Equazioni e disequazioni
Modifico questo primo post per rendere la discussione un posto dove poter lasciare tutti i dubbi che ho riguardo alla risoluzione/alle soluzioni etc... delle equazioni e disequazioni . Pensavo di uppare ogni qual volta ponessi nuove domande,ditemi voi 
1)Disequazioni parametriche
1.1)risolta : $(2a-1)x>a-3$
$2ax-x>a-3$
$x(2a-1)> a-3$
$x>(a-3)/(2a-1)$
Adesso che cosa devo fare? Sul libro ci sono 3 casi ..trova questo valore : a=1/2 .Come faccio a determinare le possibili situazioni ?
______________________________
1.2)sospesa : $ax^2-(2a-1)x+a>0$
trovo le soluzioni $[2a-1 +- sqrt(1-4a)]/(2a)$
Anche qui ci sono vari casi.. come faccio a determinarli ?
______________________________
1.3)in attesa di risposta : $(k-1)x+(k-3)(k+3)x>k(kx-1)-2(2x-3)$
$kx-x+k^2x-9x-k^2x+k+4x-6>0$
$kx-6x> -k+6$
$x> -1$
In questo caso non devo studiare nessuna condizione d'esistenza solamente che il libro continua a darmi tre soluzioni
k<6 --> x<-1 ; k=6 --> insieme vuoto (su questa non ho dubbi) ; k>6 --> x> -1 .
Dividendo per k-6 ottengo x>-1 quindi perchè studio nonostante tutto k>6 / k<6 ?
______________________________
2)Disequazioni di secondo grado
2.1)risolta : $(x-1)^2/3 <= (-2x+3)/12 -5/6x$
$(x^2+1-2x)/3 - (-2x+3)/12 +5/6x <=0$
$(4x^2+4-8x+2x-3+10x)/12<=0$
$1/3x^2-1/2x+11/12<=0$
trovo le soluzioni $[1/2+-sqrt(1/4-11/9)]/(2/3)$
che non ci sono perchè la radice è negativa quindi ovunque , tenendo conto del segno di x^2, l'espressione iniziale è positiva. Come mai sul libro mi dice che la soluzione è x=-1/2 ?
Non dovrebbe essere insieme vuoto ?
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1)Disequazioni parametriche
1.1)risolta : $(2a-1)x>a-3$
$2ax-x>a-3$
$x(2a-1)> a-3$
$x>(a-3)/(2a-1)$
Adesso che cosa devo fare? Sul libro ci sono 3 casi ..trova questo valore : a=1/2 .Come faccio a determinare le possibili situazioni ?
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1.2)sospesa : $ax^2-(2a-1)x+a>0$
trovo le soluzioni $[2a-1 +- sqrt(1-4a)]/(2a)$
Anche qui ci sono vari casi.. come faccio a determinarli ?
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1.3)in attesa di risposta : $(k-1)x+(k-3)(k+3)x>k(kx-1)-2(2x-3)$
$kx-x+k^2x-9x-k^2x+k+4x-6>0$
$kx-6x> -k+6$
$x> -1$
In questo caso non devo studiare nessuna condizione d'esistenza solamente che il libro continua a darmi tre soluzioni
k<6 --> x<-1 ; k=6 --> insieme vuoto (su questa non ho dubbi) ; k>6 --> x> -1 .
Dividendo per k-6 ottengo x>-1 quindi perchè studio nonostante tutto k>6 / k<6 ?
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2)Disequazioni di secondo grado
2.1)risolta : $(x-1)^2/3 <= (-2x+3)/12 -5/6x$
$(x^2+1-2x)/3 - (-2x+3)/12 +5/6x <=0$
$(4x^2+4-8x+2x-3+10x)/12<=0$
$1/3x^2-1/2x+11/12<=0$
trovo le soluzioni $[1/2+-sqrt(1/4-11/9)]/(2/3)$
che non ci sono perchè la radice è negativa quindi ovunque , tenendo conto del segno di x^2, l'espressione iniziale è positiva. Come mai sul libro mi dice che la soluzione è x=-1/2 ?
Non dovrebbe essere insieme vuoto ?
