Disequazione irrazionale
Non riesco a capire il risultato di questa disequazione irrazionale:
$-sqrt(x+1)
che il libro "risolve" con $x>=-1$ mentre a me viene $x> -3/2$
Una condizione di validita' e' sicuramene che $x>=-1$ per via del primo membro, ma non ho capito perche' sia valida questa e non $x> -3/2$ che comprende anche il valore -1
$-sqrt(x+1)
che il libro "risolve" con $x>=-1$ mentre a me viene $x> -3/2$
Una condizione di validita' e' sicuramene che $x>=-1$ per via del primo membro, ma non ho capito perche' sia valida questa e non $x> -3/2$ che comprende anche il valore -1
Risposte
Tu hai risolto $-(x+1)=-1$), il primo membro, essendo negativo, è certo minore del secondo che è positivo: la soluzione è quindi quella del libro.
Anche ammettendo che si potesse elevare a quadrato e che così facendo si ottenesse la tua soluzione, la risposta finale non cambierebbe: le disequazioni $x>=-1$ e $x> -3/2$ devono essere entrambe vere, e questo succede per $x>=-1$.
Anche ammettendo che si potesse elevare a quadrato e che così facendo si ottenesse la tua soluzione, la risposta finale non cambierebbe: le disequazioni $x>=-1$ e $x> -3/2$ devono essere entrambe vere, e questo succede per $x>=-1$.
Ho capito. Allora ho sbagliato anche a togliere il segno meno dal primo membro moltiplicando entrambi per -1?? Il ragionamento non cambia anche in questo caso?
Faresti bene a scrivere i tuoi passaggi ed eventuali altri che ti creino dubbi: io non capisco dove hai moltiplicato per -1.
In pratica ho moltiplicato ambo i membri per -1, non avendo considerato la condizione di positivita' di entrambi i membri, incappando quindi nell'errore 
avresti avuto meno problemi se avessi portato a destra il radicale negativo (è opportuno che i radicali abbiano sempre il segno positivo)
leggendo la disequazione da destra a sinistra , questa diventa:
$sqrt(x+2)+sqrt(x+1)>0$ ; perchè questa sia verificata è sufficiente porre i due radicandi maggiori o uguali a zero (la somma di due quantità positive sarà sicuramente positiva o al massimo nulla), escludendo eventualmente il valore che annulli entrambi, in quanto manca il segno di uguale
risolvendo quindi il sistema costituito dalle due disequazioni, ottieni proprio $x>=-1$
leggendo la disequazione da destra a sinistra , questa diventa:
$sqrt(x+2)+sqrt(x+1)>0$ ; perchè questa sia verificata è sufficiente porre i due radicandi maggiori o uguali a zero (la somma di due quantità positive sarà sicuramente positiva o al massimo nulla), escludendo eventualmente il valore che annulli entrambi, in quanto manca il segno di uguale
risolvendo quindi il sistema costituito dalle due disequazioni, ottieni proprio $x>=-1$
In questo caso pero' bisognera' elevare al quadrato due volte.... o sbaglio?
no! non devi fare nient'altro, in quanto sei già arrivato alla soluzione
infatti, come ti ho già detto, questa è verificata nel momento in cui poni la condizione $x>=1$, poichè è certo che la somma di due quantità positive (in questo caso non possono annullarsi contemporaneamente) è sempre positiva
infatti, come ti ho già detto, questa è verificata nel momento in cui poni la condizione $x>=1$, poichè è certo che la somma di due quantità positive (in questo caso non possono annullarsi contemporaneamente) è sempre positiva
Credo di aver capito, pero' ho bisogno di esercitarmi ancora.... a tal proposito mi trovo in difficolta' con questa altra disequazione:
$sqrt((x-1)/(x-2))>=sqrt(x)$
posto che $x-1>=0$ da cui $x>=1$ e $x!=2$
elevando al quadrato ambo i membri arrivo poi ad una disequazione di secondo grado con il discriminante negativo, e qui mi perdo.....
