Disequazioni con valori assoluti

[Feuerbach]

Finite le disequazioni fratte, devo svolgere due esercizi con valori assoluti.

Seguendo l'esempio svolto dal professore alla lavagna, ho provato a farne una e mi è risultata, ma vorrei sapere se il procedimento è corretto.

$| x + 2x^2| + 1 > 0$

Ho letto i vari "se" e ho dedotto che $|x + 2x^2|$ è $>$ 0.

quindi ho proseguito: $x + 2x^2 + 1 >=0$

$Delta$ = $1 - 4*2*1 = 1 - 8 = -7$.

Quindi, $AA x in RR$.

Giusto?

(Il risultato sul libro è corretto)

[Steven11]

Non va, l'impostazione deve tener conto della discussione del valore assoluto.
Intanto chiariamo che il valore assoluto è così definito
$|a|=a$ se $a>0$
$|a|=-a$ se $a<0$
In modo spicciolo: per i valori con cui l'argomento è positivo, togli il modulo e basta, per i valori in cui l'argomento è negativo, togli il modulo e considera l'espressione all'interno cambiata di segno.

Ora vediamo il tuo caso
$|x+2x^2|+1>0$
Che si trasforma nei seguenti due sistemi
${(x+2x^2>0),(x+2x^2+1>0):}$

${(x+2x^2<0),(-x-2x^2+1>0):}$

Sistemi che andrebbero risolti.
Se vuoi farlo per esercizio, fallo pure, ma se vuoi giongere al risultato ti basta fare la banale considerazione già proposta: un valore assoluto (sempre postivio) sommato a un numero positivo, potranno essere minori di zero?
No, pertanto saranno sempre maggiori, per qualsiasi valore dell'incognita.

[Rem1]

hai sbagliato la condizione del secondo sistema!
non è $-(x+2x^2)<0$ ma $(x+2x^2)<0$, altrimenti è la stessa condizione che hai posto nel primo sistema!!

[Rem1]

Sorry Steven!!non avevo visto che avevi già risposto..

[Feuerbach]

"+Steven+":Non va, l'impostazione deve tener conto della discussione del valore assoluto.
Intanto chiariamo che il valore assoluto è così definito
$|a|=a$ se $a>0$
$|a|=-a$ se $a<0$
In modo spicciolo: per i valori con cui l'argomento è positivo, togli il modulo e basta, per i valori in cui l'argomento è negativo, togli il modulo e considera l'espressione all'interno cambiata di segno.

Ora vediamo il tuo caso
$|x+2x^2|+1>0$
Che si trasforma nei seguenti due sistemi
${(x+2x^2>0),(x+2x^2+1>0):}$

${(x+2x^2<0),(-x-2x^2+1>0):}$

Sistemi che andrebbero risolti.
Se vuoi farlo per esercizio, fallo pure, ma se vuoi giongere al risultato ti basta fare la banale considerazione già proposta: un valore assoluto (sempre postivio) sommato a un numero positivo, potranno essere minori di zero?
No, pertanto saranno sempre maggiori, per qualsiasi valore dell'incognita.

Il sistema è quasi identico al mio, soltanto che la seconda condizione, $- x - 2x^2 + 1 > 0$ non è soddisfatta per $AA x in RR$, ma per valori esterni..

[G.D.5]

La disequazione $|x+2x^2|+1<0$ non ammette soluzioni:

${(x+2x^2>=0),(x+2x^2+1<0):}=>{(x(1+2x)>=0),(2x^2+x+1>0=>Delta=(1)^2-4(2)(1)=1-8=-7<0):}=>{(x<=-1/2 vv x>=0),(emptyset):}=>emptyset$

${(x+2x^2<0),(-x-2x^2+1<0):}=>{(x(1+2x)<0),(-x-2x^2+1<0=>Delta=(-1)^2-4(-2)(1)=1+8=9):}=>{(-1/21/2):}=>emptyset$

$emptyset cup emptyset = emptyset$

HO PRESO UNA TRANVATA ENOOOOOOOOORRRME

[Feuerbach]

"WiZaRd":La disequazione $|x+2x^2|+1<0$ non ammette soluzioni:

${(x+2x^2>=0),(x+2x^2+1<0):}=>{(x(1+2x)>=0),(2x^2+x+1>0=>Delta=(1)^2-4(2)(1)=1-8=-7<0):}=>{(x<=-1/2 vv x>=0),(emptyset):}=>emptyset$

${(x+2x^2<0),(-x-2x^2+1<0):}=>{(x(1+2x)<0),(-x-2x^2+1<0=>Delta=(-1)^2-4(-2)(1)=1+8=9):}=>{(-1/21/2):}=>emptyset$

$emptyset cup emptyset = emptyset$

Sul libro c'è scritto $AA x in RR$. Comunque è $|x + 2x^2| + 1 > 0$ non $<$

[G.D.5]

In questo caso, errore mio.

Comunque basta scambiare i versi delle disuguaglianze per avere il risultato.