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Risposte
Per quanto riguarda l'equazione, scomporre a quanto pare non porta da nessuna parte, espandi tutto e dovrebbe uscire $x^5=-1$ (a meno che ho sbagliato a copiarmi la traccia, ma non mi sembra).
Per quanto riguarda invece l'altra domanda non ho capito bene, comunque ora sfortunatamente non ho tempo di rispondenti per bene, spero che ci penserà qualcun altro
Per quanto riguarda invece l'altra domanda non ho capito bene, comunque ora sfortunatamente non ho tempo di rispondenti per bene, spero che ci penserà qualcun altro
Prima domanda
Si può scomporre in fattori portando l'$1$ a primo membro, subito dopo al primo addendo; non conviene però farlo. Il metodo migliore è fare i calcoli, con i quali ottieni subito $x^5=-1$, che risolvi come equazione binomia.
Vedo che ti ha già risposto Pianoth, ma "repetita iuvant"
Seconda domanda
Bisogna razionalizzare il secondo membro
$(2+sqrt2)/(2-sqrt2)=(2+sqrt2)/(2-sqrt2)*(2+sqrt2)/(2+sqrt2)=(4+2sqrt2+2sqrt2+2)/(4-2)=(6+4sqrt2)/2=3+2sqrt2$
e quindi la soluzione è $x>3+2sqrt2$
Consiglio generale
E' meglio non aprire molti thread per esercizi simili: aprine uno solo e metti lì tutti gli esercizi in proposito. Numerali in qualche modo, in modo che chi ti risponde possa dire a quale si riferisce.
Ricorda però che a questo forum si rivolgono molte persone e se ognuno ponesse tante domande quante fai tu si creerebbe una situazione impossibile: devi assolutamente limitarti. Ogni volta che ricevi una risposta devi leggerla e meditarla, accertandoti di averla capita e di sapere rifare da solo il procedimento che ti è stato indicato; negli esercizi successivi ti chiederai poi se quel metodo va bene anche lì.
Si può scomporre in fattori portando l'$1$ a primo membro, subito dopo al primo addendo; non conviene però farlo. Il metodo migliore è fare i calcoli, con i quali ottieni subito $x^5=-1$, che risolvi come equazione binomia.
Vedo che ti ha già risposto Pianoth, ma "repetita iuvant"
Seconda domanda
Bisogna razionalizzare il secondo membro
$(2+sqrt2)/(2-sqrt2)=(2+sqrt2)/(2-sqrt2)*(2+sqrt2)/(2+sqrt2)=(4+2sqrt2+2sqrt2+2)/(4-2)=(6+4sqrt2)/2=3+2sqrt2$
e quindi la soluzione è $x>3+2sqrt2$
Consiglio generale
E' meglio non aprire molti thread per esercizi simili: aprine uno solo e metti lì tutti gli esercizi in proposito. Numerali in qualche modo, in modo che chi ti risponde possa dire a quale si riferisce.
Ricorda però che a questo forum si rivolgono molte persone e se ognuno ponesse tante domande quante fai tu si creerebbe una situazione impossibile: devi assolutamente limitarti. Ogni volta che ricevi una risposta devi leggerla e meditarla, accertandoti di averla capita e di sapere rifare da solo il procedimento che ti è stato indicato; negli esercizi successivi ti chiederai poi se quel metodo va bene anche lì.
Grazie mille a tutti e 2
Scusa XD
Posso utilizzare questo topic per le equazioni che non mi tornano ? Grazie ancora
Consiglio generale
E' meglio non aprire molti thread per esercizi simili: aprine uno solo e metti lì tutti gli esercizi in proposito. Numerali in qualche modo, in modo che chi ti risponde possa dire a quale si riferisce.
Ricorda però che a questo forum si rivolgono molte persone e se ognuno ponesse tante domande quante fai tu si creerebbe una situazione impossibile: devi assolutamente limitarti. Ogni volta che ricevi una risposta devi leggerla e meditarla, accertandoti di averla capita e di sapere rifare da solo il procedimento che ti è stato indicato; negli esercizi successivi ti chiederai poi se quel metodo va bene anche lì.
Scusa XD
Posso utilizzare questo topic per le equazioni che non mi tornano ? Grazie ancora
Sì, certo.
