Disequazione irrazionale
Non riesco a capire il risultato di questa disequazione irrazionale:
$-sqrt(x+1)
che il libro "risolve" con $x>=-1$ mentre a me viene $x> -3/2$
Una condizione di validita' e' sicuramene che $x>=-1$ per via del primo membro, ma non ho capito perche' sia valida questa e non $x> -3/2$ che comprende anche il valore -1
$-sqrt(x+1)
che il libro "risolve" con $x>=-1$ mentre a me viene $x> -3/2$
Una condizione di validita' e' sicuramene che $x>=-1$ per via del primo membro, ma non ho capito perche' sia valida questa e non $x> -3/2$ che comprende anche il valore -1
Risposte
Comunque credo di aver capito dove stava il problema, che era piu' ... di conoscenza di "base".
In pratica ho dovuto rivedere un po' i concetti sui radicali, dove nei radicali di indice pari non e' possibile avere un radicando negativo per il semplice fatto che non e' possibile avere un numero che elevato per l'indice pari mi dia un numero negativo!!
E quindi ora capisco la condizione di esistenza sulle disequazioni irrazionali con indice pari
Alla luce di questa grande scoperta riprovo a risolvere i miei esercizi, anche se son sicuro non vi libererete di me
PS. grazie per l'aiuto.
In pratica ho dovuto rivedere un po' i concetti sui radicali, dove nei radicali di indice pari non e' possibile avere un radicando negativo per il semplice fatto che non e' possibile avere un numero che elevato per l'indice pari mi dia un numero negativo!!
E quindi ora capisco la condizione di esistenza sulle disequazioni irrazionali con indice pari
Alla luce di questa grande scoperta riprovo a risolvere i miei esercizi, anche se son sicuro non vi libererete di me
PS. grazie per l'aiuto.
In questa disequazione:
$sqrt(x+1) > root(3)(2x+1)$
dovrei avere le seguenti condizioni di esistenza:
1) $x+1 >= 0$
2) $2x+1 >0$ oppure $2x+1 < 0$
poi ci sarebbe la condizione che il primo membro sia maggiore del quadrato del secondo.... ma avendo il secondo membro un radicale con indice dispari, non posso di certo elevarlo al quadrato? In questi casi elevo entrambi i membri ad un indice comune? Come 6, in questo caso?
$sqrt(x+1) > root(3)(2x+1)$
dovrei avere le seguenti condizioni di esistenza:
1) $x+1 >= 0$
2) $2x+1 >0$ oppure $2x+1 < 0$
poi ci sarebbe la condizione che il primo membro sia maggiore del quadrato del secondo.... ma avendo il secondo membro un radicale con indice dispari, non posso di certo elevarlo al quadrato? In questi casi elevo entrambi i membri ad un indice comune? Come 6, in questo caso?
L'unica esistenza è $x>=-1$. Quindi si generano due sistemi:
- uno con $root(3)((...))>=0$, quindi essendo entrambi i membri positivi, puoi elevare alla $6$.
- uno con $root(3)((...))<0$, quindi...
- uno con $root(3)((...))>=0$, quindi essendo entrambi i membri positivi, puoi elevare alla $6$.
- uno con $root(3)((...))<0$, quindi...
$x >= -1$ perche' il secondo membro avendo l'indice dispari e' verificato per ogni valore di $RR$, e quindi e' superflua come condizione di esistenza?
Dire che "il secondo membro è verificato" credo sia scorretto... un'equazione può essere verificata per alcuni valori, ma non un membro. Comunque se intendevi che una radice ad indice dispari ha come esistenza $RR$ perché puoi farla sia su numeri negativi, sia su numeri positivi allora si. Ad esempio $root(3)(-27)=-3$
Si, intendevo quello. A proposito mi scuso per il linguaggio non propriamente corretto.
Quindi e' corretto il ragionamento di prima? Cioe' se ho i due membri con indici diversi, quelli con indici dispari posso non prenderli in considerazione per l'esistenza della disequazione ?
