Equazioni e disequazioni

[Umbreon93]

Modifico questo primo post per rendere la discussione un posto dove poter lasciare tutti i dubbi che ho riguardo alla risoluzione/alle soluzioni etc... delle equazioni e disequazioni . Pensavo di uppare ogni qual volta ponessi nuove domande,ditemi voi

1)Disequazioni parametriche

1.1)risolta : $(2a-1)x>a-3$

$2ax-x>a-3$

$x(2a-1)> a-3$

$x>(a-3)/(2a-1)$

Adesso che cosa devo fare? Sul libro ci sono 3 casi ..trova questo valore : a=1/2 .Come faccio a determinare le possibili situazioni ?

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1.2)sospesa : $ax^2-(2a-1)x+a>0$

trovo le soluzioni $[2a-1 +- sqrt(1-4a)]/(2a)$

Anche qui ci sono vari casi.. come faccio a determinarli ?

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1.3)in attesa di risposta : $(k-1)x+(k-3)(k+3)x>k(kx-1)-2(2x-3)$

$kx-x+k^2x-9x-k^2x+k+4x-6>0$

$kx-6x> -k+6$

$x> -1$

In questo caso non devo studiare nessuna condizione d'esistenza solamente che il libro continua a darmi tre soluzioni
k<6 --> x<-1 ; k=6 --> insieme vuoto (su questa non ho dubbi) ; k>6 --> x> -1 .

Dividendo per k-6 ottengo x>-1 quindi perchè studio nonostante tutto k>6 / k<6 ?


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2)Disequazioni di secondo grado

2.1)risolta : $(x-1)^2/3 <= (-2x+3)/12 -5/6x$

$(x^2+1-2x)/3 - (-2x+3)/12 +5/6x <=0$

$(4x^2+4-8x+2x-3+10x)/12<=0$

$1/3x^2-1/2x+11/12<=0$

trovo le soluzioni $[1/2+-sqrt(1/4-11/9)]/(2/3)$
che non ci sono perchè la radice è negativa quindi ovunque , tenendo conto del segno di x^2, l'espressione iniziale è positiva. Come mai sul libro mi dice che la soluzione è x=-1/2 ?
Non dovrebbe essere insieme vuoto ?

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[Umbreon93]

Capito
Domande tanto per parlare ..
1)mi buttano un $x^4-5x^3+8x^2-4x<=0$
Io , ho ricavato il risultato ma temo che questa scorciatoia non sempre mi sia possibile .
Ho visto che 1 annulla il polinomio quindi lo scomposto con ruffini ..

$(x^3-4x^2+4x)(x-1)<=0$

adesso ho raccolto la x $x(x^2-4x+4)(x-1)<=0$

etc.. etc.. insomma,a fortuna ma ce l'ho fatta e sembra che con tutti gli esercizi del libro (a prima vista) si possa fare questo gioco . Mi preoccupo perchè vedo che il libro usa le regole della fattorizzazione infatti lui per questa $x^4-5x^3+8x^2-4x<=0$

prima scompone in $x(x-1)(x-2)^2<=0$ e poi se lo studia tranquillamente! Io mi preoccupo perchè capisco che cos'ha fatto ma non riesco a vederlo (non solo non lo riconosco da solo ma con la soluzione davanti sto anche perdendo tempo a capire dove ha tirato fuori quei prodotti notevoli ) .

Allora vi chiedo : che cosa devo fare,come mi comporto ? Non so dove mettermi le mani!
Io i prodotti notevoli li so XD Come approccio sta roba ? Dite che con ruffini etc.. etc.. me la cavo sempre ? bòh..
2) $(4x^2-x^4)(x^2-5x+6)>=0$

le soluzioni che trovo sono $x<=2 U x>=3$
mentre il libro dice $-2<=x<=3$..chi ha ragione ?
Io l'ho risolta con un cambio di variabile t (primo fattore) ; per il secondo ho svolto l'equazione di 2° grado...giusto ? Come avreste fatto ? Thanks ^^

3)$x^4-1/x^4<0$

Anche se c'è quella x al denominatore la posso svolgere comunque come una disequazione binomia trovando $-1
Cioè , mi è venuta a caso o bastava la c.e + la soluzione ?