Up, ho modificato il mio primo messaggio
Per quanto riguarda il primo caso:
il valore $a=1/2$ è relativo alle condizioni di esistenza del valore che hai trovato.
Per il secondo caso idem:
devi imporre le condizioni di esistenza (denominatore e radicando)
il valore $a=1/2$ è relativo alle condizioni di esistenza del valore che hai trovato.
Per il secondo caso idem:
devi imporre le condizioni di esistenza (denominatore e radicando)
"burm87":
Per quanto riguarda il primo caso:
il valore $a=1/2$ è relativo alle condizioni di esistenza del valore che hai trovato.
Per il secondo caso idem:
devi imporre le condizioni di esistenza (denominatore e radicando)
Ti ringrazio per la risposta, provo a tenerne conto e a rifare l'esercizio..intanto ho aggiunto al primo messaggio un punto 2.1 ... grazie
"Umbreon93":
..intanto ho aggiunto al primo messaggio un punto 2.1 ... grazie
Controlla meglio i conti, i primi due passaggi sembrano corretti, dal terzo c'è qualche errore di calcolo!
Non ti dico altro perché mi pare tu possa cavartela da solo
L'unica cosa che ti consiglio è che, piuttosto di mantenere il denominatore, liberatene così hai i coefficiente interi!
$12(x^2+1-2x)/3 <= 12(-2x+3)/12 +12(-5/6x) <=0$
$4x^2+4-8x<=-2x+3-10x$
$4x^2+4x+1<=0$
La cui soluzione è proprio -1/2
Cercherò di vedere dov'è che ho sbagliato con l'altro procedimento perchè quando non mi viene una cosa mi prende a male XD
Comunque ,per l'esercizio 1.1 ho calcolato la condizione di esistenza $2a-1\!=\0$ --> $a\!=\1/2$
I tre casi che riporta il libro sono :
se a=1/2 la disequazione diventa 0x>-5/2 quindi R (questo perchè 0 è sempre maggiore di -5/2 ? ) ;
se a>1/2 , applicando il secondo principio di equivalenza ,si ha $x>(a-3)/(2a-1) $
se a<1/2 , applicando il secondo principio di equivalenza ,si ha $x<(a-3)/(2a-1) $
Per la prima ho sostituito 1/2 ad a e va bè .. per le altre due come faccio ? Cioè , lo devo verificare manualmente sostituendo prima un numero maggiore di 1/2 e poi un numero minore di 1/2 ad a nell'espressione iniziale ?
$4x^2+4-8x<=-2x+3-10x$
$4x^2+4x+1<=0$
La cui soluzione è proprio -1/2
Cercherò di vedere dov'è che ho sbagliato con l'altro procedimento perchè quando non mi viene una cosa mi prende a male XD
Comunque ,per l'esercizio 1.1 ho calcolato la condizione di esistenza $2a-1\!=\0$ --> $a\!=\1/2$
I tre casi che riporta il libro sono :
se a=1/2 la disequazione diventa 0x>-5/2 quindi R (questo perchè 0 è sempre maggiore di -5/2 ? ) ;
se a>1/2 , applicando il secondo principio di equivalenza ,si ha $x>(a-3)/(2a-1) $
se a<1/2 , applicando il secondo principio di equivalenza ,si ha $x<(a-3)/(2a-1) $
Per la prima ho sostituito 1/2 ad a e va bè .. per le altre due come faccio ? Cioè , lo devo verificare manualmente sostituendo prima un numero maggiore di 1/2 e poi un numero minore di 1/2 ad a nell'espressione iniziale ?
Allora per il primo punto ok, $0x$ è sempre $>$ di un numero negativo.
Per gli altri due no, non serve verificare perchè quando sei a questo punto:
$x(2a-1)>a-3$
ti trovi a dover dividere entrambi i membri per $2a-1$ che non sai se è positivo o negativo. Quindi a seconda del caso in cui sei manterrai il verso se $2a-1$ è positivo e, invece, lo invertirai se $2a-1<0$.
