Equazioni goniometriche elementari
Ho cominciato oggi a fare bene le equazioni goniometriche elementari, ho dedotto che il concetto è nel fatto che un angolo incognito, può avere casi x e casi opposti a x, (detta in parole povere), ed ho visto che si opera prorprio come nelle equazioni algebriche, adesso farò un bel po di esercizi 
In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:
Caso 1
$ cos x = a $
Caso 2
$ sen x = b $
Caso 3
$ tg x = c $
In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:
Caso 1
$ cos x = a $
Caso 2
$ sen x = b $
Caso 3
$ tg x = c $
Risposte
"Zero87":
Esercizio 5.
Come l'esercizio 4.
Se nel quattro avessi avuto $cos(2x)=...$ come avresti agito? (L'hai detto, solo che invece di essere $2x$ era $5x$, la differenza non è poi così abissale
Poi, puoi anche passare per lo scomporre $tg(2x)$ in termini di $tg(x)$, non è sbagliato. Come per le identità ci sono vari modi per arrivare alla soluzione e non ce ne è uno giusto e uno sbagliato: magari ce ne sono alcuni brevi e altri lunghi.
Il problema è che sto facendo e rifacendo delle prove, ma il risultato del testo non riesco a trovarlo
Dite che può essere un errore di stampa 
Allora, la traccia è la seguente:
$ tg 2x = -1 $
ponendo $ 2x = y $
$ tg y = -1 $
So che la tangente sarà $ -1 $ se l'angolo sarà:
$ tg (180^o - alpha) = -tg alpha $
$ tg (180^o - 45^o) = -tg 45^o $
E non penso di aver sbagliato fin quì
Adesso posso impostare la soluzione dalla seguente:
$ x= alpha+k180^o $
e allora
$ y= alpha+k180^o $
$ y= -45^o +k180^o $
$ 2x= -45^o +k180^o $
$ x= (-45^o)/2 +(k180^o)/2 $
$ x= 22.5^o + k90^o $
Non capisco perchè il testo mi dice che $ x= 67^o 30' + k90^o $
HELPPPPPPPPPPP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Esercizio 6
Sto cercando di capire il seguente esercizio:
$ sen (1/2 x) = -1 $
Imposto la soluzione in questo modo....
So che $ alpha = -90^o $ oppure a $ alpha = 270^o $ , allora posso fare in questo modo:
$ 1/2 x_1 = alpha +k360^o $ e $ 1/2 x_2 = 180-alpha +k360^o $
$ x_1 = -90*2 +2k360^o = -180^o +2k360^o $ E con questo risultato mi trovo con quello del testo
Ma perchè non mi considera anche questo risultato
$ 1/2 x_2 = 180^o -(-90^o ) +k360^o = 180^o + 90^o +k360^o $
$ x_2 =540^o + 2k360^o $
Perchè
Sto cercando di capire il seguente esercizio:
$ sen (1/2 x) = -1 $
Imposto la soluzione in questo modo....
So che $ alpha = -90^o $ oppure a $ alpha = 270^o $ , allora posso fare in questo modo:
$ 1/2 x_1 = alpha +k360^o $ e $ 1/2 x_2 = 180-alpha +k360^o $
$ x_1 = -90*2 +2k360^o = -180^o +2k360^o $ E con questo risultato mi trovo con quello del testo
Ma perchè non mi considera anche questo risultato
$ 1/2 x_2 = 180^o -(-90^o ) +k360^o = 180^o + 90^o +k360^o $
$ x_2 =540^o + 2k360^o $
Perchè
Esercizio 7
In questa invece il testo mi dice che il risultato è solo positivo..
$ cos(1/3x) = 0 $
Io so che il coseno sarà zero quando l'angolo sarà o $ 90^o $ o $ 270^o $ e allora faccio così:
$ (1/3x) = +-alpha +k360^o $
Ovviamente so che i casi sono due, $ 90^o $ o $ 270^o $, ma non mi è tanto chiara la soluzione finale, io ho due possibilità, qual'è quella più giusta?
