Probabilità de "il gioco dei pacchi"
Qualche giorno fa facendo zapping (non guardo mai la tv) mi sono soffermato su un concorso della rai, di cui onestamente non so il nome ma nel quale mi pare 20 concorrenti hanno dei pacchi da aprire nel corso della trasmissione. E mi ha incuriosito il modo di procedere dei concorrenti. Mi spiego...
Disclaimer: inizio col dire che la mia domanda è da completo ignorante in probabilità perché non l'ho mai studiata provenendo da un classico ed essendo al primo (mezzo) anno di fisica. Ho fatto giusto analisi e geometria.
Ad ogni modo, ho notato che riguardando il programma alcune sere apposta per curiosità i concorrenti arrivano, dopo varie aperture dei pacchi, al termine con due pacchi contenenti di solito una somma consistente e uno poche decine di euro. A questo punto gli si fa una proposta se mantenere il pacco o cambiarlo. Ora i miei dubbi:
Per semplificare i ragionamenti mettiamo che ogni pacco contenga da 1 a 20 euro.
assumiamo ad esempio i concorrenti giungano alla fine con due pacchi (uno con 20€ e uno 1€) gli si propone se cambiarlo prima dell'apertura finale.
1) sebbene dopo varie aperture è vero che so che uno dei due pacchi avrà 1 euro e l'altro 20 euro, mi sembra che non cambiare faccia del pacco in mio possesso che abbia una probabilità su venti di contenere 20 euro e una su venti di contenere 1€.
Questo a intuito; ma non sono convinto sia corretto perché: se così fosse dovrebbe anche contenere x€ con $x in(2,..,19)$€ con probabilità 1/20 ma è evidente non sia così dato che gli altri numeri (indicati con x) sono stati tolti dal gioco quindi che senso ha dire 3 ha probabilità 1/20 di essere nel mio pacco se di fatto NON PUO' esserci?
Mi chiedo: come metto a posto questa cosa? Cioè voglio dire dovrebbe avere 1/20 come probabilità il pacco di contenere 1 o 20 euro, ma per un numero (1 or 20) che compare $1^a$ su $2$ volte in realtà dato che i restanti non ci sono più. Mi sembra di incartarmi in questo punto emi chiedo quindi se 1 e 20 rimangano con probabilità 1/20 di essere nel mio pacco e se è così perché?
2) proseguiamo, mettiamo ora entri un concorrente ignaro di tutto il percorso fin qui svolto, egli scelgliendo a caso tra i due pacchi rimasti avrà evidentemente invece 1/2 probabilità di vincere 20€ 1/2 di vincere 1€ (quindi perdere 20€). Insomma, uno ignaro ha più probabilità di quello che si tiene il pacco stretto fin dall'inizio direi (sbaglio?)
3) infine se il primo concorrente del punto (1) scegliesse di prendere il pacco rimasto diverso dal suo (cioè accettasse lo scambio di pacco), beh allora qui avrebbe molta più probabilità di vincere! Però ammetto che affermo questo solo per intuizione e mi piacerebbe però capire come si calcoli concretamente questo caso probabilisitco.
Detto ciò, tutti i concorrenti visti si tenevano il pacco iniziale seguendo l'emozione e l'affezione alludendo a "pacco fortunato". Io avrei cambiato
Voi che ne pensate? Grazie.
Disclaimer: inizio col dire che la mia domanda è da completo ignorante in probabilità perché non l'ho mai studiata provenendo da un classico ed essendo al primo (mezzo) anno di fisica. Ho fatto giusto analisi e geometria.
Ad ogni modo, ho notato che riguardando il programma alcune sere apposta per curiosità i concorrenti arrivano, dopo varie aperture dei pacchi, al termine con due pacchi contenenti di solito una somma consistente e uno poche decine di euro. A questo punto gli si fa una proposta se mantenere il pacco o cambiarlo. Ora i miei dubbi:
Per semplificare i ragionamenti mettiamo che ogni pacco contenga da 1 a 20 euro.
assumiamo ad esempio i concorrenti giungano alla fine con due pacchi (uno con 20€ e uno 1€) gli si propone se cambiarlo prima dell'apertura finale.