Per gli altri due no, non serve verificare perchè quando sei a questo punto:
$x(2a-1)>a-3$
ti trovi a dover dividere entrambi i membri per $2a-1$ che non sai se è positivo o negativo. Quindi a seconda del caso in cui sei manterrai il verso se $2a-1$ è positivo e, invece, lo invertirai se $2a-1<0$.
Capisco ! Ma se la condizione d'esistenza fosse R ? Può capitare ?
Potresti farmi un'esempio ?
Come risolverei ? Ci sarebbe un solo caso ?
Potresti farmi un'esempio ?
Come risolverei ? Ci sarebbe un solo caso ?
Se la condizione di esistenza fosse tutto R non avresti i vari casi. In quanto avresti la stessa soluzione indipendentemente dal valore assunto dal parametro.
$x>a-3$ potrebbe essere un caso, ma sembra piuttosto banale messo qua così
$x>a-3$ potrebbe essere un caso, ma sembra piuttosto banale messo qua così
Ricorda questo:
Quando hai una qualsiasi disequazione parametrica, la devi condurre nella forma $ax > b$ o $ax < b$ oppure $ax \leq b$ o $ax \geq b$.
$a$ e $b$ possono essere qualunque cosa! Per esempio, in $[2 - (b)/(\sqrt{a})]x<[c^2+4\alpha\cos(\beta/2)]$, $a = 2 - (b)/(\sqrt{a})$ e $b=c^2+4\alpha\cos(\beta/2)$.
Indipendentemente se è minore, maggiore, minore o uguale oppure maggiore o uguale, devi studiare il segno di a e devi vedere per quali valori è uguale a 0.
Questo perché il prossimo passaggio è dividere per a entrambi i membri, e dato che non conosci il segno di a, non sai se devi cambiare o meno il verso della disuguaglianza! Ti faccio un esempio con $ax < b$:
- Se $a < 0$, allora dividendo per a devi cambiare il verso della disuguaglianza, quindi la soluzione è $x > b/a$.
- Se $a = 0$, allora dividendo per a stai dividendo per 0, il che non ha significato! Quindi ti occorre quindi sostituire 0 in $ax < b => 0 < b$. La disequazione quindi si sdoppia:
- - Se $b < 0$ la disequazione è impossibile.
- - Se $b \geq 0$ la disequazione è indeterminata.
- Se $a > 0$ allora dividendo per a dividi per una quantità positiva, ergo non devi cambiare il verso e la soluzione è $x < b/a$.
Ora ricorda questo schema. Questa è la soluzione della disequazione $ax < b$ studiando tutti i casi possibili! L'unica cosa da aggiungere a tutta questa soluzione sono le condizioni d'esistenza di a e di b, qualora fossero necessarie (per esempio se $b = \sqrt{a}$).
Quindi con tutte queste considerazioni, "se la condizione d'esistenza fosse R", come la dovresti risolvere? La condizione d'esistenza è R solo quando non raggiungi la disequazione del tipo $ax < b$ (oppure maggiore, ecc.), ma facendo tutti i calcoli trovi una disequazione del tipo $x < a$. In tale caso, non serve studiare nessun segno, perché puoi determinare una soluzione per ogni valore di a, e il verso della disuguaglianza non dipende da a.
Spero che con questo post io non ti abbia confuso le idee ancora di più.
Quando hai una qualsiasi disequazione parametrica, la devi condurre nella forma $ax > b$ o $ax < b$ oppure $ax \leq b$ o $ax \geq b$.
$a$ e $b$ possono essere qualunque cosa! Per esempio, in $[2 - (b)/(\sqrt{a})]x<[c^2+4\alpha\cos(\beta/2)]$, $a = 2 - (b)/(\sqrt{a})$ e $b=c^2+4\alpha\cos(\beta/2)$.
Indipendentemente se è minore, maggiore, minore o uguale oppure maggiore o uguale, devi studiare il segno di a e devi vedere per quali valori è uguale a 0.
Questo perché il prossimo passaggio è dividere per a entrambi i membri, e dato che non conosci il segno di a, non sai se devi cambiare o meno il verso della disuguaglianza! Ti faccio un esempio con $ax < b$:
- Se $a < 0$, allora dividendo per a devi cambiare il verso della disuguaglianza, quindi la soluzione è $x > b/a$.