[G.D.5]

La disequazione $|x+2x^2|+1>0$ ammette soluzioni:

${(x+2x^2>=0),(x+2x^2+1>0):}=>{(x(1+2x)>=0),(2x^2+x+1>0=>Delta=(1)^2-4(2)(1)=1-8=-7<0):}=>{(x<=-1/2 vv x>=0),(forall x in mathbb{R}):}=>x<=-1/2 vv x>=0$

${(x+2x^2<0),(-x-2x^2+1>0):}=>{(x(1+2x)<0),(-x-2x^2+1>0):}=>Delta=(-1)^2-4(-2)(1)=1+8=9=>{(-1/2-1/2

$S_1={x in mathbb{R}: x<=-1/2 vv x>=0} cup S_2={x in mathbb{R} : -1/2

[Feuerbach]

"WiZaRd":In questo caso, errore mio.

Comunque basta scambiare i versi delle disuguaglianze per avere il risultato.

Questa non mi risulta neanche:

$|3x - x^2| + 4 < 0$

come sempre, posto il mio procedimento:

${(3x - x^2 >= 0), (3x -x^2 + 4 < 0):}$

${(3x - x^2 < 0), (-3x - x^2 + 1 < 0):}$

Del primo il $Delta$ è 25 e le soluzioni per valori interni sono: - 4, 1.

Del secondo il $Delta$ è 25 e le soluzioni per valori interni sono: 4, - 1.

Il libro come risultato mi dà impossibile, a me risulta: $-1 < x < 1$.

[G.D.5]

Sei sicuro che la disequazione sia $-3x-x^2+1<0$?

[G.D.5]

E poi ricorda che un sistema rchede l'intersezione degli insiemi delle soluzioni.

[Feuerbach]

"WiZaRd":Sei sicuro che la disequazione sia $-3x-x^2+1<0$?

Hai ragione, è $-3x + x + 1 < 0$ che dà come risultato "nessuna $x in RR$".

Di conseguenza il grafico non è soddisfatto per i valori -4 e 1 giacché nei sistemi si deve trovare quella porzione di grafico riempita da tutte e due linee in questo caso, giusto?

[G.D.5]

Cosa centrano $-4$ e $1$ con questa disequazione?

[Feuerbach]

"WiZaRd":Cosa centrano $-4$ e $1$ con questa disequazione?

Mi riferisco alla disequazione con $Delta$ = 25.

[G.D.5]

"Feuerbach":[quote="WiZaRd"]In questo caso, errore mio.

Comunque basta scambiare i versi delle disuguaglianze per avere il risultato.

Questa non mi risulta neanche:

$|3x - x^2| + 4 < 0$

come sempre, posto il mio procedimento:

${(3x - x^2 >= 0), (3x -x^2 + 4 < 0):}$

${(3x - x^2 < 0), (-3x - x^2 + 1 < 0):}$

Del primo il $Delta$ è 25 e le soluzioni per valori interni sono: - 4, 1.

Del secondo il $Delta$ è 25 e le soluzioni per valori interni sono: 4, - 1.

Il libro come risultato mi dà impossibile, a me risulta: $-1 < x < 1$. [/quote]

Ti segnalo gli errori che hai commeso e di scuro saprai risolvere la questione:

1) come già detto, nel secondo sistema, non è $-3x - x^2 + 1 < 0$ ma $-3x+x^2+1<0$

2) la seconda disequazione del primo sistema non è risolta per valori interni, ma...

[G.D.5]

"Feuerbach":[quote="WiZaRd"]Sei sicuro che la disequazione sia $-3x-x^2+1<0$?

Hai ragione, è $-3x + x + 1 < 0$ che dà come risultato "nessuna $x in RR$".

Di conseguenza il grafico non è soddisfatto per i valori -4 e 1 giacché nei sistemi si deve trovare quella porzione di grafico riempita da tutte e due linee in questo caso, giusto?[/quote]

Stai mischiando le soluzioni di un sistema con quelle di un altro...

[Feuerbach]

Nel mio schema c'è scritto: $ax + bx + c < 0$ e $Delta > 0$ = $x_1 < x < x_2$.

Quindi al di fuori di questo non saprei..

[G.D.5]

Nel tuo schema c'è il seguente errore:

dato il trinomio di secondo grado $ax^2+bx+c$ se $Delta>0$ allora

per $xx_2$ il trinomio assume il segno di $a$

per $x_1 il trinomio assume il segno opposto di $a$


Di conseguenza data la disequazione $ax^2+bx+c>0$ se $Delta>0$ allora le soluzioni sono

i valori esterni se $a>0$

i valor interni se $a<0$

Viceversa, data la disequazione $ax^2+bx+c<0$ se $Delta>0$ allora le soluzioni sono

i valori esterni se $a<0$

i valor interni se $a>0$



Non so se sono riuscito a spiegarmi chiaramente.

[Feuerbach]

Sì, ti ringrazio.
Quindi in questo caso le soluzioni del primo sistema sono: $x < x_1 V x > x_2$.

Ma il sistema in sé risulta comunque impossibile, o sbaglio?

[G.D.5]

Se dici che le soluzoni del primo sistema sono $xx_2$ allora il sistema le soluzioni ce le ha....