1) sebbene dopo varie aperture è vero che so che uno dei due pacchi avrà 1 euro e l'altro 20 euro, mi sembra che non cambiare faccia del pacco in mio possesso che abbia una probabilità su venti di contenere 20 euro e una su venti di contenere 1€.
Questo a intuito; ma non sono convinto sia corretto perché: se così fosse dovrebbe anche contenere x€ con $x in(2,..,19)$€ con probabilità 1/20 ma è evidente non sia così dato che gli altri numeri (indicati con x) sono stati tolti dal gioco quindi che senso ha dire 3 ha probabilità 1/20 di essere nel mio pacco se di fatto NON PUO' esserci?
Mi chiedo: come metto a posto questa cosa? Cioè voglio dire dovrebbe avere 1/20 come probabilità il pacco di contenere 1 o 20 euro, ma per un numero (1 or 20) che compare $1^a$ su $2$ volte in realtà dato che i restanti non ci sono più. Mi sembra di incartarmi in questo punto emi chiedo quindi se 1 e 20 rimangano con probabilità 1/20 di essere nel mio pacco e se è così perché?
2) proseguiamo, mettiamo ora entri un concorrente ignaro di tutto il percorso fin qui svolto, egli scelgliendo a caso tra i due pacchi rimasti avrà evidentemente invece 1/2 probabilità di vincere 20€ 1/2 di vincere 1€ (quindi perdere 20€). Insomma, uno ignaro ha più probabilità di quello che si tiene il pacco stretto fin dall'inizio direi (sbaglio?)
3) infine se il primo concorrente del punto (1) scegliesse di prendere il pacco rimasto diverso dal suo (cioè accettasse lo scambio di pacco), beh allora qui avrebbe molta più probabilità di vincere! Però ammetto che affermo questo solo per intuizione e mi piacerebbe però capire come si calcoli concretamente questo caso probabilisitco.
Detto ciò, tutti i concorrenti visti si tenevano il pacco iniziale seguendo l'emozione e l'affezione alludendo a "pacco fortunato". Io avrei cambiato
Voi che ne pensate? Grazie.
Risposte
"pistacios":
.....
giocatore2 può giocare solo scegliendo portaA o portaB, e sceglie di scegliere sempre la porta1 del giocatore1 (cioè la stessa del primo giocatore), questa scelta dovrebbe portarlo a vittoria il 50% delle volte secondo lui, ma non mi pare così. no?
Scusami, ma hai letto lo scambio fin qui? Fa differenza nella probabilità il grado di conoscenza, vedi l'esempio di utente__medio.
Per rispondere alla parte citata il giocatore 2 se ha una conoscenza del meccanismo di selezione ha pure lui 1/3 di probabilità di vincere ovviamente, ma se non conosce quel meccanismo e si trova a scegliere tra due possibilità dedurrà di averne il 50%. Non c'è alcuna contraddizione.
Mi spiego meglio sull'idea:
viene disposto di volta in volta casualmente il premio dietro le tre porte.
giocatore1 può scegliere una delle tre porte a caso, cioè di volta in volta dice: "porta1, porta2 o porta3" quindi può scegliere ogni volta in modo randomico e vincerebbe 1/3 delle volte tenendola fino alla fine. Ma anche scegliendo sempre porta1 vince 1/3 delle volte e sceglie di operare così, a ogni gioco ripetuto prende la prima porta per valore di 1/3 di vincere e la tiene fino alla fine.
giocatore2 può giocare solo scegliendo portaA o portaB, e sceglie di scegliere sempre la porta1 del giocatore1 (cioè la stessa del primo giocatore), questa scelta dovrebbe portarlo a vittoria il 50% delle volte secondo lui, ma non mi pare così. no?
viene disposto di volta in volta casualmente il premio dietro le tre porte.
giocatore1 può scegliere una delle tre porte a caso, cioè di volta in volta dice: "porta1, porta2 o porta3" quindi può scegliere ogni volta in modo randomico e vincerebbe 1/3 delle volte tenendola fino alla fine. Ma anche scegliendo sempre porta1 vince 1/3 delle volte e sceglie di operare così, a ogni gioco ripetuto prende la prima porta per valore di 1/3 di vincere e la tiene fino alla fine.
giocatore2 può giocare solo scegliendo portaA o portaB, e sceglie di scegliere sempre la porta1 del giocatore1 (cioè la stessa del primo giocatore), questa scelta dovrebbe portarlo a vittoria il 50% delle volte secondo lui, ma non mi pare così. no?
