2$.

Ok, sono riuscito ad ottenere la seguente soluzione:

$ 1/2 < cosx<1 $

Perchè essendo $ <0 $ ci interessano gli intervalli interni!

E cioè

$ pi/3 + 2kpi

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[burm87]

Secondo me c'è un errore. Le soluzioni dell'equazione associata sono $cosx=2$ e $cosx=1/2$.
Come hai giustamente detto i valori sono interni essendo minore di zero, quindi abbiamo:
$1/2
La parte destra è ovviamente sempre verificata, quindi ci resta $cosx>1/2$ che da come soluzione $-pi/3+2kpi

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