$ (1/3x) = +-90 +k360^o $
$ (1/3x) = +-270 +k360^o $
Alla fine, elaborando per entrambi, si arriva alle seguenti:
$ x = +-270 +3k360^o $
$ x= +-810 +3k360^O $
Il testo mi dice il solo risultato che è $ x = 270+3k180^o $
Cosa sto trascurando
Oppure ciò che ti fa rendere conto è il fatto che al primo membro ho $ 1/3x $ e quindi ti fa capire che sei nel primo quadrante e allora si deve solo considerare $ +-90^o $ Solo che il testo dice solo un risultato positivo Perchè
In questa invece il testo mi dice che il risultato è solo positivo..
$ cos(1/3x) = 0 $
Io so che il coseno sarà zero quando l'angolo sarà o $ 90^o $ o $ 270^o $ e allora faccio così:
$ (1/3x) = +-alpha +k360^o $
Ovviamente so che i casi sono due, $ 90^o $ o $ 270^o $, ma non mi è tanto chiara la soluzione finale, io ho due possibilità, qual'è quella più giusta?
$ (1/3x) = +-90 +k360^o $
$ (1/3x) = +-270 +k360^o $
Alla fine, elaborando per entrambi, si arriva alle seguenti:
$ x = +-270 +3k360^o $
$ x= +-810 +3k360^O $
Il testo mi dice il solo risultato che è $ x = 270+3k180^o $
Cosa sto trascurando
Oppure ciò che ti fa rendere conto è il fatto che al primo membro ho $ 1/3x $ e quindi ti fa capire che sei nel primo quadrante e allora si deve solo considerare $ +-90^o $
Solo che il testo dice solo un risultato positivo Perchè
6 e 7) Sono solo modi diversi di scrivere le stesse soluzioni: prova a dare a $k$ i valori 0, 1, 2, ... e te ne convincerai.
Più in dettaglio:
6) Hai trovato $1/2x_1=-90°+k*360°$ e $1/2x_2=270°+k*360°$ ma -90° e 270° sono lo stesso punto e quindi le due soluzioni sono uguali e puoi proseguire con una sola di esse.
7) I due valori di $1/3x$ si possono ottenere partendo da uno di essi e ruotando di mezzo giro, quindi la soluzione $1/3x=+-90°+k*360°$ può anche essere scritta nella forma $1/3x=90°+k*180°$: moltiplicando per 3 ottieni il risultato del libro.
Più in dettaglio:
6) Hai trovato $1/2x_1=-90°+k*360°$ e $1/2x_2=270°+k*360°$ ma -90° e 270° sono lo stesso punto e quindi le due soluzioni sono uguali e puoi proseguire con una sola di esse.
7) I due valori di $1/3x$ si possono ottenere partendo da uno di essi e ruotando di mezzo giro, quindi la soluzione $1/3x=+-90°+k*360°$ può anche essere scritta nella forma $1/3x=90°+k*180°$: moltiplicando per 3 ottieni il risultato del libro.
"giammaria":
7) I due valori di $1/3x$ si possono ottenere partendo da uno di essi e ruotando di mezzo giro, quindi la soluzione $1/3x=+-90°+k*360°$ può anche essere scritta nella forma $1/3x=90°+k*180°$: moltiplicando per 3 ottieni il risultato del libro.
