Il paradosso delle due buste
Il vostro ricco zio d'America vi convoca nel suo studio e vi pone davanti due buste: in una c'è un determinato importo, nell'altra il doppio. Ma non vi dice qual è quella più "pesante" 
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".
E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?
Questo ragionamento può essere fatto prima di qualsiasi scelta quindi se sceglieste la busta 1 dovreste scambiarla senza remore con la 2 ... ma se sceglieste la 2 altrettanto sicuramente dovreste scambiarla con la 1 ... in un loop infinito ... c'è qualcosa che non va
Come si esce da 'sto casino? I don't know!
Cordialmente, Alex
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".
E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?
Questo ragionamento può essere fatto prima di qualsiasi scelta quindi se sceglieste la busta 1 dovreste scambiarla senza remore con la 2 ... ma se sceglieste la 2 altrettanto sicuramente dovreste scambiarla con la 1 ... in un loop infinito ... c'è qualcosa che non va
Come si esce da 'sto casino? I don't know!
Cordialmente, Alex
Risposte
"mgrau":
... Quindi, se vogliamo, $x$ rappresenta sì lo stesso concetto, ma certo non lo stesso numero.
Come una qualsiasi variabile ...
"axpgn":
[quote="mgrau"]... Quindi, se vogliamo, $x$ rappresenta sì lo stesso concetto, ma certo non lo stesso numero.
Come una qualsiasi variabile ...
[/quote]Non proprio
: non c'è la regola: stessa lettera, stesso numero?
No, qui stiamo parlando di una variabile (come in una qualsiasi equazione) ovvero un simbolo che fa da segnaposto ad un oggetto che può assumere valori plurimi.
Comunque, non ho un grande desiderio di riscrivere tutto il thread
Questo aspetto (come vari altri) è stato affrontato nella discussione ma in particolare è stato trattato nei due documenti linkati (nell'ultimo, per esempio, si approfondisce non poco questo argomento)
Cordialmente, Alex
Comunque, non ho un grande desiderio di riscrivere tutto il thread
Questo aspetto (come vari altri) è stato affrontato nella discussione ma in particolare è stato trattato nei due documenti linkati (nell'ultimo, per esempio, si approfondisce non poco questo argomento)
Cordialmente, Alex
"axpgn":
No, qui stiamo parlando di una variabile (come in una qualsiasi equazione) ovvero un simbolo che fa da segnaposto ad un oggetto che può assumere valori plurimi.
Certo. Ma in una data espressione, un simbolo deve rappresentare uno stesso numero.
Così, se scrivo $a + a = 2a$, sarebbe un po' strano se la prima a fosse 1, la seconda 2 e la terza 3...
Mentre, nella tua espressione $(x/2)1/2 + (2x)1/2$, la prima x rappresenta necessariamente il valore alto, e la seconda il valore basso
"axpgn":
Comunque, non ho un grande desiderio di riscrivere tutto il thread
E nemmeno io di leggerlo
@mgrau, se hai voglia leggi la prima pagina del thread, in cui 3m0o e io diciamo la stessa cosa che dici tu, una stessa lettera usata per indicare grandeze diverse.
"mgrau":
Mentre, nella tua espressione $(x/2)1/2 + (2x)1/2$, la prima x rappresenta necessariamente il valore alto, e la seconda il valore basso
No, per niente.
$x$ rappresenta sempre lo stesso valore in quell'espressione e $x/2$ e $2x$ sono i due valori possibili dell'altra busta.
Non il contrario
"mgrau":
E nemmeno io di leggerlo
Sai che l'avevo intuito?
Comunque, giusto per sfizio, dico che nell'ultimo documento (quello postato da veciorik) si dimostra chiaramente che il calcolo del "valore atteso" di $5/4x$ è giusto e conviene scambiare le buste ma solo se se si apre la prima (ma la seconda è chiusa ovviamente
)Però per capire bene va letto
Cordialmente, Alex
@gabriella Avevo letto l'intervento di 3m0o, e dico infatti che seguo la sua opinione. Non ero arrivato a leggere il tuo, mi spiace 
@axpgn Non sto a insistere sul mio punto di vista, visto che non saprei dire più di quel che ho già detto. Proverò a leggere l'articolo postato da veciorik.
Però.
Mi pare che ci sono - sostanzialmente - due tipi di paradossi: quelli che dicono una verità difficile da accettare, e quelli che dicono una falsità difficile da confutare.
