Equazioni goniometriche elementari
Ho cominciato oggi a fare bene le equazioni goniometriche elementari, ho dedotto che il concetto è nel fatto che un angolo incognito, può avere casi x e casi opposti a x, (detta in parole povere), ed ho visto che si opera prorprio come nelle equazioni algebriche, adesso farò un bel po di esercizi 
In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:
Caso 1
$ cos x = a $
Caso 2
$ sen x = b $
Caso 3
$ tg x = c $
In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:
Caso 1
$ cos x = a $
Caso 2
$ sen x = b $
Caso 3
$ tg x = c $
Risposte
E se prima di passare a B e C tu concludessi A? Ti ho detto che sei sulla strada giusta ed ho aggiunto qualcosa, ma con molti puntini che indicano cose mancanti: devi completarlo.
Per il 13 è giusto dire che la tua ultima equazione non ha soluzioni e che quindi le soluzioni sono rappresentate da un'unica formula, ma non che c'è una sola soluzione: ce ne sono infinite perché $k$ ha infiniti valori e corrispondono a due punti su cerchio goniometrico.
Il 14 è giusto.
Per il 13 è giusto dire che la tua ultima equazione non ha soluzioni e che quindi le soluzioni sono rappresentate da un'unica formula, ma non che c'è una sola soluzione: ce ne sono infinite perché $k$ ha infiniti valori e corrispondono a due punti su cerchio goniometrico.
Il 14 è giusto.
Esercizio 15
Questo che segue non lo sto capendo, o meglio un risultato è lo stesso di quello del testo mentre il secondo non mi sembra simile, ecco quì:
$ sen 5x = -cos2x $
Ho ottenuto il primo risultato che è lo stesso di quello del testo:
$ x = -90^o/7 + k360^o /7 $
Mentre non ho capito perchè nel secondo risultato io ottengo:
$ x = 90^o + k120^o $ mentre il testo mi dice che deve essere $ x = -pi/6 + 2/3 kpi $
Insomma, grazie ai tuoi consigli penso che è vero che il mio 90 gradi + k120 è lo stesso di -30 gradi + k120 del testo, perchè sulla circonferenza ho provato ad aggiungere +120 gradi dopo il 90 gradi ottenuto da me e sono andato a finire proprio a 330 gradi che è lo stesso di -30 gradi
Penso che sia giusto ciò che ho detto! Vero!
Questo che segue non lo sto capendo, o meglio un risultato è lo stesso di quello del testo mentre il secondo non mi sembra simile, ecco quì:
$ sen 5x = -cos2x $
Ho ottenuto il primo risultato che è lo stesso di quello del testo:
$ x = -90^o/7 + k360^o /7 $
Mentre non ho capito perchè nel secondo risultato io ottengo:
$ x = 90^o + k120^o $ mentre il testo mi dice che deve essere $ x = -pi/6 + 2/3 kpi $
Insomma, grazie ai tuoi consigli penso che è vero che il mio 90 gradi + k120 è lo stesso di -30 gradi + k120 del testo, perchè sulla circonferenza ho provato ad aggiungere +120 gradi dopo il 90 gradi ottenuto da me e sono andato a finire proprio a 330 gradi che è lo stesso di -30 gradi
Penso che sia giusto ciò che ho detto! Vero!
"giammaria":
E se prima di passare a B e C tu concludessi A? Ti ho detto che sei sulla strada giusta ed ho aggiunto qualcosa, ma con molti puntini che indicano cose mancanti: devi completarlo.
Per il 13 è giusto dire che la tua ultima equazione non ha soluzioni e che quindi le soluzioni sono rappresentate da un'unica formula, ma non che c'è una sola soluzione: ce ne sono infinite perché $k$ ha infiniti valori e corrispondono a due punti su cerchio goniometrico.
Il 14 è giusto.
Ok, allora cerco di completare il punto A, dunque......
"giammaria":
Per il resto, quello che vorrei è che tu scrivessi tutte le soluzioni senza usare il $vv$ e sei sulla strada giusta: passi dalla prima soluzione (0°) alla seconda (120°) con una rotazione di $120°$; con un'altra rotazione di $120°$ passi alla terza (240°); con un'altra rotazione di $120°$ ... ; con un'altra ancora ... , eccetera. Quindi tutte le soluzioni sono esprimibili con la formula ...