4)$(2x+1)^8<(2x+1)^5$
siccome ,come avrete capito , sono refrattario ai prodotti notevoli o comunque non ci faccio niente in questa disuguaglianza (?) pensavo di dividere ad ambo i lati e quindi ottenendo
$(2x+1)^3<0$ che mi risulta $x<-1/2$ mentre il mio libro mi da $-1/2

Cita

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[Obidream]

Per la 1) una volta scomposto con Ruffini hai ottenuto $x(x^2-4x+4)(x-1)$.. ora il secondo fattore è il quadrato di un binomio ed ottieni $x(x-2)^2(x-1)$... sinceramente l'unico modo che conosco per scomporre quel polinomio di grado $3$ è Ruffini, ma aspetta qualcuno, magari si trova un'idea migliore

2) $(4x^2-x^4)(x^2-5x+6)>=0$

$(4x^2-x^4)(x-3)(x-2)>=0$

$(x^2(4-x^2))(x-3)(x-2)>=0$

$x^2>=0$ è verificata $AA x in RR$, mentre $4-x^2>=0$ è verificata per $-2<=x<=2$..Ora $x-3>=0=>x>=3$ mentre $x-2>=0=>x>=2$

Quindi mettendo le soluzioni in un grafico e facendo il prodotto dei segni dovresti trovarti con le soluzioni del libro


3) Io per non sbagliare la svolgerei così dopo aver supposto $x^4!=0$:

$(x^8-1)/x^4<0$

$ ((x^4-1)(x^4+1))/x^4<0$

$((x^2-1)(x^2+1)(x^4+1))/x^4<0$

A questo punto dovresti risolvere facilmente con la legge di annullamento del prodotto.. e poi visto che $x^4+1<0$,$x^4<0$ e $x^2+1<0$ non sono mai verificate concludi facilmente che $-1
4) $(2x+1)^8<(2x+1)^5$

Posso porre $t=2x+1$

$t^8
$t^8-t^5<0$

$t^5(t^3-1)<0$

Ricaviamo quindi $t^5<0$ da cui $t<0$ quindi $2x+1<0$ e poi $t^3<1$ da cui $t<1$ quindi $2x+1<1$.. a questo punto dovresti concludere facilmente

[Pianoth]

Permettimi di darti un consiglio: non fare tutto in modo meccanico, ragiona. Almeno quando sei a casa, invece di usare metodi meccanici per risolvere gli esercizi, pensa a cosa fare per prima cosa e perché lo devi fare. Ti faccio vedere come devi ragionare con il primo e il quarto. Ovviamente, tutto ciò che scriverò dovrà essere tutto a mente, il procedimento deve essere quanto più breve possibile (è proprio per questo che devi ragionare). Non li svolgo tutti perché non ho molto tempo e immagino che questi due siano i più rappresentativi. Lasciami però dire qualche cosa per il secondo e per il terzo:
-- Per il secondo ti bastava raccogliere la $x^2$ nel primo, che dato che è un termine di secondo grado non influenza nello studio dei segni (perché c'è $\geq$) e quindi si può eliminare; scomponendo tutto ottieni $(2+x)(2-x)(x-2)(x-3)$. Moltiplicando per $-1$ la disequazione ottieni $(2+x)(2-x)^2(x-3)\leq 0$. $(2-x)^2$ non influenza nello studio dei segni e quindi si può eliminare. Dopo tutto questo ottieni semplicemente $(2+x)(x-3)\leq0$ che è una disequazione molto più semplice da risolvere dell'iniziale, non c'era assolutamente bisogno di un cambio di variabile (ed ha soluzioni $-2\leqx\leq3$).
-- Per quanto riguarda il terzo, ti conviene non rischiare con metodi che non sai se funzionano sicuramente.
Detto questo ecco come io svolgerei il primo e il quarto esercizio.