Per me è ovvio, oltre ogni ragionevole dubbio che questo è del secondo tipo, per cui il punto sta nel capire dov'è l'inghippo (cosa che a me sembra chiara). E sono altrettanto convinto che questo valga anche se la busta viene aperta (salvo una (improbabile) illuminazione sulla via di Damasco leggendo l'articolo).
Invece non ho capito bene se per te il paradosso dice il vero o il falso.
@axpgn Non sto a insistere sul mio punto di vista, visto che non saprei dire più di quel che ho già detto. Proverò a leggere l'articolo postato da veciorik.
Però.
Mi pare che ci sono - sostanzialmente - due tipi di paradossi: quelli che dicono una verità difficile da accettare, e quelli che dicono una falsità difficile da confutare.
Per me è ovvio, oltre ogni ragionevole dubbio che questo è del secondo tipo, per cui il punto sta nel capire dov'è l'inghippo (cosa che a me sembra chiara). E sono altrettanto convinto che questo valga anche se la busta viene aperta (salvo una (improbabile) illuminazione sulla via di Damasco leggendo l'articolo).
Invece non ho capito bene se per te il paradosso dice il vero o il falso.
A me pare che la cosa più paradossale di tutte stia in questa frase
È fantastico
Dipende a quale ti riferisci.
I paradossi di cui si parla sono due: quello delle due buste e questo che ne è una variante ma non è equivalente.
Per quanto riguarda lo scambio di buste, non saprei dire, ne ho lette così tante e nessuna mi convince pienamente (del resto sono in compagnia numerosa visto quanto sopra detto ).
Torno però a ripetere per l'ennesima volta che non c'è nessun utilizzo della stesso nome per due oggetti diversi: scelgo una busta, contiene un certo importo a me incognito che chiamo $x$, nell'altra busta o ci sono $x/2$ euro o ce ne sono $2x$ e sfido chiunque a sostenere che in questa frase la $x$ assume valori diversi
Per quanto riguarda invece il paradosso di questo thread, sono propenso a pensare che il paradosso non esista perché le due proposizioni sono entrambe vere.
Nella seconda si afferma che il valore assoluto della differenza tra i due importi è lo stesso nei due casi.
Ok.
Nella prima proposizione sostanzialmente dice che, scelta una busta, l'importo che andresti a perdere o a guadagnare scambiandola con l'altra è diverso non solo nel segno (perdita o guadagno) ma anche nel valore (perdi la metà o guadagni tanto quanto hai). Ed è vero.
In conclusione non c'è contraddizione tra le due proposizione e quindi il paradosso non esiste.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
-No proposed solution is widely accepted as correct. Despite this it is common for authors to claim that the solution to the problem is easy, even elementary.
È fantastico
"mgrau":
Invece non ho capito bene se per te il paradosso dice il vero o il falso.
Dipende a quale ti riferisci.
I paradossi di cui si parla sono due: quello delle due buste e questo che ne è una variante ma non è equivalente.
Per quanto riguarda lo scambio di buste, non saprei dire, ne ho lette così tante e nessuna mi convince pienamente (del resto sono in compagnia numerosa visto quanto sopra detto
).Torno però a ripetere per l'ennesima volta che non c'è nessun utilizzo della stesso nome per due oggetti diversi: scelgo una busta, contiene un certo importo a me incognito che chiamo $x$, nell'altra busta o ci sono $x/2$ euro o ce ne sono $2x$ e sfido chiunque a sostenere che in questa frase la $x$ assume valori diversi
Per quanto riguarda invece il paradosso di questo thread, sono propenso a pensare che il paradosso non esista perché le due proposizioni sono entrambe vere.
Nella seconda si afferma che il valore assoluto della differenza tra i due importi è lo stesso nei due casi.
Ok.
Nella prima proposizione sostanzialmente dice che, scelta una busta, l'importo che andresti a perdere o a guadagnare scambiandola con l'altra è diverso non solo nel segno (perdita o guadagno) ma anche nel valore (perdi la metà o guadagni tanto quanto hai). Ed è vero.
In conclusione non c'è contraddizione tra le due proposizione e quindi il paradosso non esiste.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Nella prima proposizione sostanzialmente dice che, scelta una busta, l'importo che andresti a perdere o a guadagnare scambiandola con l'altra è diverso non solo nel segno (perdita o guadagno) ma anche nel valore (perdi la metà o guadagni tanto quanto hai). Ed è vero.
