Equazioni goniometriche elementari
Ho cominciato oggi a fare bene le equazioni goniometriche elementari, ho dedotto che il concetto è nel fatto che un angolo incognito, può avere casi x e casi opposti a x, (detta in parole povere), ed ho visto che si opera prorprio come nelle equazioni algebriche, adesso farò un bel po di esercizi 
In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:
Caso 1
$ cos x = a $
Caso 2
$ sen x = b $
Caso 3
$ tg x = c $
In sostanza i casi che si incontrano in questo capitolo sono:
Caso 1
$ cos x = a $
Caso 2
$ sen x = b $
Caso 3
$ tg x = c $
Risposte
Esercizio 12
In questa che segue, non mi sto trovando con il risultato del testo, allora provo ad utilizzare il primo metodo che mi ha consigliato giammaria.
$ cos (3x -15^o) = -cos(2x + 5^o) $
Il primo metodo, prevede questo:
Primo metodo (valido sempre ma un po' lungo da applicare)
Prendi la soluzione che hai ottenuto e dai a $k$ un po' di valori (se hai $x_1$ ed $x_2$ fallo per entrambe), poi fai altrettanto con la soluzione del libro: se ottieni gli stessi numeri siete d'accordo. Qualche numero, tuo o del libro, può corrispondere a valori negativi di $k$.
Risoluzione
$ cos (3x -15^o) = cos[-(2x - 5^o)] $
$ cos (3x -15^o) = cos[-2x + 5^o] $
$ 3x -15^o = +-[-2x + 5^o]+k360^o $
Prima soluzione:
$ 3x -15^o = -2x + 5^o + k360^o $
$ 5x = 20^o + k360^o $
$ x = 4^o + k72^o $
Mentre il testo mi dice che deve essere $ x = 40^o + k72^o $
Seconda soluzione:
$ 3x -15^o = -[-2x + 5^o]+k360^o $
$ 3x -15^o = 2x - 5^o + k360^o $
$ x = 10^o + k360^o $
Mentre il testo mi dice che deve essere $ x = -170^o + k360^o $
In questa che segue, non mi sto trovando con il risultato del testo, allora provo ad utilizzare il primo metodo che mi ha consigliato giammaria.
$ cos (3x -15^o) = -cos(2x + 5^o) $
Il primo metodo, prevede questo:
Primo metodo (valido sempre ma un po' lungo da applicare)
Prendi la soluzione che hai ottenuto e dai a $k$ un po' di valori (se hai $x_1$ ed $x_2$ fallo per entrambe), poi fai altrettanto con la soluzione del libro: se ottieni gli stessi numeri siete d'accordo. Qualche numero, tuo o del libro, può corrispondere a valori negativi di $k$.
Risoluzione
$ cos (3x -15^o) = cos[-(2x - 5^o)] $
$ cos (3x -15^o) = cos[-2x + 5^o] $
$ 3x -15^o = +-[-2x + 5^o]+k360^o $
Prima soluzione:
$ 3x -15^o = -2x + 5^o + k360^o $
$ 5x = 20^o + k360^o $
$ x = 4^o + k72^o $
Mentre il testo mi dice che deve essere $ x = 40^o + k72^o $
Seconda soluzione:
$ 3x -15^o = -[-2x + 5^o]+k360^o $
$ 3x -15^o = 2x - 5^o + k360^o $
$ x = 10^o + k360^o $
Mentre il testo mi dice che deve essere $ x = -170^o + k360^o $
"Bad90":
Esercizio 11
$ cos(2x + 30) = -1/2 $
...
$ 2x + 30 = +-(-60^o) + k 180^o $
...
No,
$cos(2x + 30) = -1/2$
se
$2x+30°=+-120°+k360°$,
e non
$2x+30°=+-(-60°)+k180°$.
Quindi
1) $2x+30°=+120°+k360°->2x=90°+k360°->x=45°+k180°$,
2) $2x+30°=-120°+k360°->2x=-150°+k360°->x=-75°+k180°$.
"Bad90":
Esercizio 12
$ cos (3x -15^o) = -cos(2x + 5^o) $
$ cos (3x -15^o) = cos[-(2x - 5^o)] $
..