1) $x^4 - 5x^3+8x^2-4x\leq0$
Per prima cosa noto che tutti i termini hanno la x e quindi la raccolgo:
$x(x^3 - 5x^2 + 8x - 4) \leq 0$
Per continuare occorre scomporre anche quel polinomio di terzo grado. Non noto prodotti notevoli che aiutano né posso raccogliere, quindi devo usare Ruffini o altri metodi insoliti (tipo addizionare e sottrarre monomi o polinomi per rendere scomponibile con i precedenti metodi, ma funzionano molto raramente... Prova per esempio a scomporre $b^4+4$).
Noto facilmente che il polinomio si annulla quando $x = 1$, infatti $1-5+8-4=0$.

ottieni quindi:
$x(x-1)(x^2-4x+4) \leq 0$
In teoria può bastare, dato che tutti i termini sono di secondo grado, ma la maggior parte delle volte conviene continuare a scomporre, perché potrebbero esserci delle semplificazioni significanti (e questo è il caso). Noto che $x^2-4x+4$ è un prodotto notevole, quindi la disequazione diventa:
$x(x-1)(x-2)^2 \leq 0$
Ora noto che il termine $(x-2)^2 \geq 0$, quindi lo posso semplicemente semplificare, dato che non influenzerebbe lo studio dei segni. Attenzione! Puoi fare questo tipo di semplificazione solo quando nella disequazione c'è $\leq$ o $\geq$. Ora quindi devo fare solo lo studio dei segni della disequazione:
$x(x-1) \leq 0$
Per fare lo studio dei segni devo vedere per quali valori i fattori sono maggiori o uguali a 0.
Il primo fattore è maggiore o uguale a 0 quando $x \geq 0$;
Il secondo fattore è maggiore o uguale a 0, invece, quando $x - 1 \geq 0 => x \geq 1$

dobbiamo prendere le soluzioni minori o uguali a 0, quindi la disequazione è soddisfatta per $0\leqx\leq1$.

4) $(2x+1)^8<(2x+1)^5$
Attenzione! Hai fatto due gravi errori. La tua idea era di abbassare il grado dividendo per $(2x+1)^5$. Non ti conviene farlo! $(2x+1)^5$ non è sempre una quantità positiva, quindi dovresti studiare prima l'equazione quando $(2x+1)^5$ è positivo, e poi quando $(2x+1)^5$ è negativo, il che rende il procedimento molto più lungo...
Ma non solo! Dividendo per $(2x+1)^5$ hai scritto che la disequazione diventa $(2x+1)^3 < 0$, il che è falso: $(2x+1)^5/(2x+1)^5=1$
Detto questo, ecco come lo risolverei io:
Abbiamo due strade possibili. Una è espandere tutto, l'altra è fare un cambio di variabile (o immaginare di averlo fatto e fare i calcoli come se l'avessimo fatto). Però, dato che abbiamo un binomio elevato all'ottava, i coefficienti diventerebbero molto alti e quindi i calcoli sarebbero molto lunghi, scegliamo di effettuare il semplice cambio di variabile che ha fatto anche Obidream:
$t = 2x+1 => t^8 < t^5$
Ora abbiamo una disequazione di ottavo grado, abbiamo bisogno di scomporre, per la qual cosa portiamo tutto al primo membro e proviamoci:
$t^8 - t^5 < 0$
Possiamo raccogliere t^5 (non stiamo dividendo, quindi lo possiamo fare senza pensare a quando è positivo o a quando è negativo):
$t^5(t^3 - 1) < 0$
Noto che $t^3-1$ è una differenza di cubi, che posso scomporre, ma non è necessario perché basta ragionare un po' per fare lo studio dei segni.
Per fare lo studio dei segni devo vedere per quali valori i fattori sono maggiori di 0.
Il primo fattore, $t^5$, è maggiore di 0 semplicemente quando $t > 0$, perché l'esponente di $t$ ($5$) è dispari, e quando elevo un numero ad un esponente dispari il segno non cambia;
Per quanto riguarda il secondo fattore, $t^3 - 1$, dobbiamo risolvere la disequazione $t^3 > 1$.
Ragionandoci sopra, essendo l'esponente dispari, $t^3$ ha lo stesso segno di $t$, quindi possiamo dire semplicamente che l'equazione è soddisfatta per $t > \root(3)(1)$.
Dopo questa considerazione, possiamo dire quindi che $t > 1$.