Ah be' non sei il solo
Presente, ho fatto lo stesso errore concettuale di OP
.comunque per chi non si fida basta fare l'esperimento un numero grande di volte e contare le volte che si vince non cambiando porta sulle volte totali: verrà immancabilmente 1/3
Però volevo chiarire meglio riguardo questo, proviamo a studiare il seguente caso: giocatore1 che gioca con le regole di Monty Hall e giocatore2 che arriva a metà gioco come detto alla scelta del pacco con il 50%.
Mi trovo in un dubbio di questo tipo, assumiamo di ripetere molte volte come da te suggerito il gioco e che il giocatore1 tiene sempre la porta1 scelta, in modo ovvio vincerà 1/3 delle volte tenendo porta1 e non cambiando con porta2o3 rimasta.
A questo punto mentre ripetiamo il gioco, arriva sempre alla scelta finale giocatore2 che può scegliere di sua spontanea volontà porta1 o porta2' a caso senza sapere.
Lui dovrebbe vincere 1/2 delle volte.
Allora giocatore1 sceglie di prendere sempre porta1 del primo giocatore, ma non sa lo storico del gioco, secondo la probabilità dovrebbe vincere il 50% delle vole (sceglie porta1 che per lui ha probabilità di vincere 1/2 delle volte), ma chiaramente vincerà 1/3 delle volte.
Questo sembra dare ragione a OP e avvalorare il ragionamento fallace. Cosa sbaglio?
Comunque leggendo l'articolo di wikipedia sul paradosso di monty (ma anche fonti più sicure: sito di una uni) dice che fece scalpore per via del fatto che alcuni accademici si scagliarono contro Savant che "risolse" il dubbio ad alcuni lettori.
Ma scusate, ma quale accademico potrebbe mai cadere in un tranello così banale? Capisco io che sono un povero idiota, ma di sicuro non un matematico/statistico dai! Bah, quella nota storica mi lascia molto dubbioso
, penso sia la base di un corso di probabilità.
Ma scusate, ma quale accademico potrebbe mai cadere in un tranello così banale? Capisco io che sono un povero idiota, ma di sicuro non un matematico/statistico dai! Bah, quella nota storica mi lascia molto dubbioso
, penso sia la base di un corso di probabilità.
"garante":
.... e in effetti la probabilità si basa sul giocatore e quanto sa di quel che è accaduto (cioè il suo grado di informazione).
Nono io mi fido, solo che volevo capire intimamente l'errore. Non sono come i giocatori fervidi sostenitori del numero ritardatario, se insisto e sbatto la testa non è per convincere gli altri ma me medesimo (del mio errore).
Insomma, mi premeva essere meno ignorante XD.
Detto ciò credo il mio errore, solo per tirare meglio le fila, era che attribuivo alla porta un valore di probabilità, non accorgendomi che in realtà la probabilità di vincita è insita nel giocatore. Non so bene come spiegarlo a parole, ma io dicevo se la porta vale 2/3 come caspita fa a valere 1/2 per un "secondo osservatore", cioè attribuivo il "valore numerico probabilità" alla porta in sé e quindi immutabile, mentre in effetti la probabilità si basa sul giocatore e quanto sa di quel che è accaduto (cioè il suo grado di informazione).
Insomma, mi premeva essere meno ignorante XD.
Detto ciò credo il mio errore, solo per tirare meglio le fila, era che attribuivo alla porta un valore di probabilità, non accorgendomi che in realtà la probabilità di vincita è insita nel giocatore. Non so bene come spiegarlo a parole, ma io dicevo se la porta vale 2/3 come caspita fa a valere 1/2 per un "secondo osservatore", cioè attribuivo il "valore numerico probabilità" alla porta in sé e quindi immutabile, mentre in effetti la probabilità si basa sul giocatore e quanto sa di quel che è accaduto (cioè il suo grado di informazione).
"garante":
In effetti vista così mi rende molto più tranquillo.
Tuttavia, non so perché, ma istintivamente mi veniva da dare il senso di cui sopra. Fatico ancora un po' a levarmelo dalla testa però credo il tuo esempio abbia colto nel segno il mio fallo logico.