Continuo dalla terza (240°) se aggiungo $120°$ arrivo a dire che la prossima soluzione può essere scritta in questo modo $120° + k360^o$ perchè sono proprio arrivato in corrispondenza dei $ 360^o $ quindi da adesso in poi si può dire che tutte le soluzioni possibili saranno angoli di 120 gradi con multipli di k360^o , va bene adesso
Non ancora: hai scoperto che vanno bene tutti gli angoli che si ottengono partendo da zero ed aggiungendo 120° tante volte quante si vuole: in formula $x=0°+k*120°$ (naturalmente puoi scrivere solo $k*120°$)
L'esercizio 15 va bene ed hai capito bene per la soluzione. Una sola pecca: in ogni esercizio si usano o solo i gradi o solo i radianti. Se il testo iniziale contiene un angolo in una di queste unità bisogna continuare con quella; altrimenti (è il caso di questo esercizio) si può scegliere quella che si vuole ma è fortemente raccomandato di scegliere i radianti; infatti la soluzione del libro è in radianti ed avresti fatto meglio ad usarli anche tu.
L'esercizio 15 va bene ed hai capito bene per la soluzione. Una sola pecca: in ogni esercizio si usano o solo i gradi o solo i radianti. Se il testo iniziale contiene un angolo in una di queste unità bisogna continuare con quella; altrimenti (è il caso di questo esercizio) si può scegliere quella che si vuole ma è fortemente raccomandato di scegliere i radianti; infatti la soluzione del libro è in radianti ed avresti fatto meglio ad usarli anche tu.
"giammaria":
Non ancora
Perchè
Cosa sto trascurando Naturalmente ho compreso bene quanto segue: "giammaria":
in formula $x=0°+k*120°$ (naturalmente puoi scrivere solo $k*120°$).
"giammaria":
Si può scegliere quella che si vuole ma è fortemente raccomandato di scegliere i radianti.
Perchè è consigliato utilizzare i radianti
Io sinceramente sto preferendo i gradi perchè devo prendere ancora bene confidenza con il $ pi $ 
Perchè
Esercizio 16
Mi sto impallando con la seguente:
$ tg(2x - 18^o) = tg(x+12^o) $
Io ho pensato che si potesse risolvere in questo modo:
$ 2x - 18^o = x+12^o + K180^o $
$ x = 30^o + K180^o $ (questa è la mia soluzione)
Mentre il testo mi dice che deve essere così:
$ x= 3/14 pi + 2/7kpi $
In questo caso ho fatto un po di prove per verificare i risultati, ma niente
Mi sto impallando con la seguente:
$ tg(2x - 18^o) = tg(x+12^o) $
Io ho pensato che si potesse risolvere in questo modo:
$ 2x - 18^o = x+12^o + K180^o $
$ x = 30^o + K180^o $ (questa è la mia soluzione)
Mentre il testo mi dice che deve essere così:
$ x= 3/14 pi + 2/7kpi $
In questo caso ho fatto un po di prove per verificare i risultati, ma niente
Esercizio 17
Per questo esercizio che segue, sono riuscito a fare bene la verifica del risultato del testo, ecco quì:
$ ctg(-x) = -ctg(2x-15^o) $
Ho preferito togliere quel meno del secondo membro ed ho fatto come segue:
$ ctg(-x) = ctg[180^o -(2x-15^o) $
$ -x = 180^o -(2x-15^o) +k180^o $
$ -x = 180^o -2x+15^o +k180^o $
$ x = 195^o +k180^o $
Il testo mi dice che la soluzione deve essere $ x = 15^o + k180^o $, ma penso proprio che è la stessa cosa del mio in quanto un multiplo di $ 15^o $ è proprio $ 195^o $, quindi è lo stesso! Giusto
Per questo esercizio che segue, sono riuscito a fare bene la verifica del risultato del testo, ecco quì:
$ ctg(-x) = -ctg(2x-15^o) $
Ho preferito togliere quel meno del secondo membro ed ho fatto come segue:
$ ctg(-x) = ctg[180^o -(2x-15^o) $
$ -x = 180^o -(2x-15^o) +k180^o $
$ -x = 180^o -2x+15^o +k180^o $
$ x = 195^o +k180^o $
Il testo mi dice che la soluzione deve essere $ x = 15^o + k180^o $, ma penso proprio che è la stessa cosa del mio in quanto un multiplo di $ 15^o $ è proprio $ 195^o $, quindi è lo stesso! Giusto
Esercizio 17
Come si risolve questo genere di esercizi?
$ 1+2cosx- senx-2senxcosx=0 $
Ho pensato di fare nel seguente modo:
$ 1+2cosx -senx(1+2cosx)=0 $
$ (1+2cosx) -senx(1+2cosx)=0 $
$ (1+2cosx)(1 -senx)=0 $
E lavorare sulle due soluzioni:
$ (1+2cosx)=0 $
$ (1 -senx)=0 $
Ovviamente avro' nella prima soluzione:
$ cosx =-1/2 $
allora sara' $ x=+-120^o +k360^o $
Mentre nella seconda soluzione sara':
$ senx=1 $
e allora avro' $ x=90^o +k360^o $
Dite che ho fatto bene????
