Equazioni e disequazioni
Modifico questo primo post per rendere la discussione un posto dove poter lasciare tutti i dubbi che ho riguardo alla risoluzione/alle soluzioni etc... delle equazioni e disequazioni . Pensavo di uppare ogni qual volta ponessi nuove domande,ditemi voi 
1)Disequazioni parametriche
1.1)risolta : $(2a-1)x>a-3$
$2ax-x>a-3$
$x(2a-1)> a-3$
$x>(a-3)/(2a-1)$
Adesso che cosa devo fare? Sul libro ci sono 3 casi ..trova questo valore : a=1/2 .Come faccio a determinare le possibili situazioni ?
______________________________
1.2)sospesa : $ax^2-(2a-1)x+a>0$
trovo le soluzioni $[2a-1 +- sqrt(1-4a)]/(2a)$
Anche qui ci sono vari casi.. come faccio a determinarli ?
______________________________
1.3)in attesa di risposta : $(k-1)x+(k-3)(k+3)x>k(kx-1)-2(2x-3)$
$kx-x+k^2x-9x-k^2x+k+4x-6>0$
$kx-6x> -k+6$
$x> -1$
In questo caso non devo studiare nessuna condizione d'esistenza solamente che il libro continua a darmi tre soluzioni
k<6 --> x<-1 ; k=6 --> insieme vuoto (su questa non ho dubbi) ; k>6 --> x> -1 .
Dividendo per k-6 ottengo x>-1 quindi perchè studio nonostante tutto k>6 / k<6 ?
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2)Disequazioni di secondo grado
2.1)risolta : $(x-1)^2/3 <= (-2x+3)/12 -5/6x$
$(x^2+1-2x)/3 - (-2x+3)/12 +5/6x <=0$
$(4x^2+4-8x+2x-3+10x)/12<=0$
$1/3x^2-1/2x+11/12<=0$
trovo le soluzioni $[1/2+-sqrt(1/4-11/9)]/(2/3)$
che non ci sono perchè la radice è negativa quindi ovunque , tenendo conto del segno di x^2, l'espressione iniziale è positiva. Come mai sul libro mi dice che la soluzione è x=-1/2 ?
Non dovrebbe essere insieme vuoto ?
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1)Disequazioni parametriche
1.1)risolta : $(2a-1)x>a-3$
$2ax-x>a-3$
$x(2a-1)> a-3$
$x>(a-3)/(2a-1)$
Adesso che cosa devo fare? Sul libro ci sono 3 casi ..trova questo valore : a=1/2 .Come faccio a determinare le possibili situazioni ?
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1.2)sospesa : $ax^2-(2a-1)x+a>0$
trovo le soluzioni $[2a-1 +- sqrt(1-4a)]/(2a)$
Anche qui ci sono vari casi.. come faccio a determinarli ?
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1.3)in attesa di risposta : $(k-1)x+(k-3)(k+3)x>k(kx-1)-2(2x-3)$
$kx-x+k^2x-9x-k^2x+k+4x-6>0$
$kx-6x> -k+6$
$x> -1$
In questo caso non devo studiare nessuna condizione d'esistenza solamente che il libro continua a darmi tre soluzioni
k<6 --> x<-1 ; k=6 --> insieme vuoto (su questa non ho dubbi) ; k>6 --> x> -1 .
Dividendo per k-6 ottengo x>-1 quindi perchè studio nonostante tutto k>6 / k<6 ?
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2)Disequazioni di secondo grado
2.1)risolta : $(x-1)^2/3 <= (-2x+3)/12 -5/6x$
$(x^2+1-2x)/3 - (-2x+3)/12 +5/6x <=0$
$(4x^2+4-8x+2x-3+10x)/12<=0$
$1/3x^2-1/2x+11/12<=0$
trovo le soluzioni $[1/2+-sqrt(1/4-11/9)]/(2/3)$
che non ci sono perchè la radice è negativa quindi ovunque , tenendo conto del segno di x^2, l'espressione iniziale è positiva. Come mai sul libro mi dice che la soluzione è x=-1/2 ?
Non dovrebbe essere insieme vuoto ?
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Risposte
Secondo me nella prima disequazione puoi subito concludere dicendo che non ci sono soluzioni in quanto hai una radice minore di un numero negativo. In alternativa potresti elevare al quadrato da entrambe le parti.