Ah be' non sei il solo, altrimenti il problema di Monty Hall non sarebbe stato così famoso
(e c'è ancora chi non si convince e sostiene che la probabilità di vincere non cambiando sia sempre 50%, comunque per chi non si fida basta fare l'esperimento un numero grande di volte e contare le volte che si vince non cambiando porta sulle volte totali: verrà immancabilmente 1/3 
).Comunque sì probabilità cambia secondo delle informazioni a disposizione, come nel bell'esempio di utente__medio.
Si possono trovare casi che fanno confondere e sembrano strani proprio come il problema di Monty Hall, ma riflettendo bene non ci si dovrebbe sorprendere più di tanto.
In effetti vista così mi rende molto più tranquillo.
Tuttavia, non so perché, ma istintivamente mi veniva da dare il senso di cui sopra. Fatico ancora un po' a levarmelo dalla testa però credo il tuo esempio abbia colto nel segno il mio fallo logico.
Tuttavia, non so perché, ma istintivamente mi veniva da dare il senso di cui sopra. Fatico ancora un po' a levarmelo dalla testa però credo il tuo esempio abbia colto nel segno il mio fallo logico.
Mettendoci nei panni del giocatore 2 (quello che sa di meno, o meglio niente) la probabilità di vincere ovviamente non può che essere valutata pari a 1/2; mettendoci in quelli del giocatore 1 (che è in possesso di maggiori informazioni) la probabilità di vincere in seguito al cambio potrà essere valutata pari a 2/3; se invece ci mettiamo nei panni di chi gestisce il gioco le probabilità diventano addirittura 1 e 0!
La realtà resta la stessa, ma all'aumentare del grado di conoscenza sarà possibile fare scelte via via più oculate.
Non so se ho reso l'idea, ma provo a farti un altro esempio: quattro amici (A, B, C e D) siedono intorno ad un tavolo, dove A estrae un numero da una tombola e gli altri tre devono indovinarlo. Essendo A un po' sbadato, B, che si trova accanto, riesce a scorgere che la prima cifra è un 5; C si trova anche lui accanto ad A, ma essendo un po' miope riesce solo a vedere che si tratta di un numero a due cifre; D invece, che si trova più lontano, non riesce a scorgere nulla. A questo punto le probabilità di indovinare per B, C e D saranno diverse e pari rispettivamente a 1/10, 1/81 e 1/90.
Come nel caso precedente il numero/pacco vincente sarà sempre lo stesso, ma ovviamente giocatori diversi con un diverso grado di conoscenza avranno probabilità diverse di vincere... e mi pare che non ci sia nulla di strano in tutto ciò!
La realtà resta la stessa, ma all'aumentare del grado di conoscenza sarà possibile fare scelte via via più oculate.
Non so se ho reso l'idea, ma provo a farti un altro esempio: quattro amici (A, B, C e D) siedono intorno ad un tavolo, dove A estrae un numero da una tombola e gli altri tre devono indovinarlo. Essendo A un po' sbadato, B, che si trova accanto, riesce a scorgere che la prima cifra è un 5; C si trova anche lui accanto ad A, ma essendo un po' miope riesce solo a vedere che si tratta di un numero a due cifre; D invece, che si trova più lontano, non riesce a scorgere nulla. A questo punto le probabilità di indovinare per B, C e D saranno diverse e pari rispettivamente a 1/10, 1/81 e 1/90.
Come nel caso precedente il numero/pacco vincente sarà sempre lo stesso, ma ovviamente giocatori diversi con un diverso grado di conoscenza avranno probabilità diverse di vincere... e mi pare che non ci sia nulla di strano in tutto ciò!
Però mi sembra un assurdo, nel senso che: se ammetto che uno scegliendo quella porta vince 2/3 delle volte, l'altro vince 1/2 allora è come se attribuissi a quella porta due valori diversi. Perché quella porta restituisce vincita per uno maggiore dell'altro, ma in realtà quando apro devono vincere con stessa probabilità.
Capisco di essere nel torto ma non so dove sbaglio perché mi sembra coerente come idea è quella la fregatura XD.
Capisco di essere nel torto ma non so dove sbaglio perché mi sembra coerente come idea è quella la fregatura XD.
Le probabilità non sono qualcosa a cui la realtà deve piegarsi, ma semplicemente delle valutazioni coerenti con lo stato di conoscenza di chi le sta soppesando.
