Equazioni e disequazioni
Modifico questo primo post per rendere la discussione un posto dove poter lasciare tutti i dubbi che ho riguardo alla risoluzione/alle soluzioni etc... delle equazioni e disequazioni . Pensavo di uppare ogni qual volta ponessi nuove domande,ditemi voi 
1)Disequazioni parametriche
1.1)risolta : $(2a-1)x>a-3$
$2ax-x>a-3$
$x(2a-1)> a-3$
$x>(a-3)/(2a-1)$
Adesso che cosa devo fare? Sul libro ci sono 3 casi ..trova questo valore : a=1/2 .Come faccio a determinare le possibili situazioni ?
______________________________
1.2)sospesa : $ax^2-(2a-1)x+a>0$
trovo le soluzioni $[2a-1 +- sqrt(1-4a)]/(2a)$
Anche qui ci sono vari casi.. come faccio a determinarli ?
______________________________
1.3)in attesa di risposta : $(k-1)x+(k-3)(k+3)x>k(kx-1)-2(2x-3)$
$kx-x+k^2x-9x-k^2x+k+4x-6>0$
$kx-6x> -k+6$
$x> -1$
In questo caso non devo studiare nessuna condizione d'esistenza solamente che il libro continua a darmi tre soluzioni
k<6 --> x<-1 ; k=6 --> insieme vuoto (su questa non ho dubbi) ; k>6 --> x> -1 .
Dividendo per k-6 ottengo x>-1 quindi perchè studio nonostante tutto k>6 / k<6 ?
______________________________
2)Disequazioni di secondo grado
2.1)risolta : $(x-1)^2/3 <= (-2x+3)/12 -5/6x$
$(x^2+1-2x)/3 - (-2x+3)/12 +5/6x <=0$
$(4x^2+4-8x+2x-3+10x)/12<=0$
$1/3x^2-1/2x+11/12<=0$
trovo le soluzioni $[1/2+-sqrt(1/4-11/9)]/(2/3)$
che non ci sono perchè la radice è negativa quindi ovunque , tenendo conto del segno di x^2, l'espressione iniziale è positiva. Come mai sul libro mi dice che la soluzione è x=-1/2 ?
Non dovrebbe essere insieme vuoto ?
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1)Disequazioni parametriche
1.1)risolta : $(2a-1)x>a-3$
$2ax-x>a-3$
$x(2a-1)> a-3$
$x>(a-3)/(2a-1)$
Adesso che cosa devo fare? Sul libro ci sono 3 casi ..trova questo valore : a=1/2 .Come faccio a determinare le possibili situazioni ?
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1.2)sospesa : $ax^2-(2a-1)x+a>0$
trovo le soluzioni $[2a-1 +- sqrt(1-4a)]/(2a)$
Anche qui ci sono vari casi.. come faccio a determinarli ?
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1.3)in attesa di risposta : $(k-1)x+(k-3)(k+3)x>k(kx-1)-2(2x-3)$
$kx-x+k^2x-9x-k^2x+k+4x-6>0$
$kx-6x> -k+6$
$x> -1$
In questo caso non devo studiare nessuna condizione d'esistenza solamente che il libro continua a darmi tre soluzioni
k<6 --> x<-1 ; k=6 --> insieme vuoto (su questa non ho dubbi) ; k>6 --> x> -1 .
Dividendo per k-6 ottengo x>-1 quindi perchè studio nonostante tutto k>6 / k<6 ?
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2)Disequazioni di secondo grado
2.1)risolta : $(x-1)^2/3 <= (-2x+3)/12 -5/6x$
$(x^2+1-2x)/3 - (-2x+3)/12 +5/6x <=0$
$(4x^2+4-8x+2x-3+10x)/12<=0$
$1/3x^2-1/2x+11/12<=0$
trovo le soluzioni $[1/2+-sqrt(1/4-11/9)]/(2/3)$
che non ci sono perchè la radice è negativa quindi ovunque , tenendo conto del segno di x^2, l'espressione iniziale è positiva. Come mai sul libro mi dice che la soluzione è x=-1/2 ?
Non dovrebbe essere insieme vuoto ?
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Risposte
Abbreviamo i calcoli: il $<0$ non potrà mai esserci (come detto da Obidream) e l' $=0$ può verificarsi solo se entrambe le radici si annullano. Quindi risolviamo le due equazioni radicando=zero; l'unica soluzione comune, cioè $x=11/3$, è la soluzione della disequazione.
e io che volevo fare così ma che non l'ho fatto perchè quel meno del radicale mi spaventava!