Per la disequazione con il valore assoluto invece il 2 non può essere soluzioni, potrebbe essere un errore del libro.
Per la disequazione con il valore assoluto invece il 2 non può essere soluzioni, potrebbe essere un errore del libro.
RAGIONA! (e se fosse possibile scriverlo in modo più evidente, lo farei)
Cominciamo col primo: le radici quadrate non sono mai negative, quindi la somma di due di esse non può mai essere $<0$: la soluzione è l'insieme vuoto.
Ragionamento analogo per il secondo: un valore assoluto non è mai negativo; al più, può essere $=0$. Questo succede quando si annulla il numeratore, cioè per $x=5vvx=+-2$, purché sia rispettata la condizione di esistenza: devi quindi escludere alcuni di questi valori e ti resta come unica soluzione $x=-2$.
Cominciamo col primo: le radici quadrate non sono mai negative, quindi la somma di due di esse non può mai essere $<0$: la soluzione è l'insieme vuoto.
Ragionamento analogo per il secondo: un valore assoluto non è mai negativo; al più, può essere $=0$. Questo succede quando si annulla il numeratore, cioè per $x=5vvx=+-2$, purché sia rispettata la condizione di esistenza: devi quindi escludere alcuni di questi valori e ti resta come unica soluzione $x=-2$.
Domanda stupida, ma è il classico dubbio pre-esame:
$x^2+3x > 0$
Il risultato è $x < -3 uu x > 0$ per la regola dei segni?
$x^2+3x > 0$
Il risultato è $x < -3 uu x > 0$ per la regola dei segni?
Sì esatto. 
"Mr.Mazzarr":
Domanda stupida, ma è il classico dubbio pre-esame:
$x^2+3x > 0$
Il risultato è $x < -3 uu x > 0$ per la regola dei segni?
Se hai dubbi calcolati il delta e fai il procedimento "completo".
Con la regola dei segni non faccio subito? Ma quel risultato è esatto?
"minomic":
Sì esatto.
Dipende quale metodo ti piace di più! Il tuo risultato è corretto.
"Mr.Mazzarr":
$x^2+3x > 0$
Il risultato è $x < -3 uu x > 0$ per la regola dei segni?
Nella classica amnesia da esame la domanda è "Devo prendere i valori interni o esterni?". La regola dei segni risponde perfettamente ma è lunghetta; ti suggerisco altri tre metodi fra cui scegliere.
- col promemoria DICE = discordi interni, concordi esterni;
- pensando alla parabola $y=x^2+3x$;
- sostituendo ad $x$ un qualsiasi valore diverso dai capisaldi ed osservando se risulta verificata o no.
Grazie per le risposte raga..per la questione dei moduli vi do ragione solamente che se mi torna una cosa e sul libro ce nè scritta un'altra le domande me le pongo! XD
Ok,errore dell'autore
Per il fatto delle radici ho fatto un'esempio senza pensarci ed ecco che mi è capitato quel caso XD
Volevo risolvere questa : $sqrt(x)+sqrt(x+5)+2*sqrt(x^2+5x)=25-2x$
ed ecco perchè ho fatto tutte quelle premesse..comunque tralasciate se non avete voglia di rispondere a tutto perchè ci sono delle cose che mi preme sapere di più! Vi sto per dare diverse equazioni esponenziali che non mi sono venute in quanto il libro mi da risultati espressi in numero intero o razionale mentre io riesco ad arrivarci solo con i logaritmi !
$2*7^(3x)- [2^9*[sqrt(2^12)]^x]/7^4=0$
$5* \root{x-2}(5^5)*6^(3/(2-x))=6/ \root{2-x}(36)$
$3*4^(-x+2)=10^(x+3)$
$7^(x+2/3)*5=3^(2x-1)$
$4^(x+2)=5^(1-x) *2^3/sqrt(5^3)$
Sono diverse , lo so .. rispondete solo se ne avete voglia e a quante volete! Scusate se faccio domande che vi sembrano banali ma io queste cose non le ho mai fatte alle superiori nonostante facessi uno scientifico (a scuola avevo una professoressa che non ci faceva fare niente) e per questo le sto vedendo adesso da me ! Ogni esercizio che scrivo lo provo prima da solo e diverse volte quindi non è niente su cui prima non ci ho ragionato/provato da solo!
