Probabilità de "il gioco dei pacchi"
Qualche giorno fa facendo zapping (non guardo mai la tv) mi sono soffermato su un concorso della rai, di cui onestamente non so il nome ma nel quale mi pare 20 concorrenti hanno dei pacchi da aprire nel corso della trasmissione. E mi ha incuriosito il modo di procedere dei concorrenti. Mi spiego...
Disclaimer: inizio col dire che la mia domanda è da completo ignorante in probabilità perché non l'ho mai studiata provenendo da un classico ed essendo al primo (mezzo) anno di fisica. Ho fatto giusto analisi e geometria.
Ad ogni modo, ho notato che riguardando il programma alcune sere apposta per curiosità i concorrenti arrivano, dopo varie aperture dei pacchi, al termine con due pacchi contenenti di solito una somma consistente e uno poche decine di euro. A questo punto gli si fa una proposta se mantenere il pacco o cambiarlo. Ora i miei dubbi:
Per semplificare i ragionamenti mettiamo che ogni pacco contenga da 1 a 20 euro.
assumiamo ad esempio i concorrenti giungano alla fine con due pacchi (uno con 20€ e uno 1€) gli si propone se cambiarlo prima dell'apertura finale.
1) sebbene dopo varie aperture è vero che so che uno dei due pacchi avrà 1 euro e l'altro 20 euro, mi sembra che non cambiare faccia del pacco in mio possesso che abbia una probabilità su venti di contenere 20 euro e una su venti di contenere 1€.
Questo a intuito; ma non sono convinto sia corretto perché: se così fosse dovrebbe anche contenere x€ con $x in(2,..,19)$€ con probabilità 1/20 ma è evidente non sia così dato che gli altri numeri (indicati con x) sono stati tolti dal gioco quindi che senso ha dire 3 ha probabilità 1/20 di essere nel mio pacco se di fatto NON PUO' esserci?
Mi chiedo: come metto a posto questa cosa? Cioè voglio dire dovrebbe avere 1/20 come probabilità il pacco di contenere 1 o 20 euro, ma per un numero (1 or 20) che compare $1^a$ su $2$ volte in realtà dato che i restanti non ci sono più. Mi sembra di incartarmi in questo punto emi chiedo quindi se 1 e 20 rimangano con probabilità 1/20 di essere nel mio pacco e se è così perché?
2) proseguiamo, mettiamo ora entri un concorrente ignaro di tutto il percorso fin qui svolto, egli scelgliendo a caso tra i due pacchi rimasti avrà evidentemente invece 1/2 probabilità di vincere 20€ 1/2 di vincere 1€ (quindi perdere 20€). Insomma, uno ignaro ha più probabilità di quello che si tiene il pacco stretto fin dall'inizio direi (sbaglio?)
3) infine se il primo concorrente del punto (1) scegliesse di prendere il pacco rimasto diverso dal suo (cioè accettasse lo scambio di pacco), beh allora qui avrebbe molta più probabilità di vincere! Però ammetto che affermo questo solo per intuizione e mi piacerebbe però capire come si calcoli concretamente questo caso probabilisitco.
Detto ciò, tutti i concorrenti visti si tenevano il pacco iniziale seguendo l'emozione e l'affezione alludendo a "pacco fortunato". Io avrei cambiato
Voi che ne pensate? Grazie.
Disclaimer: inizio col dire che la mia domanda è da completo ignorante in probabilità perché non l'ho mai studiata provenendo da un classico ed essendo al primo (mezzo) anno di fisica. Ho fatto giusto analisi e geometria.
Ad ogni modo, ho notato che riguardando il programma alcune sere apposta per curiosità i concorrenti arrivano, dopo varie aperture dei pacchi, al termine con due pacchi contenenti di solito una somma consistente e uno poche decine di euro. A questo punto gli si fa una proposta se mantenere il pacco o cambiarlo. Ora i miei dubbi:
Per semplificare i ragionamenti mettiamo che ogni pacco contenga da 1 a 20 euro.
assumiamo ad esempio i concorrenti giungano alla fine con due pacchi (uno con 20€ e uno 1€) gli si propone se cambiarlo prima dell'apertura finale.
1) sebbene dopo varie aperture è vero che so che uno dei due pacchi avrà 1 euro e l'altro 20 euro, mi sembra che non cambiare faccia del pacco in mio possesso che abbia una probabilità su venti di contenere 20 euro e una su venti di contenere 1€.
Questo a intuito; ma non sono convinto sia corretto perché: se così fosse dovrebbe anche contenere x€ con $x in(2,..,19)$€ con probabilità 1/20 ma è evidente non sia così dato che gli altri numeri (indicati con x) sono stati tolti dal gioco quindi che senso ha dire 3 ha probabilità 1/20 di essere nel mio pacco se di fatto NON PUO' esserci?