Tornando al tuo esempio, il giocatore 1 se gioca bene le proprie carte avrà una probabilità di vincere pari a 2/3 e una probabilità di perdere pari ad 1/3, mentre al giocatore 2 ignaro non resterebbe che affidarsi ad un "misero" 50 e 50.
Tornando al tuo esempio, il giocatore 1 se gioca bene le proprie carte avrà una probabilità di vincere pari a 2/3 e una probabilità di perdere pari ad 1/3, mentre al giocatore 2 ignaro non resterebbe che affidarsi ad un "misero" 50 e 50.
Sìsì certo che considerando solo la situazione finale e non lo storico giungessi a un risultato diverso mi è chiaro. Tuttavia pensavo che la probabilità di scambio o meno arrivato a quel punto fosse comunque 1/2, ho capito però che era un errore.
Mi rimane un'ultima curiosità, però nel caso di monty. Mi spiego:
mettiamo di avere monty che agisce come nel caso del gioco indicato (sapendo), e che faccia la sua proposta dopo aver aperto la porta/pacco non vincente. Come ribadito, a quel punto il concorrente se cambia ha probabilità di 2/3 di vincere e se tiene 1/3.
Benissimo
Ora arriva un altro concorrente che è ignaro di tutto quanto avvenuto e gli si chiede di scegliere tra le due porte rimaste, lui avrà in teoria probabilità 1/2 e 1/2. Qundi sceglie a caso senza grandi patemi d'animo.
Vedo questa situazione in questo modo, il giocatore 1) avendo più informazioni sa in quale "universo" si trova, con universo intendo che sa ciò che è avvenuto nel suo mondo e sa che avendo scelto la prima porta gli conviene cambiare.
Il giocatore 2) arriva ignaro e lui non sa in che universo si trova: potrebbe essere sia nello storico per cui monty ha scelto la porta dando più informazioni al concorrente 1) e quindi dando maggior probabilità di vincita al pacco rimasto oppure potrebbe trovarsi in un caso in cui la scelta è casuale, cioè potrebbe scegliere il pacco che ha in mano il giocatore (o chiamiamola porta che dir si voglia) oppure quello non in possesso del giocatore 1) per lui hanno stessa probabilità di vincita.
Ma qui arriva un "paradosso": se 2 sceglie il pacco non in mano al giocatore 1 (scelta che opera in modo del tutto casuale) lui vincerà con probabilità 1/2, mentre il giocatore 1) scegliendo il pacco non in suo possesso sappiamo che vince per 2/3.
Ma siccome la realtà è unica uscirà molto più probabilmente il pacco non in possesso perché vale 2/3, ma se per il giocatore 2) vale 1/2 come è possibile.
Cioè sembra che la realtà propenda con maggior probabilità a far trovare il premio sotto il pacco non posseduto da 1) ma allo stesso modo debba far trovare il premio con stessa probabilità nei due pacchi. E mi sembra un pasticcio.
Mi rimane un'ultima curiosità, però nel caso di monty. Mi spiego:
mettiamo di avere monty che agisce come nel caso del gioco indicato (sapendo), e che faccia la sua proposta dopo aver aperto la porta/pacco non vincente. Come ribadito, a quel punto il concorrente se cambia ha probabilità di 2/3 di vincere e se tiene 1/3.
Benissimo
Ora arriva un altro concorrente che è ignaro di tutto quanto avvenuto e gli si chiede di scegliere tra le due porte rimaste, lui avrà in teoria probabilità 1/2 e 1/2. Qundi sceglie a caso senza grandi patemi d'animo.
Vedo questa situazione in questo modo, il giocatore 1) avendo più informazioni sa in quale "universo" si trova, con universo intendo che sa ciò che è avvenuto nel suo mondo e sa che avendo scelto la prima porta gli conviene cambiare.
Il giocatore 2) arriva ignaro e lui non sa in che universo si trova: potrebbe essere sia nello storico per cui monty ha scelto la porta dando più informazioni al concorrente 1) e quindi dando maggior probabilità di vincita al pacco rimasto oppure potrebbe trovarsi in un caso in cui la scelta è casuale, cioè potrebbe scegliere il pacco che ha in mano il giocatore (o chiamiamola porta che dir si voglia) oppure quello non in possesso del giocatore 1) per lui hanno stessa probabilità di vincita.
