Il paradosso delle due buste
Il vostro ricco zio d'America vi convoca nel suo studio e vi pone davanti due buste: in una c'è un determinato importo, nell'altra il doppio. Ma non vi dice qual è quella più "pesante" 
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".
E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?
Questo ragionamento può essere fatto prima di qualsiasi scelta quindi se sceglieste la busta 1 dovreste scambiarla senza remore con la 2 ... ma se sceglieste la 2 altrettanto sicuramente dovreste scambiarla con la 1 ... in un loop infinito ... c'è qualcosa che non va
Come si esce da 'sto casino? I don't know!
Cordialmente, Alex
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".
E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?
Questo ragionamento può essere fatto prima di qualsiasi scelta quindi se sceglieste la busta 1 dovreste scambiarla senza remore con la 2 ... ma se sceglieste la 2 altrettanto sicuramente dovreste scambiarla con la 1 ... in un loop infinito ... c'è qualcosa che non va
Come si esce da 'sto casino? I don't know!
Cordialmente, Alex
Risposte
"mgrau":
Ripeto: quando "so" che un risultato è sbagliato ( le chiacchiere di Hydro) non mi va di perdere tempo a trovare l'errore.
Anch'io mi ripeto: hai tutto il diritto di fregartene se non ti interessa e fai benissimo
Quello che ti contesto è l'affermare che è sbagliata perché pensi che lo sia non perchè lo hai dimostrato, non so se mi sono spiegato.
"mgrau":
Mettiamo che lo zio è più estroso, e non mette A in una busta e 2A nella seconda, bensì metta A in una busta e 1000A nella seconda.
Era proprio quello che volevo scrivere nei post precedenti ma mi è sempre rimasto nella penna, credimi
E ti dirò di più: io sono convinto che in tal caso buona parte di coloro che sostengono che è indifferente scambiare la busta, la scambierebbero di corsa, seduta stante
Cordialmente, Alex
"axpgn":
io sono convinto che in tal caso buona parte di coloro che sostengono che è indifferente scambiare la busta, la scambierebbero di corsa, seduta stante
Davvero??
Io invece penso di no... Del resto, questo è un problema risolubile, i soggetti sono qui, possiamo chiederglielo.E che mi dici del caso della busta vuota?
@axpgn Contravvengo alla promessa di astenermi da ulteriori interventi, ma tant'è... ("Le promesse sono fatte per essere violate", per parafrasare un detto molto di moda in pubblicità).
Dici
Ti chiedo (seriamente). Quando vedi un sistema per vincere al lotto, davvero sospendi il giudizio fino a che (e se) hai trovato l'errore?
Dici
Quello che ti contesto è l'affermare che è sbagliata perché pensi che lo sia non perchè lo hai dimostrato
Ti chiedo (seriamente). Quando vedi un sistema per vincere al lotto, davvero sospendi il giudizio fino a che (e se) hai trovato l'errore?
"hydro":
Eh ma l'inghippo sta esattamente qua: cosa vuol dire per te "conviene"? Sono abbastanza sicuro che qualsiasi sia la tua risposta, tirerà in ballo il concetto di valore atteso. Che, a sua volta, poggia su quello di variabile aleatoria.
Senti, vediamo di non complicare gli affari semplici. TU cambieresti o no?
"mgrau":
[quote="axpgn"] io sono convinto che in tal caso buona parte di coloro che sostengono che è indifferente scambiare la busta, la scambierebbero di corsa, seduta stante
Davvero??
Io invece penso di no... Del resto, questo è un problema risolubile, i soggetti sono qui, possiamo chiederglielo.[/quote]
Anche io contravvenendo al proposito di non intervenire più
, come soggetto presente qui nel thread confermo la tesi di mgrau, anche con una cifra mille volte superiore o qualunque altra cifra non ritengo conveniente cambiare, cioè cambiare o non cambiare è lo stesso.
"mgrau":
Davvero??
Eh, no, troppo facile chiederglielo! Vorrei vederli con in mano la busta, reale, allora sì che sarebbe divertente
La busta vuota me la sono persa ... dov'era?
"mgrau":
Ti chiedo (seriamente). Quando vedi un sistema per vincere al lotto, davvero sospendi il giudizio fino a che (e se) hai trovato l'errore?
E dagli! Non è questo il punto, nessuno di noi due perderebbe tempo a fare qualcosa che non gli interessa (beh, io, qualche volta ...
)Il punto è che, da un punto di vista "formale" (se così posso dire), se una persona presenta una teoria sostenendo che permette di vincere sicuramente al lotto e tu non la confuti NON puoi dire che è sbagliata, che non funziona, che è una balla, ecc., rimane una tua convinzione personale.
È lo stesso della congettura di Goldbach che tutti ritengono convintamente vera ma che nessuno può sostenere che sia un teorema. Chiaro?