Quindi è sempre il solito discorso, cioè quello che ho ottenuto io è lo stesso di quello che dice il testo, solo che conviene scriverlo come espone il testo
Scusami, ma di mezzo giro, quanto intendi
Di $ 180^o $ Ok, adesso ho compreso
Esercizio 8
$ sen(3x +180^o) = 0 $
Il seno è zero quando si ha un angolo di $ 0^o $ o $ 180^o $ , quindi cosa devo fare
Le soluzioni sono date da:
$ x_1 = alpha + k360^o $ e $ x_2 =180^o - alpha + k360^o $
$ x_1 = 0^o + k360^o $ allora si avrà $ x + = (-180^o)/3 (k360^o)/3 = -60^o + k120^o $
$ x_2 =180^o - alpha + k360^o $ allora si avrà $ 3x +180^o =180^o - 0^o + k360^o $ cioè $ 3x = k360^o $ alla fine $ x = k120^o $
Perchè il testo mi dice $ x = k60^o $
Ho fatto le prove anche con l'angolo $ 180^o $ e non so darmi una spiegazione perchè il testo mi scrive il risultato in modo diverso Sicuramente il suo modo sarà più elegante nel contesto, ma ancora una volta penso che come sto facendo io non sia sbagliato
$ sen(3x +180^o) = 0 $
Il seno è zero quando si ha un angolo di $ 0^o $ o $ 180^o $ , quindi cosa devo fare
Le soluzioni sono date da:
$ x_1 = alpha + k360^o $ e $ x_2 =180^o - alpha + k360^o $
$ x_1 = 0^o + k360^o $ allora si avrà $ x + = (-180^o)/3 (k360^o)/3 = -60^o + k120^o $
$ x_2 =180^o - alpha + k360^o $ allora si avrà $ 3x +180^o =180^o - 0^o + k360^o $ cioè $ 3x = k360^o $ alla fine $ x = k120^o $
Perchè il testo mi dice $ x = k60^o $
Ho fatto le prove anche con l'angolo $ 180^o $ e non so darmi una spiegazione perchè il testo mi scrive il risultato in modo diverso
Sicuramente il suo modo sarà più elegante nel contesto, ma ancora una volta penso che come sto facendo io non sia sbagliato
Esercizio 9
Altro esercizio che non sto capendo....
$ tg(2x+60^o) = -1 $
$ 2x+60^o = -45^o + k 180^o $
$ 2x= -105^o + k 180^o $
$ x= (-105^o) /2 + k (180^o)/2 $
$ x= -52.5^o + k 90^o $
Adesso mi chiedo perche il testo dice $ x = 37.5^o + k90^o $
Voglio capire come funzionano questi esercizi 
Altro esercizio che non sto capendo....
$ tg(2x+60^o) = -1 $
$ 2x+60^o = -45^o + k 180^o $
$ 2x= -105^o + k 180^o $
$ x= (-105^o) /2 + k (180^o)/2 $
$ x= -52.5^o + k 90^o $
Adesso mi chiedo perche il testo dice $ x = 37.5^o + k90^o $
Voglio capire come funzionano questi esercizi
Esercizio 10
E questo come si risolve
$ ctg(30^o + 2x) = sqrt(3) $
E questo come si risolve
$ ctg(30^o + 2x) = sqrt(3) $
"Bad90":
$ x= (-45^o)/2 +(k180^o)/2 $
$ x= 22.5^o + k90^o $
Non capisco perchè il testo mi dice che $ x= 67^o 30' + k90^o $
Ti sei perso un segno meno per strada
.$(-45^o)/2 =-22,5^o$ mentre tu hai scritto $22,5^o$
Poi, $-22,5^o+90^o$... (per avere l'angolo di partenza positivo)
EDIT. Mi riferisco ad un tuo esercizio di qualche post fa (in questa pagina).
"Bad90":
$ x= -52.5^o + k 90^o $
Adesso mi chiedo perche il testo dice $ x = 37.5^o + k90^o $
Voglio capire come funzionano questi esercizi
Idem di quanto ho detto prima. I libri, generalmente, hanno la soluzione "positiva".
Nel senso, la soluzione tua è giusta, però è negativa, se aggiungi un $90^o$ a quanto hai ottenuto, ottieni la stessa soluzione del libro.
Il principio è che se $\alpha + k\cdot 90^o$ è soluzione, è soluzione anche $\alpha + 90^o + k\cdot 90^o$. Una questione estetica e basta.
"Zero87":
[quote="Bad90"] $ x= -52.5^o + k 90^o $
Adesso mi chiedo perche il testo dice $ x = 37.5^o + k90^o $
Voglio capire come funzionano questi esercizi
Idem di quanto ho detto prima. I libri, generalmente, hanno la soluzione "positiva".
Nel senso, la soluzione tua è giusta, però è negativa, se aggiungi un $90^o$ a quanto hai ottenuto, ottieni la stessa soluzione del libro.