Ma qui arriva un "paradosso": se 2 sceglie il pacco non in mano al giocatore 1 (scelta che opera in modo del tutto casuale) lui vincerà con probabilità 1/2, mentre il giocatore 1) scegliendo il pacco non in suo possesso sappiamo che vince per 2/3.
Ma siccome la realtà è unica uscirà molto più probabilmente il pacco non in possesso perché vale 2/3, ma se per il giocatore 2) vale 1/2 come è possibile.
Cioè sembra che la realtà propenda con maggior probabilità a far trovare il premio sotto il pacco non posseduto da 1) ma allo stesso modo debba far trovare il premio con stessa probabilità nei due pacchi. E mi sembra un pasticcio.
Nel ragionare devi partire dall'inizio e calcolare quale è la probabilità di giungere a quella data situazione (restare con 2 pacchi avendo aperto tutti gli altri senza aver trovato il pacco vincente) considerando tutti i percorsi che possono averla portata. Fatto questo confronti le probabilità di aver fatto ciascun percorso partendo sempre dall'inizio, ma queste probabilità non possono sommare ad 1 perché sono solo un sottoinsieme degli eventi a cui potevi arrivare partendo dall'inizio.
Quindi insomma fai un confronto relativo.
Ovvio che come abbiamo detto se consideri solo la situazione finale in cui hai due pacchi, senza tener conto della evoluzione, le valutazioni possono essere differenti.
Quindi insomma fai un confronto relativo.
Ovvio che come abbiamo detto se consideri solo la situazione finale in cui hai due pacchi, senza tener conto della evoluzione, le valutazioni possono essere differenti.
"Faussone":
Bè l'altro 1/3 è il caso in cui non becchi la porta vincente all'inizio e poi tra le altre due porte apri quella con il premio.
Questo mi torna a priori, cioè prima di compiere l'apertura, però mi incasino una volta che apro la terzultima porta. Una volta aperta l'evento di trovare lì il premio non se ne è andato? (ho trovato una capra), quindi non dovrei trovarmi a 1/2 e 1/2 dato che rimango con sole due porte? Intendo ovviamente a posteriori, non all'inizio. Cioè dico una volta aperta la terzultima porta (a caso quindi non con monty) e trovata una capra, allora lì mi ritrovo con due porte/pacchi, ebbene qui ho 1/2 e 1/2. o sbaglio?
Penso che sia qua che mi incasino
Bè l'altro 1/3 è il caso in cui non becchi la porta vincente all'inizio e poi tra le altre due porte apri quella con il premio.
Nel caso di molte più porte con una sola vincente, o tanti pacchi e uno solo vincente, alla fine la probabilità di beccare il pacco vincente subito e quella di non beccare il pacco vincente, ma di scegliere a caso sempre i pacchi non vincenti fino a restare con solo due pacchi (o porte), sono le stesse. Sono entrambe piccole ma uguali, è molto più probabile insomma non beccare il pacco vincente e poi di non arrivare a rimanere con 2 pacchi, che di riuscire a arrivare alla situazione con soli 2 pacchi avendo aperto a caso tutti gli altri. ...ma nel caso ci si arrivi a quel punto non fa differenza cambiare o no pacco.
Nel caso di molte più porte con una sola vincente, o tanti pacchi e uno solo vincente, alla fine la probabilità di beccare il pacco vincente subito e quella di non beccare il pacco vincente, ma di scegliere a caso sempre i pacchi non vincenti fino a restare con solo due pacchi (o porte), sono le stesse. Sono entrambe piccole ma uguali, è molto più probabile insomma non beccare il pacco vincente e poi di non arrivare a rimanere con 2 pacchi, che di riuscire a arrivare alla situazione con soli 2 pacchi avendo aperto a caso tutti gli altri. ...ma nel caso ci si arrivi a quel punto non fa differenza cambiare o no pacco.
"Faussone":
La probabilità di 1) è ovviamente 1/3
La probabilità di 2) è 2/3 (probabilità di aver preso una delle due capre all'inizio) moltiplicato per 1/2 (probabilità di beccare tra le due porte rimaste quella con la capra). Insomma la probabilità è ancora 1/3.