Come si risolve questo genere di esercizi?
$ 1+2cosx- senx-2senxcosx=0 $
Ho pensato di fare nel seguente modo:
$ 1+2cosx -senx(1+2cosx)=0 $
$ (1+2cosx) -senx(1+2cosx)=0 $
$ (1+2cosx)(1 -senx)=0 $
E lavorare sulle due soluzioni:
$ (1+2cosx)=0 $
$ (1 -senx)=0 $
Ovviamente avro' nella prima soluzione:
$ cosx =-1/2 $
allora sara' $ x=+-120^o +k360^o $
Mentre nella seconda soluzione sara':
$ senx=1 $
e allora avro' $ x=90^o +k360^o $
Dite che ho fatto bene????
Esercizio 18
Questa che segue non so poprio come fare per risolverla:
$ 2senx + sqrt(3) tg(180^o -x)=0 $
Come devo fare?
Ho pensato di trasformare quella tangente in seno su coseno, fare tutti i passaggi ............ , ma non sono riuscito ad arrivare alla soluzione!
Questa che segue non so poprio come fare per risolverla:
$ 2senx + sqrt(3) tg(180^o -x)=0 $
Come devo fare?
Ho pensato di trasformare quella tangente in seno su coseno, fare tutti i passaggi ............ , ma non sono riuscito ad arrivare alla soluzione!
"Bad90":
Cosa sto trascurando
Stai trascurando di scrivere la soluzione e non si ha la certezza che tu l'abbia compresa.
Per il successivo
Perchè è consigliato utilizzare i radiantiuna risposta è: proprio per questo. In trigonometria l'unità di misura degli angoli non ha importanza ma ne ha in analisi (lo studierai) e per questo è bene abituarsi subito ai radianti.
Passando ai post successivi:
- i tuoi calcoli del 16 sono giusti ma mi sembra impossibile che nel testo ci siano i gradi e nel risultato i radianti; il testo è davvero quello?
- I due esercizi 17 vanno bene; nel secondo io avrei preferito iniziare scrivendo $-ctgx=-ctg(2x-15°)$ e semplificando i meno fra loro.
- Il 18 è un'equazione non elementare. Devi fare in modo di avere ovunque lo stesso angolo (in questo caso, usa gli associati); trasforma poi in seno e coseno, dai denominatore comune e continua. Occorre anche trovare il suo campo di esistenza ma per questo ti rimando al libro; se il libro ne parla più avanti, per ora puoi farne a meno. E' sbagliato ma non è un grosso guaio.
Esercizio 19
$ 4senxcos^2x -1 = -sen(180^o +x) $
Questa devo risolverla come nel caso dell'esercizio 18????
Perhe' non sto riuscendo a risolverlo!
Comunque l'esercizio 18 e' andato bene! In queso caso ho un quadrato del coseno, come bisogna fare?
$ 4senxcos^2x -1 = -sen(180^o +x) $
Questa devo risolverla come nel caso dell'esercizio 18????
Perhe' non sto riuscendo a risolverlo!
Comunque l'esercizio 18 e' andato bene! In queso caso ho un quadrato del coseno, come bisogna fare?
"giammaria":
[quote="Bad90"] Cosa sto trascurando
Stai trascurando di scrivere la soluzione e non si ha la certezza che tu l'abbia compresa.[/quote]
Adesso vedo di venirne a capo cercando di dare una risposta corretta!
Penultimo post) Hai centrato la chiave della soluzione: il coseno è elevato al quadrato ed è quindi facile trasformarlo in seno con la $cos^2x=1-sin^2x$. Ottieni così un'equazione con il solo seno e prosegui con la sostituzione $sinx=y$.
Quanto al tuo ultimo post, la risposta è quella che ho scritto io; se l'hai veramente capita, passa alle domande B e C e cerca di fare qualcosa di simile; non sempre sarà possibile una formula così semplice, ma cerca qualcosa che ci si avvicini.
Quanto al tuo ultimo post, la risposta è quella che ho scritto io; se l'hai veramente capita, passa alle domande B e C e cerca di fare qualcosa di simile; non sempre sarà possibile una formula così semplice, ma cerca qualcosa che ci si avvicini.
Vedia o se ho compreso la domanda per il punto B.
Dai valori che mi hai dato, posso scrivere le seguenti possibili soluzioni:
$ +- 30^o + k360^o $ (questo e' cio' che mi hai detto tu)
Io penso che si possa scrivere alternativamente in questo modo:
$ +- 30^o + k120^o $
questo perche' la funzione si ripete ogni 120 gradi!