Il principio è che se $\alpha + k\cdot 90^o$ è soluzione, è soluzione anche $\alpha + 90^o + k\cdot 90^o$. Una questione estetica e basta.[/quote]
Che sbadato che sono
Hai ragione, non stavo ricordando!
E per l'esercizio 6,7,8 è sempre una questione estetica
Mentre l'esercizio 10 in cui compare una cotangente, cosa bisogna fare Come si risolve
Mentre l'esercizio 10 in cui compare una cotangente, cosa bisogna fare
Come si risolve
"Bad90":
Esercizio 10
$ctg(30° + 2x) = sqrt(3)$
$30° + 2x = 30°+k180°$
$2x =k180°$
$x=k90°$.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]Esercizio 10
$ctg(30° + 2x) = sqrt(3)$
$30° + 2x = 30°+k180°$
$2x =k180°$
$x=k90°$.[/quote]
E io che volevo trasformarlo in tangente e poi in coseno su seno.....
Adesso ho compreso che la cotangente si risolve nello stesso modo......
Adesso mi restano da capire l'esercizio 6 ,7,8 !
"Bad90":
$ x_1 = -90*2 +2k360^o = -180^o +2k360^o $ E con questo risultato mi trovo con quello del testo
[...]
$ x_2 =540^o + 2k360^o $
Premetto che, nel 6, mi sono fidato dei tuoi calcoli (il sonno incombe!).
$2k\cdot 360^o = k\cdot 720^o$
$540^o - 720^o =$...
Non me l'aspettavo, pensavo che considerasse "l'angolo positivo", come prima.
Però, in genere, se non ti riporta una soluzione, prova ad aggiungere (o sottrarre) un periodo, poi vedi.
'Notte
Niente, non riesco a darmi una risposta!
Per l'esercizio 10, se non ami la cotangente (a me non piace) puoi trasformarla in tangente ed ottieni l'equazione
$tg(30°+x)=1/sqrt3$
che non dovrebbe darti problemi.
Per gli altri esercizi puoi confrontare le tue soluzioni con quelle del libro con uno di questi due metodi:
Primo metodo (valido sempre ma un po' lungo da applicare)
Prendi la soluzione che hai ottenuto e dai a $k$ un po' di valori (se hai $x_1$ ed $x_2$ fallo per entrambe), poi fai altrettanto con la soluzione del libro: se ottieni gli stessi numeri siete d'accordo. Qualche numero, tuo o del libro, può corrispondere a valori negativi di $k$.
Secondo metodo (valido solo quando $k$ è moltiplicato per 360° o per un suo sottomultiplo, ma veloce)
Riporta sul cerchio goniometrico tutte le tue soluzioni: se c'è $+k*360°$ si ripetono ogni giro e quindi ogni soluzione corrisponde ad un punto; se c'è $+k*180°$ si ripetono ogni mezzo giro ed ogni soluzione corrisponde a due punti (diametralmente opposti); se c'è $+k*120°$ è un terzo di giro e quindi tre punti (ai vertici di un triangolo equilatero), eccetera. Fai poi altrettanto per la soluzione del libro: se i punti sono gli stessi siete d'accordo.
Infine un'osservazione: il seno (o il coseno) vale $+1$ oppure $-1$ in un solo punto del cerchio goniometrico, quindi le due soluzioni che ottieni coincidono: continua con una sola di esse.
Se hai $sinx=0$ (uso $x$ ma al suo posto può esserci qualsiasi cosa) puoi applicare la regola generale e scrivere
$x=0°+k*360° vv x=180°+k*360°$
ma è più elegante notare che le soluzioni si ripetono ogni mezzo giro e quindi scrivere la soluzione nella forma
$x=0°+k*180°$
Ragionamento analogo per $cosx=0$: puoi scrivere
$x=+-90°+k*360°$
ma, notando che anche qui le soluzioni si ripetono ogni mezzo giro, si preferisce
$x=90°+k*180°$
Riassumendo: quando il seno o il coseno valgono $0$ o $+-1$ la regola generale resta valida ma è meglio non applicarla.
P.S.: mentre scrivevo questa mia lunga risposta ci sono stati numerosi altri interventi ma, data appunto la lunghezza, non la modifico; chiedo scusa agli altri.