Non ho capito quale sia la seconda proposizione, ma pazienza...
Quanto a questa: vedo una formulazione complessa, e non riesco a capire se si sta affermando, in soldoni, che conviene scambiare le due buste.
Se si afferma che non conviene (cioè non cambia niente), va bene, e lo sapevamo anche prima
Se invece si afferma che conviene, trovo assurda la cosa. E non ci sarà dimostrazione che mi faccia cambiare idea. (Tu dirai,"e chi se ne frega", e va bene anche questo
Ho imparato a convivere con le differenze di opinioni ). Mi pare come quando c'è un sistema per vincere al lotto sostenuto da quaranta pagine di calcoli. Ora, siccome so che non è possibile, non sto a perdere tempo per trovare dov'è l'errore.
La media dello scambio è maggiore della media dei valori perché (3/4)x > x/2
Per me l'inghippo è pensare che la busta data abbia un valore uguale a x ma bisogna attribuirle un valore di (3/2)x e allora il paradosso non esiste più
Per me l'inghippo è pensare che la busta data abbia un valore uguale a x ma bisogna attribuirle un valore di (3/2)x e allora il paradosso non esiste più
"mgrau":
Non ho capito quale sia la seconda proposizione, ma pazienza...
Pensavo fossimo in questa discussione
e a quella mi stavo riferendo ...Purtroppo ci sono stati interventi in quella che hanno citato questa e viceversa "mischiando" le due ...
Nel problema delle due buste (vedi [url=https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_delle_due_buste#:~:text=Il%20paradosso%20delle%20due%20buste,delle%20due%20conviene%20comunque%20cambiarla.]qui[/url] un riferimento) il paradosso consiste nel fatto che una volta scelta una busta converrebbe sempre scambiarla giungendo alla situazione paradossale di scambiarla all'infinito.
"Parsifal.":
Per me l'inghippo è pensare che la busta data abbia un valore uguale a x ma bisogna attribuirle un valore di (3/2)x e allora il paradosso non esiste più
Scusami parsifal ma quello che dici non significa nulla: ciò che contiene la busta data lo puoi chiamare come vuoi ($x, 3/2x, 100x, y, sqrt(32x), ...$), non cambia assolutamente niente.
Dovresti specificare PRIMA cosa intendi per $x$, solo ALLORA puoi dire quante vale l'importo della busta data in funzione di $x$.
"mgrau":
Mi pare come quando c'è un sistema per vincere al lotto sostenuto da quaranta pagine di calcoli. Ora, siccome so che non è possibile, non sto a perdere tempo per trovare dov'è l'errore.
No, è una cosa diversa.
Semplificando, in quel caso tu sai già che è impossibile (forse ...
) e quindi non prosegui oltre mentre in questo caso sei tu che stabilisci A PRIORI che non conviene e, a mio parere, commetti un errore metodologico (indipendentemente dal fatto che tu sia nel giusto)
intendo questo, tu hai una busta del valore x, a questo punto dici bene io non so se x è il più grande o il più piccolo, tanto x è generico, però io ho effettivamente un importo che è il doppio dell'altro, quindi fai una media dei valori (x + 2x)/2 = (3/2)x a questo punto se il nostro x sarà coincidente con il valore piccolo abbiamo la media di (3/2)x se x sarà il valore grande si ha la media di x/2 + x = (3/2)x è lo scambio diventa ininfluente.
praticamente stai aumentando il valore della tua incognita per evitare il paradosso
praticamente stai aumentando il valore della tua incognita per evitare il paradosso
"axpgn":
in questo caso sei tu che stabilisci A PRIORI che non conviene
Ma no, perchè a priori?
Mettiamo che convenga scambiare le buste, che ti dà un guadagno di un fattore $K$. Allora, tu scegli la busta A, lo zio ti propone di cambiare, tu cambi, prendi la busta B. Ora lo zio ti propone ancora di cambiare... se conveniva prima, conviene ancora ..., tu cambi e torni a prendere la busta A. Ora dovresti aspettarti un guadagno $K^2$. D'altra parte, questa è la situazione iniziale, hai in mano la busta A, quindi il tuo guadagno, rispetto all'inizio, è nullo. Ne segue che $K^2 = 1$, ossia $K = 1$ ( A meno che tu non voglia concludere che $K = -1$
)
"mgrau":
Ma no, perchè a priori?