I risultati sono,in ordine di come ho dato le equazioni :
$x=-4/3$
$x=-3$
$x=(ln6-3ln5)/(3ln2+ln5)$
$x=(2ln7+3ln15)/[3(2ln3-ln7)]$
$x=-1/2$
Premetto che la teoria l'ho studiata tutta e credo anche di averla capita.Sì , due di quei risultati sono espressi in forma logaritmica ma a me son tornati risultati diversi .Saranno errori dovuti alla distrazione perchè altri 30 mi tornano,bòh!
Essendoci basi diverse io ho lavorato agglomerando e semplificando la dove possibile per poi ricondurmi a una forma del tipo $a^x=b^x$ .. a volte è stato sufficente semplificare per ottenere il risultato,altre volte ho utilizzato i logaritmi e per queste ,a quanto mi sembra , non ce ne dovrebbe essere bisogno ma non vedo la via
Ok,errore dell'autore
Per il fatto delle radici ho fatto un'esempio senza pensarci ed ecco che mi è capitato quel caso XD
Volevo risolvere questa : $sqrt(x)+sqrt(x+5)+2*sqrt(x^2+5x)=25-2x$
ed ecco perchè ho fatto tutte quelle premesse..comunque tralasciate se non avete voglia di rispondere a tutto perchè ci sono delle cose che mi preme sapere di più! Vi sto per dare diverse equazioni esponenziali che non mi sono venute in quanto il libro mi da risultati espressi in numero intero o razionale mentre io riesco ad arrivarci solo con i logaritmi !
$2*7^(3x)- [2^9*[sqrt(2^12)]^x]/7^4=0$
$5* \root{x-2}(5^5)*6^(3/(2-x))=6/ \root{2-x}(36)$
$3*4^(-x+2)=10^(x+3)$
$7^(x+2/3)*5=3^(2x-1)$
$4^(x+2)=5^(1-x) *2^3/sqrt(5^3)$
Sono diverse , lo so .. rispondete solo se ne avete voglia e a quante volete! Scusate se faccio domande che vi sembrano banali ma io queste cose non le ho mai fatte alle superiori nonostante facessi uno scientifico (a scuola avevo una professoressa che non ci faceva fare niente) e per questo le sto vedendo adesso da me ! Ogni esercizio che scrivo lo provo prima da solo e diverse volte quindi non è niente su cui prima non ci ho ragionato/provato da solo!
I risultati sono,in ordine di come ho dato le equazioni :
$x=-4/3$
$x=-3$
$x=(ln6-3ln5)/(3ln2+ln5)$
$x=(2ln7+3ln15)/[3(2ln3-ln7)]$
$x=-1/2$
Premetto che la teoria l'ho studiata tutta e credo anche di averla capita.Sì , due di quei risultati sono espressi in forma logaritmica ma a me son tornati risultati diversi .Saranno errori dovuti alla distrazione perchè altri 30 mi tornano,bòh!
Essendoci basi diverse io ho lavorato agglomerando e semplificando la dove possibile per poi ricondurmi a una forma del tipo $a^x=b^x$ .. a volte è stato sufficente semplificare per ottenere il risultato,altre volte ho utilizzato i logaritmi e per queste ,a quanto mi sembra , non ce ne dovrebbe essere bisogno ma non vedo la via
Io parto dall'ultima dai:
$4^(x+2)=5^(1-x)*2^3/sqrt(5^3)$
$16*4^x=5/5^x*2^3/5^(3/2)$
$4^x*5^x=5/2^4*2^3/5^(3/2)$
$20^x=5^(1-3/2)*2^(-1)$
$20^x=1/(2sqrt5)$
$20^x=1/sqrt20$
$20^x=20^(-1/2)$
$x=-1/2$
$4^(x+2)=5^(1-x)*2^3/sqrt(5^3)$
$16*4^x=5/5^x*2^3/5^(3/2)$
$4^x*5^x=5/2^4*2^3/5^(3/2)$
$20^x=5^(1-3/2)*2^(-1)$
$20^x=1/(2sqrt5)$
$20^x=1/sqrt20$
$20^x=20^(-1/2)$
$x=-1/2$
Ciao, faccio ad esempio la terza. Non so perchè ma mi ispirava il risultato... $$
\begin{gather*}
3\cdot 4^{-x+2} = 10^{x+3}\\\\
3\cdot 2^{4-2x} = 2^{x+3}\cdot 5^{x+3}\\\\
3 = 2^{3x-1}\cdot 5^{x+3}\\\\
3= 2^{3(x-\frac{1}{3})}\cdot 5^{x+3}\\\\
3= 2^{3(x+3-\frac{10}{3})}\cdot 5^{x+3}\\\\
3 = \frac{8^{x+3}}{1024}\cdot 5^{x+3}\\\\
40^{x+3} = 3072\\\\
x = \log_{40}{3072} - 3
\end{gather*}
$$Con le proprietà dei logaritmi si può tentare di arrivare allo stesso risultato del libro ma numericamente è già giusto così. Prova a fare la verifica con la calcolatrice e troverai $x \approx -0.82316$.