(i cerchietti vuoti stanno a significare che quel numero non fa parte della soluzione)
Dobbiamo prendere le soluzioni negative, quindi $0 Questa soluzione equivale al sistema ${(t>0),(t<1):}$.
Ricordiamo che $t = 2x+1$:
${(2x+1>0),(2x+1<1):}=>{(x > -1/2),(x<0):} => -1/2 Che è proprio la soluzione a cui volevamo arrivare.

Spero che questo ti insegni come ragionare su questo tipo di problemi.

P.S. $b^4+4 = (b^2+2b+2)(b^2-2b+2)$

[Umbreon93]

Ragazzi,grazie ..! Ho capito tutto
Un'unica domanda : per il secondo punto questa $(4x^2-x^4)$ non è possibile da risolvere con un cambio di variabile perchè non c'è il termine noto (se manca quest'ultimo non è un'equazione trinomia?) ? Avevo pensato a una disequazione trinomia però noto che andando avanti così non ne ricavo il risultato giusto!

ps : il mio problema è che cerco sempre di non utilizzare i prodotti notevoli .Non so quando usarli e quando no
Cos'è che devo andare a controllare ?
esempio (non voglio che me la svolgiate ma è solo per capire ) :

$(x^2+x-1)^2-(x^2-x-1)^2<=(x^3-2x)^3-(x^3+2x)^3-4x(1-3x^6)-20$

A me,qui,viene in mente solo di svolgere tutto (sì , grazie alle scomposizioni ma niente prodotti notevoli e cose per accorciare) !

[Pianoth]

Ricorda cos'è una disequazione trinomia. $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$. $x_1$ e $x_2$ non sono altro che le radici (gli zeri) del polinomio $ax^2+bx+c$. Se vuoi immaginare il tuo caso come una disequazione trinomia, hai $-x^4+4x^2+0$, che con l'opportuna sostituzione diventa $-y^2+4y+0 = -(y-0)(y-4) = -y(y-4)$. Puoi notare facilmente che hai ottenuto lo stesso risultato che avresti ottenuto semplicemente raccogliendo $-y$... In altre parole, se manca il termine noto, scomponi, almeno nell'80% dei casi è la cosa migliore (nel restante 20% dovresti semplificarlo in altre maniere, per esempio in $x^2(x^2-4) - x^4 > 0$)

Per il quanto riguarda casi non semplici come il tuo esempio, se non vedi in che modo puoi scomporre, sposta tutto allo stesso membro. Se ancora non vedi in che modo puoi scomporre devi per forza espandere (non per forza espandere tutto completamente, puoi anche espandere in modo parziale) o fare dei cambi di variabile.

[Umbreon93]

capisco ..
Pongo un quesito sulle equazioni irrazionali :
il mio libro le divide in -->

a)l'equazione irrazionale contiene un solo radicale quadratico e l'incognita compare solo sotto radice ;
b)l'equazione irrazionale contiene un solo radicale quadratico e l'incognita compare anche fuori dal segno di radice ;
c)l'equazione irrazionale contiene più radicali quadrati e l'incognita compare solo sotto il segno di radice ;
d)l'equazione contiene più radicali quadratici e l'incognita compare anche fuori dal segno di radice ..

