Disequazione irrazionale
Non riesco a capire il risultato di questa disequazione irrazionale:
$-sqrt(x+1)
che il libro "risolve" con $x>=-1$ mentre a me viene $x> -3/2$
Una condizione di validita' e' sicuramene che $x>=-1$ per via del primo membro, ma non ho capito perche' sia valida questa e non $x> -3/2$ che comprende anche il valore -1
$-sqrt(x+1)
che il libro "risolve" con $x>=-1$ mentre a me viene $x> -3/2$
Una condizione di validita' e' sicuramene che $x>=-1$ per via del primo membro, ma non ho capito perche' sia valida questa e non $x> -3/2$ che comprende anche il valore -1
Risposte
Temo di essere io a non capire: quando mai si scarta una soluzione perchè "contiene" anche l'altra? Provo con un altro ragionamento.
Supponiamo che la disequazione fosse veramente $sqrt((x+1)^3)<=2x+1$: avresti imposto di essere in campo di esistenza, poi le due condizioni che ho scritte nel sistema e avresti cercato in quali zone sono verificate tutte le tre disequazioni. La prima condizione, quella del campo di esistenza, veniva rappresentata con una linea continua, ma ottengo lo stesso risultato cancellando le zone non comprese in esso e guardando solo le altre zone. Resta quindi da fare l'intersezione delle altre due condizioni, che si ha quando sono entrambe verificate, cioè fra $0$ e $(1+sqrt5)/2$: è la zona in cui metto il SI per dire che la disequazione è verificata. Le altre zone potrebbero anche essere lasciate in bianco, ma ho preferito mettervi un chiaro NO.
Se hai capito questo punto, andiamo oltre. Per qualsiasi diseguaglianza ci sono solo tre possibilità: o non esiste, o è verificata, o è verificato il suo contrario. Nele zone in cui ho messo il NO (perchè una o entrambe le disequazioni non erano verificate) esiste e non è verificata, quindi deve valere la terza possibilità, cioè è vero il suo contrario: il contrario di $<=$ è $>$.
Supponiamo che la disequazione fosse veramente $sqrt((x+1)^3)<=2x+1$: avresti imposto di essere in campo di esistenza, poi le due condizioni che ho scritte nel sistema e avresti cercato in quali zone sono verificate tutte le tre disequazioni. La prima condizione, quella del campo di esistenza, veniva rappresentata con una linea continua, ma ottengo lo stesso risultato cancellando le zone non comprese in esso e guardando solo le altre zone. Resta quindi da fare l'intersezione delle altre due condizioni, che si ha quando sono entrambe verificate, cioè fra $0$ e $(1+sqrt5)/2$: è la zona in cui metto il SI per dire che la disequazione è verificata. Le altre zone potrebbero anche essere lasciate in bianco, ma ho preferito mettervi un chiaro NO.
Se hai capito questo punto, andiamo oltre. Per qualsiasi diseguaglianza ci sono solo tre possibilità: o non esiste, o è verificata, o è verificato il suo contrario. Nele zone in cui ho messo il NO (perchè una o entrambe le disequazioni non erano verificate) esiste e non è verificata, quindi deve valere la terza possibilità, cioè è vero il suo contrario: il contrario di $<=$ è $>$.
Ancora non mi e' chiaro, ma non mi meraviglia.... 
Intanto credo di aver fatto un errore in quanto ho considerato che la disequazione $x2 - x -1 <= 0$ fosse verificata per valori "esterni" alle radici della disequazione, invece dovrebbe essere il contrario visto che la disequazione e' <=.... quindi $(1-sqrt(5))/2 <= x <= (1+sqrt(5))/2$
Comunque ho riprovato a rifare il grafico, stavolta includendo tutti i risultati, e il risultato e' questo dell'immagine allegata:
A questo punto dovrei mettere i SI e i NO per indicare le zone in cui la disequazione e' verificata o meno, ma sono in alto mare.....
Intanto credo di aver fatto un errore in quanto ho considerato che la disequazione $x2 - x -1 <= 0$ fosse verificata per valori "esterni" alle radici della disequazione, invece dovrebbe essere il contrario visto che la disequazione e' <=.... quindi $(1-sqrt(5))/2 <= x <= (1+sqrt(5))/2$
Comunque ho riprovato a rifare il grafico, stavolta includendo tutti i risultati, e il risultato e' questo dell'immagine allegata:
A questo punto dovrei mettere i SI e i NO per indicare le zone in cui la disequazione e' verificata o meno, ma sono in alto mare.....
E' vero che hai usato colori differenti, ma non conviene fare un unico grafico per due cose concettualmente diverse. Ti serviva un primo grafico per risolvere la disequazione $x(x^2-x-1)<=0$ e lo ottenevi risolvendo le disequazioni $x>=0$ e $x^2-x-1>=0$ e leggendo il grafico risultante con la regola dei segni, ricordando che il prodotto deve essere negativo. Le tue linee in rosso corrispondono all'incirca a questo ragionamento, a parte il fatto che hai usato il $<=0$: puoi comunque utilizzarle pensando che il tratto continuo indica il segno meno e la sua mancanza il più. La soluzione di questa disequazione è quella che ho già scritto in uno dei miei ultimi interventi.
