Il paradosso delle due buste
Il vostro ricco zio d'America vi convoca nel suo studio e vi pone davanti due buste: in una c'è un determinato importo, nell'altra il doppio. Ma non vi dice qual è quella più "pesante" 
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".
E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?
Questo ragionamento può essere fatto prima di qualsiasi scelta quindi se sceglieste la busta 1 dovreste scambiarla senza remore con la 2 ... ma se sceglieste la 2 altrettanto sicuramente dovreste scambiarla con la 1 ... in un loop infinito ... c'è qualcosa che non va
Come si esce da 'sto casino? I don't know!
Cordialmente, Alex
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".
E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?
Questo ragionamento può essere fatto prima di qualsiasi scelta quindi se sceglieste la busta 1 dovreste scambiarla senza remore con la 2 ... ma se sceglieste la 2 altrettanto sicuramente dovreste scambiarla con la 1 ... in un loop infinito ... c'è qualcosa che non va
Come si esce da 'sto casino? I don't know!
Cordialmente, Alex
Risposte
"Bokonon":
Uei! Sono dalla tua parte!
Ma non è vero! Gli hai appena detto che quel professore è un giocherellone (ben che vada)
(nonostante la succosa bibliografia, la quale, peraltro, mi stuzzica parecchio, mi piace ri-cercare - anche se ci capirò pochissimo - 
)"3m0o":
axpgn spero di convincerti in questo modo:
Non puoi convincermi in questo modo, per il semplice fatto che è un linguaggio che non capisco
Non ho una sufficiente dimestichezza per argomentare alcunché (
) perciò credo di poter aggiungere poco ormai ...Comunque mi sto divertendo molto
Cordialmente, Alex
Si vede che è estate: siete proprio scatenati.
Mi fa piacere!
Mi fa piacere!
"axpgn":
professore è un giocherellone (ben che vada)
Credimi, io ho sempre valutato chi insegna dal modo in cui lo fa.
Mi hai "costretto" a leggere l'articolo ed obiettivamente da un giudizio impietoso (e meritato) ad alcune speculazioni...ma il punto è che in tutto l'articolo (dopo aver postulato il problema) non spiega mai al lettore cosa effettivamente dicono realmente gli altri. Questo infastidisce parecchio e rende l'articolo sensazionalistico IMHO: non promuove la cultura.
Inoltre non mette mai in questione il punto 3) e chiede di confutare il ragionamento successivo (che è pure confutabile, infatti l'argomentazione è quella di 3m0o...a lui piace argomentare in modo tecnico, è un matematico ancora in erba che non paragona ancora le situazioni come farebbe fra due varietà topologiche, ovvero per invarianti
, ti prendo un poco in giro caro!).[ot]P.S. Lo so che ti diverte, vecchio 'stardo e per questo ogni tanto ti glisso
[/ot]
IMHO manca una conclusione soddisfacente per alex ma forse anche per gli altri partecipanti; sbaglio?
Forse ho trovato un modo semplice per sciogliere l'inghippo paradossale:
Le probabilità corrette non sono uguali \( \bigg( \ 1/2 \ , \ 1/2 \ \bigg) \) bensì una doppia dell'altra \( \bigg( \ 2/3 \ , \ 1/3 \ \bigg) \)
La spiegazione alla prossima
. . .
Forse ho trovato un modo semplice per sciogliere l'inghippo paradossale:
"axpgn":
Il vostro ricco zio d'America vi convoca nel suo studio e vi pone davanti due buste: in una c'è un determinato importo, nell'altra il doppio. Ma non vi dice qual è quella più "pesante"
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".
E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è
$$V=(x/2)*1/2 \ + \ (2x)*1/2 \ = \ 5/4x$$
. . .
Le probabilità corrette non sono uguali \( \bigg( \ 1/2 \ , \ 1/2 \ \bigg) \) bensì una doppia dell'altra \( \bigg( \ 2/3 \ , \ 1/3 \ \bigg) \)
La spiegazione alla prossima
. . .
