Il paradosso delle due buste

[axpgn]

Il vostro ricco zio d'America vi convoca nel suo studio e vi pone davanti due buste: in una c'è un determinato importo, nell'altra il doppio. Ma non vi dice qual è quella più "pesante"
Vi chiede di sceglierne una e di tenere l'importo che contiene però, prima che voi possiate guardarci dentro, vi dice: "La scambieresti con l'altra?".

E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?

Questo ragionamento può essere fatto prima di qualsiasi scelta quindi se sceglieste la busta 1 dovreste scambiarla senza remore con la 2 ... ma se sceglieste la 2 altrettanto sicuramente dovreste scambiarla con la 1 ... in un loop infinito ... c'è qualcosa che non va

Come si esce da 'sto casino? I don't know!


Cordialmente, Alex

[mgrau]

@axpgn Fuori dallo scherzo, pare che non siamo d'accordo sul fatto che le dimostrazioni non sono tutte uguali. Una dimostrazione in ogni caso richiede una certa dose di fiducia. Non è che, se uno ti mette davanti un ragionamento, e ti dice, "ecco, questa è una dimostrazione di P", allora siamo CERTI che P è vero. Dobbiamo prima essere CERTI che la dimostrazione è giusta. E, a essere pignoli, CERTI non siamo mai. Siamo PIU' o MENO certi.
Ora, nel caso nostro, io semplicemente ho (molta) più fiducia nella mia "dimostrazione" (un banale argomento di simmetria) che nella tua (che anzi mi pare semplicemente sbagliata)

[hydro1]

"mgrau":@axpgn Fuori dallo scherzo, pare che non siamo d'accordo sul fatto che le dimostrazioni non sono tutte uguali. Una dimostrazione in ogni caso richiede una certa dose di fiducia. Non è che, se uno ti mette davanti un ragionamento, e ti dice, "ecco, questa è una dimostrazione di P", allora siamo CERTI che P è vero.

Ma proprio no. Succede perchè usate la parola "dimostrazione" in un senso tutto vostro. Le dimostrazioni non richiedono nessuna dose di fiducia, sono una serie di passaggi logici basati su degli assiomi, e sono giuste o sbagliate, non è una questione religiosa. Tanto è vero che al giorno d'oggi ci sono software che verificano la correttezza di una dimostrazione. Questi "paradossi" sono fondati sull'uso improprio di concetti matematici, come quello di valore atteso. Concetto che ovviamente non ha senso staccato da quello di variabile aleatoria, ma l'autore ti fa credere di sì e poi ti dice che c'è un paradosso. Praticamente è come se io mettessi 10 mele e 10 pere in un sacchetto, poi venissi da te e ti dicessi "guarda, questo sacchetto contiene 20 mele. Però estraendo a caso il 50% delle volte peschi una pera. Strano eh?"

[Quinzio]

Mi sono accorto che questo post e' stato iniziato un anno fa.
Mi scuso se sono intervenuto come se questo thread fosse "fresco".
Ovviamente non mi aspetto delle risposte da chi era intervenuto allora.

[mgrau]

"hydro": Le dimostrazioni non richiedono nessuna dose di fiducia, sono una serie di passaggi logici basati su degli assiomi, e sono giuste o sbagliate, non è una questione religiosa.

Mah. Io non sono un esperto di logica, ma trovo, come dire?, un po' ingenua questa "fede" nella correttezza di una dimostrazione (e che ci siano software che verificano le dimostrazioni non è che mi faccia gran che cambiare idea). Mi pare che ci sono sempre sotto delle metaregole che magari non sono neppure percepite. Per far capire quello che intendo, rimando al dialogo di Lewis Carroll, "Quel che la tartaruga disse ad Achille" (o qualcosa del genere). O, a un livello più elaborato, il bellissimo libro di Lakatos, "Dimostrazioni e confutazioni", in cui il teorema di Eulero sui poliedri viene vorticosamente smontato e rimontato, evidenziando alla fine il carattere essenzialmente "storico" di un fatto matematico.

[hydro1]

"mgrau":[quote="hydro"] Le dimostrazioni non richiedono nessuna dose di fiducia, sono una serie di passaggi logici basati su degli assiomi, e sono giuste o sbagliate, non è una questione religiosa.