Raga,ma io che ne so quanto vale tipo $(1+-sqrt(61))/-4$ ..cioè , devo verificare dove si trovano dei punti (se li posso accettare o no in sistemi che sto facendo) però se non ho la calcolatrice come pretendono che li faccio ?
Io ragiono pensando che radice di 61 è un numero che si trova tra il 7 e l'8 però poi mi mettono a confronto numeri la cui frazione sta tra il 7 e l'8 e spesso hanno lo stesso valore di quell'espressione che mi danno in radice ..
Io ragiono pensando che radice di 61 è un numero che si trova tra il 7 e l'8 però poi mi mettono a confronto numeri la cui frazione sta tra il 7 e l'8 e spesso hanno lo stesso valore di quell'espressione che mi danno in radice ..
E' necessaria un po' di pratica... Prova magari a postare un "confronto" che ti sembra difficile che lo guardiamo insieme.
Oddio,ora lo cerco che l'ho sommerso da altri fogli 
Intanto volevo mostrarvi un'equazione con i moduli :
$|(4x-2)/(x-2)|=(1-2x)/(-x^2+4)$
Allora,faccio i miei due sistemi :
$(4x-2)/(x-2) - (1-2x)/(-x^2+4) =0$ --> ho svolto tutta la divisione ed è uscito $-4x^3+4x^2+11x-6$
$(4x-2)/(x-2)>=0$ --> $1/2>=x U x>=2$
Domanda numero 1 : non c'è altro modo di proseguire senza ruffini ?
Io ho trovato lo zero di quel polinomio ossia 1/2 e l'ho scomposto in $(-4x^2+2x+12)(x-1/2)=0$
che ha soluzioni per $x=1/2 ; +2 ; -3/2 $
Io direi quindi che tutte e tre sono soluzioni perchè rientrano nell'intervallo $1/2>=x U x>=2$ però il libro da come soluzioni solo $-3/2 ; 1/2$ ! Perchè ?
Poi vado avanti con il secondo sistema
$-(4x-2)/(x-2) - (1-2x)/(-x^2+4) =0$ --> ho svolto tutta la divisione ed è uscito $4x^3-21x+10$
$(4x-2)/(x-2)<0$ --> $1/2
Anche qui non ho visto altri modi se non ruffini in quanto a detta mia non ci sono prodotti notevoli! Sono andato quindi a trovare un'eventuale zero ed ho beccato nuovamente 1/2 e quindi ho scomposto quel polinomio in $(4x^2+2x-20)(x-1/2)=0$
l'equazione $(4x^2+2x-20)(x-1/2)=0$ ha come soluzioni $ x=1/2 ; x=-5/2 ; x=2 $
Stavolta gli intervalli non accettano gli estremi e quindi non ho nessuna soluzione per questo sistema .Alla fine mi torna $x=1/2 ; +2 ; -3/2 $ come soluzione finale dell'unione dei risultati tra i due sistemi ma il libro non accetta +2!
Intanto volevo mostrarvi un'equazione con i moduli :
$|(4x-2)/(x-2)|=(1-2x)/(-x^2+4)$
Allora,faccio i miei due sistemi :
$(4x-2)/(x-2) - (1-2x)/(-x^2+4) =0$ --> ho svolto tutta la divisione ed è uscito $-4x^3+4x^2+11x-6$
$(4x-2)/(x-2)>=0$ --> $1/2>=x U x>=2$
Domanda numero 1 : non c'è altro modo di proseguire senza ruffini ?
Io ho trovato lo zero di quel polinomio ossia 1/2 e l'ho scomposto in $(-4x^2+2x+12)(x-1/2)=0$
che ha soluzioni per $x=1/2 ; +2 ; -3/2 $
Io direi quindi che tutte e tre sono soluzioni perchè rientrano nell'intervallo $1/2>=x U x>=2$ però il libro da come soluzioni solo $-3/2 ; 1/2$ ! Perchè ?