$$\begin{gather*}
3\cdot 4^{-x+2} = 10^{x+3}\\\\
3\cdot 2^{4-2x} = 2^{x+3}\cdot 5^{x+3}\\\\
3 = 2^{3x-1}\cdot 5^{x+3}\\\\
3= 2^{3(x-\frac{1}{3})}\cdot 5^{x+3}\\\\
3= 2^{3(x+3-\frac{10}{3})}\cdot 5^{x+3}\\\\
3 = \frac{8^{x+3}}{1024}\cdot 5^{x+3}\\\\
40^{x+3} = 3072\\\\
x = \log_{40}{3072} - 3
\end{gather*}
$$Con le proprietà dei logaritmi si può tentare di arrivare allo stesso risultato del libro ma numericamente è già giusto così. Prova a fare la verifica con la calcolatrice e troverai $x \approx -0.82316$.
"Umbreon93":
1.3)in attesa di risposta : $(k-1)x+(k-3)(k+3)x>k(kx-1)-2(2x-3)$
$kx-x+k^2x-9x-k^2x+k+4x-6>0$
$kx-6x> -k+6$
Quando arrivi qui devi scrivere$$(k-6)x > -k+6$$A questo punto l'idea è quella di dividere per $(k-6)$ ma dobbiamo chiederci quale sia il segno di questo termine. Infatti se dividiamo per un termine negativo dovremo cambiare il verso della disequazione... Ecco il perchè delle tre ipotesi.
"Umbreon93":
1.2)sospesa : $ax^2-(2a-1)x+a>0$
trovo le soluzioni $[2a-1 +- sqrt(1-4a)]/(2a)$
Anche qui ci sono vari casi.. come faccio a determinarli ?
Innanzitutto dobbiamo guardare il $\Delta$, cioè $1-4a$:
* $\Delta < 0 \rightarrow a > \frac{1}{4}$: non esistono soluzioni reali e il trinomio segue il segno del primo coefficiente che, essendo maggiore di $\frac{1}{4}$, è positivo, quindi la soluzione è $\forall x \in \mathbb{R}$.
* $\Delta = 0 \rightarrow a = \frac{1}{4}$: due soluzioni coincidenti. Il trinomio è un quadrato, quindi sempre positivo tranne quando si annulla.
* $\Delta > 0 \rightarrow a < \frac{1}{4}$: due soluzioni distinte. A questo punto dobbiamo pensare al segno del primo coefficiente, cioè $a$: se $a > 0$ le soluzioni saranno i valori esterni, altrimenti quelli interni.
Spero di non aver dimenticato nulla!
