Distanza fra due punti
Buona sera ho un esercizio senza risultato e non so se l'ho fatto bene, non mi fido di me, magari se mi potete aiutare....
Allora l'esercizio è:
date le rette:
$\bar{AB}: x-y+4=0$
$\bar{BC}: x+y=0$
$\bar{CD}: x+4y+4=0$
verificare che il triangolo $\hat{A B C}$ è rettangolo e calcolare vertici e l'area.
Allora come primo mi calcolo i vertici:
dando una volta 0 alla $x$ e una volta zero alla $y$ e mi trovo la seguante figura:
[asvg]axes();
var A = [0,4];
dot(A);
var B = [-4,0];
dot(B);
var C = [0,-1];
dot(C);
line([0, 4], [-4, 0]); // traccia il segmento di estremi P(0, 4), Q(-4, 0)
line([0, 4], [0, -1]); // traccia il segmento di estremi R(0, 4), M(0, -1)
line([0, -1], [-4, 0]); // traccia il segmento di estremi P(0, -1), Q(-4, 0)[/asvg]
ora se è un triangolo rettangolo vale il Teorema di pitagora
però devo trovarmi la misura dei lati del triangolo:
$\bar{AB}: sqrt((0-0)^2+(-1-4)^2=$ $sqrt(5)$
$\bar{BC}: sqrt((-4-0)^2+(4-0)^2)=$ $sqrt(32)$
$\bar{CD}: sqrt((0-4)^2+(-1-0)^2=$ $sqrt(17)$
e ora come faccio a provare che è rettangolo???
Allora l'esercizio è:
date le rette:
$\bar{AB}: x-y+4=0$
$\bar{BC}: x+y=0$
$\bar{CD}: x+4y+4=0$
verificare che il triangolo $\hat{A B C}$ è rettangolo e calcolare vertici e l'area.
Allora come primo mi calcolo i vertici:
dando una volta 0 alla $x$ e una volta zero alla $y$ e mi trovo la seguante figura:
[asvg]axes();
var A = [0,4];
dot(A);
var B = [-4,0];
dot(B);
var C = [0,-1];
dot(C);
line([0, 4], [-4, 0]); // traccia il segmento di estremi P(0, 4), Q(-4, 0)
line([0, 4], [0, -1]); // traccia il segmento di estremi R(0, 4), M(0, -1)
line([0, -1], [-4, 0]); // traccia il segmento di estremi P(0, -1), Q(-4, 0)[/asvg]
ora se è un triangolo rettangolo vale il Teorema di pitagora
però devo trovarmi la misura dei lati del triangolo:
$\bar{AB}: sqrt((0-0)^2+(-1-4)^2=$ $sqrt(5)$
$\bar{BC}: sqrt((-4-0)^2+(4-0)^2)=$ $sqrt(32)$
$\bar{CD}: sqrt((0-4)^2+(-1-0)^2=$ $sqrt(17)$
e ora come faccio a provare che è rettangolo???
Risposte
A me sembra che il disegno sia sbagliato. COme hai fatto a trovare i vertici del triangolo ?
Credo anch'io che il grafico sia sbagliato; le cordinate dei vertici dovrebbero essere $A(-4,0), B(-2,2), C(4/3, -4/3)$. Per verificare che il triangolo è rettangolo puoi verificare che vale il teorema di Pitagora oppure, se hai già studiato la perpendicolarità in analitica, notare che le prime due rette sono perpendicolari fra loro.
tipo nella prima equazione $x-y+4=0$ do come valore alla $x=0$ e quindi andando a sostituire la x nell'equazione trovo: $0-y+4=0$ $y=4$, poi faccio lo stesso con la y, ovvero $y=0$ e quindi ho: $x-0+4=0$ $x=-4$ quindi il punto $A$ ha coordinate: $A(-4; 4)$
"domy90":(cmq nel disegno l'hai fatto bene, quindi ti sei sbagliata nello scrivere)
tipo nella prima equazione $x-y+4=0$ do come valore alla $x=0$ e quindi andando a sostituire la x nell'equazione trovo: $0-y+4=0$ $y=4$, poi faccio lo stesso con la y, ovvero $y=0$ e quindi ho: $x-0+4=0$ $x=-4$ quindi il punto $A$ ha coordinate: $A(-4; [size=150]4[/size]->0)$
E' quello il modo per disegnare le rette, dopo che hai due punti le puoi tracciare.