Mi chiedo: come metto a posto questa cosa? Cioè voglio dire dovrebbe avere 1/20 come probabilità il pacco di contenere 1 o 20 euro, ma per un numero (1 or 20) che compare $1^a$ su $2$ volte in realtà dato che i restanti non ci sono più. Mi sembra di incartarmi in questo punto emi chiedo quindi se 1 e 20 rimangano con probabilità 1/20 di essere nel mio pacco e se è così perché?
2) proseguiamo, mettiamo ora entri un concorrente ignaro di tutto il percorso fin qui svolto, egli scelgliendo a caso tra i due pacchi rimasti avrà evidentemente invece 1/2 probabilità di vincere 20€ 1/2 di vincere 1€ (quindi perdere 20€). Insomma, uno ignaro ha più probabilità di quello che si tiene il pacco stretto fin dall'inizio direi (sbaglio?)
3) infine se il primo concorrente del punto (1) scegliesse di prendere il pacco rimasto diverso dal suo (cioè accettasse lo scambio di pacco), beh allora qui avrebbe molta più probabilità di vincere! Però ammetto che affermo questo solo per intuizione e mi piacerebbe però capire come si calcoli concretamente questo caso probabilisitco.
Detto ciò, tutti i concorrenti visti si tenevano il pacco iniziale seguendo l'emozione e l'affezione alludendo a "pacco fortunato". Io avrei cambiato
Voi che ne pensate? Grazie.
Risposte
"FullMontyHall":
Mi chiedevo, ma questa cosa che mi hai fatto notare (e si vede bene matematicamente, perché la probabilità del tuo esempio, di quello che chiami giocatore B, somma a 1; quindi moltiplicando per 1/5 del giocatore 1 farà uscire: $1/5*1=1/5$) ha un nome? Cioè è una regola del calcolo delle probabilità che ha un nome?
Non saprei.
"FullMontyHall":
Grazie ancora per aver chiarito i miei dubbi
Buon anno!
Di niente, buon anno anche a te!
Grazie ancora!
Quindi in effetti $P_(G1)(A)=1/3$, $P_(G1)(B)=2/3$ e $P_(G2)(A)=1/2$, $P_(G2)(B)=1/2$
Da cui $P_(G1)(A)*P_(G2)(A)+P_(G1)(B)*P_(G2)(B)=1/2$
(nel mio caso G1 e G2 erano i giocatori e A e B le porte, tu hai usato una differente nomenclautura che uso qui sotto)
Mi chiedevo, ma questa cosa che mi hai fatto notare (e si vede bene matematicamente, perché la probabilità del tuo esempio, di quello che chiami giocatore B, somma a 1; quindi moltiplicando per 1/5 del giocatore 1 farà uscire: $1/5*1=1/5$) ha un nome? Cioè è una regola del calcolo delle probabilità che ha un nome?
Grazie ancora per aver chiarito i miei dubbi
Buon anno!
D'altronde questo tipo di calcolo restituirà sempre la probabilità di vittoria associata al giocatore col grado di conoscenza nullo.cavolo, non ci avevo fatto caso che fosse una regola generale. Perché io vedevo gli 1/3 e 2/3 come le probabilità delle porte e poi le moltiplicavo per la probbailità del giocatore 2 (cioè 1/2) di prendere la porta corretta tra le due (EDIT: o meglio la probabilità di prendere la porta A o B sorteggiando a caso tra le due, che è del 50%), però in effetti 1/3 e 2/3 sono anche interpretabili come le probabilità del giocatore 1 per le rispettive porte.
Quindi in effetti $P_(G1)(A)=1/3$, $P_(G1)(B)=2/3$ e $P_(G2)(A)=1/2$, $P_(G2)(B)=1/2$
Da cui $P_(G1)(A)*P_(G2)(A)+P_(G1)(B)*P_(G2)(B)=1/2$
(nel mio caso G1 e G2 erano i giocatori e A e B le porte, tu hai usato una differente nomenclautura che uso qui sotto)
Mi chiedevo, ma questa cosa che mi hai fatto notare (e si vede bene matematicamente, perché la probabilità del tuo esempio, di quello che chiami giocatore B, somma a 1; quindi moltiplicando per 1/5 del giocatore 1 farà uscire: $1/5*1=1/5$) ha un nome? Cioè è una regola del calcolo delle probabilità che ha un nome?
Grazie ancora per aver chiarito i miei dubbi
Buon anno!