Ragiono per coppie di buste. La busta con $ \ x \ \ $ può essere la seconda busta della coppia leggera (x/2,x) oppure la prima busta della coppia pesante (x,2x), non so quale.
La coppia determina il guadagno o la perdita nell'eventuale scambio.
Il paradosso scompare.
La coppia determina il guadagno o la perdita nell'eventuale scambio.
Il paradosso scompare.
Cordialmente, Alex
Il paradosso deriva dalla scelta della variabile aleatoria e dei domini, che lasciano spazi per congetture.
Scegliendo come unità una coppia di buste legate dal rapporto 2 sul contenuto, la casistica è:
Scegliendo come unità una coppia di buste legate dal rapporto 2 sul contenuto, la casistica è:
Considerazioni condivisibili che lasciano aperta la questione ... a mio parere ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Il vostro ricco zio d'America vi convoca nel suo studio e vi pone davanti due buste: in una c'è un determinato importo, nell'altra il doppio. Ma non vi dice qual è quella più "pesante"
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".
E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?
Questo ragionamento può essere fatto prima di qualsiasi scelta quindi se sceglieste la busta 1 dovreste scambiarla senza remore con la 2 ... ma se sceglieste la 2 altrettanto sicuramente dovreste scambiarla con la 1 ... in un loop infinito ... c'è qualcosa che non va
Come si esce da 'sto casino? I don't know!
Cordialmente, Alex
Non ho letto se è stato risolto ma io ho ragionato così:
il fatto che una busta contiene x e l'altra 2x può essere sostituito con una busta contiene una pallina rossa R e una busta contiene una pallina blu B. Il mio obbiettivo è ottenere la pallina rossa.
prendo una busta:
R la cambio B
B la cambio R
R non la cambio R
B non la cambio B
le possibilità sono 4 e i casi favorevoli 2 quindi 1/2 di probabilità.
sinceramente non capisco i tuoi calcoli
Secondo me l'errore è considerare x e 2x come numeri da dividere o moltiplicare invece che come oggetti.
Non vedo analogie tra le due situazioni: i due importi nelle buste sono strettamente legati, varia uno e l'altro lo segue mentre il colore delle due palline non dipende uno dall'altro, quella rossa può diventare gialla, verde o bianca e l'altra rimane sempre blu.
"axpgn":
Non vedo analogie tra le due situazioni: i due importi nelle buste sono strettamente legati, varia uno e l'altro lo segue mentre il colore delle due palline non dipende uno dall'altro, quella rossa può diventare gialla, verde o bianca e l'altra rimane sempre blu.
scusa allora se per caso avessi scelto la busta 2x avresti: 2x*(1/2) + x*(1/2) = (3/2)*x
secondo me ti ripeto va calcolato l'evento A esce x B esce 2x indipendentemente da x e 2x (non so se mi sono spiegato)
non ho capito cosa vuoi dirmi con la palla rossa che cambia colore
"Parsifal.":
... (non so se mi sono spiegato) ...
No, non ti sei spiegato.
"Parsifal.":
... non ho capito cosa vuoi dirmi con la palla rossa che cambia colore
Ci riprovo ...
Se cambia l'importo di una delle due buste varia anche quello dell'altra (ovvero sono due valori - non oggetti - DIPENDENTI uno dall'altro)
Se cambia il colore di una pallina, l'altra non se ne accorge (ovvero sono due valori INDIPENDENTI uno dall'altro)
Forse ti ho capito.
Potrebbe essere che nel calcolo si scende di metà e si sale di due metà?
quindi la perdita è comunque inferiore al guadagno.
mi viene da dire che quando tu prendi una busta dovresti dare come valore potenziale di quella busta 3/2*x e quindi calcolare lo scambio come x*1/2 + 2x*1/2 e quindi avere come guadagno potenziale il 50%
Potrebbe essere che nel calcolo si scende di metà e si sale di due metà?
quindi la perdita è comunque inferiore al guadagno.
mi viene da dire che quando tu prendi una busta dovresti dare come valore potenziale di quella busta 3/2*x e quindi calcolare lo scambio come x*1/2 + 2x*1/2 e quindi avere come guadagno potenziale il 50%
Almeno ha senso quello che ho scritto?