Per la seconda tu mi hqi detto questo:
$ +-150^o +k360^o $
Io dico che le possibili soluzioni sono:
$ +-30^o +k120^o $
Le mie soluzioni con le tue, sono le stesse!
Cosa ne dici per il caso B? Ho detto bene?
Se si posso passare al caso C!
Dai valori che mi hai dato, posso scrivere le seguenti possibili soluzioni:
$ +- 30^o + k360^o $ (questo e' cio' che mi hai detto tu)
Io penso che si possa scrivere alternativamente in questo modo:
$ +- 30^o + k120^o $
questo perche' la funzione si ripete ogni 120 gradi!
Per la seconda tu mi hqi detto questo:
$ +-150^o +k360^o $
Io dico che le possibili soluzioni sono:
$ +-30^o +k120^o $
Le mie soluzioni con le tue, sono le stesse!
Cosa ne dici per il caso B? Ho detto bene?
Se si posso passare al caso C!
No, assolutamente. Le tue soluzioni e le mie non sono le stesse: ad esempio $+30°+k*120°$ dà 30°, 150°, 270°, 390° (coincidente con 30°), eccetera: 270° non va bene.
Vediamole la mia soluzione sul cerchio goniometrico: c'è 30° e -30° (coincidente con 330°) e poi c'è 150° e -150° (coincidente con 210°). Chiamo questi punti primo, secondo, eccetera intendendoli nell'ordine in cui li troviamo ruotando in senso positivo e noto che con rotazioni di 120° si passa dal primo al secondo ma non dal secondo al terzo: è quindi sbagliato un $+k*120°$ e non è possibile indicare una sola sola rotazione. Puoi però trovare una formula che consideri assieme fra loro il primo ed il terzo e, sempre assieme fra loro, il secondo ed il quarto e quindi scrivere la soluzione nella forma ... (completa tu).
Vediamole la mia soluzione sul cerchio goniometrico: c'è 30° e -30° (coincidente con 330°) e poi c'è 150° e -150° (coincidente con 210°). Chiamo questi punti primo, secondo, eccetera intendendoli nell'ordine in cui li troviamo ruotando in senso positivo e noto che con rotazioni di 120° si passa dal primo al secondo ma non dal secondo al terzo: è quindi sbagliato un $+k*120°$ e non è possibile indicare una sola sola rotazione. Puoi però trovare una formula che consideri assieme fra loro il primo ed il terzo e, sempre assieme fra loro, il secondo ed il quarto e quindi scrivere la soluzione nella forma ... (completa tu).
Quindi per come dici tu, si hanno quattro soluzioni, giusto?
Giusto all'incirca: si hanno come soluzione quattro punti sul cerchio ma ognuno di essi rappresenta infinite soluzioni, corrispondenti agli infiniti valori di $k$.
"giammaria":
Giusto all'incirca: si hanno come soluzione quattro punti sul cerchio ma ognuno di essi rappresenta infinite soluzioni, corrispondenti agli infiniti valori di $k$.
Ok! Allora come devo rispondere
O meglio il valore che moltiplica $k$, quanto vale Che sia $ k360^o $ è risaputo! Ma esposto in questo modo non riesco a rispondere 
!
Proviamo con un passetto per volta. Un esercizio ha come soluzione
$x=30°+k*360°vv x=-150°+k*360°$
(la seconda può anche essere scritta come $x=210°+k*360°$, è lo stesso). Scrivi una formula che abbia lo stesso identico significato di quella soluzione ma non faccia uso del $vv$. Il cerchio goniometrico è un buon aiuto.
$x=30°+k*360°vv x=-150°+k*360°$
(la seconda può anche essere scritta come $x=210°+k*360°$, è lo stesso). Scrivi una formula che abbia lo stesso identico significato di quella soluzione ma non faccia uso del $vv$. Il cerchio goniometrico è un buon aiuto.
"giammaria":
Proviamo con un passetto per volta. Un esercizio ha come soluzione
$x=30°+k*360°vv x=-150°+k*360°$
(la seconda può anche essere scritta come $x=210°+k*360°$, è lo stesso). Scrivi una formula che abbia lo stesso identico significato di quella soluzione ma non faccia uso del $vv$. Il cerchio goniometrico è un buon aiuto.
Si infatti è su quello che adesso mi sto concentrando!
Vediamo, tu hai detto che questo $x=210°+k*360°$ è lo stesso di $ x=-150°+k*360°$ e mi sembra ovvio perchè senza pensare alla circonferenza posso fare in questo modo $ x=(-150° + 360^o)+k*360°$ e ci siamo! Ancora una soluzione potrebbe essere la seguente $x=330°+k*360°$, va bene fin quì
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