Posta qui il numero più grande
Ho letto un messaggio che mi ha fatto venire in mente un gioco che proposi tre anni fa a scuola, nell’ambito dei progetti di “Educazione Scientifica”.
Era un’idea che coltivavo da moltissimi anni, e che “in teoria” avevo già sviscerato sufficientemente, ma quando la formalizzai per spiegarla ai ragazzi restai ne impressionato: i numeri naturali sono davvero tantissimi!
Io non garantisco di seguire costantemente il gioco, ma tanto può andare avanti anche senza di me.
Allora: la gara si intitola:
[size=200] Posta qui il numero più grande. [/size]
E le regole sono:
1ª - A turno si posta un numero naturale che sia più grande di quelli postati precedentemente.
2ª - Ogni numero postato non basta che sia “più grande” del precedente (per esempio: se il precedente è “n”, non basta che sia “n+1”), ma deve essere “significativamente” più grande, cioè definito con una regola che sia "qualitativamente” migliore delle precedenti.
3ª - I numeri devono esse tali, cioè “finiti”: non sono ammessi discorsi (insulsi) del tipo “… e così via, fino all’infinito”.
4ª - il numero che si considera postato inizialmente (per poter successivamente applicare al 1ª regola) è “0”.
5ª - Il gioco si considera terminato quando “langue” (lunghi periodi di non partecipazione), non si rispetta qualche regola precedente, oppure il promotore (io medesimo) non ha più voglia di continuare.
Si inizia: si considera postato il numero naturale: [size=200] 0 [/size]
Era un’idea che coltivavo da moltissimi anni, e che “in teoria” avevo già sviscerato sufficientemente, ma quando la formalizzai per spiegarla ai ragazzi restai ne impressionato: i numeri naturali sono davvero tantissimi!
Io non garantisco di seguire costantemente il gioco, ma tanto può andare avanti anche senza di me.
Allora: la gara si intitola:
[size=200] Posta qui il numero più grande. [/size]
E le regole sono:
1ª - A turno si posta un numero naturale che sia più grande di quelli postati precedentemente.
2ª - Ogni numero postato non basta che sia “più grande” del precedente (per esempio: se il precedente è “n”, non basta che sia “n+1”), ma deve essere “significativamente” più grande, cioè definito con una regola che sia "qualitativamente” migliore delle precedenti.
3ª - I numeri devono esse tali, cioè “finiti”: non sono ammessi discorsi (insulsi) del tipo “… e così via, fino all’infinito”.
4ª - il numero che si considera postato inizialmente (per poter successivamente applicare al 1ª regola) è “0”.
5ª - Il gioco si considera terminato quando “langue” (lunghi periodi di non partecipazione), non si rispetta qualche regola precedente, oppure il promotore (io medesimo) non ha più voglia di continuare.
Si inizia: si considera postato il numero naturale: [size=200] 0 [/size]
Risposte
ops......
Sia P1 la produttoria di tutti i numeri strettamente maggiori di zero postati fino ad adesso e validi al fine del gioco, allora il mio nuemro è $S1=((((((((P1!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)^(P1!))^(P1!))$
e se giovanni aggiungessi una 70ina di parentesi al tuo numero? 
:D:D dai infinito, vogliao il tuo numero....
:D:D dai infinito, vogliao il tuo numero....
Sicuramente violerò le regole del gioco:
sia I il numero che verrà postato da infinito
allora io posto I^I
sia I il numero che verrà postato da infinito
allora io posto I^I
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Spero che questo numero soddisfi le condizioni per essere accettabile ai fini del gioco:
Sia P la produttoria di tutti i numeri postati fino ad adesso e ritenuti validi al fine del gioco, allora il mio numero è $S=(((((((P!)!)^((P!)!))^(P!))^(P!))^(P!))^(P!))$
Sia P1 la produttoria di tutti i numeri strettamente maggiori di zero postati fino ad adesso e validi al fine del gioco, allora il mio nuemro è S1=((((((((P1!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)P1!)P1!)
Si continua ad usare numeri postati precedentemente, ma, a parte questo, l’idea non è risolutiva, e mi pare decisamente “più forte” quella di david_e.
"david_e":
Spiacente, ma il primo numero postato era:
[size=200]0[/size]
Per cui S=1.
Non ci avevo pensato, e questa risposta è davvero "forte"!
"carlo23":
Sicuramente violerò le regole del gioco:
sia I il numero che verrà postato da infinito
allora io posto I^I
Per il “sicuramente” ho qualche dubbio, comunque ci provo, non perché sia evidente che hai violato le regole, ma perché non mi piace troppo l’idea che tu faccia “il colpaccio” in questo modo (in realtà è dall’inizio che lo dico: mi piacerebbe che chi posta i numeri non si rifacesse ai numeri precedenti postati dagli altri (credo che si faccia anche per essere sicuri di aver aumentato il precedente)).
Se invece la tua è solo una battuta, allora si accetta tutto … e può anche essere piacevole.
Comunque, a mo’ di gioco, provo a vedere se mi riesce dimostrare che hai violato le regole
Intanto viola una regola:
«2ª - Ogni numero postato non basta che sia “più grande” del precedente (per esempio: se il precedente è “n”, non basta che sia “n+1”), ma deve essere “significativamente” più grande, cioè definito con una regola che sia "qualitativamente” migliore delle precedenti.»