- Se $a = 0$, allora dividendo per a stai dividendo per 0, il che non ha significato! Quindi ti occorre quindi sostituire 0 in $ax < b => 0 < b$. La disequazione quindi si sdoppia:
- - Se $b < 0$ la disequazione è impossibile.
- - Se $b \geq 0$ la disequazione è indeterminata.
- Se $a > 0$ allora dividendo per a dividi per una quantità positiva, ergo non devi cambiare il verso e la soluzione è $x < b/a$.
Ora ricorda questo schema. Questa è la soluzione della disequazione $ax < b$ studiando tutti i casi possibili! L'unica cosa da aggiungere a tutta questa soluzione sono le condizioni d'esistenza di a e di b, qualora fossero necessarie (per esempio se $b = \sqrt{a}$).
Quindi con tutte queste considerazioni, "se la condizione d'esistenza fosse R", come la dovresti risolvere? La condizione d'esistenza è R solo quando non raggiungi la disequazione del tipo $ax < b$ (oppure maggiore, ecc.), ma facendo tutti i calcoli trovi una disequazione del tipo $x < a$. In tale caso, non serve studiare nessun segno, perché puoi determinare una soluzione per ogni valore di a, e il verso della disuguaglianza non dipende da a.
Spero che con questo post io non ti abbia confuso le idee ancora di più.
Io penso di star capendo tutto..! è che sono i primi 2-3 esercizi che faccio e dovrei entrare nel meccanismo!
Comunque ho posto una domanda 1.3 proprio per il caso con la c.e= R .Non mi torna quello che mi hai detto per quest'ultima cosa!
Comunque ho posto una domanda 1.3 proprio per il caso con la c.e= R .Non mi torna quello che mi hai detto per quest'ultima cosa!
E invece no, la C.E non è R!
$$kx−6x>−k+6$$
$$(k-6)x > -k+6$$
Da qui, prima di dividere per $k-6$, devi fare tutto lo studio che ti ho spiegato sopra.
Anzi, te lo faccio io, così capisci:
- Se $k - 6 < 0 => k < 6$ allora stiamo dividendo per una quantità negativa, ergo la soluzione è $x < -1$
- Se $k-6 = 0$, per sapere se è indeterminata o meno è sostituire prima di dividere: $0 > -k+6 => 0 > 0$. La disequazione è quindi impossibile.
- Infine, se $k - 6 > 0 => k > 6$ allora la soluzione è semplicemente $x > -1$.
$$kx−6x>−k+6$$
$$(k-6)x > -k+6$$
Da qui, prima di dividere per $k-6$, devi fare tutto lo studio che ti ho spiegato sopra.
Anzi, te lo faccio io, così capisci:
- Se $k - 6 < 0 => k < 6$ allora stiamo dividendo per una quantità negativa, ergo la soluzione è $x < -1$
- Se $k-6 = 0$, per sapere se è indeterminata o meno è sostituire prima di dividere: $0 > -k+6 => 0 > 0$. La disequazione è quindi impossibile.
- Infine, se $k - 6 > 0 => k > 6$ allora la soluzione è semplicemente $x > -1$.
Scusami se ho modificato più volte la risposta, non so perché avevo confuso completamente le equazioni letterali con le disequazioni letterali. Avevo anche sbagliato quando $a = 0$ sopra. 
Avevo anche sbagliato quando $a = 0$ sopra.
Figurati , anzi ..!
Comunque sto uscendo matto per questi segni ..sono giunto alla conclusione che il libro sbaglia!
Prendiamo
$(x-2a)^2-(a-1)^2>= (x-1)(2a+1)+x(1+x)$
Svolto tutti i calcoli ,ottengo $x>=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
Adesso , la c.e è $2(3a+1)\!=\0$ --> $a\!=\-1/3$
Sono giunto alla seguente conclusione (non so se è giusta) : se divido per un numero positivo il segno rimane invariato.
Adesso,sempre se ciò che ho detto è vero , perchè le cose non mi tornano ?