$tg(30°+x)=1/sqrt3$
che non dovrebbe darti problemi.
Per gli altri esercizi puoi confrontare le tue soluzioni con quelle del libro con uno di questi due metodi:
Primo metodo (valido sempre ma un po' lungo da applicare)
Prendi la soluzione che hai ottenuto e dai a $k$ un po' di valori (se hai $x_1$ ed $x_2$ fallo per entrambe), poi fai altrettanto con la soluzione del libro: se ottieni gli stessi numeri siete d'accordo. Qualche numero, tuo o del libro, può corrispondere a valori negativi di $k$.
Secondo metodo (valido solo quando $k$ è moltiplicato per 360° o per un suo sottomultiplo, ma veloce)
Riporta sul cerchio goniometrico tutte le tue soluzioni: se c'è $+k*360°$ si ripetono ogni giro e quindi ogni soluzione corrisponde ad un punto; se c'è $+k*180°$ si ripetono ogni mezzo giro ed ogni soluzione corrisponde a due punti (diametralmente opposti); se c'è $+k*120°$ è un terzo di giro e quindi tre punti (ai vertici di un triangolo equilatero), eccetera. Fai poi altrettanto per la soluzione del libro: se i punti sono gli stessi siete d'accordo.
Infine un'osservazione: il seno (o il coseno) vale $+1$ oppure $-1$ in un solo punto del cerchio goniometrico, quindi le due soluzioni che ottieni coincidono: continua con una sola di esse.
Se hai $sinx=0$ (uso $x$ ma al suo posto può esserci qualsiasi cosa) puoi applicare la regola generale e scrivere
$x=0°+k*360° vv x=180°+k*360°$
ma è più elegante notare che le soluzioni si ripetono ogni mezzo giro e quindi scrivere la soluzione nella forma
$x=0°+k*180°$
Ragionamento analogo per $cosx=0$: puoi scrivere
$x=+-90°+k*360°$
ma, notando che anche qui le soluzioni si ripetono ogni mezzo giro, si preferisce
$x=90°+k*180°$
Riassumendo: quando il seno o il coseno valgono $0$ o $+-1$ la regola generale resta valida ma è meglio non applicarla.
P.S.: mentre scrivevo questa mia lunga risposta ci sono stati numerosi altri interventi ma, data appunto la lunghezza, non la modifico; chiedo scusa agli altri.
No, no, non modificare nulla, quanto hai scritto e' la ciliegina sulla torta!
Adesso rivedo un po tutte le mie carenze!
Ti ringrazio!
Adesso rivedo un po tutte le mie carenze!
Ti ringrazio!
Esercizio 11
Ecco, in questo che segue penso che abbia pensato che o una o l'altra soluzione sia la stessa Per questa non ho fatto le prove che mi hai detto, perchè ho dato per scontato che fossero le stesse, ecco quì:
$ cos(2x + 30) = -1/2 $
Il testo mi dice che le due soluzioni sono:
$ x = 45^o + k180^o $ e $ x = -75^o + k180^o $
Nella mia soluzione ho fatto nel seguente modo:
$ 2x + 30 = +-(-60^o) + k 180^o $
$ x_1 = -45^o + k180^o $ e la seconda $ x_2 = 75^o + k180^o $
Ma effettivamente hanno lo stesso significato, quindi pe me è una conferma che ho fatto bene!
Ecco, in questo che segue penso che abbia pensato che o una o l'altra soluzione sia la stessa
Per questa non ho fatto le prove che mi hai detto, perchè ho dato per scontato che fossero le stesse, ecco quì: $ cos(2x + 30) = -1/2 $
Il testo mi dice che le due soluzioni sono:
$ x = 45^o + k180^o $ e $ x = -75^o + k180^o $
Nella mia soluzione ho fatto nel seguente modo:
$ 2x + 30 = +-(-60^o) + k 180^o $
$ x_1 = -45^o + k180^o $ e la seconda $ x_2 = 75^o + k180^o $
Ma effettivamente hanno lo stesso significato, quindi pe me è una conferma che ho fatto bene!
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