"FullMontyHall":
Cioè quello che mi premeva capire era se in effetti nella singola partita scegliendo la B (con la notazione che A è quella che ha preso giocatore 1 alll'inizio e gli rimane dopo che monty ne leva una e B è quella rimasta non levata da monty).
A quel punto mi dicevo: il giocatore B ignaro scelgie a caso tra A e B e sul monte (infinito) di partite possibili con questa strategia vince al 50%, però nella singola partita secondo te è corretto dire, una volta scelta la B egli ha di fatto la probabilità di 2/3 di vincere?
Mi sembra che con il tuo esempio mi suggerisci che è corretto, però volevo chiederti per sicurezza perché non vorrei aver frainteso.
Sì, è corretto.
"FullMontyHall":
Inoltre mi sembra che funzioni perché formalmente questo è proprio "visibile" nel calcolo:
P(vittoria di G2)=$ 1/2⋅1/3+1/2⋅2/3=1/2 $, che mostra che G2 scegliendo A ha in efffetti la probabilità di 1/3 di vincere e scegliendo B ha i 2/3, però prorpio perché sceglie a caso tra le due (A e B) quel 1/2 a moltiplicare diluisce queste probabilità e ne esce che la vittoria con tale strategia di scelta radnomica tra A e B è 1/2 come intuitivamente atteso.
D'altronde questo tipo di calcolo restituirà sempre la probabilità di vittoria associata al giocatore col grado di conoscenza nullo.
Considera per esempio il caso in cui due giocatori devono indovinare un numero tra $1$ e $5$; per il giocatore $A$ che non ha nessuna informazione sarà
$p_A(1)=p_A(2)=p_A(3)=p_A(4)=p_A(5)=p'=1/5$
mentre per il giocatore $B$ che è in possesso di più informazioni ipotizziamo che sia
$p_B(1)=1/6$
$p_B(2)=5/12$
$p_B(3)=1/3$
$p_B(4)=0$
$p_B(5)=1/12$
Impostando il calcolo da te illustrato, e raccogliendo $p'$ a fattor comune, si ottiene
$p_A(1)*p_B(1)+p_A(2)*p_B(2)+p_A(3)*p_B(3)+p_A(4)*p_B(4)+p_A(5)*p_B(5)=$
$=p'*sum(p_B)=p'*1=p'=1/5$
Ciao, grazie per rispondere alla mia ignoranza .
Due cosette...
1)
Si, il parallelo mi sembra proprio simile, infatti in spoiler facevo un esempio che direi è simile al tuo (auto-cito): "Mi sembra un po' come dire, nascondo a caso il sasso nella mano, il bimbo sceglie la destra e il sasso è nella destra. Nel totale dei giochi possibili il bimbo vince al 50% ma in questa partita se sceglie la destra e ho il sasso nella destra ha l 100% di vincere."
Cioè quello che mi premeva capire era se in effetti nella singola partita scegliendo la B (con la notazione che A è quella che ha preso giocatore 1 alll'inizio e gli rimane dopo che monty ne leva una e B è quella rimasta non levata da monty).
A quel punto mi dicevo: il giocatore B ignaro scelgie a caso tra A e B e sul monte (infinito) di partite possibili con questa strategia vince al 50%, però nella singola partita secondo te è corretto dire, una volta scelta la B egli ha di fatto la probabilità di 2/3 di vincere?
Mi sembra che con il tuo esempio mi suggerisci che è corretto, però volevo chiederti per sicurezza perché non vorrei aver frainteso.
2)
Inoltre mi sembra che funzioni perché formalmente questo è proprio "visibile" nel calcolo:
P(vittoria di G2)=$1/2⋅1/3+1/2⋅2/3=1/2$, che mostra che G2 scegliendo A ha in efffetti la probabilità di 1/3 di vincere e scegliendo B ha i 2/3, però prorpio perché sceglie a caso tra le due (A e B) quel 1/2 a moltiplicare diluisce queste probabilità e ne esce che la vittoria con tale strategia di scelta radnomica tra A e B è 1/2 come intuitivamente atteso.
Insomma mi chiedevo se queste due elucubrazioni fossero corrette cosa ne pensi/pensate?
Grazie per l'aiuto
.Due cosette...
1)
Si, il parallelo mi sembra proprio simile, infatti in spoiler facevo un esempio che direi è simile al tuo (auto-cito): "Mi sembra un po' come dire, nascondo a caso il sasso nella mano, il bimbo sceglie la destra e il sasso è nella destra. Nel totale dei giochi possibili il bimbo vince al 50% ma in questa partita se sceglie la destra e ho il sasso nella destra ha l 100% di vincere."