AB e BC sono tracciate bene, infatti ottieni la loro intersezione B. Ma hai sbagliato a congiungere A e C attraverso l'asse y: perché? La terza retta sarebbe dovuta essere x=0 per fare il disegno in quel modo, invece non è x=0. Devi disegnare l'altra retta AC. L'intersezione con AB sarà A, quella con BC sarà C.
Potevi anche non disegnare le rette e trovare direttamente i tre punti con tre sistemi intersecando due rette alla volta.
"domy90":Tutto bene fino al punto in cui ho messo i due asterischi e che dice che la retta AB passa per i punti (0,4) e (-4,0); per il disegno mi fido di dreamager perchè io non lo visualizzo. Sbagliata invece l'ultima parte della frase: guarda la figura e vedrai che il punto (-4,4) non sta su quella retta e quindi non può essere A. Il metodo per trovare i vertici ti è già stato suggerito da dreamager.
tipo nella prima equazione $x-y+4=0$ do come valore alla $x=0$ e quindi andando a sostituire la x nell'equazione trovo: $0-y+4=0$ $y=4$, poi faccio lo stesso con la y, ovvero $y=0$ e quindi ho: $x-0+4=0$ $x=-4$ ** quindi il punto $A$ ha coordinate: $A(-4; 4)$
scusate se rispondo ora....
comunque non ho capito dove sbaglio....
Vi dico passo passo cos'ho fatto....
Alllora io tengo le tre rette $\bar{AB}$, $\bar{BC}$, $\bar{CD}$ e le voglio disegnare sugli assi cartesiani.... partendo dalla prima retta $\bar{AB}$ faccio l'intersezione con gli assi e dò valore zero una volta alla $y$ e una volta alla $x$ più precisamente:
$\bar{AB}: x-y+4=0$ $rarr$ $\{(x-y+4=0),(y=0):}$ $rarr$ $\{(x=-4),(y=0):}$ e questo è il primo estremo che individua la retta $\bar{AB}$, ora trovo il secondo:
$\bar{AB}: x-y+4=0$ $rarr$ $\{(x=0),(x-y+4=0):}$ $rarr$ $\{(x=0),(y=+4):}$ e questo è il secondo estremo; e quindi la retta $\bar{AB}$ ha come coordinate: $\bar{AB}-= (-4;0),(0;+4)
ora posso disegnare la retta sugli assi:
[asvg]axes();
dot([-4, 0]); // disegna il punto di coordinate x=-4 e y=0
dot([0, +4]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=+4
line([-4, 0], [0, +4]);[/asvg]
procedo allo stesso modo per la retta $\bar{BC}$:
$\bar{BC}: x+y=0$ gli estremi della retta $\bar{BC}$ sono di coordinate $\bar{BC}-=(0;0)
retta $\bar{CD}: x+4y+4=0$
$\bar{CD}: x+4y+4=0$ $rarr$ $\{(x+4y+4=0),(y=0):}$ $rarr$ $\{(x=-4),(y=0):}$ primo estremo della retta $\bar{CD}$
$\bar{CD}: x+4y+4=0$ $rarr$ $\{(x=0),(x+4y+4=0):}$ $rarr$ $\{(x=0),(y=-1):}$ secondo estremo della retta $\bar{CD}$; quindi la retta $\bar{CD}$ ha come coordinate: $\bar{CD}-=(-4;0), (0;-1)$, disegno la retta sugli assi e ho:
[asvg]axes();
dot([-4, 0]); // disegna il punto di coordinate x=-4 e y=0
dot([0, -1]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=-1
line([-4, 0], [0, -1]);[/asvg]
Metto insieme i tre grafici e ho:
[asvg]axes();
dot([-4, 0]); // disegna il punto di coordinate x=-4 e y=0
dot([0, +4]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=+4
line([-4, 0], [0, +4]);
dot([0, 0]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=0
dot([-4, 0]); // disegna il punto di coordinate x=-4 e y=0
dot([0, -1]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=-1
line([-4, 0], [0, -1]);
line([0, -1], [0, +4]);[/asvg]
ho fatto bene???
comunque non ho capito dove sbaglio....
Vi dico passo passo cos'ho fatto....