$-x^2-x-1>=0$
Dove sbaglio?
$sqrt((x-1)/(x-2))>=sqrt(x)$
posto che $x-1>=0$ da cui $x>=1$ e $x!=2$
elevando al quadrato ambo i membri arrivo poi ad una disequazione di secondo grado con il discriminante negativo, e qui mi perdo.....
$-x^2-x-1>=0$
Dove sbaglio?
Il dominio della prima è: $x<=1vvx>2$ (devi porre tutto ciò che sta sotto il segno di radice maggiore o uguale a 0, ovviamente lo zero che annulla il denominatore va escluso)
Il dominio della seconda è: $x>=0$.
Ora siccome devono essere vere entrambe contemporaneamente vanno messe a sistema e si ottiene: $0<=x<=1vvx>2$.
Ora possiamo elevare:
$(x-1)/(x-2)>=x
$(x-1)/(x-2)>=(x^2-2x)/(x-2)
$(x^2-3x+1)/(x-2)<=0
risolvi questa disequazione e metti a sistema l'intervallo di soluzioni ottenuto con $0<=x<=1vvx>2$.
Il dominio della seconda è: $x>=0$.
Ora siccome devono essere vere entrambe contemporaneamente vanno messe a sistema e si ottiene: $0<=x<=1vvx>2$.
Ora possiamo elevare:
$(x-1)/(x-2)>=x
$(x-1)/(x-2)>=(x^2-2x)/(x-2)
$(x^2-3x+1)/(x-2)<=0
risolvi questa disequazione e metti a sistema l'intervallo di soluzioni ottenuto con $0<=x<=1vvx>2$.
Ora non ho il libro sotto mano per la soluzione, ma questo e' quello che ho ottenuto:
$(x^2-3x+1)/(x-2)<=0$ (qua in precedenza sono stato proprio un pollo perche' ho sbagliato lo sviluppo successivo all'elevamento al quadrato....)
che tratto come una disequazione frazionaria e da cui ottengo:
dal denominatore $x<2$ (non può essere uguale a 2 altrimenti annullo il denominatore)
dal numeratore $(3-sqrt(5))/2<=x<=(3+sqrt(5))/2)$ (essendo una disequazione minore di zero e con il coefficiente a positivo)
facendo lo studio dei segni ottengo quindi che la disequazione irrazionale e' verificata per $(3-sqrt(5))/2<=x<2$
Ho dimenticato qualcosa???
$(x^2-3x+1)/(x-2)<=0$ (qua in precedenza sono stato proprio un pollo perche' ho sbagliato lo sviluppo successivo all'elevamento al quadrato....
)che tratto come una disequazione frazionaria e da cui ottengo:
dal denominatore $x<2$ (non può essere uguale a 2 altrimenti annullo il denominatore)
dal numeratore $(3-sqrt(5))/2<=x<=(3+sqrt(5))/2)$ (essendo una disequazione minore di zero e con il coefficiente a positivo)
facendo lo studio dei segni ottengo quindi che la disequazione irrazionale e' verificata per $(3-sqrt(5))/2<=x<2$
Ho dimenticato qualcosa???
Il mio consiglio è di studiare sempre la positività num./den. sia che ci sia maggiore sia che ci sia minore. Le soluzioni della disequazione appartengono esattamente agli intervalli complementari ai tuoi rispetto a $RR$.
Non so se mi sono spiegato... ti metto una scan della risoluzione a mano.
Uploaded with ImageShack.us
Non so se mi sono spiegato... ti metto una scan della risoluzione a mano.
Uploaded with ImageShack.us
Intanto ti ringrazio per quello che hai fatto 
Guardando il tuo studio dei segni pero' non ho capito perche' le radici della disequazione al numeratore danno il segno meno "all'interno" e il segno piu' all'esterno.... ma non dovrebbe essere il contrario?