Quindi e' corretto il ragionamento di prima? Cioe' se ho i due membri con indici diversi, quelli con indici dispari posso non prenderli in considerazione per l'esistenza della disequazione ?
I radicali di indice dispari non creano problemi perché esistono indipendentemente dal segno del radicando. Quelli che creano problemi sono i radicali di indice pari, i quali non esistono se il radicando è negativo.
Non riesco a fare lo studio dei segni in modo corretto!! La soluzione del libro e' $-1 <= x <= 0$ e $x>(1+sqrt(5))/2$, mentre a me viene $-1<= x <= (1-sqrt(5))/2$
dimenticavo, nella mia soluzione c'e' anche $x>(1+sqrt(5))/2$
a me viene un risultato ancora diverso; infatti dopo aver elevato il primo membro a cubo ed il secondo al quadrato, ottengo (dopo le opportune semplificazioni) :$x^3-x^2-x>0$, che ha come soluzioni :
$(1-sqrt5)/2(1+sqrt5)/2$
ora, poichè $(1-sqrt5)/2 > -1$, quando vado a mettere a sistema con le C.E. ottengo:
$(1-sqrt5)/2(1+sqrt5)/2$
in ogni caso, è strano che nel libro ci sia $<=0$, visto che il verso della disequazione è solo $>$
$(1-sqrt5)/2
ora, poichè $(1-sqrt5)/2 > -1$, quando vado a mettere a sistema con le C.E. ottengo:
$(1-sqrt5)/2
in ogni caso, è strano che nel libro ci sia $<=0$, visto che il verso della disequazione è solo $>$
Questa valutazione avevo provato a farla pure io, arrivando al tuo stesso risultato.
A questo punto non so che pesci prendere
Grazie anche per tuo contributo
A questo punto non so che pesci prendere
Grazie anche per tuo contributo
prego!
(a volte comunque anche i libri sbagliano)
(a volte comunque anche i libri sbagliano)
Io trovo il risultato del libro, a parte la mancanza di alcuni segni di uguale. Ho iniziato elevando al cubo; ottengo
$sqrt((x+1)^3)>2x+1$
Poichè la radice è dalla parte del maggiore, la soluzione è data da
${(2x+1>=0),((x+1)^3>(2x+1)^2):}uuu{(2x+1<0), ((x+1)^3>=0):}$
EDIT: ho annullato una modifica mal riuscita
$sqrt((x+1)^3)>2x+1$
Poichè la radice è dalla parte del maggiore, la soluzione è data da
${(2x+1>=0),((x+1)^3>(2x+1)^2):}uuu{(2x+1<0), ((x+1)^3>=0):}$
EDIT: ho annullato una modifica mal riuscita
"giammaria":
Io trovo il risultato del libro, a parte la mancanza di alcuni segni di uguale. Ho iniziato elevando al cubo; ottengo
$sqrt((x+1)^3)>2x+1$
Poichè la radice è dalla parte del maggiore, la soluzione è data da
${(2x+1>=0),((x+1)^3>(2x+1)^2):}uuu{(2x+1<0), ((x+1)^3>=0):}$
giusto!
bisogna discutere i due casi, in quanto è una disequazione irrazionale, con un radicale quadratico che è maggiore di un numero che può essere sia maggiore che minore di zero!
purtroppo il fatto di ridurre allo stesso indice confondeva le idee, e faceva perdere di vista la disequazione di partenza
Capita a tutti di distrarsi. Comunque la mia prima soluzione non era stata trovata col metodo che ho poi scritto, ma con quello che trovi alla categoria docenti, pagina 2, col titolo "Disequazioni irrazionali".
Ho inutlmente cercato di rendere attivo questo collegamento: come si fa?
Ho inutlmente cercato di rendere attivo questo collegamento: come si fa?
scusami giammaria ma non ho capito il tuo metodo; non e' che saresti cosi' gentile da spiegarmelo con il mio esercizio?