No, non è vero che
$ -cos(2x + 5^o)=cos[-(2x - 5^o)] $.
"chiaraotta":
No,
$cos(2x + 30) = -1/2$
se
$2x+30°=+-120°+k360°$,
e non
$2x+30°=+-(-60°)+k180°$.
Scusa ma perchè $ +-120^o $ e non $ +-60^o $
Alla fine sono dei multipli e mi sembra che sia lo stesso
Perchè è sbagliato come ho fatto io
Ok, che $ 120^o $ mi porta nel secondo quadrante e quindi l'argomento è negativo, ma non si potrebbe dare per buono il mio risultato
"Bad90":
Scusa ma perchè $ +-120^o $ e non $ +-60^o $
Alla fine sono dei multipli e mi sembra che sia lo stesso
Perchè è sbagliato come ho fatto io
Perché
$cos(+-60^o)=1/2$,
e invece
$cos(+-120^o)=-1/2$
"chiaraotta":
No, non è vero che
$ -cos(2x + 5^o)=cos[-(2x - 5^o)] $.
Perchè non è vero
Il testo mi fa vedere un esempio in cui dice che per gli angoli opposti, da questa:
$ sen3x=-sen(x - 90^o) $
si arriva a questa:
$ sen3x=sen[-(x - 90^o)]$
$ sen3x=sen[90^o - x]$
"chiaraotta":
Perché
$cos(+-60^o)=1/2$,
e invece
$cos(+-120^o)=-1/2$
Ok, non vi è un'alternativa!
Ti ringrazio!
Infatti è vero che
$-sen(x - 90^o)=sen[-(x - 90^o)]$
mentre invece non è vero che
$-cos(x - 90^o)=cos[-(x - 90^o)]$.
Questo nasce dal fatto che
$sen(-alpha)=-sen(alpha)$
e invece
$cos(-alpha)=cos(alpha)!=-cos(alpha)$.
$-sen(x - 90^o)=sen[-(x - 90^o)]$
mentre invece non è vero che
$-cos(x - 90^o)=cos[-(x - 90^o)]$.
Questo nasce dal fatto che
$sen(-alpha)=-sen(alpha)$
e invece
$cos(-alpha)=cos(alpha)!=-cos(alpha)$.
Ti propongo tre esercizi che possono aiutarti a capire il secondo metodo. Scrivo tre soluzioni; riportale sul cerchio goniometrico e, osservando la figura, dimmi in quale altro modo il libro può scriverle (può esserci più di una risposta).
A) $0°+k*360° vv+-120°+k*360° $
B) $+-30°+k*360° vv +-150°+k*360° $
C)$+-45°+k*360° vv+-135°+k*360° $
Per gli esercizi 11 e 12, chiaraotta ti ha già mostrato il tuo errore: quando c'è un coseno ed un segno meno, non si può portare il meno dentro al coseno perché in generale $-cos alpha!=cos(-alpha)$ e bisogna invece ricorrere all'associato del primo o del terzo quadrante, così:
$-cos alpha =cos(180°-alpha)$ oppure $-cos alpha =cos(180°+alpha)$
Per l'11 aggiungo una cosa che spesso lascia sconcertati gli allievi: potevi scrivere
$3x-15=+-(180°-60°)+k*360°$
che è quello che ha fatto chiaraotta, ma potevi anche scrivere
$3x-15=180°+-60°+k*360°$
Non so quale formula ti suggerisce il libro ma sono entrambe giuste: riporta sul cerchio goniometrico i due secondi membri e te ne convincerai.
