Equazioni goniometriche elementari
Ho cominciato oggi a fare bene le equazioni goniometriche elementari, ho dedotto che il concetto è nel fatto che un angolo incognito, può avere casi x e casi opposti a x, (detta in parole povere), ed ho visto che si opera prorprio come nelle equazioni algebriche, adesso farò un bel po di esercizi 
In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:
Caso 1
$ cos x = a $
Caso 2
$ sen x = b $
Caso 3
$ tg x = c $
In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:
Caso 1
$ cos x = a $
Caso 2
$ sen x = b $
Caso 3
$ tg x = c $
Risposte
Esercizio 1
Non sto capendo questo esercizio....
$ sen x = 0 $
Ma se ho questo caso, mi viene in mente di dire che il seno di un angolo $ x $ sarà zero solo quando l'angolo è $ alpha = 0^o $ oppure $ alpha = 180^o $, mi viene di risolverlo in questo modo:
$ sen x = 0 $ e allora:
$ alpha = 0 $
$ x = 0^o + k360^o $ e $ x = 180^o - 0^o + k360^o $ e allora concludere che deve essere:
$ x = k360^o $
$ x = 180^o + k360^o $
Non sto capendo questo esercizio....
$ sen x = 0 $
Ma se ho questo caso, mi viene in mente di dire che il seno di un angolo $ x $ sarà zero solo quando l'angolo è $ alpha = 0^o $ oppure $ alpha = 180^o $, mi viene di risolverlo in questo modo:
$ sen x = 0 $ e allora:
$ alpha = 0 $
$ x = 0^o + k360^o $ e $ x = 180^o - 0^o + k360^o $ e allora concludere che deve essere:
$ x = k360^o $
$ x = 180^o + k360^o $
"Bad90":
$ alpha = 0 $
$ x = 0^o + k360^o $ e $ x = 180^o - 0^o + k360^o $ e allora concludere che deve essere:
$ x = k360^o $
$ x = 180^o + k360^o $
Quanto hai scritto è giusto, anche se non è il modo più "elegante" di scriverlo (infatti non lo trovi in giro
).La sistemazione "elegante" la trovi spiegata meglio di quanto posso fare io in questo, da fine pag. 19 in poi.
Te l'avevo segnalato nell'altro thread, vedi se ti ritrovi
.PS. Ci sono alcuni esempi svolti (devo ancora finire di "setacciare" tutta la "secondaria di secondo grado" ma sto a 1/3) qui che potrebbero darti una mano in casi simili. In alcuni di questi le discussioni sono davvero approfondite e utili.
e se facessi $x=k180°$ e basta?
"gabriello47":
e se facessi $x=k180°$ e basta?
E perchè
"Bad90":
[quote="gabriello47"]e se facessi $x=k180°$ e basta?
E perchè
[/quote]Proprio per questo ti ho detto di vedere a fine pag. 19 della dispensa di matematicamente che ho rilinkato ma che ti avevo segnalato nel thread delle identità goniometriche.
Io sono consapevole di avere un italiano "non chiarissimo", quindi rimando a qualcuno che l'ha spiegato meglio di me "quel motivo".
EDIT.
A parole mie potrei dirti questo.
Siccome $sin(\alpha)=sin(180^o -\alpha)$ (archi associati), allora se $\alpha=0^o$ è soluzione, lo è anche $\alpha=180^o$.
Ma poi sono soluzioni anche
$k\cdot 360^o + 180^o$ e
$k\cdot 360^o$,
e so che lo sai.
Se poni $360^o =180^o \cdot 2$ ottieni che le soluzioni sono
$k\cdot 360^o + 180^o= 2k\cdot 180^o + 180^o$ lo chiamo "primo insieme di soluzione"
$k\cdot 360^o= 2k\cdot 180^o$ lo chiamo "secondo insieme di soluzione".
Puoi notare che il primo insieme di soluzione è formato da multipli dispari di $180^o$ mentre il secondo da multipli pari di $180^o$. Quindi le soluzioni totali sono "tutti" i multipli (pari e dispari) di $180^o$.
Quello che ho detto a parole mie è una spiegazione che regge, solo che è un po' grezza. Per questo per una spiegazione più "italiana" e "esauriente" ti avevo segnalato le dispense (presenti su matematicamente.it) che ti avevo detto anche l'altra volta. In esse c'è molto più italiano (
) oltre che c'è il caso generale.
