Probabilità de "il gioco dei pacchi"
Qualche giorno fa facendo zapping (non guardo mai la tv) mi sono soffermato su un concorso della rai, di cui onestamente non so il nome ma nel quale mi pare 20 concorrenti hanno dei pacchi da aprire nel corso della trasmissione. E mi ha incuriosito il modo di procedere dei concorrenti. Mi spiego...
Disclaimer: inizio col dire che la mia domanda è da completo ignorante in probabilità perché non l'ho mai studiata provenendo da un classico ed essendo al primo (mezzo) anno di fisica. Ho fatto giusto analisi e geometria.
Ad ogni modo, ho notato che riguardando il programma alcune sere apposta per curiosità i concorrenti arrivano, dopo varie aperture dei pacchi, al termine con due pacchi contenenti di solito una somma consistente e uno poche decine di euro. A questo punto gli si fa una proposta se mantenere il pacco o cambiarlo. Ora i miei dubbi:
Per semplificare i ragionamenti mettiamo che ogni pacco contenga da 1 a 20 euro.
assumiamo ad esempio i concorrenti giungano alla fine con due pacchi (uno con 20€ e uno 1€) gli si propone se cambiarlo prima dell'apertura finale.
1) sebbene dopo varie aperture è vero che so che uno dei due pacchi avrà 1 euro e l'altro 20 euro, mi sembra che non cambiare faccia del pacco in mio possesso che abbia una probabilità su venti di contenere 20 euro e una su venti di contenere 1€.
Questo a intuito; ma non sono convinto sia corretto perché: se così fosse dovrebbe anche contenere x€ con $x in(2,..,19)$€ con probabilità 1/20 ma è evidente non sia così dato che gli altri numeri (indicati con x) sono stati tolti dal gioco quindi che senso ha dire 3 ha probabilità 1/20 di essere nel mio pacco se di fatto NON PUO' esserci?
Mi chiedo: come metto a posto questa cosa? Cioè voglio dire dovrebbe avere 1/20 come probabilità il pacco di contenere 1 o 20 euro, ma per un numero (1 or 20) che compare $1^a$ su $2$ volte in realtà dato che i restanti non ci sono più. Mi sembra di incartarmi in questo punto emi chiedo quindi se 1 e 20 rimangano con probabilità 1/20 di essere nel mio pacco e se è così perché?
2) proseguiamo, mettiamo ora entri un concorrente ignaro di tutto il percorso fin qui svolto, egli scelgliendo a caso tra i due pacchi rimasti avrà evidentemente invece 1/2 probabilità di vincere 20€ 1/2 di vincere 1€ (quindi perdere 20€). Insomma, uno ignaro ha più probabilità di quello che si tiene il pacco stretto fin dall'inizio direi (sbaglio?)
3) infine se il primo concorrente del punto (1) scegliesse di prendere il pacco rimasto diverso dal suo (cioè accettasse lo scambio di pacco), beh allora qui avrebbe molta più probabilità di vincere! Però ammetto che affermo questo solo per intuizione e mi piacerebbe però capire come si calcoli concretamente questo caso probabilisitco.
Detto ciò, tutti i concorrenti visti si tenevano il pacco iniziale seguendo l'emozione e l'affezione alludendo a "pacco fortunato". Io avrei cambiato
Voi che ne pensate? Grazie.
Disclaimer: inizio col dire che la mia domanda è da completo ignorante in probabilità perché non l'ho mai studiata provenendo da un classico ed essendo al primo (mezzo) anno di fisica. Ho fatto giusto analisi e geometria.
Ad ogni modo, ho notato che riguardando il programma alcune sere apposta per curiosità i concorrenti arrivano, dopo varie aperture dei pacchi, al termine con due pacchi contenenti di solito una somma consistente e uno poche decine di euro. A questo punto gli si fa una proposta se mantenere il pacco o cambiarlo. Ora i miei dubbi:
Per semplificare i ragionamenti mettiamo che ogni pacco contenga da 1 a 20 euro.
assumiamo ad esempio i concorrenti giungano alla fine con due pacchi (uno con 20€ e uno 1€) gli si propone se cambiarlo prima dell'apertura finale.