Parto da $sqrt((x+1)^3)>2x+1$. Il suo campo di esistenza è $x>=-1$ e comincio il grafico segnando questo valore e cancellando con qualche tratto la zona prima di -1. Poi nego la mia disequazione, considerando invece
$sqrt((x+1)^3)<=2x+1$
che deve esistere ma NON essere valida. Risolvo quest'ultima (gli eventuali uguale sono scritti nella formula ma non nominati per brevità): il secondo membro è maggiore di un numero positivo, quindi deve essere positivo anche lui; poichè tutto è positivo, si può elevare a quadrato. Ho quindi il sistema
${(2x+1>=0),((x+1)^3<=(2x+1)^2):}
che, a calcoli fatti, dà
${(x>=-1/2),((x<=(1-sqrt5)/2) uu (0<=x<=(1+sqrt5)/2)):}
Riporto questi risultati sul grafico già iniziato e indico con SI le zone in cui sono entrambe verificate (ce n'è una sola) e con NO le altre; ovviamente non guardo la zona cancellata. La soluzione è data dalle zone NO.
Grazie per il suggerimento.
$sqrt((x+1)^3)<=2x+1$
che deve esistere ma NON essere valida. Risolvo quest'ultima (gli eventuali uguale sono scritti nella formula ma non nominati per brevità): il secondo membro è maggiore di un numero positivo, quindi deve essere positivo anche lui; poichè tutto è positivo, si può elevare a quadrato. Ho quindi il sistema
${(2x+1>=0),((x+1)^3<=(2x+1)^2):}
che, a calcoli fatti, dà
${(x>=-1/2),((x<=(1-sqrt5)/2) uu (0<=x<=(1+sqrt5)/2)):}
Riporto questi risultati sul grafico già iniziato e indico con SI le zone in cui sono entrambe verificate (ce n'è una sola) e con NO le altre; ovviamente non guardo la zona cancellata. La soluzione è data dalle zone NO.
Grazie per il suggerimento.
Devo essere particolarmene tonto, ma questa storia dei SI e dei NO non l'ho digerita....
La parte di calcolo vera e propria ora sembra sia chiara, soprattutto la considerazione sui campi di esistenza e i relativi sistemi; invece quando ho riportato in formato grafico le soluzioni trovate, usando i tratti SI e NO, mi sono perso..... pero' ho fatto in questo modo:
1) di tutte le soluzioni trovate ho escluso quelle comuni: tra $x <= 0$ e $x < (1-sqrt(5))/2$ ho mantenuto solo la prima perche' "conteneva" anche la seconda; idem anche per gli altri casi
2) poi ho fatto il grafico con i valori rimasti e ho preso in considerazione le parti comuni, da cui ho trovato la soluzione del libro: $-1 < x <= 0$ e $ > (1+sqrt(5))/2$
Non so se il procedimento si puo' applicare sempre, ma questo, in questo caso, ha funzionato.
Non ho capito niente, vero!?!?!?
La parte di calcolo vera e propria ora sembra sia chiara, soprattutto la considerazione sui campi di esistenza e i relativi sistemi; invece quando ho riportato in formato grafico le soluzioni trovate, usando i tratti SI e NO, mi sono perso..... pero' ho fatto in questo modo:
1) di tutte le soluzioni trovate ho escluso quelle comuni: tra $x <= 0$ e $x < (1-sqrt(5))/2$ ho mantenuto solo la prima perche' "conteneva" anche la seconda; idem anche per gli altri casi
2) poi ho fatto il grafico con i valori rimasti e ho preso in considerazione le parti comuni, da cui ho trovato la soluzione del libro: $-1 < x <= 0$ e $ > (1+sqrt(5))/2$
Non so se il procedimento si puo' applicare sempre, ma questo, in questo caso
, ha funzionato. Non ho capito niente, vero!?!?!?
Dimenticavo... grazie comunque per la spiegazione, almeno qualcosa ora e' piu' chiara
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