Passiamo ora al grafico finale, quello in blu: devi riportarvi solo la soluzione trovata e la tua prima riga blu. La tua ultima riga blu corrisponde al campo di esistenza e, invece di tracciarla, cancelli con tre o quattro tratti obliqui le zone in cui questa riga non sarebbe continua: chiedere che la riga sia continua o di essere in una zona non cancellata è allora la stessa cosa, ma il comportamento da me suggerito evidenzia le zone in cui la diseguaglianza non ha senso. Per il resto, vedi quello che ho scritto in precedenza; avvisami se qualcosa ti è poco chiaro.
EDIT: quando dico di riportare la soluzione trovata, intendo tutta in una sola riga, con linea a volte continua e a volte tratteggiatia (o mancante): ad ogni disequazione corrisponde una sola riga di grafico.
Passiamo ora al grafico finale, quello in blu: devi riportarvi solo la soluzione trovata e la tua prima riga blu. La tua ultima riga blu corrisponde al campo di esistenza e, invece di tracciarla, cancelli con tre o quattro tratti obliqui le zone in cui questa riga non sarebbe continua: chiedere che la riga sia continua o di essere in una zona non cancellata è allora la stessa cosa, ma il comportamento da me suggerito evidenzia le zone in cui la diseguaglianza non ha senso. Per il resto, vedi quello che ho scritto in precedenza; avvisami se qualcosa ti è poco chiaro.
EDIT: quando dico di riportare la soluzione trovata, intendo tutta in una sola riga, con linea a volte continua e a volte tratteggiatia (o mancante): ad ogni disequazione corrisponde una sola riga di grafico.
Ciao giammaria,
non ho capito perche' risolvi la disequazione $x(x^2 - x - 1)<=0$ come se fosse $x(x^2 - x - 1)>=0$... Per il grafico poi provo a "rivederlo" in base a ciò che mi ha scritto... purtroppo ora sto lavorando.
Grazie per ora, a piu' tardi
non ho capito perche' risolvi la disequazione $x(x^2 - x - 1)<=0$ come se fosse $x(x^2 - x - 1)>=0$... Per il grafico poi provo a "rivederlo" in base a ciò che mi ha scritto... purtroppo ora sto lavorando.
Grazie per ora, a piu' tardi
Perché questa è la regola generale: quando si ha un prodotto fra due o più fattori confrontato con lo zero (col $>$ o col $<$, non importa) ci si chiede quando i singoli fattori sono positivi, risolvendo la disequazione "fattore>0", poi si riportano tutti i risultati su uno stesso grafico e ci si chiede il segno del prodotto, ricordando che linea continua=segno più; linea tratteggiata (o assente, ma è meglio tratteggiarla)= segno meno. Ad esempio, se ci fossero due linee tratteggiate e una continua diremmo "meno per meno per più = più"; la stessa regola vale per la divisione. Solo a questo punto si guarda qual'era il verso della disequazione; se c'era il $>$ volevamo che fosse positivo e quindi il segno più per il prodotto, altrimenti il meno.
Eccomi
Allora, finalmente ho risolto la disequazione!!!
Sicuramente devo ringraziare giammaria per la pazienza e le spiegazioni (soprattutto quest'ultima
), pero' mi devo dare una bella tirata d'orecchie (come si faceva un tempo 
), perche' non mi riusciva di fare lo studio dei segni per.... distrazione 
Poco fa, con calma, e dopo aver riletto tutte le risposte e ristudiato le mie dispense (magari avevo "perso" qualche passo importante...), ho risolto correttamente la disequazione, trovando effettivamente $-1 < x <= 0$ e $x > (1+sqrt(5))/2$
Grazie infinite a tutti (ma non pensiate sia finita... ho ancora un sacco di esercizi da fare
)
Allora, finalmente ho risolto la disequazione!!!
Sicuramente devo ringraziare giammaria per la pazienza e le spiegazioni (soprattutto quest'ultima
), pero' mi devo dare una bella tirata d'orecchie (come si faceva un tempo ), perche' non mi riusciva di fare lo studio dei segni per.... distrazione Poco fa, con calma, e dopo aver riletto tutte le risposte e ristudiato le mie dispense (magari avevo "perso" qualche passo importante...
), ho risolto correttamente la disequazione, trovando effettivamente $-1 < x <= 0$ e $x > (1+sqrt(5))/2$Grazie infinite a tutti (ma non pensiate sia finita... ho ancora un sacco di esercizi da fare
)
Prego: è un piacere dare spiegazioni a chi desidera capirle.
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