1) sebbene dopo varie aperture è vero che so che uno dei due pacchi avrà 1 euro e l'altro 20 euro, mi sembra che non cambiare faccia del pacco in mio possesso che abbia una probabilità su venti di contenere 20 euro e una su venti di contenere 1€.
Questo a intuito; ma non sono convinto sia corretto perché: se così fosse dovrebbe anche contenere x€ con $x in(2,..,19)$€ con probabilità 1/20 ma è evidente non sia così dato che gli altri numeri (indicati con x) sono stati tolti dal gioco quindi che senso ha dire 3 ha probabilità 1/20 di essere nel mio pacco se di fatto NON PUO' esserci?
Mi chiedo: come metto a posto questa cosa? Cioè voglio dire dovrebbe avere 1/20 come probabilità il pacco di contenere 1 o 20 euro, ma per un numero (1 or 20) che compare $1^a$ su $2$ volte in realtà dato che i restanti non ci sono più. Mi sembra di incartarmi in questo punto emi chiedo quindi se 1 e 20 rimangano con probabilità 1/20 di essere nel mio pacco e se è così perché?
2) proseguiamo, mettiamo ora entri un concorrente ignaro di tutto il percorso fin qui svolto, egli scelgliendo a caso tra i due pacchi rimasti avrà evidentemente invece 1/2 probabilità di vincere 20€ 1/2 di vincere 1€ (quindi perdere 20€). Insomma, uno ignaro ha più probabilità di quello che si tiene il pacco stretto fin dall'inizio direi (sbaglio?)
3) infine se il primo concorrente del punto (1) scegliesse di prendere il pacco rimasto diverso dal suo (cioè accettasse lo scambio di pacco), beh allora qui avrebbe molta più probabilità di vincere! Però ammetto che affermo questo solo per intuizione e mi piacerebbe però capire come si calcoli concretamente questo caso probabilisitco.
Detto ciò, tutti i concorrenti visti si tenevano il pacco iniziale seguendo l'emozione e l'affezione alludendo a "pacco fortunato". Io avrei cambiato
Voi che ne pensate? Grazie.
Risposte
Nel seguito parlo da un punto di vista della sola probabilità.
Siamo al punto in cui sono rimasti 2 pacchi, uno da 1€ e uno da 20€.
Tutto ciò che è avvenuto prima è ininfluente per fare le valutazioni finali. Perché non ci sono legami né vincoli con i pacchi già aperti.
Il gioco, nel punto in cui siamo ora, è il seguente: ci sono due pacchi, uno da 1€ e uno da 20€.
- la probabilità che nel nostro pacco ci siano 20€ è 1/2;
- la probabilità che nel nostro pacco ci sia 1€ è 1/2.
Cambiare pacco o non cambiarlo è ininfluente.
Siamo al punto in cui sono rimasti 2 pacchi, uno da 1€ e uno da 20€.
Tutto ciò che è avvenuto prima è ininfluente per fare le valutazioni finali. Perché non ci sono legami né vincoli con i pacchi già aperti.
Il gioco, nel punto in cui siamo ora, è il seguente: ci sono due pacchi, uno da 1€ e uno da 20€.
- la probabilità che nel nostro pacco ci siano 20€ è 1/2;
- la probabilità che nel nostro pacco ci sia 1€ è 1/2.
Cambiare pacco o non cambiarlo è ininfluente.
Vero, allora mettiamo come ipotesi aggiuntiva anche che sia del tutto casuale il processo, per semplificare 
Al di là degli aspetti matematici, che qualcun altro ti illustrerà molto meglio di me , dimentichi che "dietro" i pacchi c'è una persona che ne conosce il contenuto e questo fa tutta la differenza del mondo.
, dimentichi che "dietro" i pacchi c'è una persona che ne conosce il contenuto e questo fa tutta la differenza del mondo.
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