Vi invito a valutare il modo di vedere che ho espresso sopra, che ora rimetto sotto non in spoiler, altrimenti non lo legge nessuno.
A me sembra di una semplicità sconcertante, non c'è bisogno in questo problema di tirare in mezzo dimostrazioni matematiche, anche perché, ripeto, non si può risolvere con 'dimostrazioni': non è un problema matematico, è un paradosso che viene dalla formulazione verbale del problema e dalle ambiguità del linguaggio comune.
Non può esistere 'dimostrazione matematica' in senso formale (cioè come la intende hydro), l'unica 'soluzione' può essere un accordo tra tutti che dicono "ah ah, è vero".
Riformulo daccapo.
PROBLEMA
Devo scegliere tra due buste, una contiene una cifra il doppio dell'altra. Supponiamo che stiano su un tavolo: la probabilità di avere l'importo minore o l'importo maggiore sono entrambe 1/2.
Ora supponiamo che ne scelga una e la prenda in mano, e devo decidere se cambiarla con l'altra. Cioè che devo fare? La stessa cosa di prima, scegliere tra due buste, solo che una non sta sul tavolo ma la tengo in mano. Cosa cambia? Niente, solo il posto dove sta la busta, sempre tra due buste devo scegliere, dove stanno stanno.
Stessa cosa, variazione sul tema: le due buste stanno sul tavolo ne scelgo una e ci faccio sopra una croce rossa.
Che devo ora fare? Scegliere se prendermi quella con la croce o prendere l'altra, cioè scelgo tra due buste, l'unica differenza è che una ha una croce sopra.
E così via... Insomma, puoi scegliere una busta e farci quello che vuoi, tirarla dalla finestra, saltarci sopra, portarla alla nonna, sempre due buste restano tra cui scegliere.
A me sembra di una semplicità sconcertante, non c'è bisogno in questo problema di tirare in mezzo dimostrazioni matematiche, anche perché, ripeto, non si può risolvere con 'dimostrazioni': non è un problema matematico, è un paradosso che viene dalla formulazione verbale del problema e dalle ambiguità del linguaggio comune.
Non può esistere 'dimostrazione matematica' in senso formale (cioè come la intende hydro), l'unica 'soluzione' può essere un accordo tra tutti che dicono "ah ah, è vero".
Riformulo daccapo.
PROBLEMA
Devo scegliere tra due buste, una contiene una cifra il doppio dell'altra. Supponiamo che stiano su un tavolo: la probabilità di avere l'importo minore o l'importo maggiore sono entrambe 1/2.
Ora supponiamo che ne scelga una e la prenda in mano, e devo decidere se cambiarla con l'altra. Cioè che devo fare? La stessa cosa di prima, scegliere tra due buste, solo che una non sta sul tavolo ma la tengo in mano. Cosa cambia? Niente, solo il posto dove sta la busta, sempre tra due buste devo scegliere, dove stanno stanno.
Stessa cosa, variazione sul tema: le due buste stanno sul tavolo ne scelgo una e ci faccio sopra una croce rossa.
Che devo ora fare? Scegliere se prendermi quella con la croce o prendere l'altra, cioè scelgo tra due buste, l'unica differenza è che una ha una croce sopra.
E così via... Insomma, puoi scegliere una busta e farci quello che vuoi, tirarla dalla finestra, saltarci sopra, portarla alla nonna, sempre due buste restano tra cui scegliere.
"axpgn":
.[quote="gabriella127"]... anche con una cifra mille volte superiore o qualunque altra cifra non ritengo conveniente cambiare, cioè cambiare o non cambiare è lo stesso.
Eh, ma allora è sicuramente conveniente cambiare, se è lo stesso che male ti farebbe? Mica perderesti mille euro
[/quote]Alex, hai letto quello che ho scritto, verbigrazia?
E che ho messo pure in grassetto, perdindirindina, ohibò? Che cambiare o non cambiare busta è lo stesso, non fa male cambiare, è lo stesso, non conviene e non fa danno.
"mgrau":
[quote="hydro"]
Eh ma l'inghippo sta esattamente qua: cosa vuol dire per te "conviene"? Sono abbastanza sicuro che qualsiasi sia la tua risposta, tirerà in ballo il concetto di valore atteso. Che, a sua volta, poggia su quello di variabile aleatoria.
Senti, vediamo di non complicare gli affari semplici. TU cambieresti o no?[/quote]
All'atto pratico dipenderebbe da quanti soldi ci sono nella busta e quanti sul mio conto in banca. Ma così non è più una domanda matematica, è una domanda psicologica.
"gabriella127":
... non è un problema matematico, è un paradosso che viene dalla formulazione verbale del problema e dalle ambiguità del linguaggio comune.
Non è così, non è solo un "gioco di parole" o un trucchetto da imbonitore.