Ok, sto leggendo
Ma si, si potrebbe scrivere cosi':
$ x = 2*k180^o $
$ x = 180^o + 2k180^o $
Intendi questo?
Ma si, si potrebbe scrivere cosi':
$ x = 2*k180^o $
$ x = 180^o + 2k180^o $
Intendi questo?
"Bad90":
Ok, sto leggendo
Ma si, si potrebbe scrivere cosi':
$ x = 2*k1800^o $
$ x = 180^o + 2k180^o $
Intendi questo?
In questo caso sì [hai messo uno zero in più, sembra $1800$ nel primo].
Ho detto una cosa simile modificando il mio post precedente, però la mia spiegazione vale nel caso di $\alpha=0$. Per il caso generale ti ho rimandato a quella lettura che è molto più chiara di me...
Il testo mi dice che deve essere cosi':
$ x= k180^o $
Come e' possibile?
$ x= k180^o $
Come e' possibile?
"Bad90":
Il testo mi dice che deve essere cosi':
$ x= k180^o $
Come e' possibile?
Io l'ho spiegato a parole mie qualche messaggio fa (sotto all'EDIT).
$2k\cdot 180^o + 180^o= (2k+1)\cdot 180^o$ che unito al $2k\cdot 180^o$ mi dà tutti i multipli interi di $180^o$.
Ok, adesso e' tutti chiaro! Ti ringrazio!
"Bad90":
Ok, adesso e' tutti chiaro! Ti ringrazio!
Di nulla. In quella parte che ti avevo segnalato, però, trovi il caso "generale" spiegato in italiano (meglio di quanto posso dire io).
Come ho detto la mia non era mancanza di voglia di rispondere o altro (sennò non rispondevo per niente, no?
) è solo che ammetto i miei limiti e dico "c'è qualcuno che lo direbbe molto meglio di me" 
.Buono studio e buona continuazione con le eq. goniometriche.
Esercizio 2
$ 2cosx - 4 = 3(cosx -1 ) $
Come si puo' operare? Non sto trovando nulla che mi spiehi un caso simile!
Help!
$ 2cosx - 4 = 3(cosx -1 ) $
Come si puo' operare? Non sto trovando nulla che mi spiehi un caso simile!
Help!
$ 2cosx - 4 = 3(cosx -1 )-> 2cosx - 4 = 3cosx -3 ->cosx=-1$
"chiaraotta":
$ 2cosx - 4 = 3(cosx -1 )-> 2cosx - 4 = 3cosx -3 ->cosx=-1$
Accipicchia, non stavo riuscendo perchè il testo mi fa degli esempi, ma non come questo, in quanto in quelli che ho visto ci sono dei raccoglimenti ......, invece questo era proprio un caso semplicissimo
Grazie mille
Ecco la soluzione:
$ cosx=-1 $ allora $ alpha = 180^o $ segue $ x = +- 180^o + k360^o $
"Bad90":
Ecco la soluzione:
$ cosx=-1 $ allora $ alpha = 180^o $ segue $ x = +- 180^o + k360^o $
Ricorda che $- 180^o =180^o$...
La soluzione è $180^o + k\cdot 360^o$.
'Notte
"Zero87":
La soluzione è $180^o + k\cdot 360^o$.
'Notte
Ok, grazie!
Notte!
Esercizio 3
$ cos2x =cos(x-60^o) $
E' un esercizio guidato, ma non sto capendo il suo modo di operare, perche' fa in questo modo?
$ 2x =+-(x-60^o)+ k360^o $
Mi sembra di aver compreso che si tratta la parentesi come se fosse solo $ alpha $ !?? E quindi si risolve con i classici metodi.............
$ cos2x =cos(x-60^o) $
E' un esercizio guidato, ma non sto capendo il suo modo di operare, perche' fa in questo modo?
$ 2x =+-(x-60^o)+ k360^o $
Mi sembra di aver compreso che si tratta la parentesi come se fosse solo $ alpha $ !?? E quindi si risolve con i classici metodi.............
Esercizio 4
Come devo risolvere questo tipo di esercizi?