A) $0°+k*360° vv+-120°+k*360° $
B) $+-30°+k*360° vv +-150°+k*360° $
C)$+-45°+k*360° vv+-135°+k*360° $
Per gli esercizi 11 e 12, chiaraotta ti ha già mostrato il tuo errore: quando c'è un coseno ed un segno meno, non si può portare il meno dentro al coseno perché in generale $-cos alpha!=cos(-alpha)$ e bisogna invece ricorrere all'associato del primo o del terzo quadrante, così:
$-cos alpha =cos(180°-alpha)$ oppure $-cos alpha =cos(180°+alpha)$
Per l'11 aggiungo una cosa che spesso lascia sconcertati gli allievi: potevi scrivere
$3x-15=+-(180°-60°)+k*360°$
che è quello che ha fatto chiaraotta, ma potevi anche scrivere
$3x-15=180°+-60°+k*360°$
Non so quale formula ti suggerisce il libro ma sono entrambe giuste: riporta sul cerchio goniometrico i due secondi membri e te ne convincerai.
"chiaraotta":
Infatti è vero che
$-sen(x - 90^o)=sen[-(x - 90^o)]$
mentre invece non è vero che
$-cos(x - 90^o)=cos[-(x - 90^o)]$.
Questo nasce dal fatto che
$sen(-alpha)=-sen(alpha)$
e invece
$cos(-alpha)=cos(alpha)!=-cos(alpha)$.
E' vero, che sbadato!
Ti ringrazio!
"giammaria":
Ti propongo tre esercizi che possono aiutarti a capire il secondo metodo. Scrivo tre soluzioni; riportale sul cerchio goniometrico e, osservando la figura, dimmi in quale altro modo il libro può scriverle (può esserci più di una risposta).
A) $0°+k*360° vv+-120°+k*360° $
B) $+-30°+k*360° vv +-150°+k*360° $
C)$+-45°+k*360° vv+-135°+k*360° $
Allora, per A potrebbe anche scrivere:
$2k*180° vv+-60°+k*180° $ Significa che si ripetono ogni giro per la prima soluzione, mentre per la seconda dividendo per due, si ripetono sempre nello stesso punto, cioè a $ k*180° $ aggiungendovi a questo $ +-60° $, ma non mi sta venendo in mente come scriverle in modo diverso la seconda soluzione, ho solo provato a dividere per 2, ma senza capire bene il perchè!
Poi mi ritrovo con gli stessi dubbi anche per B e C, non riesco a comprendere bene come dire alternativamente le soluzioni!
Ritornando sull' esercizio 12, allora come si risolve utilizzando l'associato
$ cos (3x -15^o) = -cos(2x + 5^o) $
Ho trovato una tabella sul testo che dice delle equazioni equivalenti, ed in questo caso, mi sembra che si deve utilizzare la seguente:
$ cosalpha (x) = -cosbeta(x) $
$ cosalpha (x) = cos(180^o - beta(x)) $
Ed infatti con l'equazione equivalente, sono riuscito ad arrivare alla soluzione!
$ cos (3x -15^o) = -cos(2x + 5^o) $
Ho trovato una tabella sul testo che dice delle equazioni equivalenti, ed in questo caso, mi sembra che si deve utilizzare la seguente:
$ cosalpha (x) = -cosbeta(x) $
$ cosalpha (x) = cos(180^o - beta(x)) $
Ed infatti con l'equazione equivalente, sono riuscito ad arrivare alla soluzione!
"giammaria":
....quando c'è un coseno ed un segno meno, non si può portare il meno dentro al coseno perché in generale $-cos alpha!=cos(-alpha)$ e bisogna invece ricorrere all'associato del primo o del terzo quadrante, così:
$-cos alpha =cos(180°-alpha)$ oppure $-cos alpha =cos(180°+alpha)$
....
Perciò, per risolvere l'equazione $ cos (3x -15°) = -cos(2x - 5°) $,
1) trasforma opportunamente il termine $-cos(2x - 5°)$, utilizzando per esempio $-cos alpha =cos(180°-alpha)$:
$-cos(2x - 5°)=cos(180°-(2x-5°))=cos(185°-2x)$;
2) risolvi ora l'equazione $cos (3x -15°) = cos(185°-2x)$:
$3x-15°=+-(185°-2x)+k360°$
da cui
a) $3x-15°=185°-2x+k360°->5x=200°+k360°->x=40°+k72°$,
b) $3x-15°=-185°+2x+k360°->x=-170°+k360°$.