Cioè quello che mi premeva capire era se in effetti nella singola partita scegliendo la B (con la notazione che A è quella che ha preso giocatore 1 alll'inizio e gli rimane dopo che monty ne leva una e B è quella rimasta non levata da monty).
A quel punto mi dicevo: il giocatore B ignaro scelgie a caso tra A e B e sul monte (infinito) di partite possibili con questa strategia vince al 50%, però nella singola partita secondo te è corretto dire, una volta scelta la B egli ha di fatto la probabilità di 2/3 di vincere?
Mi sembra che con il tuo esempio mi suggerisci che è corretto, però volevo chiederti per sicurezza perché non vorrei aver frainteso.
2)
Inoltre mi sembra che funzioni perché formalmente questo è proprio "visibile" nel calcolo:
P(vittoria di G2)=$1/2⋅1/3+1/2⋅2/3=1/2$, che mostra che G2 scegliendo A ha in efffetti la probabilità di 1/3 di vincere e scegliendo B ha i 2/3, però prorpio perché sceglie a caso tra le due (A e B) quel 1/2 a moltiplicare diluisce queste probabilità e ne esce che la vittoria con tale strategia di scelta radnomica tra A e B è 1/2 come intuitivamente atteso.
Insomma mi chiedevo se queste due elucubrazioni fossero corrette cosa ne pensi/pensate?
Grazie per l'aiuto
"FullMontyHall":
di fatto nel totale G2 ha 1/2 totale di vincere scegliendo a caso. Ma nella singola partita ha i 2/3 scegliendo B
Ciao, considera che il giocatore A estragga il 24 da una tombola senza farlo vedere al giocatore B; riprendendo il frammento quotato sarebbe un po' come dire che:
"di fatto B, scegliendo a caso, ha una probabilità di indovinare pari a 1/90, ma nella singola partita ha una probabilità del 100% scegliendo il 24".
Il parallelo ti sembra corretto?
Ciao, scusate se rispolvero questa discussione dell'anno scroso, ma stavo leggendo su wikipedia di questo gioco e mi sono incuriosito.
Così googlando per cercare alcune risposte a dubbi sono qui giunto.
Devo dire che questa è la discussione più chiara che avessi letto finora e mi ha risolto tantissimi dubbi il discorso di @Faussone. I dubbi di alcuni utenti erano i miei e più o meno li ho inquadrati, ma una cosa ancora mi "perplime".
Mi piacerebbe analizzare il gioco "modificato" proposto: (riassumo per far capire)
Si introduce un secondo giocatore ignaro di tutto, dopo che monty ha aperto la porta con la capra.
Il giocatore ignaro evidentemente scegliendo a caso ha probabilità di vincere 1/2. Fin qui ci sono.
Però mi aggroviglio in questa considerazione:
mettiamo che la porta scelta a inizio gioco da G1 è la A e che rimaniamo dopo l'apertura con A e B. G1 cambia e sceglei B vincendo 2/3 delle vole (ossia ha probabilità divincere di 2/3) bene.
G2 scegliendo a caso tra A e B ha 1/2 delle volte che vince.
Ora mettiamoci nel singolo caso in cui G1 sceglie B, sappiamo qundi che B ha probabilità di portare a vittoria per 2/3.
G2 sceglie a caso B, quindi vince per 1/2 delle volte.
Ora mi chiedo, la porta B per G2 lo condurra in questo singolo caso a vitoria per 2/3? O vince per 1/2?
Mi pare che anche G2 una volta che compie la sua arbitraria scelta, abbia più probabilità di vincere se ha scelto B.
Cioè se G2 sceglie tra A e B a caso vince 50% delle volte, però in una certa situazione se G2 sceglie B (e B è quella che ha valore 2/3), allora lui concretamente con quella scelta vince con maggior probablità o no? Non capisco bene questa cosa.
Per spiegare meglio metto in spoiler una rielaborazione
Mi sembra di poter dire qualcosa del genere per formalizzare: P(vittoria di G2)=$1/2*1/3+1/2*2/3=1/2$, quindi se G2 sceglie B ha in effetti anche G2 2/3 di probailità di vincere, però poi moltiplicandola per la scelta casuale di 1/2 e l'altro scenario di vincere per 1/3 se avesse sorteggiato la porta A, di fatto nel totale G2 ha 1/2 totale di vincere scegliendo a caso. Ma nella singola partita ha i 2/3 scegliendo B: 1/2*1/3+1/2*2/3=1/2. E' giusto?
Non sono convintissimo di ciò che sto dicendo, quindi volevo chiedere a voi ben più capaci Grazie e buone feste!
Così googlando per cercare alcune risposte a dubbi sono qui giunto.