Mah. Io non sono un esperto di logica, ma trovo, come dire?, un po' ingenua questa "fede" nella correttezza di una dimostrazione (e che ci siano software che verificano le dimostrazioni non è che mi faccia gran che cambiare idea). Mi pare che ci sono sempre sotto delle metaregole che magari non sono neppure percepite. Per far capire quello che intendo, rimando al dialogo di Lewis Carroll, "Quel che la tartaruga disse ad Achille" (o qualcosa del genere). O, a un livello più elaborato, il bellissimo libro di Lakatos, "Dimostrazioni e confutazioni", in cui il teorema di Eulero sui poliedri viene vorticosamente smontato e rimontato, evidenziando alla fine il carattere essenzialmente "storico" di un fatto matematico.[/quote]

Non mi sono spiegato. Non sto usando il concetto di "correttezza" in senso assoluto qui. Sto dicendo che per definizione una dimostrazione è costruita in quel modo: ci sono degli assiomi e un numero di regole per usarli. In quel sistema, una dimostrazione è corretta se è costruita così, altrimenti no. Questo non c'entra nulla con un concetto assoluto di correttezza, che però è materia dei filosofi e non dei matematici. I software fanno esattamente questa cosa, ovvero controllano che ogni step sia l'applicazione di una regola nel set di base. Qua la fede non c'entra nulla. Hai usato le regole giuste? La dimostrazione è ok. Non l'hai fatto? La dimostrazione non è ok. Poi che tu personalmente abbia fede in argomenti che trascendono questo schema di cose, è un tuo gusto personale che non discuto, ma non si chiamano più dimostrazioni, sono semplicemente chiacchere. Questi "paradossi" nascono dalla mescolanza di concetti matematici e chiacchere.

[Studente Anonimo]

Mi cito

"3m0o":

Sia \( A \) la variabile aleatoria che rappresenta la cifra nella busta \(A\), \(B\) la variabile aleatoria che rappresenta la cifra nella busta \(B\), \(Y=2X \) la variabile aleatoria del premio più grande e \(X\) la variabile aleatoria del premio più piccolo. Allora per ogni \(k > 0 \) abbiamo che
\[ P(A=k \mid Y=k) = P(A=k \mid Y=2k) = \frac{1}{2} \]
Per il teorema di Bayes abbiamo dunque che se \(x \) è la somma dentro la busta \(A\) allora risulta che
\[ P(Y=2x \mid A=x) = \frac{P(A=x\mid Y=2x)P(Y=2x)}{P(A=x\mid Y=2x)P(Y=2x) + P(A=x\mid Y=x)P(Y=x) } \]
\[ =\frac{P(Y=2x)}{P(Y=2x) + P(Y=x) } \]
in modo simile abbiamo che
\[ P(Y=x \mid A=x) = \frac{P(Y=x)}{P(Y=2x) + P(Y=x)} \]
Da cui risulta che l'aspettativa nello scambio è dato da
\[ \mathbb{E}(B \mid A=x) = 2 x P(Y=2x \mid A=x) + \frac{x}{2} P(Y=x \mid A=x) \]
Non c'è nessuna ragione per presumere che queste due probabilità sono uguali, infatti dipende dalla distribuzione usata per scegliere il premio, ovvero le due probabilità dipendono dalla distribuzione di \(Y\), detta \(f_Y\) e dal valore \(x\) trovato in \(A\). Sia dunque \(f_Y \) una funzione di densità continua con supporto \((0,\infty)\). Abbiamo che
\[ P(Y=x \mid A=x) = \frac{f_Y(x)}{f_Y(x) + 2f_Y(2x)} \]
mentre
\[ P(Y=2x \mid A=x) = \frac{2f_Y(2x)}{2f_Y(2x)+f_Y(x)} \]
(per questo calcolo guarda il link di math stackexchange)
pertanto abbiamo che
\[ P(Y=x \mid A=x) = P(Y=2x \mid A=x) = \frac{1}{2} \]
se e solo se \( 2f_Y(2x) = f_Y(x) \), per ogni \(x >0 \).