Alllora io tengo le tre rette $\bar{AB}$, $\bar{BC}$, $\bar{CD}$ e le voglio disegnare sugli assi cartesiani.... partendo dalla prima retta $\bar{AB}$ faccio l'intersezione con gli assi e dò valore zero una volta alla $y$ e una volta alla $x$ più precisamente:
$\bar{AB}: x-y+4=0$ $rarr$ $\{(x-y+4=0),(y=0):}$ $rarr$ $\{(x=-4),(y=0):}$ e questo è il primo estremo che individua la retta $\bar{AB}$, ora trovo il secondo:
$\bar{AB}: x-y+4=0$ $rarr$ $\{(x=0),(x-y+4=0):}$ $rarr$ $\{(x=0),(y=+4):}$ e questo è il secondo estremo; e quindi la retta $\bar{AB}$ ha come coordinate: $\bar{AB}-= (-4;0),(0;+4)
ora posso disegnare la retta sugli assi:
[asvg]axes();
dot([-4, 0]); // disegna il punto di coordinate x=-4 e y=0
dot([0, +4]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=+4
line([-4, 0], [0, +4]);[/asvg]
procedo allo stesso modo per la retta $\bar{BC}$:
$\bar{BC}: x+y=0$ gli estremi della retta $\bar{BC}$ sono di coordinate $\bar{BC}-=(0;0)
retta $\bar{CD}: x+4y+4=0$
$\bar{CD}: x+4y+4=0$ $rarr$ $\{(x+4y+4=0),(y=0):}$ $rarr$ $\{(x=-4),(y=0):}$ primo estremo della retta $\bar{CD}$
$\bar{CD}: x+4y+4=0$ $rarr$ $\{(x=0),(x+4y+4=0):}$ $rarr$ $\{(x=0),(y=-1):}$ secondo estremo della retta $\bar{CD}$; quindi la retta $\bar{CD}$ ha come coordinate: $\bar{CD}-=(-4;0), (0;-1)$, disegno la retta sugli assi e ho:
[asvg]axes();
dot([-4, 0]); // disegna il punto di coordinate x=-4 e y=0
dot([0, -1]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=-1
line([-4, 0], [0, -1]);[/asvg]
Metto insieme i tre grafici e ho:
[asvg]axes();
dot([-4, 0]); // disegna il punto di coordinate x=-4 e y=0
dot([0, +4]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=+4
line([-4, 0], [0, +4]);
dot([0, 0]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=0
dot([-4, 0]); // disegna il punto di coordinate x=-4 e y=0
dot([0, -1]); // disegna il punto di coordinate x=0 e y=-1
line([-4, 0], [0, -1]);
line([0, -1], [0, +4]);[/asvg]
ho fatto bene???
Alune precisazioni.
I punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] non sono gli estremi di alcuna retta: le rette non hanno estremi; sono, invece, due punti della retta. Inoltre, di solito, le rette si indicano senza mettere la barra sopra i la coppia di punti.
Le coordinate le hanno i punti, non le rette né i segmenti, ergo è sbagliatissimo scrivere [tex]\overline{AB}\equiv(-4;0),(0;+4)[/tex], perché non ha alcun significato: è invece corretto dire che la retta [tex]AB[/tex] passa per i punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] rispettivamente di coordinate [tex](-4;0)[/tex] e [tex](0;+4)[/tex] (o viceversa) e di queste due coordinate quella descritta dalla coppia con prima coordinata nulla si dice anche intercetta (od ordinata) all'origine.
Venendo all'esercizio, la retta [tex]BC[/tex] è la bisettrice del secondo e quarto quadrante: infatti da [tex]x+y=0[/tex] si ricava [tex]y=-x[/tex]. Fatto questo si può notare come il triangolo [tex]\triangle AOB[/tex] sia un triangolo rettangolo isoscele in [tex]O[/tex], per il quale la suddetta bisettrice è il supporto dell'altezza relativa alla sua base, i.e. il segmento [tex][AB][/tex]. Allora, il triangolo chiuso dalle tre rette è chiaramente rettangolo, segnatamente con angolo retto nell'intersezione tra le retta [tex]AB[/tex] e [tex]BC[/tex].
I punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] non sono gli estremi di alcuna retta: le rette non hanno estremi; sono, invece, due punti della retta. Inoltre, di solito, le rette si indicano senza mettere la barra sopra i la coppia di punti.
Le coordinate le hanno i punti, non le rette né i segmenti, ergo è sbagliatissimo scrivere [tex]\overline{AB}\equiv(-4;0),(0;+4)[/tex], perché non ha alcun significato: è invece corretto dire che la retta [tex]AB[/tex] passa per i punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] rispettivamente di coordinate [tex](-4;0)[/tex] e [tex](0;+4)[/tex] (o viceversa) e di queste due coordinate quella descritta dalla coppia con prima coordinata nulla si dice anche intercetta (od ordinata) all'origine.
Venendo all'esercizio, la retta [tex]BC[/tex] è la bisettrice del secondo e quarto quadrante: infatti da [tex]x+y=0[/tex] si ricava [tex]y=-x[/tex]. Fatto questo si può notare come il triangolo [tex]\triangle AOB[/tex] sia un triangolo rettangolo isoscele in [tex]O[/tex], per il quale la suddetta bisettrice è il supporto dell'altezza relativa alla sua base, i.e. il segmento [tex][AB][/tex]. Allora, il triangolo chiuso dalle tre rette è chiaramente rettangolo, segnatamente con angolo retto nell'intersezione tra le retta [tex]AB[/tex] e [tex]BC[/tex].
C'è un errore che ho commesso io la terza e la retta non è $CD$ ma è $AC$, non so se è un errore grave o da niente....
Non ho capito: hai sbagliato i nomi delle rette o le equazioni delle rette? Nel primo caso non significa granché, nel secondo occorre rivedere quello che ho detto.
si si ho sbagliato il nome, allora non fa niente....
tornando all'esercizio e quello che hai detto, tu hai parlato della retta $AB$ e della retta $BC$, però non hai detto della retta $AC$, essa anche ha due punti, che ruolo gioca???
tornando all'esercizio e quello che hai detto, tu hai parlato della retta $AB$ e della retta $BC$, però non hai detto della retta $AC$, essa anche ha due punti, che ruolo gioca???
[tex]CD[/tex] fa da ipotenusa.
P.S.
Tutte le rette hanno ben più di due punti.
P.S.
Tutte le rette hanno ben più di due punti.
io non mi trovo con il disegno allora, perchè mi viene la stessa cosa solo che c'è aggiunto la bisettrice del secondo e quarto quadrante....
ok, capisco quindi è buona norma prolungare la rette per evitare di confondersi.....
e se voglio determinare i vertici del triangolo devo mettere a sistema tra di loro le tre equazioni?
devi metterle a sistema a due a due, quindi devi fare 3 sistemi
Le coordinate dei vertici del triangolo sono: $A-=(-4;0)$ $B-=(-2;+2)$ $C-=(4/3;-4/3)$
poi devo trovare quanto misurano i cateti e l'ipotenusa e uso la formila per la distanza fra due punti:
$\barAB=sqrt((-2+4)^2+(2-0)^2)= sqrt(8)$
$\barBC=sqrt((4/3-2)^2+(-4/3-2)^2)= sqrt(11,55)$
$\barAC=sqrt((4/3+4)^2+(-4/3-0)^2)= sqrt(30,22)$
però se vado a verifivare non si trovano...
poi devo trovare quanto misurano i cateti e l'ipotenusa e uso la formila per la distanza fra due punti:
$\barAB=sqrt((-2+4)^2+(2-0)^2)= sqrt(8)$
$\barBC=sqrt((4/3-2)^2+(-4/3-2)^2)= sqrt(11,55)$
$\barAC=sqrt((4/3+4)^2+(-4/3-0)^2)= sqrt(30,22)$
però se vado a verifivare non si trovano...
Hai sbagliato il calcolo di BC:
$\bar(BC)^2=(4/3+2)^2+(-4/3-2)^2= 200/9$
Lo calcolo al quadrato, così è più comodo applicare il teorema di Pitagora.
$\bar(BC)^2=(4/3+2)^2+(-4/3-2)^2= 200/9$
Lo calcolo al quadrato, così è più comodo applicare il teorema di Pitagora.
ah così si elimina la radice quadrata dal principio???
mentre le coordinate del baricentro sono: $B-=(-14/9;2/9)$?
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