E questo perché l’idea di elevare un numero a sé stesso è sicuramente “sorpassata”, cioè non significativamente migliore delle precedenti (anche se l’idea migliore potrebbe essere quella di utilizzare un numero che verrà postato dopo).
Ma un errore più profondo potrebbe essere trovato nell’idea stessa di utilizzare un numero postato successivamente.
Infatti tu pensi di aver effettivamente postato un numero, ma non ne sono così sicuro, in realtà la tua operazione presuppone che io posti successivamente un numero, ma questo non è detto che avverrà (nel qual caso tu non avresti postato nulla), anzi: se il tuo numero fosse valido sicuramente lo farei, perché io non potrò postare un nessun numero, dal momento che, per la regola n° 1 il mio numero dovrebbe essere maggiore dei precedenti, in particolare del tuo.
Quindi la tua frase è di fatto inapplicabile, per cui non definisce nessun numero, o meglio: «la tua è una frase concettualmente autoreferenziale» (nel numero che io posterò deve essere implicito il confronto con quello che è già stato postato), e non ha quindi alcun significato.
(Se ci si pensa bene il tutto è meno strano di quando sembri.)
"giacor86":
e se giovanni aggiungessi una 70ina di parentesi al tuo numero?
Si, mi pare che ci sia questa regola:
« 5ª - Il gioco si considera terminato quando “langue” (lunghi periodi di non partecipazione), non si rispetta qualche regola precedente, oppure il promotore (io medesimo) non ha più voglia di continuare.»
che lascia intendere che il gioco sia terminato (lunghi periodi senza nuove idee).
Ripeto però che quello che posterò sotto non è affatto banale, e sarà molto più difficile da capire di quello che avete postato voi sopra.
Allora perché scrivo così?
Perché in realtà io definisco non solo nuovi numeri, ma anche nuove operazioni (dopo somma, prodotto e potenza), e lo faccio “ a più livelli”. Il numero del livello comparirà sia nei numeri che nelle operazioni, rendendo il tutto di difficile comprensione.
Cioè: non definisco solo un numero da postare, ma lo faccio dopo aver presentato, praticamente, tutta una “teoria delle operazioni” che a me pare interessante.
Per aiutare la comprensione del tutto penso di postare tale teoria a pagine (numerate) intervallate da pagine di commento. Chi volesse avere solo la teoria può non considerare le pagine di commento.
Analogamente nelle singole pagine della teoria ci sono dei commenti chiarificatori racchiusi in particolari “parentesi asteriscate”, in modo da poter essere facilmente riconosciuti ed eventualmente eliminati da chi volesse snellire il tutto per capire meglio la teoria.
Infine presenterò il lavoro “a rate, in modo da dare tempo per “digerire” i concetti e per spiegare quello che scrivo.
Allora … si comincia!
[size=200]Posta qui il numero più grande - Pagina 0[/size]
Notazioni
Nel definire il mio “numero più grande” introdurrò concetti che credo risulteranno non intuitivi “al primo colpo”, per cui ritengo utile aggiungerci alcuni commenti e spiegazioni.
Per non appesantire le definizioni, però, ritengo utile introdurre una notazione che permetta di riconoscerli facilmente e di eliminarli:
con il simbolo “(*” e “*)” rappresento parentesi che racchiudono un “commento”, così che il tutto sarà una espressione del tipo “(* commento *)”,
analogamente per spiegazioni “di secondo livello”: “(** commento **)” e “di terzo livello”: “(*** commento ***)”.
Userò quelle di primo livello per esempi esplicativi, quelle di secondo per le motivazioni e quelle di terzo per gli “approfondimenti”.
Nel proseguo con il termine “PDNG”, indicherò “il Procedimento di Definizione del Numero più Grande”, cioè il lavoro che sto facendo per definire il numero che posterò per partecipare alla gara “posta qui il numero più grande”.
(*** Questa è una definizione autoreferenziale, ma non credo che dia luogo a paradossi. Comunque penso che sia preferibile utilizzare questa piuttosto che un rigiro di parole molto più contorto. ***)
Definizioni introduttive (*** Come dire: “Livello 0” ***)
Inizio introducendo la successione dei numeri naturali, che chiamo “N(n)”.
(* Per esempio N(5)=5. *)
In N ho l’operazione unaria “successivo” e in N-{0} ho quella “precedente”; indico quest’ultima con “p”
(* p(n)=n-1, per esempio p(13)=12)
A questo punto considero la successione di “livello 0” del PDNG che definisco semplicemente come s0(n)=N(n).
(** Sembra una cosa inutile, ma nel seguito del PDNG introdurrò altre successioni come “s1(n) e s2(n), continuando ad utilizzare N(n), e mi pare più “elegante” operare come ho fatto. **)
Notazioni
Nel definire il mio “numero più grande” introdurrò concetti che credo risulteranno non intuitivi “al primo colpo”, per cui ritengo utile aggiungerci alcuni commenti e spiegazioni.
Per non appesantire le definizioni, però, ritengo utile introdurre una notazione che permetta di riconoscerli facilmente e di eliminarli:
con il simbolo “(*” e “*)” rappresento parentesi che racchiudono un “commento”, così che il tutto sarà una espressione del tipo “(* commento *)”,
analogamente per spiegazioni “di secondo livello”: “(** commento **)” e “di terzo livello”: “(*** commento ***)”.