Il problema è che una tale funzione di densità non può esistere. Infatti
\[ f_Y(x) = \frac{k}{x} \]
con \(x>0 \) e per qualche costante \(k\), ma
\[ \int_{\mathbb{R}} f_Y(x)dx = k \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \neq 1 \]

Quindi
Errore
\[ P(Y=x \mid A=x) = P(Y=2x \mid A=x) = \frac{1}{2} \]

Ad esempio

Supponi che lo zio decida il premio più alto in base ad una distribuzione esponenziale con parametro \(\lambda=1 \) allora avremmo che \( f_Y(x) = e^{-x} \), quando \( x \geq 0 \), e \(f_Y(x) = 0 \) altrove. Quindi abbiamo che
\[ P(Y=x \mid A=x ) = \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 2e^{-2x} } \]
mentre
\[ P(Y=2x \mid A=x ) = \frac{2e^{-2x}}{e^{-x} + 2e^{-2x} } \]

Quindi la speranza condizionata sul valore di \(A\), ed è "teorica", nel senso che non hai veramente aperto la busta \(A\) è
\[\mathbb{E}(B \mid A=x)= 2x \cdot \frac{2e^{-2x}}{e^{-x} + 2e^{-2x} } + \frac{x}{2} \cdot \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 2e^{-2x} } \]
ora se conviene o non conviene cambiare busta non è evidente non avendo aperto la lettera, o meglio dipende dal valore trovato al suo interno, che non è conosciuto perché non hai veramente aperto la busta! Cioè anche conoscendo la distribuzione di \(Y\) in generale non è sufficiente per capire quale strategia adottare.

Se poi apri veramente la busta e trovi che \(x=10 \) allora
\[ P(Y=10 \mid A=10 ) = \frac{e^{-10}}{e^{-10} + 2e^{-20} } \approx 0.99991 \]
mentre
\[ P(Y=20 \mid A=10 ) = \frac{2e^{-20}}{e^{-10} + 2e^{-20} } \approx 0.00009 \]
dunque hai che la speranza
\[ \mathbb{E}(B\mid A=10)= 2 (10) \cdot ( 0.00009) + \frac{10}{2} \cdot ( 0.99991) \approx 5.001 \]
quindi ti conviene non cambiare.

Mentre se aprendo la busta trovi che \(x=1\) allora
\[ P(Y=1 \mid A=1 ) = \frac{e^{-1}}{e^{-1} + 2e^{-2} } \approx 0.58 \]
mentre
\[ P(Y=2 \mid A=1 ) = \frac{2e^{-2}}{e^{-1} + 2e^{-2} } \approx 0.42 \]
dunque hai che la speranza
\[ \mathbb{E}(B\mid A=1)= 2 (1) \cdot ( 0.42) + \frac{1}{2} \cdot ( 0.58) \approx 1.13 \]
quindi ti conviene cambiare.

Viceversa se non conosci la distribuzione ma apri veramente la lettera non hai comunque informazione sufficiente per decidere se ti conviene cambiare o meno perché, supponi di aprire la lettera e trovarci un valore \(x\), che diventa fissato e non più variabile, ad esempio \(x=10\), allora avresti
\[\mathbb{E}(B \mid A=10)= 20 \cdot \frac{2f_Y(20)}{f_Y(10) + 2f_Y(20) } + 5 \cdot \frac{f_Y(10)}{f_Y(10) + 2f_Y(20) } \]

Dunque se non apri la busta o non conosci \(f_Y\) non puoi concludere un bel niente!
O detto in altro modo, devi sia aprire la busta che conoscere \(f_Y\) per sapere cosa ti conviene fare.

[axpgn]

"Quinzio":La versione corretta e': ...

No.
E mi vien da ridere perché c'è un "problema" con un "testo" ben preciso e continuate a modificarlo a vostro uso e consumo per far tornare la vostra soluzione.
Scusami Quinzio ma non mi rivolgo in particolare a te ma vedo che è una tendenza abbastanza diffusa.

Ri-ri-ripeto: scelgo una busta che contiene un importo a me incognito e questo importo lo chiamo $x$. Punto.
Se lo chiami $x$ o $2x$ significa che chiami $x$ l'importo minore non necessariamente l'importo che è contenuto nella busta da me scelta (e che io chiamo $x$). Chiaro così?

[axpgn]

"Quinzio":Quindi $x$ e' una variabile, ma poi diventa "costante".

Ma che roba è?

"Quinzio":Fai un errore simile nel tuo problema delle buste e dello zio ricco (avercelo uno zio ricco).
Cambi la variabile all'interno delle formula e poi ci dici: "che problema c'e' ? E' una variabile !"
mmm... no, non va bene.

NON è vero! Come ve lo devo dire?

È una fissazione la vostra

"Quinzio":[quote="Drazen77"]È la busta di Schrödinger!