Risolvo la prima:$$2\cdot 7^{3x} - \frac{2^{9}\left(\sqrt{2^{12}}\right)^{x}}{7^{4}}=0$$Abbiamo immediatamente che \(\displaystyle \sqrt{2^{12}} = 2^{6} \), inoltre moltiplichiamo tutto per \(\displaystyle 7^{4} \) e otteniamo
$$2\cdot 7^{3x+4} - 2^{9}\cdot 2^{6x}=0$$Dividiamo tutto per $2$
$$7^{3x+4} - 2^{8}\cdot 2^{6x} = 0$$ $$7^{3x} \cdot 7^{4} = 2^{8} \cdot 2^{6x}$$ $$\left(\frac{7^{3}}{2^{6}}\right)^{x} = \frac{2^{8}}{7^{4}}$$ $$\left(\frac{2^{6}}{7^{3}}\right)^{-x} = \frac{2^{8}}{7^{4}}$$ A questo punto confrontiamo gli esponenti: $$\begin{cases} 6(-x)=8 \\ 3(-x)=4 \end{cases} \Rightarrow x = -\frac{4}{3}.$$
$$2\cdot 7^{3x+4} - 2^{9}\cdot 2^{6x}=0$$Dividiamo tutto per $2$
$$7^{3x+4} - 2^{8}\cdot 2^{6x} = 0$$ $$7^{3x} \cdot 7^{4} = 2^{8} \cdot 2^{6x}$$ $$\left(\frac{7^{3}}{2^{6}}\right)^{x} = \frac{2^{8}}{7^{4}}$$ $$\left(\frac{2^{6}}{7^{3}}\right)^{-x} = \frac{2^{8}}{7^{4}}$$ A questo punto confrontiamo gli esponenti: $$\begin{cases} 6(-x)=8 \\ 3(-x)=4 \end{cases} \Rightarrow x = -\frac{4}{3}.$$
Svolgo la quarta:
$7^(x+2/3)*5=3^(2x-1)$
$7^x*7^(2/3)*5=9^x*3^(-1)$
$7^x/9^x=1/(7^(2/3)*5*3)$
$(7/9)^x=1/(7^(2/3)*15)$
$x=log_(7/9)(1/(7^(2/3)*15))$
Cambiamo la base del logaritmo:
$x=ln(1/(7^(2/3)*15))/ln(7/9)$
$x=(ln1-(ln7^(2/3)+ln15))/(ln7-ln9)$
$x=(-ln7^(2/3)-ln15)/(ln7-ln3^2)$
$x=(-2/3ln7-ln15)/(ln7-2ln3)$
$x=(-(2ln7+3ln15))/(-3(2ln3-ln7))$
$x=(2ln7+3ln15)/(3(2ln3-ln7))$
$7^(x+2/3)*5=3^(2x-1)$
$7^x*7^(2/3)*5=9^x*3^(-1)$
$7^x/9^x=1/(7^(2/3)*5*3)$
$(7/9)^x=1/(7^(2/3)*15)$
$x=log_(7/9)(1/(7^(2/3)*15))$
Cambiamo la base del logaritmo:
$x=ln(1/(7^(2/3)*15))/ln(7/9)$
$x=(ln1-(ln7^(2/3)+ln15))/(ln7-ln9)$
$x=(-ln7^(2/3)-ln15)/(ln7-ln3^2)$
$x=(-2/3ln7-ln15)/(ln7-2ln3)$
$x=(-(2ln7+3ln15))/(-3(2ln3-ln7))$
$x=(2ln7+3ln15)/(3(2ln3-ln7))$
"minomic":
$$\left(\frac{2^{6}}{7^{3}}\right)^{-x} = \frac{2^{8}}{7^{4}}$$ A questo punto confrontiamo gli esponenti: $$\begin{cases} 6(-x)=8 \\ 3(-x)=4 \end{cases} \Rightarrow x = -\frac{4}{3}.$$
Questo passaggio mi piace decisamente poco: e se il sistema finale avesse dato due $x$ diverse? Molto meglio
$(2^2/7)^(-3x)=(2^2/7)^4->-3x=4->x=-4/3$
Nell'equazione successiva, risolta da burm87, sarebbe stato più semplice uguagliare fin dall'inizio i logaritmi dei due membri.
"giammaria":
[quote="minomic"]$$\left(\frac{2^{6}}{7^{3}}\right)^{-x} = \frac{2^{8}}{7^{4}}$$ A questo punto confrontiamo gli esponenti: $$\begin{cases} 6(-x)=8 \\ 3(-x)=4 \end{cases} \Rightarrow x = -\frac{4}{3}.$$
Questo passaggio mi piace decisamente poco: e se il sistema finale avesse dato due $x$ diverse? Molto meglio
$(2^2/7)^(-3x)=(2^2/7)^4->-3x=4->x=-4/3$[/quote]
Lo so e piace poco anche a me, però se si vede qualcosa tanto vale sfruttarlo!
Poi se non avesse funzionato avrei pensato a qualche altro metodo...
Raga, vi voglio bene 
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