Non capisco solo una cosa, ma quindi ho $1/3$ tenendo e $1/3$ cambiando, ma così facendo $1/3+1/3!=1$, per quello pensavo di trovarmi 1/2 e 1/2.
Così facendo è come se asserissi che vinco con prob. 1/3 e perdo con prob 1/3 e l'altro terzo cosa succede? D:
Non ho capito come aggiustare questa normalizzazione.
Ci sono tanti modi di ragionare uno è questo qui di seguito.
Supponiamo il caso di Monty Hall e che ti ritrovi a scegliere se cambiare porta nel caso che sia stato il conduttore a aprire prima una delle altre due porte sapendo quale sia la porta vincente, allora siamo al caso classico e conviene cambiare porta.
Nel caso sei stato tu invece ad aprire una delle altre due porte che non avevi scelto e che in quella hai trovato per caso una capra devi confrontare due casi:
1) avevi scelto dall'inizio la porta vincente;
2) avevi scelto la porta perdente e poi tra le altre due porte hai scelto quella con la capra (l'altra aveva il premio evidentemente).
La probabilità di 1) è ovviamente 1/3
La probabilità di 2) è 2/3 (probabilità di aver preso una delle due capre all'inizio) moltiplicato per 1/2 (probabilità di beccare tra le due porte rimaste quella con la capra). Insomma la probabilità è ancora 1/3.
Quindi i due scenari hanno stessa probabilità, pertanto cambiare o non cambiare porta non cambia la probabilità di vincere.
Supponiamo il caso di Monty Hall e che ti ritrovi a scegliere se cambiare porta nel caso che sia stato il conduttore a aprire prima una delle altre due porte sapendo quale sia la porta vincente, allora siamo al caso classico e conviene cambiare porta.
Nel caso sei stato tu invece ad aprire una delle altre due porte che non avevi scelto e che in quella hai trovato per caso una capra devi confrontare due casi:
1) avevi scelto dall'inizio la porta vincente;
2) avevi scelto la porta perdente e poi tra le altre due porte hai scelto quella con la capra (l'altra aveva il premio evidentemente).
La probabilità di 1) è ovviamente 1/3
La probabilità di 2) è 2/3 (probabilità di aver preso una delle due capre all'inizio) moltiplicato per 1/2 (probabilità di beccare tra le due porte rimaste quella con la capra). Insomma la probabilità è ancora 1/3.
Quindi i due scenari hanno stessa probabilità, pertanto cambiare o non cambiare porta non cambia la probabilità di vincere.
Sì, la cosa che mi lasciava all'inizio allibito era che non coglievo la differenza del seguente fatto, riportiamoci al caso monty per semplicità:
- se il concorrente sceglie una porta all'inizio e poi il conduttore (che ipotizziamo in tal caso sappia il valore di ogni porta) apre una delle due che non ha una vincita allora è ovvio che la probabilità cambiando porta/pacco è di 2/3 sulla nuova porta e 1/3 mantenendola.
- facevo un errore nel caso dei pacchi che è un po' il seguente: se io scelgo una porta casuale delle tre all'inizio poi procedendo col gioco il conduttore (che non conosce ciò che sta dietro la porta, questa volta) ne apre una (a caso anche per lui) che scopriamo non avere dietro di sé la vincita, allora a quel punto mi dicevo beh cambiare porta mi dà sempre il vantaggio di prenderne una che ha probabilità 2/3 di vincita perché escludo una porta che inizialmente in potenza poteva essere sia vincente che non e mi riduco a due porte la prima scelta a 1/3 e la seconda se cambio scelta a 2/3. E invece no, se il conduttore apre a caso è 1/2 come dice gi8.
Devo ammettere che questa cosa mi infastidisce ancora un attimo, perché non capisco appieno il motivo, infatti il risultato mi pare il medesimo: ho tolto una porta che non era vincente e mi sembra di finire nella stessa situazione nei due casi, ma ci sto ragionando
- se il concorrente sceglie una porta all'inizio e poi il conduttore (che ipotizziamo in tal caso sappia il valore di ogni porta) apre una delle due che non ha una vincita allora è ovvio che la probabilità cambiando porta/pacco è di 2/3 sulla nuova porta e 1/3 mantenendola.