Userò quelle di primo livello per esempi esplicativi, quelle di secondo per le motivazioni e quelle di terzo per gli “approfondimenti”.
Nel proseguo con il termine “PDNG”, indicherò “il Procedimento di Definizione del Numero più Grande”, cioè il lavoro che sto facendo per definire il numero che posterò per partecipare alla gara “posta qui il numero più grande”.
(*** Questa è una definizione autoreferenziale, ma non credo che dia luogo a paradossi. Comunque penso che sia preferibile utilizzare questa piuttosto che un rigiro di parole molto più contorto. ***)
Definizioni introduttive (*** Come dire: “Livello 0” ***)
Inizio introducendo la successione dei numeri naturali, che chiamo “N(n)”.
(* Per esempio N(5)=5. *)
In N ho l’operazione unaria “successivo” e in N-{0} ho quella “precedente”; indico quest’ultima con “p”
(* p(n)=n-1, per esempio p(13)=12)
A questo punto considero la successione di “livello 0” del PDNG che definisco semplicemente come s0(n)=N(n).
(** Sembra una cosa inutile, ma nel seguito del PDNG introdurrò altre successioni come “s1(n) e s2(n), continuando ad utilizzare N(n), e mi pare più “elegante” operare come ho fatto. **)
[size=200]Posta qui il numero più grande - Pagina 1[/size]
1° livello di PDNG
Livello 0 (** nel 1° livello di PDNG **)
Considero l’operazione di “livello 0” (in questo livello di PDNG) di un numero n, che chiamo “op1.0” (*che significa “operazione 1.0”*), che consiste semplicemente nell’associare, ad ogni elemento di s0, il successivo elemento in s0, che indico con “op1.0(n)”).
(* Di fatto questa è semplicemente l’operazione “successivo di un numero naturale”. *)
(** Tale operazione è una operazione unaria, cioè con un solo argomento, come lo è l’operazione “estrazione di radice quadrata”. **)
Livello 1 (** nel 1° livello di PDNG **)
Poi definisco l’operazione di “livello 1” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.1 b)” definita in modo tale che
(a op1.1 0) = a, e che
(a op1.1 b) = ((op1.0(a)) op1.1 p(b)) .
(**(a op1.1 b) lo ho definito uguale a ((successivo di a in s0) op1.1 (precedente di b in N)), a meno che b=0, nel qual caso è semplicemente “a”. **)
(* op1.1 è semplicemente la somma fra numeri naturali. *)
(* (5 op1.1 3) = (6 op1.1 2) =(7 op1.1 1) =(8 op1.1 0) = 8 . *)
Livello 2 (** nel 1° livello di PDNG **)
Poi definisco l’operazione di “livello 2” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.2 b)” definita in modo tale che
(a op1.2 0) = 0, e che
(a op1.2 b) = (a op1.1 (a op1.2 p(b))) .
(* op1.2 è semplicemente il prodotto fra numeri naturali. *)
(* (5 · 3) = (5 + (5 · 2) ) = (5 + (5 + (5 · 1))) = (5 + (5 + (5 + (5 · 0)))) = (5 + (5 + (0 + 5 ))) = 15 . *)
(* (5 op1.2 3) = (5 op1.1 (5 op1.2 2) = (5 op1.1 (5 op1.1 (5 op1.2 1))) = (5 op1.1 (5 op1.1 (5 op1.1 (5 op1.2 0)))) = (5 op1.1 (5 op1.1 (5 op1.1 (5)))) = 20. *)
Livello n, per n>2 (** nel 1° livello di PDNG **)
Poi, per ogni n>2, definisco l’operazione di “livello n” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.n b)” definita in modo tale che
(a op1.n 0) = 1, e che
(a op1.n b) = (a op1.(n-1) (a op1.n p(b))) .
(* (a op1.3 b) è semplicemente la potenza fra numeri naturali a^b. *)
(* (5^3) = (5·(5^2)) = (5· (5· (5^1))) = (5·(5·(5·(5^0)))) = (5· (5· (5·1))) = 125 . *)
(* (5 op1.n 3) = (5 op1.(n-1) (5 op1.n 2)) = (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) (5 op1.n 1))) = (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) (5 op1.n 0)))) = (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) 1 ))) . *)
(*** La “op1.3” è la potenza, la “op1.4” è una nuova operazione, per esempio: (a op1.4 5) = a^(a^(a^(a^a)))) , le altre operazioni sono definite analogamente. ***)
(** I differenti valori di op1.n in 0 sono dovuti al fatto che op1.0 è una operazione unaria, mentre le altre sono operazioni binarie. In realtà, comunque la motivazione principale è stata quella di ottenere i valori “giusti” solo per le operazioni canoniche “successivo”, “somma”, “prodotto” e “potenza”, dal momento che il valore in 0 non risulta utile ai fini del PDNG, e che ci basta il valore delle op1.n in 1 . **)
Successione di livello 1 di PDNG
A questo punto considero la successione di “livello 1” del PDNG che definisco come s1(0)=0 , se n>=0 s1(n)= (n op1.n n).