Poi vado avanti con il secondo sistema
$-(4x-2)/(x-2) - (1-2x)/(-x^2+4) =0$ --> ho svolto tutta la divisione ed è uscito $4x^3-21x+10$
$(4x-2)/(x-2)<0$ --> $1/2
Anche qui non ho visto altri modi se non ruffini in quanto a detta mia non ci sono prodotti notevoli! Sono andato quindi a trovare un'eventuale zero ed ho beccato nuovamente 1/2 e quindi ho scomposto quel polinomio in $(4x^2+2x-20)(x-1/2)=0$
l'equazione $(4x^2+2x-20)(x-1/2)=0$ ha come soluzioni $ x=1/2 ; x=-5/2 ; x=2 $
Stavolta gli intervalli non accettano gli estremi e quindi non ho nessuna soluzione per questo sistema .Alla fine mi torna $x=1/2 ; +2 ; -3/2 $ come soluzione finale dell'unione dei risultati tra i due sistemi ma il libro non accetta +2!
"Umbreon93":
Domanda numero 1 : non c'è altro modo di proseguire senza ruffini ?
Qui potevi vedere che $(4x-2)/(x-2) - (1-2x)/(-x^2+4) =0$, $(4x-2)/(x-2) + (1-2x)/(x^2-4) =0$, $(4x-2)/(x-2) + \frac{1-2x}{(x-2)(x+2)} =0$, $\frac{(4x-2)(x+2)+1-2x}{(x-2)(x+2)}=0$, $4x^2+4x-3=0$
"Umbreon93":
Io direi quindi che tutte e tre sono soluzioni perchè rientrano nell'intervallo \( 1/2>=x U x>=2 \) però il libro da come soluzioni solo \( -3/2 ; 1/2 \) ! Perchè ?
$2$ non è accettabile perchè al denominatore andava posta la condizione $x!=2$
Valgono le stesse cose nell'altro sistema.
Caspita,è vero per il fatto del 2 ! La condizione di esistenza dovrei sempre calcolarla XD
Comunque ,cavolo, con quel prodotto notevole mi semplificavo la vita! Non mi usciva un'equazione di 3° grado e i conti erano più immediati ..grazie!
Altra domanda : prendiamo
$|x^2-4|+|x-1|=x^2+5$
Esaminiamo il segno di ogni argomento risolvendo le disequazioni
$x^2-4>=0$
$x-1>=0$
Costruiamo lo schema dei segni degli argomenti di ogni modulo.Le soluzioni dell'equazione sono l'unione delle soluzioni dei seguenti sistemi :
$x<=-2$
$x^2-4-x+1=x^2+5$
U
$-2
etc..etc.. Ma se io volessi fare :
$x<-2$
$x^2-4-x+1=x^2+5$
U
$-2<=x<1$
$-x^2+4-x+1=x^2+5$
? Cioè , includere gli intervalli dove mi pare ma basta che lo faccio! .. ? :=D
Comunque ,cavolo, con quel prodotto notevole mi semplificavo la vita! Non mi usciva un'equazione di 3° grado e i conti erano più immediati ..grazie!
Altra domanda : prendiamo
$|x^2-4|+|x-1|=x^2+5$
Esaminiamo il segno di ogni argomento risolvendo le disequazioni
$x^2-4>=0$
$x-1>=0$
Costruiamo lo schema dei segni degli argomenti di ogni modulo.Le soluzioni dell'equazione sono l'unione delle soluzioni dei seguenti sistemi :
$x<=-2$
$x^2-4-x+1=x^2+5$
U
$-2
etc..etc.. Ma se io volessi fare :
$x<-2$
$x^2-4-x+1=x^2+5$
U
$-2<=x<1$
$-x^2+4-x+1=x^2+5$
? Cioè , includere gli intervalli dove mi pare ma basta che lo faccio! .. ? :=D
Mi sembra che si possa fare. Devi solo stare attento a mettere l'uguale almeno una volta! 
Sì è che non mi va di imparare a memoria dove lo ficca il libro e meditandoci su ero giunto alla conlcusione che dove lo includevo lo includevo,andava bene ! Thanks
No problem 
$1> - sqrt(x/(2-x))$
La radice è di ordine 3 quindi è una radice cubica
Potrei tranquillamente elevare tutto alla 3° (l'unica condizione di esistenza,per il denominatore,è $x\!=\2$ ).
A questo punto elevo :
$1> -x/(2-x)$
sposto l'espressione con la variabile a sinistra e il termine noto a destra :
$x/(2-x)> -1$
moltiplico per $2-x$ ad ambo i membri ed ottengo
$x> -1(2-x)$ -->$x> -2+x$
quindi 0>-2 che è sempre verificata quindi ottengo R .Tenendo conto della c.e la soluzione finale è R / [2] .