Perché l'hai scritto tu!
Qui!
"mgrau":
... E non ci sarà dimostrazione che mi faccia cambiare idea.
Se nessuna dimostrazione ti farà cambiare idea significa che hai deciso a priori che è come pensi tu, non ti pare?
Invece nel post qui sopra provi a dimostrare la tua tesi. Ma non è questo il punto ...
Se un altro propone una dimostrazione (ovvero una sequenza di affermazioni logiche che partendo da assunti condivisi portano ad una certa conclusione) che conviene cambiare mentre altri (come te) dimostrano il contrario allora abbiamo un paradosso; però il paradosso non viene "smontato" nel momento in cui si hanno due dimostrazioni contradditorie (anzi è proprio per questo che nasce) ma se si trova che una delle due dimostrazioni è fallace (o anche tutte e due
)Cordialmente, Alex
"axpgn":
Continuo a non essere d'accordo
...
Mi viene proposto di scambiare la mia busta (contenente $x$ soldi) con un'altra che potrebbe contenerne $2x$ o $x/2$
....
Cordialmente, Alex
Il problema nel ragionamento e' qui.
La versione corretta e':
Mi viene proposto di scambiare la mia busta (che contiene $x$ o $2x$ con prob. 1/2) con un'altra che contiene:
- $2x$ se la mia busta contiene $x$
- $x$ se la mia busta contiene $2x$
Nel modo in cui descrivi tu il procedimento, succederebbe questo:
lo zio ricco prepara una busta A con dentro $x$, una busta B con dentro $x /2$ e una busta C con dentro $2x$.
Lo zio ricco ti consegna la busta A e poi ti chiede se vuoi tenerla o cambiarla con la B o la C (a piacere).
In questo caso si che ci guadagni a cambiare busta, ma non e' lo scenario del problema originale.
"axpgn":
No, qui stiamo parlando di una variabile (come in una qualsiasi equazione) ovvero un simbolo che fa da segnaposto ad un oggetto che può assumere valori plurimi.
[...]
Cordialmente, Alex
Si, ok.
Alex, abbiamo capito che una variabile e' una "variabile" ovvero e' un segnaposto.
Ma il tuo concetto di variabile (come lo usi in questo thread) non e' corretto ed e' forzato.
Immagina questa domanda:
Si consideri l'equazione $y = x^2-2x$, con $x \in RR$.
Il candidato prenda un valore di $x$ a piacere e calcoli il valore di $y$.
e il mio ragionamento:
Allora prendo $x=0$ e calcolo $x^2 = 0$.
Poi siccome $x$ e' a caso prendo $x=10$ e calcolo $-2x=-20$.
Sommo le due parti e ottengo $y=-20$
La risposta ovviamente non va bene, siccome la parabola ha come minimo $-1$.
Il problema nel ragionamento e' che, si, e' vero che $x$ e' variabile e la posso scegliere a caso,
ma una volta scelta, all'interno della formula $x$ e' costante.
Quindi $x$ e' una variabile, ma poi diventa "costante".
Fai un errore simile nel tuo problema delle buste e dello zio ricco (avercelo uno zio ricco).
Cambi la variabile all'interno delle formula e poi ci dici: "che problema c'e' ? E' una variabile !"
mmm... no, non va bene.
"Drazen77":
È la busta di Schrödinger!
Nessun gatto e' stato ucciso in questo problema.
"axpgn":
Se un altro propone una dimostrazione (ovvero una sequenza di affermazioni logiche che partendo da assunti condivisi portano ad una certa conclusione) che conviene cambiare mentre altri (come te) dimostrano il contrario allora abbiamo un paradosso; però il paradosso non viene "smontato" nel momento in cui si hanno due dimostrazioni contradditorie (anzi è proprio per questo che nasce) ma se si trova che una delle due dimostrazioni è fallace (o anche tutte e due
Ok. Quindi, se ho capito bene, quando vedi il sistema per vincere al lotto, siccome c'è la mia "dimostrazione" che non è possibile, e anche l'altra "dimostrazione" che è possibile, hai un paradosso, e finchè non trovi l'errore in una (o entrambe) le dimostrazioni, ti tocca restare ad arrovellarti... Bene, allora, fra sistemisti del lotto, scopritori del moto perpetuo e confutatori della relatività, hai una occupazione sicura per il resto dei tuoi giorni
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