Il problema delle due buste ha interessato molti matematici e ha prodotto un'infinità di paper in merito; se fosse esclusivamente un problema legato all'ambiguità lessicale non sarebbe già stato liquidato da mo' ? IMHO
Cordialmente, Alex
Be', sarei curiosa di vedere che dicono questi paper, ci possono essere centinaia di paper che si occupano di paradossi verbali, o questioni logico-filosofiche, anche le più bizzare, apparentemente.
Che un problema non sia matematico non vuol dire che non sia degno di discussione.
Che un problema non sia matematico non vuol dire che non sia degno di discussione.
Beh, nel paper citato da veciorik (già interessenate di suo) ci sono una trentina di "references" così pure sulla pagina di Wikipedia dedicata al TEP (Two Envelope Problem)
Vabbe', me ne leggerò un paio .
Ma ripeto, la storia è piena di dibattiti su questioni, anche importanti, anche apparentemente paradossali, ma non di natura matematica.
. Ma ripeto, la storia è piena di dibattiti su questioni, anche importanti, anche apparentemente paradossali, ma non di natura matematica.
"axpgn":
Beh, nel paper citato da veciorik (già interessenate di suo) ci sono una trentina di "references" così pure sulla pagina di Wikipedia dedicata al TEP (Two Envelope Problem)
Ora io non vorrei gettare benzina sul fuoco, ma hai dato un'occhiata a quelle referenze? Nessuna è pubblicata su giornali di matematica di buon livello, ad eccezione di [2] e [29] che però non parlano del problema ma lo usano solo come motivazione per occuparsi di altro. Un pochino sospetto, per essere un problema che "ha interessato molti matematici".
"gabriella127":
Che un problema non sia matematico non vuol dire che non sia degno di discussione.
Già.
"hydro":
Ora io non vorrei gettare benzina sul fuoco [...]
[quote="gabriella127"] Che un problema non sia matematico non vuol dire che non sia degno di discussione.
Già.[/quote]
Non credo che stai gettando benzina sul fuoco, anzi stai gettando acqua sul fuoco.
Perché cercare di risolvere matematicamente questo paradosso, a mio parere, non può che portare a discussioni sterili infinite e eventuali risse
.Riconoscerne una diversa natura, più linguistico-filosofica, può forse indirizzare verso un dibattito giusto.
A riprova che la natura non matematica di un problema non lo classifica come di serie B, sarebbe interessante riportare esempi di problemi, non prettamente matematici, anche se alle volte lo possono diventare o sono al confine, che alle volte appaiono come paradossi o addirittura di lana caprina, dibattuti a lungo.
Ne potrei citare alcuni, ma questo meriterebbe un altro thread, qui sarebbe troppo OT.
Faccio solo l'esempio-principe, i paradossi di Zenone, a lungo problemi filosofici, dall'apparenza paradossale e bizzarra, poi rientrati nell'ambito matematico, e poi 'risolti' con la teoria dei limiti e delle serie infinite.
"hydro":
Ora io non vorrei gettare benzina sul fuoco, ma hai dato un'occhiata a quelle referenze?
Quello è UN documento che riguarda il TEP, non IL documento
(tantomeno tutti)Come dice lì da quarant'anni almeno vengono pubblicati paper ogni anno a riguardo e il problema è ancor più vecchio.
Io non sono in grado di dire se siano riviste di buon livello o meno ma andrebbe valutata la bontà del contenuto non del contenente ... peraltro il "dove" siano stati pubblicati non rileva sul fatto che siano matematici o meno; ho provato a cercarli sul web e ci sono matematici, statistici, filosofi della matematica, filosofi della scienza.
Inoltre il fatto che un problema sia interessante di per sé non implica che TUTTI i matematici se ne siano interessati.
Poi, oh, se pensi che sia un puzzle discusso fra quattro gatti, ok, no problem ...
"axpgn":
Come dice lì da quarant'anni almeno vengono pubblicati paper ogni anno a riguardo e il problema è ancor più vecchio.
Probabilmente anche sul paradosso di Zenone, ma questo non lo rende un problema interessante o discusso dalla comunità dei matematici.
"axpgn":
Io non sono in grado di dire se siano riviste di buon livello o meno ma andrebbe valutata la bontà del contenuto non del contenente
Senza dubbio, ma di regola chi lavora su problemi che interessano pubblica su giornali di livello. Come tu dubiti della bontà delle informazioni di Wikipedia, io dubito della bontà dei contenuti dei paper pubblicati su riviste random.
"axpgn":
Poi, oh, se pensi che sia un puzzle discusso fra quattro gatti, ok, no problem ...