Vedo che gli esercizi che mi pone hanno sempre al massimo 2 radicali e su internet ho visto che c'è chi spiega i casi in cui ci sono 3 radicali / 4 radicali etc.. significa che i casi che ho trattato io non coprono tutte le possibilità oppure era una scelta opzionale del sito trattare l'argomento così ?

In particolare non ho capito l'ultimo caso ,il d) .
Il libro mi fa degli esempi dove ci sono radicali anche al denominatore e mi fa moltiplicare a dx e a sx dell'uguale per quel radicale in modo tale che poi esce un solo radicale ..
quando mi va a dare gli esercizi non ci sono radicali al denominatore e moltiplicando per un radicale non risolvo nulla !

Ad esempio, questa : $sqrt(3x^2+4x+9) + sqrt(3x^2-4x+9) =4x$

..come la risolvo ? Grazie

[Pianoth]

Ho una piccola brutta notizia per te... Purtroppo so per esperienza che molti libri spiegano in modi completamente differenti le equazioni e disequazioni irrazionali... Quindi sappi che adesso ti spiego come le svolgo io, però non è per niente detto che il libro le svolga nello stesso modo...
$$\sqrt{3x^2+4x+9}+\sqrt{3x^2-4x+9}=4x$$
A questo punto alcuni libri dicono di scrivere le condizioni di esistenza, altri dicono di elevare subito tutto al quadrato...
Io sposto uno dei due radicali all'altro membro, così elevando al quadrato tutto ottengo un'equazione irrazionale con un solo radicale quadratico, senza fare calcoli troppo complicati:
$$\sqrt{3x^2+4x+9}=4x-\sqrt{3x^2-4x+9}$$
$$\sqrt{3x^2+4x+9}^2=(4x-\sqrt{3x^2-4x+9})^2$$
$$3x^2+4x+9=19 x^2 - 4x + 9 - 8 x \sqrt{3x^2-4x+9}$$
Prima di continuare, semplifichiamo, e se possibile scomponiamo, così molto probabilmente possiamo semplificare ancora di più:
$$-16x^2+8x=- 8 x \sqrt{3x^2-4x+9}$$
$$-8x (2x-1) = - 8 x \sqrt{3x^2-4x+9}$$
Posso ora semplificare $-8x$, se pongo $x \ne 0$
$$2x-1 = \sqrt{3x^2-4x+9}$$

Eleviamo di nuovo al quadrato:
$$4x^2-4x+1=3x^2-4x+9$$
$$x^2=8$$
$$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$$
Ora dobbiamo controllare le soluzioni, quindi sostituiamole entrambe e controlliamo se sono valide:
$$\sqrt{3(2\sqrt{2})^2+4(2\sqrt{2})+9}+\sqrt{3(2\sqrt{2})^2-4(2\sqrt{2})+9}=4(2\sqrt{2})$$
$$1+4\sqrt{2}-1+4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$
$$8\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$
$x = 2\sqrt{2}$ è quindi una soluzione valida. Controlliamo anche l'altra:
$$\sqrt{3(-2\sqrt{2})^2+4(-2\sqrt{2})+9}+\sqrt{3(-2\sqrt{2})^2-4(-2\sqrt{2})+9}=4(-2\sqrt{2})$$
$$-1 + 4\sqrt{2} + 1 + 4\sqrt{2} = -8\sqrt{2}$$
$$8\sqrt{2} = -8\sqrt{2}$$
Quindi $x = -2\sqrt{2}$ non è una soluzione valida.

Ricapitolando, $$\sqrt{3x^2+4x+9}+\sqrt{3x^2-4x+9}=4x$$ ha una soluzione che è $x = 2\sqrt{2}$.

[giammaria2]

"Pianoth":Posso ora semplificare $-8x$, se pongo $x \ne 0$

Non sono d'accordo: non puoi porre $x!=0$ senza un valido motivo. In questo caso c'è, perché puoi dire che sostituendo $x=0$ nell'equazione iniziale essa non è verificata, ma in altri casi rischi di perdere una soluzione. Io avrei preferito dire che $x=0$ è una prima soluzione (da verificare in fondo, insieme alle altre) e solo dopo semplificarla per trovare le altre soluzioni.