Devo dire che questa è la discussione più chiara che avessi letto finora e mi ha risolto tantissimi dubbi il discorso di @Faussone. I dubbi di alcuni utenti erano i miei e più o meno li ho inquadrati, ma una cosa ancora mi "perplime".
Mi piacerebbe analizzare il gioco "modificato" proposto: (riassumo per far capire)
Si introduce un secondo giocatore ignaro di tutto, dopo che monty ha aperto la porta con la capra.
Il giocatore ignaro evidentemente scegliendo a caso ha probabilità di vincere 1/2. Fin qui ci sono.
Però mi aggroviglio in questa considerazione:
mettiamo che la porta scelta a inizio gioco da G1 è la A e che rimaniamo dopo l'apertura con A e B. G1 cambia e sceglei B vincendo 2/3 delle vole (ossia ha probabilità divincere di 2/3) bene.
G2 scegliendo a caso tra A e B ha 1/2 delle volte che vince.
Ora mettiamoci nel singolo caso in cui G1 sceglie B, sappiamo qundi che B ha probabilità di portare a vittoria per 2/3.
G2 sceglie a caso B, quindi vince per 1/2 delle volte.
Ora mi chiedo, la porta B per G2 lo condurra in questo singolo caso a vitoria per 2/3? O vince per 1/2?
Mi pare che anche G2 una volta che compie la sua arbitraria scelta, abbia più probabilità di vincere se ha scelto B.
Cioè se G2 sceglie tra A e B a caso vince 50% delle volte, però in una certa situazione se G2 sceglie B (e B è quella che ha valore 2/3), allora lui concretamente con quella scelta vince con maggior probablità o no? Non capisco bene questa cosa.
Per spiegare meglio metto in spoiler una rielaborazione
Mi sembra di poter dire qualcosa del genere per formalizzare: P(vittoria di G2)=$1/2*1/3+1/2*2/3=1/2$, quindi se G2 sceglie B ha in effetti anche G2 2/3 di probailità di vincere, però poi moltiplicandola per la scelta casuale di 1/2 e l'altro scenario di vincere per 1/3 se avesse sorteggiato la porta A, di fatto nel totale G2 ha 1/2 totale di vincere scegliendo a caso. Ma nella singola partita ha i 2/3 scegliendo B: 1/2*1/3+1/2*2/3=1/2. E' giusto?
Non sono convintissimo di ciò che sto dicendo, quindi volevo chiedere a voi ben più capaci
Grazie e buone feste!
"il_formalizzatore":
Capisco di aver fatto una domanda stupida in sostanza
Più che altro personalmente io non trovo cosa altro aggiungere a quanto già detto.
Capisco di aver fatto una domanda stupida in sostanza
Sì, è diciamo "ovvio" nel senso che mi pare intuitivamente vero però mi chiedevo se vi fosse un modo di mostrare questo:
1) se chi nasconde il sasso sceglie a caso una mano e chi sceglie sceglie a caso una mano ci sono "due eventi casuali", non so come dirlo ma "il caso" è in due punti del gioco.
2) se chi nasconde sceglie sempre una mano "altera" una aleatorietà e rimane solo aleatoria la scelta della mano del giocatore (che sceglie a caso).
1) ha due eventi casuali che rimescolano le cose 2) ne ha solo uno. E mi chiedevo se, vi fosse un modo oltre al dire "è evidente" che sono la stessa cosa. Essendo molto ignorante in probabilità mi ero fatto questa domanda.
1) se chi nasconde il sasso sceglie a caso una mano e chi sceglie sceglie a caso una mano ci sono "due eventi casuali", non so come dirlo ma "il caso" è in due punti del gioco.
2) se chi nasconde sceglie sempre una mano "altera" una aleatorietà e rimane solo aleatoria la scelta della mano del giocatore (che sceglie a caso).
1) ha due eventi casuali che rimescolano le cose 2) ne ha solo uno. E mi chiedevo se, vi fosse un modo oltre al dire "è evidente" che sono la stessa cosa. Essendo molto ignorante in probabilità mi ero fatto questa domanda.
@il_formalizzatore
Non ho capito cosa vorresti dimostrare formalmente.
È ovvio che nel gioco normale la probabilità di vincere è del 50%, ma è altrettanto ovvio che se la moneta fosse sempre in una certa mano allora, scegliendo una mano a caso, la probabilità di vincere è sempre del 50% visto che il giocatore sceglie sinistra al 50% e destra al 50%.
Non ho capito cosa vorresti dimostrare formalmente.
