Distanza fra due punti

[kioccolatino90]

Buona sera ho un esercizio senza risultato e non so se l'ho fatto bene, non mi fido di me, magari se mi potete aiutare....
Allora l'esercizio è:
date le rette:
$\bar{AB}: x-y+4=0$
$\bar{BC}: x+y=0$
$\bar{CD}: x+4y+4=0$
verificare che il triangolo $\hat{A B C}$ è rettangolo e calcolare vertici e l'area.

Allora come primo mi calcolo i vertici:
dando una volta 0 alla $x$ e una volta zero alla $y$ e mi trovo la seguante figura:
[asvg]axes();
var A = [0,4];
dot(A);
var B = [-4,0];
dot(B);
var C = [0,-1];
dot(C);
line([0, 4], [-4, 0]); // traccia il segmento di estremi P(0, 4), Q(-4, 0)
line([0, 4], [0, -1]); // traccia il segmento di estremi R(0, 4), M(0, -1)
line([0, -1], [-4, 0]); // traccia il segmento di estremi P(0, -1), Q(-4, 0)[/asvg]

ora se è un triangolo rettangolo vale il Teorema di pitagora
però devo trovarmi la misura dei lati del triangolo:
$\bar{AB}: sqrt((0-0)^2+(-1-4)^2=$ $sqrt(5)$
$\bar{BC}: sqrt((-4-0)^2+(4-0)^2)=$ $sqrt(32)$
$\bar{CD}: sqrt((0-4)^2+(-1-0)^2=$ $sqrt(17)$
e ora come faccio a provare che è rettangolo???

[giammaria2]

Intanto una piccola correzione sulle parole usate: PUOI sempre assegnare delle $x$ negative, ma lo fai solo quando serve a qualcosa. Guarda la figura dell'esercizio precedente: limitando l'attenzione alla zona che ti interessa, quali rette entrano nel secondo o terzo quadrante? Per queste conviene usare anche qualche x negativa.

[kioccolatino90]

direi la retta $AB$ e la retta $CB$ però anche quella $AC$ attraversa il secondo e il terzo quadrante....

[giammaria2]

E allora usa per tutte tre anche qualche valore negativo. Aggiungo un dettaglio: se le rette sono disegnate solo col metodo di cui abbiamo parlato finora (ce ne sono di più raffinati), il disegno viene bene se per ogni retta si è calcolato un punto a destra e uno a sinistra rispetto ai punti di cui parla il problema, oppure se si sono trovati punti coincidenti con quelli voluti o vicini ad essi. Mi spiego meglio con un esempio: dopo aver fatto un primo schizzo della figura, vedi che le rette AB e CA si incontrano in un punto che sembra avere una $x$ che vale -4 o -5, quindi dai a $x$ uno di questi valori in modo che le rette siano disegnate bene in vicinanza di un punto che interessa.

[kioccolatino90]

allora dall'esempio ho che le due rette si incontrano nel punto $P=-(-4;0)$ ora prendo il valore $-4$ e lo vado a sostituire nella retta $BC$?

[giammaria2]

Il punto di incontro (sarebbe più esatto dire intersezione) fra AB e CA ovviamente si chiama A, e non P. Cos'è che ti rende certo che $(-4,0)$ sia il punto di incontro? Magari le due rette si intersecano in un punto diverso, anche se vicinissimo a quello. Se in qualche modo puoi giustificare questa certezza, allora hai già un punto di queste rette e lo puoi usare per il disegno senza fare altri calcoli. La retta $BC$ non c'entra niente con questo punto, che è l'intersezione delle altre due rette.
Di solito prima si fa il disegno; se hai la fortuna di porre $x=-4$ vedi subito che l'intersezione è A(-4,0). Però, con rare eccezioni, i professori non si accontentano di un colpo di fortuna degli allievi e vogliono che questa intersezione sia calcolata come se non la si sapesse, risolvendo il relativo sistema.