(*** A questo punto vale la pena di stimare i valori che si ottengono con queste operazioni e i valori della successione s1:
s1(0) = 0;
s1(1) = 2;
s1(2) = 4;
s1(3) = 27;
s1(4) è dell’ordine di 10^(10^153);
s1(5) non ho idea di cosa significhi in pratica, ma dai precedenti numeri si dovrebbe avere una idea di come cresca questa successione;
s1(6) … ***)
1° livello di PDNG
Livello 0 (** nel 1° livello di PDNG **)
Considero l’operazione di “livello 0” (in questo livello di PDNG) di un numero n, che chiamo “op1.0” (*che significa “operazione 1.0”*), che consiste semplicemente nell’associare, ad ogni elemento di s0, il successivo elemento in s0, che indico con “op1.0(n)”).
(* Di fatto questa è semplicemente l’operazione “successivo di un numero naturale”. *)
(** Tale operazione è una operazione unaria, cioè con un solo argomento, come lo è l’operazione “estrazione di radice quadrata”. **)
Livello 1 (** nel 1° livello di PDNG **)
Poi definisco l’operazione di “livello 1” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.1 b)” definita in modo tale che
(a op1.1 0) = a, e che
(a op1.1 b) = ((op1.0(a)) op1.1 p(b)) .
(**(a op1.1 b) lo ho definito uguale a ((successivo di a in s0) op1.1 (precedente di b in N)), a meno che b=0, nel qual caso è semplicemente “a”. **)
(* op1.1 è semplicemente la somma fra numeri naturali. *)
(* (5 op1.1 3) = (6 op1.1 2) =(7 op1.1 1) =(8 op1.1 0) = 8 . *)
Livello 2 (** nel 1° livello di PDNG **)
Poi definisco l’operazione di “livello 2” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.2 b)” definita in modo tale che
(a op1.2 0) = 0, e che
(a op1.2 b) = (a op1.1 (a op1.2 p(b))) .
(* op1.2 è semplicemente il prodotto fra numeri naturali. *)
(* (5 · 3) = (5 + (5 · 2) ) = (5 + (5 + (5 · 1))) = (5 + (5 + (5 + (5 · 0)))) = (5 + (5 + (0 + 5 ))) = 15 . *)
(* (5 op1.2 3) = (5 op1.1 (5 op1.2 2) = (5 op1.1 (5 op1.1 (5 op1.2 1))) = (5 op1.1 (5 op1.1 (5 op1.1 (5 op1.2 0)))) = (5 op1.1 (5 op1.1 (5 op1.1 (5)))) = 20. *)
Livello n, per n>2 (** nel 1° livello di PDNG **)
Poi, per ogni n>2, definisco l’operazione di “livello n” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.n b)” definita in modo tale che
(a op1.n 0) = 1, e che
(a op1.n b) = (a op1.(n-1) (a op1.n p(b))) .
(* (a op1.3 b) è semplicemente la potenza fra numeri naturali a^b. *)
(* (5^3) = (5·(5^2)) = (5· (5· (5^1))) = (5·(5·(5·(5^0)))) = (5· (5· (5·1))) = 125 . *)
(* (5 op1.n 3) = (5 op1.(n-1) (5 op1.n 2)) = (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) (5 op1.n 1))) = (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) (5 op1.n 0)))) = (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) (5 op1.(n-1) 1 ))) . *)
(*** La “op1.3” è la potenza, la “op1.4” è una nuova operazione, per esempio: (a op1.4 5) = a^(a^(a^(a^a)))) , le altre operazioni sono definite analogamente. ***)
(** I differenti valori di op1.n in 0 sono dovuti al fatto che op1.0 è una operazione unaria, mentre le altre sono operazioni binarie. In realtà, comunque la motivazione principale è stata quella di ottenere i valori “giusti” solo per le operazioni canoniche “successivo”, “somma”, “prodotto” e “potenza”, dal momento che il valore in 0 non risulta utile ai fini del PDNG, e che ci basta il valore delle op1.n in 1 . **)
Successione di livello 1 di PDNG
A questo punto considero la successione di “livello 1” del PDNG che definisco come s1(0)=0 , se n>=0 s1(n)= (n op1.n n).
(*** A questo punto vale la pena di stimare i valori che si ottengono con queste operazioni e i valori della successione s1:
s1(0) = 0;
s1(1) = 2;
s1(2) = 4;
s1(3) = 27;
s1(4) è dell’ordine di 10^(10^153);
s1(5) non ho idea di cosa significhi in pratica, ma dai precedenti numeri si dovrebbe avere una idea di come cresca questa successione;
s1(6) … ***)
Infinito scusa, mi aspettavo un commento al mio TOP(N)... Appena ho tempo, mi metto a leggere la tua (lunga!) digressione.
Grazie!
Anche perchè, (ribadisco, non ho letto tutto!) la valutazione dei primi termini della tua serie mi sembra decisamente con valori più piccoli della mia...
EDIT
ah, è la successione di livello 1...
aspettiamo la seconda pagina!
Grazie!
Anche perchè, (ribadisco, non ho letto tutto!) la valutazione dei primi termini della tua serie mi sembra decisamente con valori più piccoli della mia...
EDIT
ah, è la successione di livello 1...
aspettiamo la seconda pagina!
"david_e":
Spiacente, ma il primo numero postato era:
[size=200]0[/size]
Per cui S=1.
grande!