È ovvio che nel gioco normale la probabilità di vincere è del 50%, ma è altrettanto ovvio che se la moneta fosse sempre in una certa mano allora, scegliendo una mano a caso, la probabilità di vincere è sempre del 50% visto che il giocatore sceglie sinistra al 50% e destra al 50%.
Mi piacerebbe chiedervi una cosa, che esula dal discorso precedente molto chiaro, ma che mi ha altrettanto incuriosito leggendovi qui:
il gioco proposto da faussone di nascondere il sasso nella mano, se chi nasconde lo mette a caso diciamo tra mano destra e sinistra e chi sceglie sceglie di nuovo a caso, allora chi sceglie evidentemente vince 50% delle volte.
Allo stesso modo se chi nasconde lo mette nella mano destra, e supponiamo il tonto giocatore non inducesse che è sempre nella mano destra e scegliesse a caso le mani vincerebbe comunque (intuitivamente) al 50%.
Intuitivamente è vero, ma c'è un modo per mostrare che in entrambi i casi è 50%? Mi incuriosiva questa proposta fatta da uno degli utenti*
*(non ricordo chi perdonami)
il gioco proposto da faussone di nascondere il sasso nella mano, se chi nasconde lo mette a caso diciamo tra mano destra e sinistra e chi sceglie sceglie di nuovo a caso, allora chi sceglie evidentemente vince 50% delle volte.
Allo stesso modo se chi nasconde lo mette nella mano destra, e supponiamo il tonto giocatore non inducesse che è sempre nella mano destra e scegliesse a caso le mani vincerebbe comunque (intuitivamente) al 50%.
Intuitivamente è vero, ma c'è un modo per mostrare che in entrambi i casi è 50%? Mi incuriosiva questa proposta fatta da uno degli utenti*
*(non ricordo chi perdonami)
@pistacios
Bene sono contento hai risolto il tuo dubbio
E lascia stare il babbeo (anche se ironico), non sono questioni così immediate e è facilissimo far confusione, a volte basta una sfumatura e tutto cambia.
E grazie a te per aver dato un riscontro ai tentativi di rispondere al tuo dubbio, non è scontato affatto accada, anzi è l'eccezione.
Bene sono contento hai risolto il tuo dubbio
E lascia stare il babbeo (anche se ironico), non sono questioni così immediate e è facilissimo far confusione, a volte basta una sfumatura e tutto cambia.
E grazie a te per aver dato un riscontro ai tentativi di rispondere al tuo dubbio, non è scontato affatto accada, anzi è l'eccezione.
"Faussone":
EDIT Se giochiamo a "dove sta qui o qua" (devi capire in quale pugno metto una moneta), io potrei mettere sempre la moneta a sinistra. Se tu scegli a caso completamente hai comunque il 50% di probabilita di vincere (il 50% delle volte dirai sinistra l'altro 50% destra), ma se scegliessi sempre sinistra vinceresti sempre e avresti probabilità 1 di vincere quindi. E' lo stesso caso e anche qui non c'è alcuna contraddizione.
Eh si, complimenti, con questo "controesempietto" direi che hai proprio risolto il mio dubbio, non mi accorgevo di questo elefante nel mio ragionamento.
Perché effettivamente non mi ero accorto che è come se non fosse proprio del tutto casuale il sorteggio, proprio come nel caso della moneta. Mi veniva invece da vederlo come metto a caso e scelgo semplicemente una delle due porte: sx o dx.
E' interessante notare però che il "contagio di informazione" nei vari casi viene determinato per situazioni un po' diverse, Hall mette a caso ma poi introduce informazione con la sua selezione di una delle due porte, mentre quando metto a moneta in un pungo scelgo a priori, insomma devo starci attento quando penso a quste cose, perché noto che cado facilmente in errore come un babbeo
Comunque, grazie per avermi spiegato Faussone!
"axpgn":
Secondo me l'incomprensione sta qui:
....
Pistacios dice "Arriva un estraneo e si trova a dover scegliere tra due porte, sceglie a caso e quindi ha probabilità $1/2$ di vincere. MA la simulazione mi dice che invece non è così. Com'è possibile?"
Non credo sia quello il punto, Pistacios da come ho capito io, non dubita del fatto che scegliendo a caso le probabilità sarebbero del 50% per giocatore2 che arriva quando restano due porte. Lui introduce una strategia di scelta per giocatore2 e non capisce (capiva spero) che questa non è equivalente a una scelta casuale in questo caso specifico.
Secondo me l'incomprensione sta qui:
Faussone ha detto "Se fai una simulazione dell'esperimento di Monty Hall vedrai che troverai conferma che è più vantaggioso cambiare".