Nessun gatto e' stato ucciso in questo problema. [/quote]


Disclaimer

[axpgn]

"mgrau": Bene, allora, fra sistemisti del lotto, scopritori del moto perpetuo e confutatori della relatività, hai una occupazione sicura per il resto dei tuoi giorni

E dove starebbe il divertimento sennò?

"mgrau":... pare che non siamo d'accordo sul fatto che le dimostrazioni non sono tutte uguali. Una dimostrazione in ogni caso richiede una certa dose di fiducia.

E certo che non siamo d'accordo. E una dimostrazione non richiede "fiducia": o è giusta o è sbagliata
Su questo son pienamente d'accordo con Hydro.
Una dimostrazione può non "piacerti", o meglio può non convincerti (e ne hai tutto il diritto di farlo) ma se non la confuti non puoi dire che è sbagliata

Quello che condivido meno con Hydro è l'idea che esista solo un modo corretto di pensare e dimostrare le cose (estremizzo il concetto )
Quello su cui invece sono in netto disaccordo con Hydro è il fatto che riduca questo paradosso (e l'altro) ad un mero "gioco di parole".
Ha tutto il diritto (come lo hai tu) di disinteressarsi del problema in sé (e ci mancherebbe altro ) ma liquidarlo così, senza averlo approfondito (come hanno fatto tanti altri, vedi i documenti linkati in questo e nell'altro thread) lo trovo un errore metodologico. IMHO

Cordialmente, Alex

[axpgn]

"Quinzio":Mi scuso se sono intervenuto come se questo thread fosse "fresco".

Ma no, figurati!

[axpgn]

@3m0o
Ma tu li hai letti i documenti linkati in questo thread e nell'altro?
Non pretendo certo che tu li legga ma perché non provi a confutare "loro"?
E magari gli mandi pure una mail con le tue considerazioni, può darsi che li metti tutti d'accordo una buona volta.
E sono quasi serio


Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

"axpgn":@3m0o
Ma tu li hai letti i documenti linkati in questo thread e nell'altro?
Non pretendo certo che tu li legga ma perché non provi a confutare "loro"?
E magari gli mandi pure una mail con le tue considerazioni, può darsi che li metti tutti d'accordo una buona volta.
E sono quasi serio


Cordialmente, Alex

Non ho capito quali documenti e chi dovrei confutare e cosa dovrei confutare .

[Studente Anonimo]

Comunque un paio di considerazioni

"axpgn":
E qui nasce il dilemma ... detto $x$ l'importo nella busta scelta e data la simmetria, il valore atteso dello scambio è $V=(x/2)*1/2+(2x)*1/2=5/4x$.
Evviva, c'è sempre da guadagnarci a scambiare ... o no?

1) Questo valore atteso è sbagliato.
2) L'errore non sta nel uso della \(x\) per indicare due valori diversi nella stessa formula.
3) Il valore atteso corretto è
\[ \mathbb{E}(B \mid A=x) = 2x \cdot P(Y=2x \mid A =x ) + \frac{x}{2} \cdot P(Y=x \mid A=x) \]

Dove abbiamo che
- \(X \) denota la variabile aleatoria del premio più piccolo e \(Y=2X \) la variabile aleatoria del premio più grande
- \( A \) denota la variabile aleatoria della cifra inserita nella prima busta (se ci si mette \(X\) oppure \(Y\)) e \(B\) la variabile aleatoria della cifra inserita nella seconda busta.

È corretto affermare che per ogni \(x > 0 \) si ha
\[ P(A=x \mid Y=x) =P(A=x \mid Y=2x) = \frac{1}{2} \]
Ma è sbagliato affermare che
\[ P(Y=x \mid A=x) =P(Y=2x \mid A=x) = \frac{1}{2} \]
infatti le probabilità corrette sono
\[ P(Y=x \mid A=x) = \frac{f_Y(x)}{2f_Y(2x)+f_Y(x)} \]
\[ P(Y=2x \mid A=x) = \frac{2f_Y(x)}{2f_Y(2x)+f_Y(x)} \]
dove \(f_Y \) è la funzione di densità di \(Y\).

In definitiva il valore atteso corretto è
\[ \mathbb{E}(B \mid A=x) = \frac{9xf_Y(x)}{2(2f_Y(2x)+f_Y(x))} \]

[mgrau]

"hydro": Sto dicendo che per definizione una dimostrazione è costruita in quel modo: ci sono degli assiomi e un numero di regole per usarli. In quel sistema, una dimostrazione è corretta se è costruita così, altrimenti no.