[minomic]

Aggiungo una cosa: per evitare di dover fare il controllo alla fine (che può essere complicato e portare a errori di calcolo) si potevano dire due cose:
1. Le radici non danno problemi poichè i trinomi radicandi hanno $\Delta < 0$ quindi sono sempre positivi, visto che il loro primo coefficiente è positivo
2. Abbiamo $$\sqrt{...} + \sqrt{...} = 4x$$ quindi questo $4x$ è uguagliato a una somma di radici (che sono positive). Questo significa che deve valere $x > 0$ e questa condizione ci permette di scartare immediatamente la soluzione $-2\sqrt{2}$ senza alcun calcolo o sostituzione.

[Pianoth]

Ah ecco, effettivamente sentivo che c'era qualcosa che stavo dimenticando o che stavo sbagliando... È anche un po' perché ho postato subito senza controllare più di tanto, però è sempre un errore.

[Umbreon93]

$sqrt(4x+2sqrt(3x^2+4))=x+2$
I risultati che mi vengono sono 0 e $+-2$ come da libro .
Secondo la mia c.e ,però , solo 0 e 2 sarebbero da prendere ..

Mi aiutate a capire come si calcola ? Mi confondo perchè non so come considerare i due argomenti delle radici quadre !
Quando sono andato ad elevare tutto al quadrato per la seconda volta , come dice il libro , ho posto $x^2+4+4x>=0$ che è sempre positivo tranne in -2 . Questa seconda condizione l'aggiungo alla condizione di esistenza che avevo trovato in precedenza ma sono certo che quest'ultima l'abbia fatta male

Grazie per le altre risposte..sto cercando di fare tanti esercizi però è dura ! (sono una schiappa )

[minomic]

Ciao, abbiamo più condizioni da porre. Partiamo dalle radici: quella interna esiste sempre visto che $3x^{2} + 4$ è una somma di quantità positive. Per quella esterna dobbiamo porre $4x + 2\sqrt{3x^{2}+4} \ge 0$. Infine il membro di destra è uguagliato a una radice, quindi dovrà valere $x+2 \ge 0$.
Fammi sapere se è tutto chiaro.

[Umbreon93]

ma non devo prima farne il quadrato di x+2 per poi maggiorarlo a 0 e contarlo nella condizione di esistenza ? Per farlo devo avere una sola radice quindi il mio dubbio adesso è : quella vale come un'unica radice e per questo dovrei porre direttamente x+2>=0 ?
per l'altro caso direi $x>=sqrt(3x^2+4)/2$ ..

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Aggiungo(altro esercizio) $sqrt(4-2x)<=-3$ che non mi torna!
Io pongo a sistema le 2 condizioni di esistenza :

$4-2x>=0$ --> $x<=2$
$4-2x<=9$ --> $x>=-5/2$

e quindi le soluzioni dovrebbero essere $2>=x>=-5/2$ e invece il libro mi da insieme vuoto!

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E ancora ,

$-3*sqrt(x+2)>=0$

da cui ricavo il sistema

$x+2>=0$ --> $x>=-2$
$9x+18>=0$ --> $x>=-2$

E per questo direi che le soluzioni sono $x>=-2$ però il libro scrive x=-2!

[minomic]

Rispondo subito al secondo che si risolve ad occhio: una radice è positiva quindi non sarà mai minore di un numero negativo!
Fine dell'esercizio.

[Gi81]

$sqrt(4-2x)<= -3$ ha come soluzione l'insieme vuoto per un semplice motivo:
a sinistra hai la radice quadrata di qualcosa, dunque una quantità positiva o nulla (ovviamente dopo aver fatto le c.e.)
a destra hai $-3$, che è un numero negativo.

Non può mai accadere che un numero positivo (o nullo) sia minore o uguale di un numero negativo.