Lasciamo per ora in disparte B e C e limitiamoci ad A. Dividere per 2 è sbagliato perché nessuno ci autorizza a farlo. La tua scritta iniziale è uguale alla mia perché $2*180=360$ anche quando non si parla di gradi; è però meglio scrivere $k*360°$ perché evidenzia il fatto che la ripetizione avviene ogni giro mentre la tua scritta fa pensare a mezzi giri. Quello che scrivi dopo il $vv$ è invece sbagliato: prendendo il + e con $k=0$ ottieni $60°$ che non è uno degli angoli della soluzione.
Ripeto il suggerimento che ti ho dato: riporta le soluzioni sul cerchio goniometrico. Non noti qualcosa di speciale?
Per quello che hai trovato sull'esercizio 12, è giusto ma non ti consiglio certo di affidarlo alla memoria: lo dimenticheresti presto. Invece fai il ragionamento che ti ha suggerito chiaraotta e te ne do qualche altro esempio.
1) $cosx=-1/2->cosx=-cos60°->cosx=cos(180°-60°)->x=+-120°+k*360°$
2) $cos(3x-10°)=-cos(x+50°)->cos(3x-10°)=cos(180°-x-50°)$
$->3x-10°=+-(130°-x)+k*360°->...$
Ripeto il suggerimento che ti ho dato: riporta le soluzioni sul cerchio goniometrico. Non noti qualcosa di speciale?
Per quello che hai trovato sull'esercizio 12, è giusto ma non ti consiglio certo di affidarlo alla memoria: lo dimenticheresti presto. Invece fai il ragionamento che ti ha suggerito chiaraotta e te ne do qualche altro esempio.
1) $cosx=-1/2->cosx=-cos60°->cosx=cos(180°-60°)->x=+-120°+k*360°$
2) $cos(3x-10°)=-cos(x+50°)->cos(3x-10°)=cos(180°-x-50°)$
$->3x-10°=+-(130°-x)+k*360°->...$
"giammaria":
Lasciamo per ora in disparte B e C e limitiamoci ad A. Dividere per 2 è sbagliato perché nessuno ci autorizza a farlo. La tua scritta iniziale è uguale alla mia perché $2*180=360$ anche quando non si parla di gradi; è però meglio scrivere $k*360°$ perché evidenzia il fatto che la ripetizione avviene ogni giro mentre la tua scritta fa pensare a mezzi giri. Quello che scrivi dopo il $vv$ è invece sbagliato: prendendo il + e con $k=0$ ottieni $60°$ che non è uno degli angoli della soluzione.
E infatti se avessi tenuto presente il fatto che si tratta di avere 120 gradi e che sono nel secondo quadrante, avrei capito da prima l'errore!
Ricapitolando ho:
$0°+k*360° vv+-120°+k*360° $ che non possono essere scritti alternativamente
O meglio e più elegante scrivere in questo modo per il primo caso:
$k*360°$
Ma per il secondo, come si potrebbe scrivere
Così?
$ +-240°+k*360° $
Dico questo perchè proiettando il segmento parallelo alla Y nel terzo quadrante, ho sempre un angolo in senso antiorario di 120 gradi:
In attesa di concludere i messaggi precedenti, ho verificato ancora una equazione e in base ad un mio ragionamento non sono arrivato alla stessa conclusione....