Caspita Infinito e' impressionante quello che stai facendo!
Rimango in attesa della seconda pagina!
Rimango in attesa della seconda pagina!
"jurop88":
Infinito scusa, mi aspettavo un commento al mio TOP(N) ...
… Anche perchè, (ribadisco, non ho letto tutto!) la valutazione dei primi termini della tua serie mi sembra decisamente con valori più piccoli della mia...
EDIT
ah, è la successione di livello 1...
aspettiamo la seconda pagina!
Scusa jurop, è vero che non ti ho risposto.
Comunque non è che è solo la successione di livello 1, perché tu hai postato “TOP(10)”, ma io penso che già s1(100 sia enormemente maggiore di TOP(1000000000000000000000000).
Scusa la presunzione, ma penso che la mia successione sia davvero “ostica” da capire perché è fuori dagli schemi ordinari (ho idea delle difficoltà a capirla anche perché, nonostante io abbia semplicemente formalizzato un’idea che ho da ben più di vent’anni, e che la abbia meditata per tutto questo tempo, quando (due anni fa) arrivai a scriverla ebbi moltissime difficoltà, sia a formalizzarla, sia a capirla).
Per spiegarmi meglio fa’ conto che alcuni bambini di 1ª elementare vogliano sfidarsi a postare il numero più grande , e dicano
«il successivo del successivo del successivo del successivo del successivo …. (100 volte) … del successivo di 1»
è chiaro che se invece del successivo uno passa ad usare la somma e dice
«100 +100 +100 +100 +100 + (100 volte) +100»
dice un numero decisamente più grande di quello che possono fare i ragazzi con il solo successivo.
Parimenti se arrivasse uno che usa un’operazione “di livello superiore” e dicesse
«100 · 100 ·100 ·100 ·100 · (100 volte) ·100» non avrebbe rivali.
E il gioco sarebbe ancora più evidente se al posto di “100” si avesse un numero del tipo “1000000”.
Tutto questo può sembrare banale, ma in pratica è ciò che ha fatto qualcuno di voi con l’esponenziale:
«10^(10^(10^(10^(10^(10^(10^…. (10^(10^(10^(10^10))) volte) … ))))))»
altri invece hanno usato il fattoriale, altri una combinazione di questi due simboli, ma in pratica senza saltare di livello.
Mi pare che david_e per primo sia riuscito a saltare di livello, ma senza andare “troppo più in là”.
Invece nel mio post, per ogni n naturale (positivo) ho definito un’operazione di livello superiore a quello immediatamente precedente, e “non c’è storia” con nessun tentativo (di postare un numero grande) che non segua un procedimento confrontabile.
Al livello 0 ho l’operazione unaria “successivo”,
al livello 1 ho “la somma”,
al livello 2 ho “il prodotto”,
al livello 3 ho “la potenza”,
al livello 4 ho una operazione di livello superiore, che non è nella nostra esperienza (ma che possiamo capire abbastanza bene), invece a livelli superiori non si capisce più nulla.
Hai idea di cosa possa essere s1(100)?
Visto che vi siete cimentati con “il gioco”, e che avete avuto diverse idee, credo che possiate capire abbastanza bene quello che ho scritto (anche se sono sicuro che ci siano diversi errori, e vi invito a segnalarmeli), per cui preferirei che commentaste fra voi quello che ho postato.
Quando tutto sarà sufficientemente chiaro posterò il proseguo (che credo sia un pochino più complesso).
Via ai commenti.
Credo di aver capito il concetto, una forte applicazione della ricorsione.
Ma...
Forse non ho capito bene io, oppure c'è da rivedere la formalizzazione.
Citi il valore nella tua serie corrispondente a 4 op1.4 4 essere quello che è.
Mi sono messo di carta e matita (testardo come un mulo!) e - se ho ben capito - dopo tre passaggi arriviamo a...
(((((4 op1.4 0) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4)
cioè (((((1) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4), giusto?
ma 1^n=1.
Dov'è l'inghippo? Dov'è che sbaglio?
Ma...
Forse non ho capito bene io, oppure c'è da rivedere la formalizzazione.
Citi il valore nella tua serie corrispondente a 4 op1.4 4 essere quello che è.
Mi sono messo di carta e matita (testardo come un mulo!) e - se ho ben capito - dopo tre passaggi arriviamo a...
(((((4 op1.4 0) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4)
cioè (((((1) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4), giusto?
ma 1^n=1.
Dov'è l'inghippo? Dov'è che sbaglio?
Attenzione: dopo il messaggio di jurop88 ho corretto significativamente le definizioni di pagina 1
Ti ringrazio, jurop88, perché [size=150]hai perfettamente ragione: io ho definito operazioni che danno come risultato 1[/size].
Infatti la mia definizione (per esempio, con n=4) recita: «
(a op1.4 0) = 1, e
(a op1.4 b) = ((a op1.4 p(b)) op1.3 a) . »
Quindi, per esempio (non so se è il tuo esempio ), considerando che (a op1.3 b) = a^b, si ha che
(a op1.4 4) =
= ((a op1.4 3) op1.3 a) =
= (((a op1.4 2) op1.3 a) op1.3 a) =
= ((((a op1.4 1) op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) =
= (((((a op1.4 0) op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) =
= ((((1 op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) =
= ((((1^ a)^ a)^ a)^ a) =
= 1 .