[minomic]

"Umbreon93":quella vale come un'unica radice e per questo dovrei porre direttamente x+2>=0 ?

Sì

"Umbreon93":per l'altro caso direi $x>=sqrt(3x^2+4)/2$ ..

No questa proprio no!
C'è la $x$ anche a destra... che soluzione è?

[Umbreon93]

Grazie , ho capito la roba della radice..
Per l'altra,oddio , ho sbagliato , non avevo visto ! XD
ps : ho editato la domanda di prima e ci ho aggiunto un 3° punto

[minomic]

Bene, abbiamo $-3 \sqrt{x+2} \ge 0$.
Ragioniamo: la radice, quando esiste è positiva o nulla. Questa viene moltiplicata per $-3$ (che è negativo), quindi il membro di sinistra sarà negativo o nullo. Vogliamo che sia positivo o nullo ma, per quanto abbiamo detto, potrà solo essere nullo. Ora chiediamoci: "quando si annulla il membro di sinistra?" Risposta: "quando la radice si annulla". Altra domanda: "quand'è che la radice si annulla?" Risposta: quando il radicando vale zero, cioè per $x = -2$. Fine.
Ti è piaciuto questo dialogo immaginario?

[Umbreon93]

Sì,molto
Comunque..effettivamente hai ragione!

Nuovo quesito .. !
$sqrt(3x^2+x-44)+sqrt(3x^2-2x-33)<=0$
..
come la tratto ?

Io ho calcolato le condizioni di esistenza mettendo a sistema

$3x^2+x-44>=0$
$3x^2-2x-33>=0$

ossia $x<=-4 U x>=11/3$

Poi eleverei al quadrato ottenendo
$3x^2+x-44+3x^2-2x-33+2sqrt((3x^2+x-44)(3x^2-2x-33))$<=0

a questo punto sposterei il tutto in

$2*sqrt((3x^2+x-44)(3x^2-2x-33))<=-6x^2+x+77$

dopodichè eleverei tutto al quadrato però arrivo a confondermi su cosa devo fare con la condizione di esistenza .Sono arrivato ad un'espressione della forma $sqrt(A(x))<=B(x)$ quindi non dovrei fare il sistema

$-6x^2+x+77>=0$
$x<=-4 U x>=11/3$
$4(3x^2+x-44)(3x^2-2x-33)<=(-6x^2+x+77)^2$

Le intersezioni daranno il risultato finale ? Sto proseguendo nella strada giusta ? Grazie..

ps : domanda sui moduli --> gli estremi degli intervalli che considero per ogni caso li posso prendere a piacere (nel senso,decidere dove sta l'uguale e dove no <--basta che ce lo metto) ? Lo so che la domanda è posta così infatti non pretendo che rispondiate però se qualcuno ha capito la cosa arcana che intendo non mi dispiacerebbe sentire una risposta

[Obidream]

Allora io prima di gettarmi a fare i conti ragionerei in questo modo:

$sqrt(3x^2+x-44)+sqrt(3x^2-2x-33)<=0$

Evidentemente occorre solo risolvere quest'equazione $sqrt(3x^2+x-44)+sqrt(3x^2-2x-33)=0$, in quanto essendo somma di radici queste non potranno mai essere negative...

Come hai già detto le condizioni di esistenza sono $x<=-4\cupx>=11/3$ quindi posso procedere con la risoluzione dell'equazione:

$sqrt(3x^2+x-44)=-sqrt(3x^2-2x-33)$

Elevando al quadrato ambo i membri:

$3x^2+x-44=-(3x^2-2x-33)$

$6x^2-x-77=0$

Quest'equazione ha soluzioni $x=-7/2$ ed $x=11/3$ tuttavia occorre ora verificare se entrambe stanno nel campo di esistenza.. per $x=11/3$ è abbastanza evidente, mentre per $x=-7/2$ no, ergo dobbiamo escluderla dalle soluzioni