$ cos5x = -1/2 $
Qui' mi sembra di aver compreso che il primo membro resta tale, cioe' 5x, quindi cinque volte x, e poi alla fine dei calcoli, bisognera' dividere cio' che viene fuori al secondo membro per 5!
Penso di aver compreso bene, perche' gli esercizi che sto facendo hanno lo stesso risultato del testo!
Come devo risolvere questo tipo di esercizi?
$ cos5x = -1/2 $
Qui' mi sembra di aver compreso che il primo membro resta tale, cioe' 5x, quindi cinque volte x, e poi alla fine dei calcoli, bisognera' dividere cio' che viene fuori al secondo membro per 5!
Penso di aver compreso bene, perche' gli esercizi che sto facendo hanno lo stesso risultato del testo!
Esercizio 5
$ tg2x =-1 $
E questa invece come si risolve??
Non e' che percaso si una la formula del $ tg2alpha=............. $
Sara' banale ma io non sto riuscendo ad arrivare al corretto risultato!
Qual'e' il metodo risolutivo??
$ tg2x =-1 $
E questa invece come si risolve??
Non e' che percaso si una la formula del $ tg2alpha=............. $
Sara' banale ma io non sto riuscendo ad arrivare al corretto risultato!
Qual'e' il metodo risolutivo??
Vado di fretta, però ti lascio 2 parole.
Esercizio 3.
Dopo l'esperienza che hai con le identità, potresti iniziare con il rapportarti ad un unico angolo. Per esempio utilizzando le formule di somma puoi isolare la $x$ al secondo membro (i vari $cos(60^o)$ o $sin(60^o)$ sono "noti").
Oppure puoi riportarti a $cos(x)$ dal $cos(2x)$ al primo termine.
Si va per tentativi, poi si vede che succede, no?
Esercizio 4.
Il ragionamento non mi sembra sbagliato (però l'hai scritto in una riga e mezzo e magari si rischiano fraintendimenti, non so).
In esso, puoi vedere che c'è sempre la solita "sostituzione" che alla fine diventa "mentale".
Poni $y=5x$ e risolvi $cos(y)=-1/2$. In seguito, quando hai trovato $y$ basta che ricordi $5x=y$ e arrivi alla soluzione.
Esercizio 5.
Come l'esercizio 4.
Se nel quattro avessi avuto $cos(2x)=...$ come avresti agito? (L'hai detto, solo che invece di essere $2x$ era $5x$, la differenza non è poi così abissale ).
Poi, puoi anche passare per lo scomporre $tg(2x)$ in termini di $tg(x)$, non è sbagliato. Come per le identità ci sono vari modi per arrivare alla soluzione e non ce ne è uno giusto e uno sbagliato: magari ce ne sono alcuni brevi e altri lunghi.
Buon fine settimana
Esercizio 3.
Dopo l'esperienza che hai con le identità, potresti iniziare con il rapportarti ad un unico angolo. Per esempio utilizzando le formule di somma puoi isolare la $x$ al secondo membro (i vari $cos(60^o)$ o $sin(60^o)$ sono "noti").
Oppure puoi riportarti a $cos(x)$ dal $cos(2x)$ al primo termine.
Si va per tentativi, poi si vede che succede, no?
Esercizio 4.
Il ragionamento non mi sembra sbagliato (però l'hai scritto in una riga e mezzo e magari si rischiano fraintendimenti, non so).
In esso, puoi vedere che c'è sempre la solita "sostituzione" che alla fine diventa "mentale".
Poni $y=5x$ e risolvi $cos(y)=-1/2$. In seguito, quando hai trovato $y$ basta che ricordi $5x=y$ e arrivi alla soluzione.
Esercizio 5.
Come l'esercizio 4.
Se nel quattro avessi avuto $cos(2x)=...$ come avresti agito? (L'hai detto, solo che invece di essere $2x$ era $5x$, la differenza non è poi così abissale
).Poi, puoi anche passare per lo scomporre $tg(2x)$ in termini di $tg(x)$, non è sbagliato. Come per le identità ci sono vari modi per arrivare alla soluzione e non ce ne è uno giusto e uno sbagliato: magari ce ne sono alcuni brevi e altri lunghi.
Buon fine settimana
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