Inoltre, come si vede facilmente, anche se avessimo definito diversamente il valore di (a op1.4 0), non saremmo “saltati di livello”, perché ((((k^ a)^ a)^ a)^ a) = k^(a^4).
Cioè: l’errore sta nell’ordine delle operazioni complesse, che quindi è da “rovesciare”.
Quindi [size=150]cambio la definizione del
Livello n, per n>2[/size] (** nel 1° livello di PDNG **)
dalla precedente, che era
«Poi, per ogni n>2, definisco l’operazione di “livello n” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.n b)” definita in modo tale che
(a op1.n 0) = 1, e che
(a op1.n b) = ((a op1.n p(b)) op1.(n-1) a) . »
in
«Poi, per ogni n>2, definisco l’operazione di “livello n” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.n b)” definita in modo tale che
(a op1.n 0) = 1, e che
(a op1.n b) = (a op1.(n-1) (a op1.n p(b))) . »
con questa definizione sono eliminati i due errori evidenziati sopra.
Noto poi che tale definizione dovrebbe essere un’estensione di altre date precedentemente, ma poiché le operazioni date precedentemente erano commutative, non avevo problemi analoghi.
Però “è ovvio” che l’eleganza formale impone di avere definizioni “analoghe, per cui cambio anche le precedenti.
"jurop88":
Credo di aver capito il concetto, una forte applicazione della ricorsione.
Ma...
Forse non ho capito bene io, oppure c'è da rivedere la formalizzazione.
Citi il valore nella tua serie corrispondente a 4 op1.4 4 essere quello che è.
Mi sono messo di carta e matita (testardo come un mulo!) e - se ho ben capito - dopo tre passaggi arriviamo a...
(((((4 op1.4 0) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4)
cioè (((((1) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4) op1.3 4), giusto?
ma 1^n=1.
Dov'è l'inghippo? Dov'è che sbaglio?
Ti ringrazio, jurop88, perché [size=150]hai perfettamente ragione: io ho definito operazioni che danno come risultato 1[/size].
Infatti la mia definizione (per esempio, con n=4) recita: «
(a op1.4 0) = 1, e
(a op1.4 b) = ((a op1.4 p(b)) op1.3 a) . »
Quindi, per esempio (non so se è il tuo esempio ), considerando che (a op1.3 b) = a^b, si ha che
(a op1.4 4) =
= ((a op1.4 3) op1.3 a) =
= (((a op1.4 2) op1.3 a) op1.3 a) =
= ((((a op1.4 1) op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) =
= (((((a op1.4 0) op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) =
= ((((1 op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) op1.3 a) =
= ((((1^ a)^ a)^ a)^ a) =
= 1 .
Inoltre, come si vede facilmente, anche se avessimo definito diversamente il valore di (a op1.4 0), non saremmo “saltati di livello”, perché ((((k^ a)^ a)^ a)^ a) = k^(a^4).
Cioè: l’errore sta nell’ordine delle operazioni complesse, che quindi è da “rovesciare”.
Quindi [size=150]cambio la definizione del
Livello n, per n>2[/size] (** nel 1° livello di PDNG **)
dalla precedente, che era
«Poi, per ogni n>2, definisco l’operazione di “livello n” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.n b)” definita in modo tale che
(a op1.n 0) = 1, e che
(a op1.n b) = ((a op1.n p(b)) op1.(n-1) a) . »
in
«Poi, per ogni n>2, definisco l’operazione di “livello n” fra due numeri “a” e “b”:
“(a op1.n b)” definita in modo tale che
(a op1.n 0) = 1, e che
(a op1.n b) = (a op1.(n-1) (a op1.n p(b))) . »
con questa definizione sono eliminati i due errori evidenziati sopra.
Noto poi che tale definizione dovrebbe essere un’estensione di altre date precedentemente, ma poiché le operazioni date precedentemente erano commutative, non avevo problemi analoghi.
Però “è ovvio” che l’eleganza formale impone di avere definizioni “analoghe, per cui cambio anche le precedenti.
[size=150]$789787878798464654654654654558789797979797987^(5464564121231321321321464643543446878765179977987117617671776876876761676716^(113776768787676777))$[/size]
Beccatevi 'sto numero!
Beccatevi 'sto numero!
Io avrei un idea: perchè non sostituire tutte le "op.1.n" con dei simboli come si fa cnl + - x / ^. Secondo me diventerrebbe tutto piu immediato e comprensibile
In risposta a quello che hai scritto:
Al livello 0 ho l’operazione unaria “successivo”,
al livello 1 ho “la somma”,
al livello 2 ho “il prodotto”,
al livello 3 ho “la potenza”,
al livello 4 ho una operazione di livello superiore, che non è nella nostra esperienza (ma che possiamo capire abbastanza bene), invece a livelli superiori non si capisce più nulla.
(*** La “op1.3” è la potenza, la “op1.4” è una nuova operazione, per esempio: (a op1.4 5) = a^(a^(a^(a^a)))) , le altre operazioni sono definite analogamente. ***) ........