Non so, tu hai il polso della situazione su quali problemi vengano discussi nella comunità dei matematici? Io un po' sì perchè ci lavoro, e non ho mai visto nè sentito nessuno che presentasse lavori di ricerca seri (ma anche non seri) a proposito di questa cosa delle buste. Nella comunità dei filosofi o degli psicologi non ne ho idea, magari è hot topic.
Secondo Wikipedia, Littlewood ha proposto qualcosa di analogo in un suo libro.
L'ho ritrovato ed eccolo:
(4) An analogous example (Schroedinger) is as follows.
We have cards similar to those in (3) [Nota mia: le carte riportano un intero su una faccia e il successivo sull'altra], but this time there are $10^n$ of the ones of type $(n, n+1)$, and the player seeing the lower number wins.
$A$ and $B$ may now bet each with a bookie (or for that matter with each other), backing themselves at evens.
The position now is that whatever $A$ sees he should bet, and the same is true of $B$, the odds in favour being 9 to 1.
Once the monstrous hypothesis has been got across (as it generally has), then, whatever number $n$ $A$ sees, it is $10$ times more probable that the other side is $n+1$ than that it is $n-1$.
(Incidentally, whatever number $N$ is assigned before a card is drawn, it is infinitely probable that the numbers on the card will be greater than $N$.)
L'ho ritrovato ed eccolo:
(4) An analogous example (Schroedinger) is as follows.
We have cards similar to those in (3) [Nota mia: le carte riportano un intero su una faccia e il successivo sull'altra], but this time there are $10^n$ of the ones of type $(n, n+1)$, and the player seeing the lower number wins.
$A$ and $B$ may now bet each with a bookie (or for that matter with each other), backing themselves at evens.
The position now is that whatever $A$ sees he should bet, and the same is true of $B$, the odds in favour being 9 to 1.
Once the monstrous hypothesis has been got across (as it generally has), then, whatever number $n$ $A$ sees, it is $10$ times more probable that the other side is $n+1$ than that it is $n-1$.
(Incidentally, whatever number $N$ is assigned before a card is drawn, it is infinitely probable that the numbers on the card will be greater than $N$.)
Eh infatti questa versione soffre dello stesso problema in maniera più lampante, ovvero si parla di probabilità in un setting che non rispetta le condizioni per parlare di probabilità, perchè tutti sanno che non esistono distribuzioni uniformi su uno spazio numerabile. E' un divertissement filosofico anche carino, ma trascende i confini della matematica.
"axpgn":
La busta vuota me la sono persa ... dov'era?
pag 10, 6 marzo
Ma poi, perchè mettere limiti alla provvidenza? Lo zio mette A in una busta e ZERO nell'altra. D'accordo, non si può dividere per zero... ma permettiamoci un passaggio al limite, sai, sono un fisico, non un bourbakista
Abbiamo un guadagno INFINITO. Fantastico. Siamo alla moltiplicazione dei pani e dei pesci.
"axpgn":
E dagli! Non è questo il punto, nessuno di noi due perderebbe tempo a fare qualcosa che non gli interessa
E perchè non ti interessa? Non è perchè SAI GIA' che una balla? Perchè se no, capisci, sarebbe interessante un sistema per vincere al lotto...
"axpgn":
È lo stesso della congettura di Goldbach che tutti ritengono convintamente vera ma che nessuno può sostenere che sia un teorema. Chiaro?
No, che c'entra? Qui non c'è nessuna dimostrazione del contrario.
"axpgn":
Il punto è che, da un punto di vista "formale" (se così posso dire), se una persona presenta una teoria sostenendo che permette di vincere sicuramente al lotto e tu non la confuti NON puoi dire che è sbagliata, che non funziona, che è una balla, ecc., rimane una tua convinzione personale.
Ecco, qui non sono d'accordo. La trovo una posizione "fondamentalista" (che tu chiami "formale"). Se ho una dimostrazione "convincente" ( utilizzo questa classificazione che farà inorridire hydro, sempre perchè sono un essere umano e non un software) del contrario, non credo che considerare quella contraria una balla sia un'opinione personale.
"gabriella127":
Non può esistere 'dimostrazione matematica' in senso formale (cioè come la intende hydro), l'unica 'soluzione' può essere un accordo tra tutti che dicono "ah ah, è vero".
Anche qui, per la ragione detta sopra, non sono d'accordo. La dimostrazione dell'indifferenza dello scambio, basata sulla simmetria, a me sembra buona; e di conseguenza, sballate le altre.
"hydro":
All'atto pratico dipenderebbe da quanti soldi ci sono nella busta e quanti sul mio conto in banca. Ma così non è più una domanda matematica, è una domanda psicologica
E di che tipo sarebbe la dipendenza della scelta dall'importo della busta/conto in banca? E perchè?
@axpgn[ot]
sulla pagina di Wikipedia dedicata al TEP (Two Envelope Problem)...
Secondo Wikipedia, Littlewood ha proposto...
Wikipedia??
[/ot]
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