Non mi è molto chiaro ... dovresti rileggere tutto il thread e vedere se ti riconosci in qualcuna delle "visioni" proposte ... IMHO
"axpgn":
Considerazioni condivisibili che lasciano [hl]aperta[/hl] la questione ... a mio parere ...
La questione resterà aperta a lungo finché "noi umani sciocchi" continuiamo ad abboccare con piacere perverso agli ami dei mathemagicians che conoscono l'arte di intortarci combinando fattori tecnici + ludici + psicologici + amore x l'azzardo.
Vista la sterminata bibliografia su questo Problema / Puzzle / Paradosso, noto con la sigla TEP, e la raffica di interventi che circolano in Internet sembra impossibile concludere la faccenda radicalmente, senza ulteriori strascichi, anche perchè in 33 anni di storia, da Barry Nalebuff 1988-89 in poi, sono state aperte e discusse più varianti del "gioco".
Ho scovato questa sintesi di Léo Gerville-Réache University of Bordeaux 2014, che sembra promettente alla prima rapida lettura, ma non l'ho ancora studiata a sufficienza per dare un giudizio definitivo.
Ovviamente l'argomento è stato trattato anche in Wikipedia, molto estesamente in inglese mentre la versione italiana è più tranchant.
Mi riprometto di scrivere il mio personale PdV con più cura di quanto fatto finora, perché non sono riuscito a comunicare il mio pensiero compiutamente, nel tentativo maldestro di essere ipersintetico. Temo che tutti si annoinino, come faccio io, quando leggono un testo prolisso, ma, per eccesso di sintesi, si rischia di omettere informazioni fondamentali.
"veciorik":
... dei mathemagicians che conoscono l'arte di intortarci ...
Ma sono parecchi quelli "intortati" e in buona parte matematici esperti (da quello che leggo)
La bibliografia relativa a questo problema è sterminata
Ho "sfogliato" velocemente il link che hai postato e mi pare carino (se non ho capito male, ha preso l'articolo di wikipedia e lo ha commentato).
Al di là del merito (in cui mi perdo dopo un po'
) riporto un paio di frasi:-No proposed solution is widely accepted as correct. Despite this it is common for authors to claim that the solution to the problem is easy, even elementary.
- When everybody is trying to demonstrate unilaterally that the only rational and coherent analysis is irrational and incoherent, we obtain a paradox...
Cordialmente, Alex
Premesso che non ho letto la valanga di tutti 59 post; però vedo che l'ultimo ha un contenuto interlocutorio, nei deduco che non è stato raggiunto un punto di vista condiviso, e così mi azzardo ad aggiungere il mio.
Che poi è semplicemente un sostegno al primo post, di 3m0o, che sostiene che la $x$ in $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2$ rappresenta cose diverse.
Ossia, seguendo 3m0o, si può sì dire che $x$ rappresenta il valore incognito della busta scelta, però, quando si fanno le due ipotesi, di dimezzare o di raddoppiare il valore, nel primo caso si dimezza il valore alto, ma nel secondo si raddoppia il valore basso. Quindi, se vogliamo, $x$ rappresenta sì lo stesso concetto, ma certo non lo stesso numero.
Che poi è semplicemente un sostegno al primo post, di 3m0o, che sostiene che la $x$ in $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2$ rappresenta cose diverse.
Ossia, seguendo 3m0o, si può sì dire che $x$ rappresenta il valore incognito della busta scelta, però, quando si fanno le due ipotesi, di dimezzare o di raddoppiare il valore, nel primo caso si dimezza il valore alto, ma nel secondo si raddoppia il valore basso. Quindi, se vogliamo, $x$ rappresenta sì lo stesso concetto, ma certo non lo stesso numero.
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