.....effettivamente è impressionante la definizione di numero più grande che hai dato, ma francamente fare uso di operazioni che non sono nella nostra esperienza matematica non so fino a che punto possa essere portata per valida, dato che già dal livello 5 non si capisce più niente
Non conoscendo nè avendo modo di definire con un certo rigore le operazioni che si susseguono si perde di vista completamente l'ordine di grandezza e il senso di ciò che hai postato
In effetti operatori più grandi di quello esponenziale vanno definiti più precisamente.....altrimenti tanto vale postare per numero più grande:
[size=200]I N F I N I T O[/size].....e risolviamo tutto
Al livello 0 ho l’operazione unaria “successivo”,
al livello 1 ho “la somma”,
al livello 2 ho “il prodotto”,
al livello 3 ho “la potenza”,
al livello 4 ho una operazione di livello superiore, che non è nella nostra esperienza (ma che possiamo capire abbastanza bene), invece a livelli superiori non si capisce più nulla.
(*** La “op1.3” è la potenza, la “op1.4” è una nuova operazione, per esempio: (a op1.4 5) = a^(a^(a^(a^a)))) , le altre operazioni sono definite analogamente. ***) ........
.....effettivamente è impressionante la definizione di numero più grande che hai dato, ma francamente fare uso di operazioni che non sono nella nostra esperienza matematica non so fino a che punto possa essere portata per valida, dato che già dal livello 5 non si capisce più niente
Non conoscendo nè avendo modo di definire con un certo rigore le operazioni che si susseguono si perde di vista completamente l'ordine di grandezza e il senso di ciò che hai postato
In effetti operatori più grandi di quello esponenziale vanno definiti più precisamente.....altrimenti tanto vale postare per numero più grande:
[size=200]I N F I N I T O[/size].....e risolviamo tutto
No a me sembra molto interessante l'idea di infinito!
Dopo tutto anche la successione di funzioni annidate che ho dato io non erano nella nostra "esperienza matematica". Come non lo era praticamente tutto quello che abbiamo postato dal NoS(x) in avanti.
Il bello, secondo me, è proprio questo: abbiamo superato la nostra esperienza matematica coi numeri interi trascendendo le conoscenze cui eravamo giunti da piccoli sugli interi....
Dopo tutto anche la successione di funzioni annidate che ho dato io non erano nella nostra "esperienza matematica". Come non lo era praticamente tutto quello che abbiamo postato dal NoS(x) in avanti.
Il bello, secondo me, è proprio questo: abbiamo superato la nostra esperienza matematica coi numeri interi trascendendo le conoscenze cui eravamo giunti da piccoli sugli interi....
Ciao gente, speravo di vedere più commenti, comunque mi pare tempo di postare il proseguo.
Ho però paura che non siano molti quelli che hanno capito il senso di tutto il lavoro, anche perché credo che per chi non si è cimentato con il gioco la fatica di seguire le varie definizioni sia davvero grande, e non si sa per quale motivo dovrebbe sobbarcarsene l’onere.
Plausibilmente è per questo (per convincerli che ne vale la pena) che ho ripetutamente chiesto i vostri commenti.
Intanto ringrazio ancora jurop88 per la sua segnalazione di errore.
Poi informo Fury che il suo numero è ormai “sorpassato” (ma forse non ho capito che cosa intendeva con il suo post).
A blackdie rispondo che con i simboli + - * / ^ è difficile andare avanti con una definizione generalizzabile all’infinito, cosa per cui è praticamente indispensabile una notazione indicizzata (cioè con un indice, come, ad esempio “n”).
O forse intendi che le mie definizioni non sono state abbastanza rigorose? In questo caso fammi capire dove ho sbagliato, e correggerò volentieri (come ho fatto con la segnalazione di jurop88). O forse intendi che, dal momento che ho fatto una correzione (molto grossa) tutto il mio lavoro ha perso di credibilità? In un certo senso hai ragione (quando uno posta un lavoro conclusivo si impegna ad aver eliminato gli errori grossolani), ma in verità lo avevo detto che non era una versione del tutto affidabile, e poi, soprattutto, il fatto che mi sia espresso male non guasta minimamente la bontà dell’idea, che è bella o brutta “di per sé, e non deve dipendere da come la ho trattata io.
Infine aleio1 ha semplicemente violato la regola n° 3.
Allora: nel successivo messaggio posto la continuazione del “PDNG” (cioè del mio numero più grande, che, per inciso, avevo volutamente limitare al 2° livello, nonostante ne avessi introdotti moti di più): la pagina 2.
Per postare il resto aspetto i vostri commenti.
Ho però paura che non siano molti quelli che hanno capito il senso di tutto il lavoro, anche perché credo che per chi non si è cimentato con il gioco la fatica di seguire le varie definizioni sia davvero grande, e non si sa per quale motivo dovrebbe sobbarcarsene l’onere.
Plausibilmente è per questo (per convincerli che ne vale la pena) che ho ripetutamente chiesto i vostri commenti.
Intanto ringrazio ancora jurop88 per la sua segnalazione di errore.
Poi informo Fury che il suo numero è ormai “sorpassato” (ma forse non ho capito che cosa intendeva con il suo post).
A blackdie rispondo che con i simboli + - * / ^ è difficile andare avanti con una definizione generalizzabile all’infinito, cosa per cui è praticamente indispensabile una notazione indicizzata (cioè con un indice, come, ad esempio “n”).