Il libro da come risultato x<2 .. ho provato a rifare l'esercizio senza moltiplicare ad ambo i membri e a svolgere tutto (parto da qui ) :
$x/(2-x)> -1$
$1+x/(2-x)>0$
studio quindi il segno della frazione..al numeratore sono sempre positivo mentre al denominatore sono positivo solo da x<2 in poi . Insomma,ottengo il risultato..la domanda è : per liberarmi del denominatore posso moltiplicare solo quando mi trovo in un'equazione oppure ho sbagliato qualcosa ? No perchè 1<2 o 2<4 non mi cambia niente! Forse è perchè ho moltiplicato per 2-x che non è sempre positivo quindi mi può cambiare i segni ?
La radice è di ordine 3 quindi è una radice cubica
Potrei tranquillamente elevare tutto alla 3° (l'unica condizione di esistenza,per il denominatore,è $x\!=\2$ ).
A questo punto elevo :
$1> -x/(2-x)$
sposto l'espressione con la variabile a sinistra e il termine noto a destra :
$x/(2-x)> -1$
moltiplico per $2-x$ ad ambo i membri ed ottengo
$x> -1(2-x)$ -->$x> -2+x$
quindi 0>-2 che è sempre verificata quindi ottengo R .Tenendo conto della c.e la soluzione finale è R / [2] .
Il libro da come risultato x<2 .. ho provato a rifare l'esercizio senza moltiplicare ad ambo i membri e a svolgere tutto (parto da qui ) :
$x/(2-x)> -1$
$1+x/(2-x)>0$
studio quindi il segno della frazione..al numeratore sono sempre positivo mentre al denominatore sono positivo solo da x<2 in poi . Insomma,ottengo il risultato..la domanda è : per liberarmi del denominatore posso moltiplicare solo quando mi trovo in un'equazione oppure ho sbagliato qualcosa ? No perchè 1<2 o 2<4 non mi cambia niente! Forse è perchè ho moltiplicato per 2-x che non è sempre positivo quindi mi può cambiare i segni ?
Aggiungo anche un'altro quesito :
$sqrt(2x+4)+sqrt(x-3)=1$
dove le radici sono cubiche .. se porto una delle due radici all'altro membro e poi elevo al cubo ottengo un cubo del binomio che mi trascina sempre due radicali con quei tripli prodotti quindi non so come sbarazzarmi della radice!
$sqrt(2x+4)+sqrt(x-3)=1$
dove le radici sono cubiche .. se porto una delle due radici all'altro membro e poi elevo al cubo ottengo un cubo del binomio che mi trascina sempre due radicali con quei tripli prodotti quindi non so come sbarazzarmi della radice!
"Umbreon93":
Forse è perchè ho moltiplicato per 2-x che non è sempre positivo quindi mi può cambiare i segni ?
Esatto! In una disequazione puoi semplificare qualcosa solo se conosci per certo il suo segno, cioè se sai che è sempre positivo o negativo.
Per l'altro esercizio non so aiutarti. Ti posso solo dire che $\root{n}(a)$ si scrive \root{n}(a)
Capisco,grazie lo stesso ^^
Aggiungo anche un'altra cosa : quando ho radici con davanti il meno (ho visto che nell'altro esercizio la cosa si è risolta anche se c'era il meno) non cambia niente ? No perchè sul libro e da diverse parti leggo che si deve cercare di lasciare le radici positive e se non lo sono,farle cambiare di segno..
è che il libro ha trattato dei casi ma mica sono finiti la ! Mi trovo in difficoltà
Avete consigli su siti o anche pagine di questo forum dove vedere una spiegazione che comprenda tutti i casi possibili ?
Aggiungo anche un'altra cosa : quando ho radici con davanti il meno (ho visto che nell'altro esercizio la cosa si è risolta anche se c'era il meno) non cambia niente ? No perchè sul libro e da diverse parti leggo che si deve cercare di lasciare le radici positive e se non lo sono,farle cambiare di segno..
è che il libro ha trattato dei casi ma mica sono finiti la ! Mi trovo in difficoltà
Avete consigli su siti o anche pagine di questo forum dove vedere una spiegazione che comprenda tutti i casi possibili ?