Guardando il tuo studio dei segni pero' non ho capito perche' le radici della disequazione al numeratore danno il segno meno "all'interno" e il segno piu' all'esterno.... ma non dovrebbe essere il contrario?
Perché ho studiato la positività del numeratore e denominatore, ossia mi sono chiesto quando:
$N(x)=x^2-3x+1>=0 implies x<=(3-sqrt(5))/2 vv x>=(3+sqrt(5))/2
$D(x)=x-2>0 implies x>2
dopodiché ho registrato i dati nella tabellina insieme alla condizione di esistenza, ho fatto il "calcolo dei segni" e ho scelto quegli intervalli che risultavano essere negativi.
$N(x)=x^2-3x+1>=0 implies x<=(3-sqrt(5))/2 vv x>=(3+sqrt(5))/2
$D(x)=x-2>0 implies x>2
dopodiché ho registrato i dati nella tabellina insieme alla condizione di esistenza, ho fatto il "calcolo dei segni" e ho scelto quegli intervalli che risultavano essere negativi.
Allora, vediamo di capire
Nello studio dei segni della disequazione fratta:
$(x^2-3x+1)/(x-2)<=0$
va comunque considerata come se fosse sempre >= 0, da cui la validita' della disequazione di 2° grado e' "esterna" alle radici trovate; idem per il denominatore, pero' essendo la disequazione <= 0 allora prendo i valori che la rendono negativa.
E' cosi'?
PS. la soluzione che hai indicato e', ovviamente, quella del libro
Nello studio dei segni della disequazione fratta:
$(x^2-3x+1)/(x-2)<=0$
va comunque considerata come se fosse sempre >= 0, da cui la validita' della disequazione di 2° grado e' "esterna" alle radici trovate; idem per il denominatore, pero' essendo la disequazione <= 0 allora prendo i valori che la rendono negativa.
E' cosi'?
PS. la soluzione che hai indicato e', ovviamente, quella del libro
Quello che ti interssa è sapere come si comporta la frazione al variare dei valori di [tex]x[/tex].
Potresti studiare la frazione anche ponendo il numeratore [tex]\leqslant 0[/tex] ed il denominatore [tex]>0[/tex] o viceversa: la cosa importante è che risolvi bene le diseqauzioni che vengono fuori e poi studi bene il comportamento della frazione.
Potresti studiare la frazione anche ponendo il numeratore [tex]\leqslant 0[/tex] ed il denominatore [tex]>0[/tex] o viceversa: la cosa importante è che risolvi bene le diseqauzioni che vengono fuori e poi studi bene il comportamento della frazione.
Ok.... diciamo che ho capito di non aver ben capito l'argomento
A tal proposito, in rete c'e' qualche risorsa che spiega da zero e in modo approfondito questa parte della matematica? Oppure un libro che ritenete sia bene fatto proprio su questo argomento, cosi' eventualmente lo compro.
Grazie ancora
A tal proposito, in rete c'e' qualche risorsa che spiega da zero e in modo approfondito questa parte della matematica? Oppure un libro che ritenete sia bene fatto proprio su questo argomento, cosi' eventualmente lo compro.
Grazie ancora
Comprare un libro solo per le disequazioni frazionarie? Ma anche no!
Vediamo se qualcuno linka qualche cosa altrimenti provvediam in altro modo.
Vediamo se qualcuno linka qualche cosa altrimenti provvediam in altro modo.
Le fratte sono trattate in qualsiasi libro di matematica del biennio, le irrazionali fine biennio e inizio triennio, di solito. Vedo se trovo qualcosa...
Sulle equazioni/disequazioni fratte non credo di avere tanti problemi (ma non si sa mai....), le difficolta' le sto trovando con le irrazionali quando c'e' da capire quale strada intraprendere per arrivare alla soluzione.
Che ne pensate del libro:
Esercitazioni di matematica vol.1.1
di Marcellini Paolo, Sbordone Carlo
Esercitazioni di matematica vol.1.1
di Marcellini Paolo, Sbordone Carlo
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