"ciclico":Non ho capito l’obiezione: mi pare che la risposta di david_e sia “doverosa”: tutta la matematica è basata su concetti definiti laddove definizione non c’era. E che cosa pretenderesti: che solo “i matematici” abbiano il diritto di farlo? Io mi arrogo tale diritto (anzi: anche di chiamarmi “matematico”) e invito a farlo anche tutti i miei studenti, anceh se sono solo in 1ª!
...fare uso di operazioni che non sono nella nostra esperienza matematica non so fino a che punto possa essere portata per valida, dato che già dal livello 5 non si capisce più niente
O forse intendi che le mie definizioni non sono state abbastanza rigorose? In questo caso fammi capire dove ho sbagliato, e correggerò volentieri (come ho fatto con la segnalazione di jurop88). O forse intendi che, dal momento che ho fatto una correzione (molto grossa) tutto il mio lavoro ha perso di credibilità? In un certo senso hai ragione (quando uno posta un lavoro conclusivo si impegna ad aver eliminato gli errori grossolani), ma in verità lo avevo detto che non era una versione del tutto affidabile, e poi, soprattutto, il fatto che mi sia espresso male non guasta minimamente la bontà dell’idea, che è bella o brutta “di per sé, e non deve dipendere da come la ho trattata io.
Infine aleio1 ha semplicemente violato la regola n° 3.
Allora: nel successivo messaggio posto la continuazione del “PDNG” (cioè del mio numero più grande, che, per inciso, avevo volutamente limitare al 2° livello, nonostante ne avessi introdotti moti di più): la pagina 2.
Per postare il resto aspetto i vostri commenti.
[size=200]Posta qui il numero più grande - Pagina 2[/size]
2° livello di PDNG
Livello 0 (** nel 2° livello di PDNG **)
Considero l’operazione di “livello 0” (in questo livello di PDNG) di un numero n, che chiamo “op2.0”, che consiste semplicemente nell’associare, ad ogni elemento di s1, il successivo elemento in s1, che indico con “op2.0(n)).
(* Di fatto questa è l’operazione “successivo” non più “di un numero naturale”, cioè che si ottiene lavorando nell’insieme dei numeri naturali, o meglio: “non più nella successione s0”, come si è fatto all’inizio del 1° livello di PDNG (nel definire la “op1.0”), ma lavorando solo nell’insieme dei numeri della successione s1 definita al termine del lavoro nel livello precedente.*)
Livello 1 (** nel 2° livello di PDNG **)
Poi definisco l’operazione di “livello 1” fra due numeri “a” e “b” come :
(a op2.1 b) = (s1(a op1.1 b) op1.(a op1.1 b) s1(a op1.1 b))
(** di fatto ho semplicemente incrementato i numeri in questione, che erano, oltre ad “a” e “b”, anche il numero dell’operazione, e questo fa crescere enormemente il numero ottenuto. **)
(*** Mi immagino che l’introdurre l’aumento del numero dell’operazione in funzione di a e di b faccia perdere le poche proprietà che potevano essere rimaste per le operazioni di livello 1 . ***)
Livello n, per n>1 (** nel 2° livello di PDNG **)
Poi, se n>1, definisco l’operazione di “livello n” fra due numeri “a” e “b” come :
(a op2.n b) = (s1(a op2.(n-1) b) op1.(a op2.(n-1) b) s1(a op2.(n-1) b)) .
Successione di livello 2 di PDNG
A questo punto considero la successione di “livello 2” del PDNG che definisco come s2(0)=0 , se n>=0 s2(n)= (n op2.n n).
2° livello di PDNG
Livello 0 (** nel 2° livello di PDNG **)
Considero l’operazione di “livello 0” (in questo livello di PDNG) di un numero n, che chiamo “op2.0”, che consiste semplicemente nell’associare, ad ogni elemento di s1, il successivo elemento in s1, che indico con “op2.0(n)).
(* Di fatto questa è l’operazione “successivo” non più “di un numero naturale”, cioè che si ottiene lavorando nell’insieme dei numeri naturali, o meglio: “non più nella successione s0”, come si è fatto all’inizio del 1° livello di PDNG (nel definire la “op1.0”), ma lavorando solo nell’insieme dei numeri della successione s1 definita al termine del lavoro nel livello precedente.*)
Livello 1 (** nel 2° livello di PDNG **)
Poi definisco l’operazione di “livello 1” fra due numeri “a” e “b” come :
(a op2.1 b) = (s1(a op1.1 b) op1.(a op1.1 b) s1(a op1.1 b))
(** di fatto ho semplicemente incrementato i numeri in questione, che erano, oltre ad “a” e “b”, anche il numero dell’operazione, e questo fa crescere enormemente il numero ottenuto. **)
(*** Mi immagino che l’introdurre l’aumento del numero dell’operazione in funzione di a e di b faccia perdere le poche proprietà che potevano essere rimaste per le operazioni di livello 1 . ***)
Livello n, per n>1 (** nel 2° livello di PDNG **)
Poi, se n>1, definisco l’operazione di “livello n” fra due numeri “a” e “b” come :
(a op2.n b) = (s1(a op2.(n-1) b) op1.(a op2.(n-1) b) s1(a op2.(n-1) b)) .
Successione di livello 2 di PDNG
A questo punto considero la successione di “livello 2” del PDNG che definisco come s2(0)=0 , se n>=0 s2(n)= (n op2.n n).
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