- facevo un errore nel caso dei pacchi che è un po' il seguente: se io scelgo una porta casuale delle tre all'inizio poi procedendo col gioco il conduttore (che non conosce ciò che sta dietro la porta, questa volta) ne apre una (a caso anche per lui) che scopriamo non avere dietro di sé la vincita, allora a quel punto mi dicevo beh cambiare porta mi dà sempre il vantaggio di prenderne una che ha probabilità 2/3 di vincita perché escludo una porta che inizialmente in potenza poteva essere sia vincente che non e mi riduco a due porte la prima scelta a 1/3 e la seconda se cambio scelta a 2/3. E invece no, se il conduttore apre a caso è 1/2 come dice gi8.
Devo ammettere che questa cosa mi infastidisce ancora un attimo, perché non capisco appieno il motivo, infatti il risultato mi pare il medesimo: ho tolto una porta che non era vincente e mi sembra di finire nella stessa situazione nei due casi, ma ci sto ragionando
Certo che fa comunque una enorme differenza il considerare lo storico o no. E soprattutto va precisato come la situazione si è evoluta dall'inizio.
Se si arriva alla fine e si vede quindi solo la situazione finale, per esempio due pacchi rimasti, è ovvio che la probabilità di vincere nel cambio o no resta comunque 1/2.
Se invece si guarda la situazione dall'inizio, si suppone per esempio ci sia un solo pacco vincente e che gli altri siano scarti, se si arriva a avere 2 pacchi perché gli altri sono stati aperti da chi conosce dove sia il pacco vincente la probabilità di vincere è enormemente più alta cambiando il pacco, se si è partiti da 20 pacchi iniziali.
Si riduce appunto in pratica al classico problema di Monty Hall.
Se si arriva alla fine e si vede quindi solo la situazione finale, per esempio due pacchi rimasti, è ovvio che la probabilità di vincere nel cambio o no resta comunque 1/2.
Se invece si guarda la situazione dall'inizio, si suppone per esempio ci sia un solo pacco vincente e che gli altri siano scarti, se si arriva a avere 2 pacchi perché gli altri sono stati aperti da chi conosce dove sia il pacco vincente la probabilità di vincere è enormemente più alta cambiando il pacco, se si è partiti da 20 pacchi iniziali.
Si riduce appunto in pratica al classico problema di Monty Hall.
In effetti, ri-ragionando su quello che ha detto axpgn, credo che le soluzioni siano distinte se:
- le aperture sono andate a caso e quindi ricado nel caso di gi8
- se invece sono state guidate, ad esempio scegliendo di aprire i pacchi con premi minori, allora in quei casi cambia, un po come nel https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall (che ho appena scoperto googlando per rispondermi)
Voglio cioè dire, mettiamo di essere arrivati agli ultimi 3 pacchi: e che siano rimasti 1,2,20€
- seguendo la strategia di gi8 se viene aperto il terzultimo pacco a caso (e mettiamo esca 2) allora ho probabilità che esca 1 euro di 1/2 e 20 di 1/2.
- se però chi sceglie sa il contenuto dei pacchi allora quello non funziona più. Mettiamo la sua strategia sia scegliere il pacco dal contenuto intermedio tra quelli rimasti, quindi toglie il pacco da 2 euro (appositamente) a quel punto le probabilità sono ben diverse per 20 e 1 euro e non sono più equamente 1/2 (come nel link).
- le aperture sono andate a caso e quindi ricado nel caso di gi8
- se invece sono state guidate, ad esempio scegliendo di aprire i pacchi con premi minori, allora in quei casi cambia, un po come nel https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall (che ho appena scoperto googlando per rispondermi)
Voglio cioè dire, mettiamo di essere arrivati agli ultimi 3 pacchi: e che siano rimasti 1,2,20€
- seguendo la strategia di gi8 se viene aperto il terzultimo pacco a caso (e mettiamo esca 2) allora ho probabilità che esca 1 euro di 1/2 e 20 di 1/2.
- se però chi sceglie sa il contenuto dei pacchi allora quello non funziona più. Mettiamo la sua strategia sia scegliere il pacco dal contenuto intermedio tra quelli rimasti, quindi toglie il pacco da 2 euro (appositamente) a quel punto le probabilità sono ben diverse per 20 e 1 euro e non sono più equamente 1/2 (come nel link).
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