Ed è così (la feci tanto tempo fa per divertimento)
Pistacios dice "Arriva un estraneo e si trova a dover scegliere tra due porte, sceglie a caso e quindi ha probabilità $1/2$ di vincere. MA la simulazione mi dice che invece non è così. Com'è possibile?"
È possibile in quanto le simulazioni sono DIVERSE e nel secondo caso, se provi a ricrearla (cosa che ho fatto per scrupolo) vedrai che la persona che arriva e sceglie tra due porte vince metà delle volte e contemporaneamente la prima, scambiando, vince due volte su tre.
Ripeto: le simulazioni sono DIVERSE (anche se le puoi ricreare nello stesso gioco contemporaneamente)
Cordialmente, Alex
Faussone ha detto "Se fai una simulazione dell'esperimento di Monty Hall vedrai che troverai conferma che è più vantaggioso cambiare".
Ed è così (la feci tanto tempo fa per divertimento)
Pistacios dice "Arriva un estraneo e si trova a dover scegliere tra due porte, sceglie a caso e quindi ha probabilità $1/2$ di vincere. MA la simulazione mi dice che invece non è così. Com'è possibile?"
È possibile in quanto le simulazioni sono DIVERSE e nel secondo caso, se provi a ricrearla (cosa che ho fatto per scrupolo) vedrai che la persona che arriva e sceglie tra due porte vince metà delle volte e contemporaneamente la prima, scambiando, vince due volte su tre.
Ripeto: le simulazioni sono DIVERSE (anche se le puoi ricreare nello stesso gioco contemporaneamente)
Cordialmente, Alex
"pistacios":
[...] al momento dell'arrivo di giocatore2 la sua strategia nel dover scegliere una delle due porte: la prima o la seconda (da destra verso sinistra) scegliendo di tenere sempre la prima a sinistra in ogni ripetizione di gioco. Questo non dovrebbe in alcun modo dare conoscenze aggiuntive (era questo il mio "stratagemma"). Voglio cioè dire, se io scelgo a caso tra due porte in modo randomico, o scelgo sempre la prima delle due, se il premio è stato posto dietro di esse a caso io ho probabilità di vincita 1/2 con entrambe le strategie, quindi scelgo di tenere sempre la prima porta di sinistra delle due che ho di fronte.
La porta di sinistra io non so che è la stessa scelta sempre a ogni ripetizione dal giocatore1, che usa la mia stessa strategia (caso vuole).
Questo statagemma non cambia lo sostanza: giocatore2 non sta scegliendo del tutto a caso scegliendo sempre la porta di sinistra (ad esempio), che non lo sappia "consciamente" è irrilevante.
EDIT Se giochiamo a "dove sta qui o qua" (devi capire in quale pugno metto una moneta), io potrei mettere sempre la moneta a sinistra. Se tu scegli a caso completamente hai comunque il 50% di probabilita di vincere (il 50% delle volte dirai sinistra l'altro 50% destra), ma se scegliessi sempre sinistra vinceresti sempre e avresti probabilità 1 di vincere quindi. E' lo stesso caso e anche qui non c'è alcuna contraddizione.
Nel momento in cui arriva e sceglie la porta non scelta (o scelta) da giocatore1, allora giocatore2 sta usando una conoscenza aggiuntiva
Questo è molto vero, perché se giocatore2 sceglie appositamente la scelta di giocatore1 ne determina una informazione da esso.
Per questo avevo corretto il mio messaggi così: al momento dell'arrivo di giocatore2 la sua strategia nel dover scegliere una delle due porte: la prima o la seconda (da destra verso sinistra) scegliendo di tenere sempre la prima a sinistra in ogni ripetizione di gioco. Questo non dovrebbe in alcun modo dare conoscenze aggiuntive (era questo il mio "stratagemma"). Voglio cioè dire, se io scelgo a caso tra due porte in modo randomico, o scelgo sempre la prima delle due, se il premio è stato posto dietro di esse a caso io ho probabilità di vincita 1/2 con entrambe le strategie, quindi scelgo di tenere sempre la prima porta di sinistra delle due che ho di fronte.
La porta di sinistra io non so che è la stessa scelta sempre a ogni ripetizione dal giocatore1, che usa la mia stessa strategia (caso vuole).
Bene, così facendo dovrei avere per giocatore1 1/3 se sceglie di non cambiare porta quando proposto da Monty Hall, mentre giocatore2 come detto ha probabilità 1/2.
Però, quando io ripeto il gioco più volete, giocatore2 vincerà meno volte di 1/2, vincerà 1/3, proprio come giocatore1.
E' in questo processo che non riesco a vedere l'errore: dove giocatore2 attinge l'informazione così facendo?