Distinguo i casi
1) a=-1/3 ---> insieme vuoto e vabbè ;
2) a>-1/3 <--- qui sto dividendo per qualcosa di positivo quindi il segno non cambia : $x>=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
3) a<-1/3 <--- qui sto dividendo per qualcosa di negativo quindi il segno si cambia : $x<=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
Sono certo di non essermi sbagliato con i segni .. non c'è nessun inganno (es : cerco quando qualcosa è maggiore di 0 e si rovescia il segno quindi , per dirti , cerchi quando una certa roba è >0 e ti viene un'espressione blabla<0 e ti puoi confondere) ! E allora perchè il libro riporta i seguenti risultati ? :
1) a=-1/3 ---> insieme vuoto e vabbè ;
2) a>-1/3 <--- $x<=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
3) a<-1/3 <--- $x>=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
Tutte le altre mi sono venute..ho ragione io o il libro ?
Comunque sto uscendo matto per questi segni ..sono giunto alla conclusione che il libro sbaglia!
Prendiamo
$(x-2a)^2-(a-1)^2>= (x-1)(2a+1)+x(1+x)$
Svolto tutti i calcoli ,ottengo $x>=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
Adesso , la c.e è $2(3a+1)\!=\0$ --> $a\!=\-1/3$
Sono giunto alla seguente conclusione (non so se è giusta) : se divido per un numero positivo il segno rimane invariato.
Adesso,sempre se ciò che ho detto è vero , perchè le cose non mi tornano ?
Distinguo i casi
1) a=-1/3 ---> insieme vuoto e vabbè ;
2) a>-1/3 <--- qui sto dividendo per qualcosa di positivo quindi il segno non cambia : $x>=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
3) a<-1/3 <--- qui sto dividendo per qualcosa di negativo quindi il segno si cambia : $x<=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
Sono certo di non essermi sbagliato con i segni .. non c'è nessun inganno (es : cerco quando qualcosa è maggiore di 0 e si rovescia il segno quindi , per dirti , cerchi quando una certa roba è >0 e ti viene un'espressione blabla<0 e ti puoi confondere) ! E allora perchè il libro riporta i seguenti risultati ? :
1) a=-1/3 ---> insieme vuoto e vabbè ;
2) a>-1/3 <--- $x<=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
3) a<-1/3 <--- $x>=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
Tutte le altre mi sono venute..ho ragione io o il libro ?
Svolti i calcoli, ti dovresti trovare: $$-2(3a+1)x \geq -a(3a+4)$$
Dividi per -2, quindi cambi il verso della disuguaglianza:
$$(3a+1)x \leq \frac{a(3a+4)}{2}$$
Ora facendo tutto lo studio di $3a+1$ dovrebbe uscirti il risultato del libro.
Dividi per -2, quindi cambi il verso della disuguaglianza:
$$(3a+1)x \leq \frac{a(3a+4)}{2}$$
Ora facendo tutto lo studio di $3a+1$ dovrebbe uscirti il risultato del libro.
Io ero arrivato a
$x>=[a(-3a-4)]/[2(-3a-1)]$
avevo raccolto un meno e quindi $x>=[-a(3a+4)]/[-2(3a+1)]$
dopodichè avevo pensato che , -*- = + quindi
$x>=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
ossia ho cambiato tutto di segno ! Non si può fare così ? Se fossi arrivato a $x>=[-a(3a+4)]/[-2(3a+1)]$
come sarei andato avanti da lì ? Comunque il tuo ragionamento l'ho capito..grazie
$x>=[a(-3a-4)]/[2(-3a-1)]$
avevo raccolto un meno e quindi $x>=[-a(3a+4)]/[-2(3a+1)]$
dopodichè avevo pensato che , -*- = + quindi
$x>=[a(3a+4)]/[2(3a+1)]$
ossia ho cambiato tutto di segno ! Non si può fare così ? Se fossi arrivato a $x>=[-a(3a+4)]/[-2(3a+1)]$
come sarei andato avanti da lì ? Comunque il tuo ragionamento l'ho capito..grazie
In realtà devi per forza partire da un passaggio prima, perché se devi dividere per $-2(3a+1)$, se $3a+1 > 0$ allora $-2(3a+1) <0$... Ovvero se $a > -1/3$ la soluzione è $x \leq\ \frac{-a(3a+4)}{-2(3a+1)}=\frac{a(3a+4)}{2(3a+1)}$
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