Bene. Ma qui parli di matematica. Dove, se non sbaglio, non ci si pone il problema se gli assiomi sono "veri". Invece, la nostra questione è una questione di vita reale (beh, almeno un po' ). E qui la verità conta. Quel che ci interessa è: conviene o non conviene scambiare le buste? Non se abbiamo ragionato giusto partendo dagli assiomi (quali?) e seguendo le regole.

"hydro":Poi che tu personalmente abbia fede in argomenti che trascendono questo schema di cose, è un tuo gusto personale che non discuto, ma non si chiamano più dimostrazioni, sono semplicemente chiacchere.

Beh, qui sei gratuitamente offensivo.

"axpgn":
Una dimostrazione può non "piacerti", o meglio può non convincerti (e ne hai tutto il diritto di farlo) ma se non la confuti non puoi dire che è sbagliata

Ripeto: quando "so" che un risultato è sbagliato ( le chiacchiere di Hydro) non mi va di perdere tempo a trovare l'errore. A parte il fatto che mi sembra di averti detto dove sta (ovviamente secondo me). Se non ti ho convinto, pazienza. Le mie doti dialettiche hanno un limite.

E propongo un'ultima variante del problema, poi penso che mi ritirerò dall'agone.
Mettiamo che lo zio è più estroso, e non mette A in una busta e 2A nella seconda, bensì metta A in una busta e 1000A nella seconda.
Utilizzando la tua simpatica formula mi pare che si concluda che il vantaggio di cambiare non è più di 5/4 ma di circa 500 volte. Una vera cuccagna.
Ma poi, perchè mettere limiti alla provvidenza? Lo zio mette A in una busta e ZERO nell'altra. D'accordo, non si può dividere per zero... ma permettiamoci un passaggio al limite, sai, sono un fisico, non un bourbakista .
Abbiamo un guadagno INFINITO. Fantastico. Siamo alla moltiplicazione dei pani e dei pesci.

[Quinzio]

Piu' leggo dei vostri interventi, piu' mi viene in mente il famoso problema di Monty Hall.
Linko qui la pagina Wiki in inglese, c'e' anche quella in italiano se volete.
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall

Il problema e' molto simile a quello delle due buste che sta facendo tribolare gli avventori di questo 3d.
Suggerisco, se non conoscete il problema, di provare onestamente a risolverlo da soli, ma poi di guardare tutti i commenti e le discussioni che sono nate a seguito di questo problema.
Come il problema delle due buste, anche il problema di Monty Hall e' fonte di controversie e viene capito a fatica.
Riporto un paragrafo del Wiki che mi sembra sorprendente:

When first presented with the Monty Hall problem, an overwhelming majority of people assume that each door has an equal probability and conclude that switching does not matter.[9] Out of 228 subjects in one study, only 13% chose to switch.[21] In his book The Power of Logical Thinking,[22] cognitive psychologist Massimo Piattelli Palmarini [it] writes: "No other statistical puzzle comes so close to fooling all the people all the time [and] even Nobel physicists systematically give the wrong answer, and that they insist on it, and they are ready to berate in print those who propose the right answer." Pigeons repeatedly exposed to the problem show that they rapidly learn to always switch, unlike humans.

E traduco l'ultima parte:
i piccioni che sono esposti ripetutamente al problema imparano velocemente che devono cambiare porta, al contrario degli umani.

[Quinzio]

"3m0o":
Dove abbiamo che
- \(X \) denota la variabile aleatoria del premio più piccolo e \(Y=2X \) la variabile aleatoria del premio più grande

Quindi non sono variabili aleatorie perche' il premio e' gia' determinato (anche se puo' non essere noto a me).