Nelle equazioni credo che non cambi nulla dove metti il segno meno tanto quando poi vai ad elevare al quadrato diventa positivo comunque. Nelle disequazioni invece devi stare attento perchè un segno ti cambia il verso!
Qui parla di come risolvere eqauzioni con più di una radice.
Qui parla di come risolvere eqauzioni con più di una radice.
"marcosocio":
Nelle equazioni credo che non cambi nulla dove metti il segno meno tanto quando poi vai ad elevare al quadrato diventa positivo comunque.
Questo è vero, ma proprio per questo si deve imporre la "coerenza di segno" prima di elevare al quadrato, cioè si deve imporre che le due quantità che sono uguagliate abbiano lo stesso segno. Infatti$$
-3 \ne 3\\
(-3)^{2} = 3^{2}
$$Quindi se abbiamo$$
\diamondsuit = -\sqrt{...}
$$dovremo imporre $$\diamondsuit \le 0$$
In effetti hai ragione, quindi forse è meglio tenere sempre positiva la radice in modo da non confondersi con le condizioni?
"marcosocio":
In effetti hai ragione, quindi forse è meglio tenere sempre positiva la radice in modo da non confondersi con le condizioni?
Diciamo che l'importante è ragionare volta per volta!
Per l'esercizio $root(3)(2x+4)+root(3)(x-3)=1$
puoi aiutarti con la formula $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Indicando con $a,b$ le due radici e ricordando che nel tuo caso $a+b=1$, eleva al cubo ed ottieni
$2x+4+x-3+3*1*root(3)((2x+4)(x-3))=1$
$3root(3)(2x^2-2x-12)=-3x$
Semplifica per 3, eleva al cubo e porta tutto a primo membro; ottieni
$x^3+2x^2-2x-12=0->(x-2)(x^2+4x+6)=0$
la cui unica soluzione reale è $x=2$
puoi aiutarti con la formula $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Indicando con $a,b$ le due radici e ricordando che nel tuo caso $a+b=1$, eleva al cubo ed ottieni
$2x+4+x-3+3*1*root(3)((2x+4)(x-3))=1$
$3root(3)(2x^2-2x-12)=-3x$
Semplifica per 3, eleva al cubo e porta tutto a primo membro; ottieni
$x^3+2x^2-2x-12=0->(x-2)(x^2+4x+6)=0$
la cui unica soluzione reale è $x=2$
Grazie raga! ma quindi se ho $sqrt(3-x^2)+sqrt(7+x)<0$
e non ho voglia di fare il quadrato di un binomio posso spostare in
$sqrt(3-x^2)<-sqrt(7+x)$
ma poi come devo proseguire ? Non è limitato a questo caso perchè a volte ho veramente necessità di avere radici negative da una parte ..o c'è anche una formula per $sqrt(x)+sqrt(x+5)+2*sqrt(x^2+5x)=25-2x$ dove il quadrato del trinomio può essere espresso da un'altra formula come per $(a+b)^3$ ? Se svolgessi i calcoli con il prodotto notevole convenzionale mi trascinerei due radici o sbaglio ?
Seconda domanda :
$|[(x-2)(5-x)(4-x^2)^2]/[(7+x)(25-x^2)(x^2-4x+4)]|<=0$
trovo i risultati $=+-2$
però la mia condizione di esistenza $x\!=\2$ non dovrebbe eliminarmi quel 2 ?Il libro da come risultati sia +2 che -2 !
e non ho voglia di fare il quadrato di un binomio posso spostare in
$sqrt(3-x^2)<-sqrt(7+x)$
ma poi come devo proseguire ? Non è limitato a questo caso perchè a volte ho veramente necessità di avere radici negative da una parte ..o c'è anche una formula per $sqrt(x)+sqrt(x+5)+2*sqrt(x^2+5x)=25-2x$ dove il quadrato del trinomio può essere espresso da un'altra formula come per $(a+b)^3$ ? Se svolgessi i calcoli con il prodotto notevole convenzionale mi trascinerei due radici o sbaglio ?
Seconda domanda :
$|[(x-2)(5-x)(4-x^2)^2]/[(7+x)(25-x^2)(x^2-4x+4)]|<=0$
trovo i risultati $=+-2$
però la mia condizione di esistenza $x\!=\2$ non dovrebbe eliminarmi quel 2 ?Il libro da come risultati sia +2 che -2 !
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