PS: ok forse è quello che tu chiami Indirettamente" questo caso, ma non capisco perché sia un attingere informazione, dato che la scelta è proprio casuale per giocatore2.
@pistacios
Nel momento in cui arriva e sceglie la porta non scelta (o scelta) da giocatore1, allora giocatore2 sta usando una conoscenza aggiuntiva, non sta più scegliendo a caso, quindi è logico che altera la probabilità del 50% che ha solo se scegliesse a caso tra le due porte rimaste, indipendentemente dalla scelta di giocatore1.
Può poi non sapere perché logicamente sia meglio non scegliere la porta di giocatore1 ma se usa quella strategia non sta più scegliendo completamente a caso, e può pure non scegliere la porta di giocatore1 diciamo indirettamente come nel tuo esempio, ma comunque non sta più scegliendo completamente a caso.
Nel momento in cui arriva e sceglie la porta non scelta (o scelta) da giocatore1, allora giocatore2 sta usando una conoscenza aggiuntiva, non sta più scegliendo a caso, quindi è logico che altera la probabilità del 50% che ha solo se scegliesse a caso tra le due porte rimaste, indipendentemente dalla scelta di giocatore1.
Può poi non sapere perché logicamente sia meglio non scegliere la porta di giocatore1 ma se usa quella strategia non sta più scegliendo completamente a caso, e può pure non scegliere la porta di giocatore1 diciamo indirettamente come nel tuo esempio, ma comunque non sta più scegliendo completamente a caso.
Non ho ben capito in quale parte del messaggio ho detto che il giocatore due abbia conoscenza di come sono andate le cose.
Ho ipotizzato il caso in cui arriva e non sa come funzioni il gioco, a quel punto decide di prendere la prima porta da sinistra a destra, stessa prima porta che sceglie il giocatore1.
L'idea è questa: il primo giocatore di tre porte in fila sceglie sempre la prima porta a sx, facendo così ha probabilità di vincita di 1/3, esattamente come sceglierne una a caso in modo randomico. Se la tiene fino alla fine ha probabilità 1/3 di vincere anche dopo che monty hall toglie la porta "perdente".
Arriva il giocatore 2, ha di fronte a sé due porte e sceglie sempre la prima a sx, lui dovrebbe vincere per 1/2.
A questo punto si apre la porta selezionata dai concorrenti, e sembra che la natura dica che il premio uscirà ad ogni apertura dell'ultima porta in 1/3 delle volte rispetto all'altra porta rimasta non scelta. Mentre per il giocatore 2 la natura sembra dire che il premio esce al 50%. Ma se apro quella singola porta di sx che è un oggetto il premio deve uscire con una probabilità fissa no?
In sostanza così asserisco in modo assurdo che esce con più probabilità il premio per il giocatore 2 che per l'1 quando si trovano con due sole porte. Non è strano? Vorrei capire l'errore che commetto.
Ho ipotizzato il caso in cui arriva e non sa come funzioni il gioco, a quel punto decide di prendere la prima porta da sinistra a destra, stessa prima porta che sceglie il giocatore1.
L'idea è questa: il primo giocatore di tre porte in fila sceglie sempre la prima porta a sx, facendo così ha probabilità di vincita di 1/3, esattamente come sceglierne una a caso in modo randomico. Se la tiene fino alla fine ha probabilità 1/3 di vincere anche dopo che monty hall toglie la porta "perdente".
Arriva il giocatore 2, ha di fronte a sé due porte e sceglie sempre la prima a sx, lui dovrebbe vincere per 1/2.
A questo punto si apre la porta selezionata dai concorrenti, e sembra che la natura dica che il premio uscirà ad ogni apertura dell'ultima porta in 1/3 delle volte rispetto all'altra porta rimasta non scelta. Mentre per il giocatore 2 la natura sembra dire che il premio esce al 50%. Ma se apro quella singola porta di sx che è un oggetto il premio deve uscire con una probabilità fissa no?
In sostanza così asserisco in modo assurdo che esce con più probabilità il premio per il giocatore 2 che per l'1 quando si trovano con due sole porte. Non è strano? Vorrei capire l'errore che commetto.
"garante":
Ma scusate, ma quale accademico potrebbe mai cadere in un tranello così banale? Capisco io che sono un povero idiota, ma di sicuro non un matematico/statistico dai! Bah, quella nota storica mi lascia molto dubbioso
Sono d'accordo, ma sarebbe da vedere come siano andate veramente le cose , quali fossero i termini della contesa e cosa esattamente sia stato sostenuto da chi contestava la soluzione corretta.
Certo è che chi ha un poco di conoscenza di teoria di calcolo delle probabilità non dovrebbe avere grandi difficoltà a indicare la soluzione corretta.
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