[gabriella127]

@ Quinzio sono contenta che qualcuno la vede come me su questo punto. Mi auto-cito (post del 22/7 delle 14:03 in prima pagina di questo thread):


"Un'altra obiezione che si può fare, o meglio un altro modo di vedere la cosa, è dal punto di vista del calcolo delle probabilità. Il fatto è che il valore che c'è nella busta che ho in mano non è affatto una variabile casuale, ma è una variabile nota, data, già realizzata, a cui non si può dare valore 1/2 di probabilità, ma 1.
E' qualcosa che si è già realizzato, anche se non lo conosciamo.
Immagina di fare lo stesso calcolo guardando gli importi, non cambia niente dal punto di vista del calcolo delle probabilità, ma è chiaro qual è il modo giusto.
Questo bias cognitivo è sottile, ma era per esempio lo stesso in quel gioco di 3m0o su Barbara e Alberto di tempo fa.
In questi giochi di calcolo delle probabilità ci sono spesso in ballo false apparenze che non è sempre facile individuare. Una è questa confusione, determinata dal modo in cui si espone il gioco, tra variabili casuali e variabili già fissate, già realizzate, certe (o con probabilità 1 se si preferisce)."

[gabriella127]

Dico un altro modo di vedre il gioco, tanto per incasinare ancora di più la questione, e poi mi taccio per sempre .
Devo scegliere tra due buste, una contiene una cifra il doppio dell'altra. Supponiamo che stiano su un tavolo: la probabilità di avere l'importo minore o l'importo maggiore sono entrambe 1/2.

Ora supponiamo che ne scelga una e la prenda in mano, e devo decidere se cambiarla con l'altra. Cioè che devo fare? La stessa cosa di prima, scegliere tra due buste, solo che una non sta sul tavolo ma la tengo in mano. Cosa cambia? Niente, solo il posto dove sta la busta, sempre tra due buste devo scegliere, dove stanno stanno.

Stessa cosa, variazione sul tema: le due buste stanno sul tavolo ne scelgo una e ci faccio sopra una croce rossa.
Che devo ora fare? Scegliere se prendermi quella con la croce o prendere l'altra, cioè scelgo tra due buste, l'unica differenza è che una ha una croce sopra.

E così via... Insomma, puoi scegliere una busta e farci quello che vuoi, tirarla dalla finestra, saltarci sopra, portarla alla nonna, sempre due buste restano tra cui scegliere.

p.s. secondo me il problema non si può risolvere meaematicamente, tramite qualche dimostrazione, perché il problema non è matematico, è un paradosso che deriva dalla formulazione e dalle ambiguità del linguaggio comune, sono in questo d'accordo con hydro.

[axpgn]

"3m0o":Non ho capito quali documenti e chi dovrei confutare e cosa dovrei confutare .

Come quello citato qui, per esempio (anzi potresti verificare anche tutta la bibliografia lì riportata )

"3m0o":1) Questo valore atteso è sbagliato.

Può essere, certo ... come detto non ho una (mia) risposta definitiva al TEP

"3m0o":2) L'errore non sta nel uso della \(x\) per indicare due valori diversi nella stessa formula.

Cambiato idea?

"3m0o":3) Il valore atteso corretto è ...

Purtroppo sul terzo punto non sono in grado di rispondere ...



Cordialmente, Alex

[hydro1]

"mgrau":[quote="hydro"] Sto dicendo che per definizione una dimostrazione è costruita in quel modo: ci sono degli assiomi e un numero di regole per usarli. In quel sistema, una dimostrazione è corretta se è costruita così, altrimenti no.

Bene. Ma qui parli di matematica. Dove, se non sbaglio, non ci si pone il problema se gli assiomi sono "veri". Invece, la nostra questione è una questione di vita reale (beh, almeno un po' ). E qui la verità conta. Quel che ci interessa è: conviene o non conviene scambiare le buste? Non se abbiamo ragionato giusto partendo dagli assiomi (quali?) e seguendo le regole. [/quote]

Eh ma l'inghippo sta esattamente qua: cosa vuol dire per te "conviene"? Sono abbastanza sicuro che qualsiasi sia la tua risposta, tirerà in ballo il concetto di valore atteso. Che, a sua volta, poggia su quello di variabile aleatoria. E se questo problema viene formulato in termini di variabili aleatorie e valori attesi, non c'è nessun paradosso, come più persone hanno sottolineato nel thread.

"mgrau":
[quote="hydro"]Poi che tu personalmente abbia fede in argomenti che trascendono questo schema di cose, è un tuo gusto personale che non discuto, ma non si chiamano più dimostrazioni, sono semplicemente chiacchere.

Beh, qui sei gratuitamente offensivo. [/quote]
Mi spiace, non era mia intenzione. La parola "chiacchere" qua non era usata in senso dispregiativo, le chiacchere piacciono anche a me. Solo non mi piace quando si tenta di spacciarle come verità matematiche.