Il paradosso delle due buste

[axpgn]

Il vostro ricco zio d'America vi convoca nel suo studio e vi pone davanti due buste: in una c'è un determinato importo, nell'altra il doppio. Ma non vi dice qual è quella più "pesante"
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".

E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?

Questo ragionamento può essere fatto prima di qualsiasi scelta quindi se sceglieste la busta 1 dovreste scambiarla senza remore con la 2 ... ma se sceglieste la 2 altrettanto sicuramente dovreste scambiarla con la 1 ... in un loop infinito ... c'è qualcosa che non va

Come si esce da 'sto casino? I don't know!


Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"mgrau":
[quote="gabriella127"]Non può esistere 'dimostrazione matematica' in senso formale (cioè come la intende hydro), l'unica 'soluzione' può essere un accordo tra tutti che dicono "ah ah, è vero".

Anche qui, per la ragione detta sopra, non sono d'accordo. La dimostrazione dell'indifferenza dello scambio, basata sulla simmetria, a me sembra buona; e di conseguenza, sballate le altre.
[/quote]

Quale intendi con la dimostrazione basata sulla simmetria? Quando dici che allora si dovrebbe di nuovo scambiare e poi riscambiare, all'infinito?
Comunque io mi riferivo a 'dimostrazione matematica' nel senso di hydro, cioè che si può mettere in termini formali controllabili da un software.
Ma è vero, secondo me, che nella pratica matematica il working mathematicians non si attiene a quella nozione di dimostrazione, ma ci sono criteri impliciti, probabilmemte di natura più 'retorica', ma qui sconfiniamo in campo filosofico.
Quindi sono d'accordo con te che quella dimostrazione sulla simmetria potrebbe essere soddisfacente, solo che non la ritrovo nel thread .

Il fatto che il thread è ormai così lungo che si è perso l'oggetto del contendere e non riesco a ricordarmi tutto, e francamente pure io a questo punto non ho chiaro l'oggetto del contendere.

In realtà forse parliamo nel thread di due problemi diversi.
Ho riletto il primo post del thread, la formulazione del problema originaria.
Si trattava di far vedere perché la formula lì' presentata, era sbagliata. E' risposte ne sono state date, secondo me soddisfacenti..

Poi si è cominciatto a parlare in sé del problema se fosse o meno conveniente scambiare. In verità non ricordo quali fossero le argomentazioni per dire che conveniva, il thread è cominciato a luglio....
A me sembra lampante che scambiare o meno è indifferente, e dicevo che dubbi in proposito possono derivare da ambiguità nella formulazione del problema, di natura più linguistica che matematica.
Ad esempio cercavo di far vedere, nell'ultimo post, come fosse confondente l'uso del termine 'scegliere', e se si fosse usato un altro termine o formulazione (ad esempio invece di 'scegliere' dire 'fare una croce rossa sopra') l'effetto sarebbe diverso, sarebbe apparsa con chiarezza l'indifferenza tra scambiare o meno.
E qui, se ci sono ambiguità/fumo negli occhi derivanti dal linguaggio non ci può essere dimostrazione matematica, è ovvio, a questo mi riferivo.

[axpgn]

@mgrau
Siamo sempre lì: il fatto che tu (e io e moltissimi altri) sia intimamente convinto che una certa teoria sia sballata (e probabilmente a ragione) non conta NULLA, matematicamente parlando.
Sta tutto qui, nel "matematicamente parlando".


[ot]Certo che uso wikipedia, io uso tutti gli strumenti che posso; ma non la considero il Verbo, il luogo depositario del sapere. Al massimo è un punto di partenza, non la fine; io vado sempre a verificare diverse fonti (più che posso) e poi cerco di fare una sintesi (se ci riesco).
Invece vedo la tendenza a "fossilizzarsi" su di essa anzi di più, è diventata come era considerata la tv di una volta ("eh, sai, l'hanno detto in televisione"); se ti azzardi a toccarla, muori [/ot]


EDIT: Ho letto il pezzo con la busta vuota, non ci vedo un grosso problema "matematico" nel senso che il guadagno percentuale è infinito ma quello reale sarebbe finito perciò non cambia niente (ai fini del concetto che convenga cambiare)

[axpgn]

"hydro":... perchè tutti sanno che non esistono distribuzioni uniformi su uno spazio numerabile.

Mica tutti

Comunque, per curiosità, come calcoleresti la probabilità in questo caso?
Dettaglio meglio, nel senso che al giorno d'oggi sarebbe possibile "giocarlo" realmente usando un computer.
Supponiamo che sia $1<=n<=10$, facciamo scegliere una carta al computer e gli facciamo scegliere anche quale faccia far vedere ad $A$ (e di conseguenza quella da far vedere a $B$).
Poi ognuno dei due decide se scommettere o no.
Se vedi $1$ scommetti di sicuro, se vedi $10$ NON scommetti.
E negli altri casi? Apparentemente sembra conveniente scommettere per entrambi. Ma non può esserlo. E allora?

Esempio: $A$ vede un $3$. Esistono $1100$ carte con il $3$ su una faccia, di cui $100$ hanno il $2$ sull'altra mentre $1000$ hanno il $4$ sull'altra faccia. Mille buone contro cento cattive, conviene no?
Per $B$ avremmo due casi: se vede un $2$, ci sono dieci carte che hanno l'uno sull'altra faccia ma ben cento che hanno un tre; lo stesso dicasi se vede un $4$, diecimila buone contro mille cattive.
Come se ne viene fuori?

[hydro1]

"axpgn":[quote="hydro"]... perchè tutti sanno che non esistono distribuzioni uniformi su uno spazio numerabile.

Mica tutti [/quote]
Beh diciamo, penso che Littlewood lo sapesse

"axpgn":
Comunque, per curiosità, come calcoleresti la probabilità in questo caso?
Dettaglio meglio, nel senso che al giorno d'oggi sarebbe possibile "giocarlo" realmente usando un computer.
Supponiamo che sia $1<=n<=10$, facciamo scegliere una carta al computer e gli facciamo scegliere anche quale faccia far vedere ad $A$ (e di conseguenza quella da far vedere a $B$).
Poi ognuno dei due decide se scommettere o no.
Se vedi $1$ scommetti di sicuro, se vedi $10$ NON scommetti.
E negli altri casi? Apparentemente sembra conveniente scommettere per entrambi. Ma non può esserlo. E allora?

Aaah ma questo è un problema molto molto diverso, perchè lo spazio degli eventi è finito. Qui sì che c'è una distribuzione uniforme. Se hai (per fare un esempio ancora più semplice) $1$ carta con $(1,2)$, $10$ carte con $(2,3)$ e $100$ carte con $(3,4)$, dove le coppie rappresentano i numeri stampati sui lati, non c'è dubbio che se la carta che peschi mostra un $1$, un $2$ o un $3$ ti convenga girarla, mentre se mostra un $4$ certamente non ti conviene. Questo implica che le variabili aleatorie "pesca una carta" e "pesca una carta e poi girala" hanno lo stesso identico valore atteso MA la variabile aleatoria "pesca una carta e girala se non leggi un $4$" ha un valore atteso maggiore. Non c'è alcun paradosso!