La traccia è la seguente:
$ sen(2x - 30^o) = cos(-x+15^o) $
In questi casi bisogna utilizzare gli associati, e comunque conviene sempre portare tutto in coseno o seno, vero? La via giusta è la seguente:
$ sen(2x - 30^o) = sen(90^o-(-x+15^o)) $
Ok! Ma se faccio così, ottengo lo stesso risultato, solo che ho un dubbio:
$ cos(90^o -(2x - 30^o)) = cos(-x+15^o) $
Ma poi arrivo al seguente punto:
$ -x = -105^o + k360^o $
Ovviamente per eliminare il segno meno, faccio così:
$ x = 105^o - k360^o $
Ma il senso della rotazione del $ - k360^o $ non cambia nulla, vero
La traccia è la seguente:
$ sen(2x - 30^o) = cos(-x+15^o) $
In questi casi bisogna utilizzare gli associati, e comunque conviene sempre portare tutto in coseno o seno, vero? La via giusta è la seguente:
$ sen(2x - 30^o) = sen(90^o-(-x+15^o)) $
Ok! Ma se faccio così, ottengo lo stesso risultato, solo che ho un dubbio:
$ cos(90^o -(2x - 30^o)) = cos(-x+15^o) $
Ma poi arrivo al seguente punto:
$ -x = -105^o + k360^o $
Ovviamente per eliminare il segno meno, faccio così:
$ x = 105^o - k360^o $
Ma il senso della rotazione del $ - k360^o $ non cambia nulla, vero
Penultimo post. Le scritte $0°+k*360°$ e $k*360°$ dicono l'identica cosa e di solito i libri preferiscono la seconda, più compatta; io invece preferisco la prima perché attira la mia attenzione sul fatto che una soluzione vale zero. E' solo questione di gusti.
Per il resto, quello che vorrei è che tu scrivessi tutte le soluzioni senza usare il $vv$ e sei sulla strada giusta: passi dalla prima soluzione (0°) alla seconda (120°) con una rotazione di $120°$; con un'altra rotazione di $120°$ passi alla terza (240°); con un'altra rotazione di $120°$ ... ; con un'altra ancora ... , eccetera. Quindi tutte le soluzioni sono esprimibili con la formula ...
Ultimo post. In generale il verso di rotazione è importante, ma il segno davanti a $k$ non lo è perché $k$ è un qualsiasi numero intero, positivo o negativo, e quindi cambiando il suo segno continui ad ottenere un qualsiasi intero.
Per il resto, quello che vorrei è che tu scrivessi tutte le soluzioni senza usare il $vv$ e sei sulla strada giusta: passi dalla prima soluzione (0°) alla seconda (120°) con una rotazione di $120°$; con un'altra rotazione di $120°$ passi alla terza (240°); con un'altra rotazione di $120°$ ... ; con un'altra ancora ... , eccetera. Quindi tutte le soluzioni sono esprimibili con la formula ...
Ultimo post. In generale il verso di rotazione è importante, ma il segno davanti a $k$ non lo è perché $k$ è un qualsiasi numero intero, positivo o negativo, e quindi cambiando il suo segno continui ad ottenere un qualsiasi intero.
Perfetto, adesso risolvo il caso B e C!
B) $+-30°+k*360° vv +-150°+k*360° $
C)$+-45°+k*360° vv+-135°+k*360° $
Be, penso che per questi due casi si hanno le stesse condizioni del caso A, giusto
B) $+-30°+k*360° vv +-150°+k*360° $
C)$+-45°+k*360° vv+-135°+k*360° $
Be, penso che per questi due casi si hanno le stesse condizioni del caso A, giusto
Esercizio 13
Questo invece ha una sola soluzione:
$ sen x= sen(x-60^o) $
perchè questa non è soluzione in quanto la $ x $ si annulla, giusto
$ x= x-60^o + k360^o $
Questo invece ha una sola soluzione:
$ sen x= sen(x-60^o) $
perchè questa non è soluzione in quanto la $ x $ si annulla, giusto
$ x= x-60^o + k360^o $
Esercizio 14
E questo come conviene risolverlo
$ tg x = -ctg3x $
Posso utilizzare gli associati, ma non sto riuscendo a capire quella x al secondo membro come trattarla, ecco quì:
$ tg x = tg(90^o +3x) $
Va bene così?
In questo modo avrò:
$ x = (90^o +3x) + k180^o $
segue e spero che segue
$ -2x = 90^o + k180^o $
$ x = -45^o + k90^o $
E questo come conviene risolverlo
$ tg x = -ctg3x $
Posso utilizzare gli associati, ma non sto riuscendo a capire quella x al secondo membro come trattarla, ecco quì:
$ tg x = tg(90^o +3x) $
Va bene così?
In questo modo avrò:
$ x = (90^o +3x) + k180^o $
segue e spero che segue
$ -2x = 90^o + k180^o $
$ x = -45^o + k90^o $
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